Механика. Кинематика. Динамика. Молекулярная физика

 

Механика

1.Введение. Кинематика

Механика изучает механическое движение, условия и причины, вызывающие данное движение, а также условия равновесия тел. Механическим движением называется изменение положения тела или его частей относительно других тел с течением времени. Всякое движение относительно. Характер движения зависит от того, относительно каких тел мы рассматриваем данное движение.

Тело, относительно которого мы рассматриваем положение других тел в пространстве, называется телом отсчета.

Системой отсчета называют систему координат, связанную с телом отсчета, и выбранный метод отсчета времени, т.е. часы.

Выбор системы отсчета зависит от условий данной задачи. Движение реальных тел, как правило, сложное. Поэтому для упрощения рассмотрения движений пользуются законом независимости движений: всякое сложное движение можно представить как сумму независимых простейших движений. К простейшим движениям относятся поступательное и вращательное.

В физике широко пользуются моделями, которые позволяют из всего многообразия физических свойств выбрать главное, определяющее данное физическое явление. Одними из первых моделей реальных тел являются материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается постоянным при его движении.

Эти модели позволяют исключить деформацию тел при движении.

Поступательным называется движение, при котором отрезок, соединяющий любые две точки твердого тела, перемещается при движении параллельно самому себе. Из этого следует, что все точки тела при поступательном движении движутся одинаково, т.е. с одинаковыми скоростями и ускорениями. Примером поступательного движения может служить движение кабины "чертова колеса".

Вращательным называется движение, при котором все точки абсолютно твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, причем эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Пользуясь законом независимости движений, сложное движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного движений.

Одним из первых разделов механики является кинематика, изучающая механическое движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение.

Можно воспользоваться понятием материальной точки для изучения поступательного движения абсолютно твердого тела, так как все точки движутся одинаково. Для определения положения материальной точки в пространстве и описания ее движения необходимы следующие понятия.

Перемещение ?s - вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, по которой двигалась материальная точка некоторый промежуток времени.

Траектория - линия, описываемая при движении материальной точкой в пространстве.

Путь ? - сумма длин отрезков траектории.

При прямолинейном движении (траектория - прямая линия) модуль перемещения равен длине пути ?, если движение происходит в одном направлении.

Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве с течением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями.

Средняя скорость - векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

.(1.1)

Пусть точка движется по траектории от А до В. На рис. 1.1 показаны перемещение ?s и вектор средней скорости vср.

Часто для характеристики движения вводится средняя скорость прохождения пути, равная отношению пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:

(1.2)

На рис. 1.1 ?? - это длина дуги АВ. Ясно, что, поскольку , то |vср| ? ?ср(?). Скорость в данный момент времени определяется мгновенной скоростью.

Мгновенной скоростью называется предел отношения перемещения ?s к промежутку времени ?t, за который это перемещение произошло, при стремлении ?t к нулю:

(1.3)

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Это вытекает из следующих соображений: vср направлено вдоль секущей АВ (рис. 1.1). Если ?t стремится к нулю, то в пределе точки А и В сольются в одну точку, при этом секущая превращается в касательную.

Равномерное прямолинейное движение

Равномерным прямолинейным называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При этом движении мгновенная скорость совпадает со средней:

.

Если выбрать ось х вдоль направления движения, то проекция скорости на ось х равна величине скорости:

.

Из определения скорости следует

,

Откуда закон движения материальной точки, т.е. , имеет вид

,(1.4)

Где х0 - координата материальной точки в момент времени t = 0. Если скорость направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси х, то

.(1.5)

На рис. 1.2 показаны зависимости и от времени.

Относительность движения

Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. В ряде задач приходится рассматривать движение одного и того же тела относительно разных систем отсчета, причем эти системы могут двигаться относительно друг друга. Обозначим скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной v0, скорость тела относительно неподвижной системы отсчета v. Обычно в качестве неподвижной принимается система отсчета, связанная с Землей. Пусть в начальный момент времени начала координат, связанных с подвижной и неподвижной системами отсчета, совпадают (рис. 1.3, а). Материальная точка находится в начале координат. За время ?t материальная точка перемещается в неподвижной системе на ?s, в подвижной на ?, начало же подвижной системы переместилось на ?s0 (рис. 1.3,б). Из рисунка видно, что

?s = ?s0 + ?

Разделив на ?t левую и правую части равенства, получим

откуда

(1.6)

Полученное уравнение выражает классический закон сложения скоростей.

Движение с переменной скоростью

Величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением.

Среднее ускорение - величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

(1.7)

Если v1 и v2 - мгновенные скорости в моменты времени t1 и t2, то

, ?t = t2 - t1.

На рис. 1.4. изображены векторы мгновенных скоростей. Чтобы их сравнить, сделаем параллельный перенос вектора v2 в точку А. Тогда ?v определит направление аср.

Мгновенное ускорение - ускорение тела в данный момент времени. Это физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при стремлении промежутка времени к нулю:

Вектор амгн направлен так же, как и вектор ?v при , и не совпадает в общем случае с направлением вектора скорости v.

(1.8)

Пусть амгн направлен, как указано на рис. 1.5, под углом к вектору скорости. Ускорение характеризует изменение скорости по величине и по направлению. Разложим ускорение на две составляющие: а? - тангенциальное ускорение и аn - нормальное (центростремительное) ускорение. Компонента а? направлена по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по величине, аn направлено к центру кривизны траектории (по нормали к скорости) и характеризует изменение скорости по направлению. Компонента (покажем ниже), где v - мгновенная скорость, R - радиус кривизны траектории в данной точке,

(1.9)

Модуль мгновенного ускорения равен

(1.10)

Прямолинейное равноускоренное движение

Если аn = 0, т.е. скорость не изменяется по направлению, а а? остается постоянным, то материальная точка движется прямолинейно и равноускоренно. В этом случае среднее ускорение равно мгновенному:

Направим ось х вдоль направления движения (, , ). Тогда из определения ускорения следует

,

Откуда

(1.11)

При равномерном движении перемещение равно и, как видно из рис. 1.2, численно равно площади прямоугольника. Если скорость изменяется со временем, то, разделяя промежуток времени на малые промежутки, в пределах каждого из которых скорость можно считать постоянной, получим, что перемещение за некоторый промежуток времени ?t численно равно сумме площадей малых прямоугольников или площади криволинейной трапеции (рис. 1.6).

Зная закон изменения скорости при прямолинейном равноускоренном движении и изобразив его на графике (рис. 1.5), мы имеем для перемещения следующую формулу:

.(1.12)

Следовательно, положение (координата) материальной точки определяется выражением

.

Если ускорение или скорость направлены в сторону, противоположную направлению x, то проекция их на ось x будет отрицательной. Поэтому в общем виде формула для скорости и закон движения запишутся так:

,

,(1.13)

,

или в проекции на ось x

.(1.14)

Если начальная скорость и ускорение совпадают по направлению, движение тела будет ускоренным, если направления их различны, то движение замедленное. Изобразим на графиках зависимости

, и

(см. рис. 1.7) в случае ускоренного и замедленного движений, при условии . Из рис.1.7 видно, что если и совпадает с направлением начальной скорости, то скорость непрерывно возрастает, что следует из рис. 1.7, б, а также 1.7, в - увеличивается тангенс угла наклона графика , который определяет скорость материальной точки . График при - парабола с ветвями, направленными вверх (рис. 1.7, в). Вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При скорость уменьшается до 0, а затем тело изменяет направление движения и величина скорости будет увеличиваться (рис. 1.7, д). График при (рис. 1.7, е) представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.

Кинематика вращательного движения твердого тела и движения материальной точки по окружности

При движении материальной точки по окружности ее положение можно определить координатами x и y или углом поворота - углом между радиус-вектором r и осью х. Радиус-вектор r проведется от оси вращения к материальной точке.

Если рассматривать вращательное движение твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения, то из рис. 1.8 следует, что угол поворота радиус-векторов, определяющих положение всех точек твердого тела, будет одним и тем же , линейные же перемещения точек твердого тела будут различными (). В связи с этим, если знать закон изменения угла для какой-то произвольной точки вращающегося твердого тела, то тем самым мы будем знать движение всех точек этого тела.

При равномерном движении материальной точки по окружности , , так как скорость изменяется только по направлению. Пусть за время ?t радиус-вектор, определяющий положение точки, повернулся на (рис. 1.9 а).

Скорость изменения угла есть угловая скорость . При равномерном вращении

,(1.15)

т.е. угловая скорость равна отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел. Из формулы (1.15) следует, что

.(1.16)

Длина дуги (рис. 1.9 б) равна , где измеряется в радианах. Разделив левую и правую части равенства на ?t, получим

, или (1.17)

Выведем выражение для нормального (центростремительного) ускорения аn. Пусть в момент времени t1 точка находилась в А (рис. 1.9 б), ее скорость v1; в момент времени t2 точка находится в В, скорость v2; так как она движется равномерно

|v1| = |v2| = ?.

Перемещение точки равно хорде АВ.

Для определения изменения скорости параллельно перенесем v2 в точку А. Тогда ?v = v2 - v1. Треугольник, составленный из скоростей, и треугольник АВО подобны, так как они равнобедренные и углы при вершинах равны, как углы между взаимно-перпендикулярными сторонами (v1 r1 и v2 r2). Следовательно,

.

Разделим на ?t левую и правую части равенства и перейдем к пределу при :

Предел в левой части равенства определяет скорость, а в правой - ускорение:

, (1.18)

отсюда

.

При , следовательно, вектор ?v перпендикулярен v и, как показано на рис 1.9 б, направлен к центру окружности.

Если тело одновременно участвует во вращательном и поступательном движениях, например, катящееся без проскальзывания колесо, то для определения скоростей часто удобно вводить мгновенную ось вращения. На рис. 1.10 Омгн - мгновенная ось вращения. Тело в некоторый данный момент поворачивается относительно оси Омгн как целое. Скорость точки Омгн относительно земли равна 0. Скорость точки О относительно земли равна . Тогда угловая скорость всех точек колеса относительно земли, согласно (1.17), равна , где r - радиус колеса. Отсюда скорость точки А относительно земли равна . Заметим, что относительно подвижной оси О скорости точек А и Омгн одинаковы и равны . Подчеркнем, что мгновенной осью вращения становятся последовательно все точки обода колеса.

Криволинейное движение

В общем случае криволинейного движения и , т.е. скорость изменяется по величине и направлению. При этом считаем, что ускорение а остается постоянным.

Рассмотрим особенности криволинейного движения при решении задачи о движении тела, брошенного со скоростью под углом к горизонту.

Итак, дано: и . Полностью исследуем движение. При этом определим 1) траекторию движения тела, 2) время полета , 3) дальность полета , или перемещение тела , 4) максимальную высоту подъема , 5) скорость тела на высоте 6) и в начальной точке траектории и в наивысшей точке подъема, 7) радиусы кривизны траектории в этих точках.

Движение происходит в плоскость ху (рис. 1.11). В начальный момент времени тело находилось в начале координат, т.е. в точке О. Данное движение криволинейное. Воспользуемся законом независимости движений и разложим это движение на два прямолинейных: вдоль оси х и вдоль оси у. Движение вдоль оси х равномерное () с начальной скоростью , которая остается постоянной:

.

Уравнение движения вдоль оси х имеет вид

(1.19)

Движение по оси у равнопеременное с постоянным ускорением и начальной скоростью . Согласно (1.13) и (1.14),

(1.20)

.(1.21а)

1)Найти траекторию движения - это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой движется тело в пространстве.

Из (1.19) и (1.21а) исключаем время t. Из (1.19) , подставим в (1.21а):

.(1.21б)

Уравнение (1.21б) описывает параболу, ветви которой направлены вниз, центр параболы смещен относительно начала координат.

)Воспользуемся формулой (1.21а) для определения времени полета тела. (Рассмотрение движения вдоль оси не позволит определить время полета, так как вдоль оси х тело могло бы равномерно двигаться сколь угодно долго). Приравняв , получим

,

, .(1.22)

Действительно, тело на земле оказывается дважды - в начале и в конце полета.

Искомое время полета .

3)Так как вдоль оси х движение равномерное и известно время движения (1.22), то

.(1.23)

)Максимальную высоту подъема тела можно определить из формулы (1.21а), подставив в нее время подъема , которое можно определить по формуле (1.20), из условия, что в наивысшей точке подъема равно 0:

,

.

Таким образом,

,

.(1.24)

Максимальную высоту подъема в этом случае можно также найти из следующих соображений. Парабола - симметричная кривая. Зная дальность полета, можно определить х-координату наивысшей точки подъема:

.

Тогда, подставив х в уравнение траектории, получим

,

.

)Для определения скорости на высоте h необходимо знать время, когда тело находится на этой высоте, , и тогда компоненты скорости будут определены (см. рис.1.23).

, .

Время найдем из уравнения (1.21а):

, .

Очевидно, что оба значения времени имеют физический смысл, так как на высоте тело будет находиться дважды (рис. 1.11), в первый раз - двигаясь вверх, второй раз - двигаясь вниз. Поэтому скорость тела на высоте h определится формулами: в первой точке

, .

Модуль скорости равен , тангенс угла наклона скорость в оси х:

.

Во второй точке на высоте h

,

.

Модуль скорости равен , тангенс угла наклона скорости к оси х

.

)Чтобы найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, воспользуемся тем, что тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения, а нормальное по нормали к ней. Полное же ускорение, с которым движется тело во всех точках, одинаково и равняется ускорению свободного падения . Разложим на две составляющие в точках О и А (рис. 1.12). В точке О

, ,

В точке А

, .

работа энергия термодинамика молекулярный

7)Нормальное ускорение определяется по формуле (1.17)

,

где R - радиус кривизны траектории в данной точке, т. е. радиус окружности, часть дуги которой совпадает с траекторией в данной точке. Отсюда . В точке О

, ,

.

В точке А , скорость имеет только х-компоненту:

,

а нормальное ускорение в точке А (). Отсюда

.

Большинство задач на криволинейное движение является частным случаем или вариацией этой общей задачи.

2. Динамика

Динамика - раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных к нему сил.

Основные понятия динамики. Законы Ньютона

В основе динамики лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона - закон инерции. Всякое тело стремится сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока на него не действует сила. Состояния покоя или равномерного прямолинейного движения с точки зрения динамики не различаются ().

Масса m является количественной мерой инертности тел. Сила F - мера взаимодействия тел. Любое изменение характера движения тела, любое ускорение есть результат действия на тело других тел. Воздействие одного тела на другое может происходить при непосредственном соприкосновении тел или посредством силовых полей. Различают поле тяготения, электрическое и магнитное поля.

Рассмотрим основные силы.

1.Сила, вызванная деформацией тел и препятствующая изменению объема тела, называется силой упругости. Деформация называется упругой, если после снятия внешнего воздействия тело возвращается в исходное состояние.

При небольших деформациях растяжения или сжатия х сила упругости прямо пропорциональна деформации и направлена в сторону, противоположную ей:

,(2.1)

где - коэффициент упругости, зависящий от свойств материала и геометрии деформируемого тела. Сила упругости препятствует деформации. Так, на рис. 2.1 показано, что при растяжении тела () возникает сила упругости, стремящаяся вернуть телу первоначальные размеры и форму.

Для характеристики упругих свойств вещества вводится величина Е, называемая модулем Юнга.

Напряжение , возникающее в твердом теле, равно , где - площадь поперечного сечения твердого тела, на которое действует сила . Относительная деформация , где - длина деформации (рис. 2.1), пропорциональна напряжению, возникающему в твердом теле (закон Гука):

.(2.2)

Физический смысл модуля Юнга состоит в следующем: величина Е численно равна напряжению, возникающему в твердом теле при относительной деформации, равной единице. Из физического смысла модуля Юнга следует, что Е является большим по величине.

2.Сила трения. Трение, возникающее при относительном перемещении сухих поверхностей твердого тела, называется сухим трением. Различают три вида сухого трения: трение покоя, скольжения и качения.

Если на тело действует сила F, как показано на рис. 2.2, то тело сохраняет состояние покоя (неподвижно относительно поверхности, на которой оно находится), то это означает, что на тело одновременно действует сила, равная по величине и противоположная по направлению, - сила трения покоя. При увеличении силы F, если тело сохраняет состояние покоя, то увеличивается и сила трения покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней действующей силе:

.

Сила трения скольжения определяется из соотношения:

,(2.3)

где - коэффициент трения, зависящий от шероховатости и от физических свойств соприкасающихся поверхностей, - сила реакции опоры, эта сила определяет насколько тело прижато к поверхности, по которой оно движется. Сила трения покоя изменяется по величине от 0 до максимального значения Fтр.покоя max.

Сила трения скольжения всегда направлена в сторону, противоположную скорости движения тела относительно поверхности, по которой оно движется. На рис. 2.3 изображена зависимость проекции силы трения от проекции на ту же ось внешней силы. Сила трения скольжения равна максимальной силе трения покоя.

Сила трения качения мала по сравнению с силой трения скольжения. При больших скоростях сопротивление перекатывания резко увеличивается и тогда следует рассматривать силу трения скольжения.

3.Все тела притягиваются друг к другу. Для материальных точек (или шаров) закон всемирного тяготения имеет вид

,(2.4)

где , - массы тел, - расстояние между материальными точками или центрами шаров, - гравитационная постоянная. Массы, входящие в этот закон, есть мера гравитационного взаимодействия тел. Опыт показывает, что гравитационная и инертная массы равны.

Физический смысл : гравитационная постоянная численно равна силе притяжения, действующей между двумя материальными точками или шарами массами 1 кг, расположенными на расстоянии 1 м друг от друга, . Если тело массы находится над поверхностью 3емли на высоте , то на него действует сила тяготения, равная

,(2.5)

где - масса Земли, - радиус Земли. Вблизи земной поверхности на все тела действует сила, обусловленная притяжением, - сила тяжести.

Сила тяжести определяется силой притяжения Земли и тем, что Земля вращается вокруг собственной оси.

В связи с малостью угловой скорости вращения Земли () сила тяжести мало отличается от силы тяготения. При ускорение, создаваемое силой тяжести, является ускорением свободного падения:

.(2.6)

Очевидно, что ускорение свободного падения для всех тел одинаково.

4.Весом тела называется сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес, и эта сила приложена либо к опоре, либо к подвесу.

Второй закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропорционально его массе и совпадает по направлению с действующей силой:

.(2.7)

Если на тело действует несколько сил, то под F понимают результирующую всех действующих сил. Уравнение (2.7) выражает основной закон динамики материальной точки. Движение твердого тела зависит не только от приложенных сил, но и от точки их приложения. Можно показать, что ускорение центра тяжести (центр масс) не зависит от точки приложения сил и справедливо уравнение

,

где - масса тела, - ускорение его центра тяжести. Если тело движется поступательно, то это уравнение полностью описывает движение тела.

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость:

.

Импульс является векторной величиной и зависит одновременно как от состояния движения (скорости), так и от его инертных свойств (массы).

Пусть в некоторый начальный момент времени импульс тела имел значение , а в последующий момент времени приобрел новое значение (при этом масса с течением времени не меняется). Тогда за интервал времени импульс изменился на величину . Тогда

.

Из кинематики известно, что равно ускорению тела, значит . С учетом (2.7):

.

Третий закон Ньютона. Всякому действию всегда есть равное и противоположно направленное противодействие.

Так, если взаимодействуют два тела А и В с силами F1 и F2, то эти силы равны по величине, противоположны по направлению, направлены вдоль одной прямой и приложены к разным телам (рис. 2.4).

Природа этих сил всегда одинакова. Приведем следующий пример. Тело массой лежит на столе. Сила, с которой тело действует на стол, Р (вес тела), приложена к столу, сила, с которой стол действует на тело, N (сила реакции опоры), приложена к телу (рис. 2.5). Согласно 3-му закону Ньютона, , . Сила FТ, с которой Земля действует на тело массой , равна , приложена к телу и направлена к центру Земли; сила, с которой тело действует на Землю, F приложена к центру Земли и направлена к центру масс тела (рис. 2.6).

Первый закон Ньютона необходим для того, чтобы определить те системы отсчета, в которых справедлив второй закон Ньютона. Системы отсчета, в которых выполняется 1-й закон Ньютона, называются инерциальными, те системы отсчета, в которых 1-ый закон Ньютона не выполняется, - неинерциальными.

Рассмотрим следующий пример. К потолку неподвижного нагона подвешен груз, который видят наблюдатель 1, сидящий в вагоне, и наблюдатель 2, находящийся на платформе (рис. 2.7). Нить маятника вертикальна, что естественно с точки зрения наблюдателей 1 и 2, так как на груз действуют две вертикальные силы: сила натяжения нити Т и сила тяжести FТ, равные по величине и противоположные по направлению. Если же вагон движется с ускорением а, то с точки зрения наблюдателя 2 нить должна отклониться от вертикали, так как на груз продолжают действовать те же силы, но результирующая этих сил уже не будет равняться 0, чтобы обеспечить движение, маятника с ускорением а.

С точки зрения наблюдателя 1 маятник остается в покое относительно стенок вагона, и результирующая сил, действующая на маятник, должна равняться нулю. Но так как нить отклонена, то наблюдатель должен предположить наличие силы, которая в сумме с силой натяжения нити и силой тяжести дает 0. Это сила инерции. Но эта сила уже не является результатом взаимодействия тел, а является результатом того, что мы рассматриваем движение тела относительно системы отсчета, движущейся с ускорением.

Система, связанная с наблюдателем 1, - неинерциальная, система связанна с наблюдателем 2, - инерциальная. Мы будем рассматривать движение тел только относительно инерциальных систем отсчета. Подчеркнем, что сила есть результат взаимодействия реальных тел.

В связи с важностью изложенного еще раз сформулируем первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы или действие сил скомпенсировано. 0чевидно, что если есть одна инерциальная система отсчета, то любая другая, движущаяся относительно нее равномерно и прямолинейно, является также инерциальной системой отсчета. В первом приближении система отсчета, связанная с Землей, является инерциальной, хотя строго говоря она неинерциальна, так как Земля вращается вокруг собственной оси и обращается вокруг Солнца. Однако ускорения этих движений малы.

В связи с трудностями, возникающими при решении задач динамики, особенно в тех случаях, когда рассматривается система тел, предложим схему, по которой следует решать задачи динамики.

1. Делаем рисунок и изображаем силы, действующие на тела со стороны других тел.

. Выбираем тело отсчета, относительно которого будем рассматривать движение.

. Связываем с телом отсчета систему координат.

. Записываем основной закон динамики для каждого тела в отдельности.

. Записываем уравнения в проекциях на оси координат.

. Из полученных уравнений составляем систему алгебраических уравнений, при этом число уравнений должно быть равно числу неизвестных.

. Решаем систему уравнений и находим неизвестные физические величины; проверяем наименование полученных величин.

Вращательное движение

Вращательным движением называется такое движение тела, при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, а плоскости окружностей перпендикулярны оси вращения.

Сложные движения можно рассматривать как сочетания поступательного и вращательного движения.

В предыдущей главе было введено понятие угловой скорости при равномерном движении тела по окружности. Угловую скорость принято рассматривать как вектор, направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта: если винт вращать в том же направлении, как вращается тело, то направление движения винта совпадает с направлением угловой скорости.

Если тело за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы, то такое движение называют равномерным вращательным движением.

Используя понятие угловой скорости, можно дать еще одно определение равномерному вращательному движению. Равномерным вращательным движением называют движение с постоянной угловой скоростью ().

Для описания неравномерного вращательного движения вводят величину, которая характеризует изменение угловой скорости. Такой величиной является отношение изменения угловой скорости к малому интервалу времени , за который произошло это изменение. Эта величина называется средним угловым ускорением:

.(2.8)

При ускоренном вращении векторы и совпадают по направлению; при замедленном вращении вектор направлен противоположно вектору .

Единица углового ускорения в СИ 1 .

Моментом силы называют вектор , направленный вдоль оси вращения и ориентированный по правилу правого винта относительно вектора силы. Модуль момента силы равен

,(2.9)

где - плечо силы. Оно равно кратчайшему расстоянию между осью вращения и направлением силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Чтобы получить искомое уравнение, рассмотрим сначала простейший случай, когда материальная точка массой вращается на невесомом твердом стержне длиной вокруг оси (рис. 2.9). Второй закон Ньютона для этой точки запишется в виде:

.(2.10)

Но тангенциальное ускорение

.

Подставив в формулу (2.10), получим:

.

Умножив обе части этого равенства на , чтобы свести действие силы к ее моменту, будем иметь:

(2.11)

Произведение массы точки на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции материальной точки относительно оси:

.(2.12)

Единица момента инерции в СИ - .

Тогда выражение (2.11) примет вид:

.(2.13)

Поскольку векторы и направлены в одну и ту же сторону вдоль оси вращения, то выражение (2.13) можно записать в векторном виде:

.(2.14)

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения.

Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции составляющих его частиц:

.(2.15)

Для разных осей вращения момент инерции одного и того же тела различен.

Если известен момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс тела, то для расчета момента инерции этого тела относительно другой оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстоянии , используется соотношение, известное как теорема Штейнера:

.(2.16)

В таблице приведены формулы для вычисления моментов инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс этих тел.

ТелоОсь вращения проходитМомент инерции ОбручЧерез центр обруча перпендикулярно плоскости обручаДиск (цилиндр)Через центр диска перпендикулярно плоскости обручаДискЧерез центр диска вдоль его диаметраШарЧерез центр шараСтержень длиной Через середину стержня перпендикулярно ему

. Импульс тела. Закон сохранения импульса

Импульс тела (количество движения) p - физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

.(3.1)

Импульс силы - физическая величина, равная произведению силы на промежуток времени, в течение которого эта сила действует, . 2-й закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом:

Изменение импульса тела равно импульсу подействовавшей на него силы, т. е.

(3.2)

Очевидно, что закон (3.2) переходит в (3.1), если масса остается постоянной.

Если на тело действуют несколько сил, то в этом случае берется результирующий импульс всех сил, подействовавших на тело. В проекциях на оси координат , , уравнение (3.2) может быть записано в виде

, , .(3.3)

Из (3.3) следует, что если, например , и , то происходит изменение проекции импульса только на одно направление, и обратно, если изменяется проекция импульса только на одну из осей, то, следовательно, импульс силы, действующей на тело, имеет только одну проекцию, отличную от нуля. Например, пусть шарик, летящий под углом к горизонту, упруго ударяется о гладкую стенку. Тогда при отражении изменяется только х-компонента импульса (рис. 3.1). Проекции импульса на ось х:

, .

Изменение импульса:

.

При упругом ударе о стенку скорости до и после удара равны: , поэтому

.

Следовательно, на шарик подействовал импульс силы, проекция которого на ось х есть , проекция на ось у

, .

Изменение импульса:

.

Следовательно, проекция импульса силы на ось у равна .

Понятием импульса широко пользуются при решении задач о движении нескольких взаимодействующих тел. Совокупность взаимодействующих тел называется системой тел. Введем понятие внешних и внутренних сил. Внешними силами называются силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее. Внутренними силами называются силы, возникающие в результате взаимодействия тел, входящих в систему. Например, мальчик подбрасывает мячик. Рассмотрим систему тел мальчик - мяч. Силы тяжести, действующие на мальчика и мяч, сила нормальной реакции, действующая на мальчика со стороны пола, - внешние силы. Сила, с которой мяч давит на руку мальчика, сила, с которой мальчик действует на мяч, пока он не оторвется от руки, - внутренние силы.

Рассмотрим систему из двух взаимодействующих тел 1 и 2. На тело 1 действуют внешняя сила и внутренняя сила (со стороны второго тела) . На второе тело действуют силы и . Согласно (3.2), изменение импульса первого тела за промежуток времени равно

, (3.4а)

изменение импульса второго тела:

. (3.4б)

Суммарный импульс системы равен

.

Сложив левые и правые части уравнений (3.4а) и (3.4б), получим изменение суммарного импульса системы:

.

По 3-му закону Ньютона

,

откуда

,(3.5)

где - результирующий импульс внешних сил, действующих на тела системы. Итак, уравнение (3.5) показывает, что импульс системы может измениться только под действием внешних сил. Закон сохранения импульса можно сформулировать следующим образом:

Импульс системы сохраняется, если результирующий импульс внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равен нулю.

Системы, в которых на тела действуют только внутренние (т.е. тела системы взаимодействуют только друг с другом), называются замкнутыми (изолированными). Очевидно, что в замкнутых системах импульс системы сохраняется. Однако и в незамкнутых системах в некоторых случаях можно использовать закон сохранения импульса. Перечислим эти случаи.

1.Внешние силы действуют, но их результирующая равна 0.

2.Проекция внешних сил на какое-то направление равно 0, следовательно, проекция импульса на это направление сохраняется, хотя сам вектор импульса не остается постоянным.

3.Внешние силы много меньше внутренних сил (). Изменение импульса каждого из тел практически равно .

4. Механическая работа и энергия. Закон сохранения энергии

Пусть на тело действует постоянная сила F, и тело перемещается на. Механическая работа равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы на косинус угла между вектором силы и вектором перемещения (рис. 4.1):

.(4.1)

Проекция силы на вектор перемещения равна

,

следовательно,

.(4.2)

Из формулы (4.1) следует, что при работа силы положительна, , при , при .

На рис. 4.2 изображена зависимость , от s. Из формулы (4.2) очевидно, что работа силы F численно равна площади заштрихованного прямоугольника.

Если зависит от s по произвольному закону (рис. 4.3), то, разбивая полное перемещение на малые отрезки , в пределах каждого из которых значение можно считать постоянным, получим, что работа силы F на перемещении s равна площади криволинейной трапеции:

.

Работа силы упругости. Сила упругости равна . Зависимость силы упругости от х изображена на рис. 4.4. При растяжении пружины от х1 до х2 работа силы упругости с точностью до знака равна площади заштрихованной трапеции:

.(4.3)

Работа силы упругости при растяжении отрицательна, так как сила упругости направлена в сторону, противоположную перемещению. При восстановлении размеров пружины работа силы упругости положительна, так как сила упругости по направлению совпадает с перемещением.

Работа силы тяготения. Сила тяготения зависит от расстояния от центра Земли r. Определим работу силы тяготения при перемещении тела массы точки А в точку В (рис. 4.5). На малом перемещении работа силы тяготения

, ,

где - масса Земли. Если мало, то и

.

Таким образом, работа при перемещении из точки А в точку В определится как сумма работ на малых перемещениях :

,

,

.(4.4)

Если , а , то

(4.5)

есть работа силы тяготения при перемещении тела с поверхности Земли в бесконечно удаленную точку траектории.

Механическая энергия характеризует способность тела совершать механическую работу. Полная механическая энергия тела складывается из кинетической и потенциальной энергии.

Кинетическая энергия - это энергия, которой обладает движущееся тело. Пусть на тело действует сила F, перемещение тела . Работа силы F равна (рис. 4.6)

().(4.6)

Согласно 2-му закону Ньютона,

.(4.7)

Если в точках 1 и 2 скорость тела и , то

.(4.8)

Подставив в (4.6) выражения (4.7) и (4.8), получим

. (4.9а)

Итак, если на тело действует сила F, работа которой отлична от нуля, , то это приводит к изменению величины , называемой кинетической энергией:

.(4.9б)

Из (4.9а) следует, что изменение кинетической энергии равно работе силы, действующей на тело. Если на тело действует несколько сил, то изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ, совершаемых при данном перемещении каждой из сил.

Потенциальной энергией обладает система тел, взаимодействующих между собой, если силы взаимодействия консервативны. Консервативной (потенциальной) силой называется сила, работа которой не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек траектории.

Рассмотрим перемещение массы m из точки 1 в точку 2 по различным траекториям (рис. 4.7). Работа силы тяжести тела по прямой определяется выражением

.

Поскольку ,

.

Работа силы тяжести при движении тела по траектории :

.

Подсчитаем работу силы тяжести при движении тела по траектории III. Представим траекторию с какой угодно степенью точности в виде ломаной, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков. Тогда работа силы тяжести при перемещении по горизонтали равна нулю, по вертикальным отрезкам , . Суммарная работа есть

. (4.10)

Как показано, работа силы тяжести не зависит от траектории. Сила тяжести - консервативная сила. Очевидно, что работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю. Сила тяготения и сила упругости также являются консервативными силами. При падении тела потенциальная энергия уменьшается. Из (4.9) следует

.

Изменение потенциальной энергии равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком:

, .

Потенциальная энергия рассчитывается с точностью до постоянной величины, поэтому всегда надо указывать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии. Итак, потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h () равна

. (4.11)

Потенциальная энергия, обусловленная силой тяготения, есть

; при . (4.12)

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины равна

, при . (4.13)

Как видно из примеров, потенциальная энергия зависит от взаимного расположения тел или частей тела. Неконсервативными силами в механике являются сила трения и сила сопротивления.

Рассмотрим систему двух тел. На тела могут действовать внешние и внутри силы, которые могут быть консервативными и неконсервативными. Изменение кинетической энергии каждого из тел равно сумме работ всех сил, действующих на это тело, а именно, для первого тела:

.

Подробно остановимся на этих силах. Сила трения может быть как внутренней, так и внешней силой; обозначим работу всех сил трения . На тело действуют консервативные внутренние силы, работа которых . Тело может находиться и в поле внешних консервативных сил, работа которых приведет к изменению потенциальной энергии . На тело может действовать также внешняя сила, которой мы не будем ставить в соответствие изменение потенциальной энергии. Ее работа есть .

Тогда изменение кинетической энергии тел определяется по формуле

.

Аналогично, для второго тела имеем

.

Поскольку

,

,

сложив левые и правые части уравнений и перенеся в левую часть, для изменения полной механической энергий системы, равной

,

получим

.

Согласно 3-му закону Ньютона, сумма работ внутренних сил равна 0, это означает, что

, (4.14)

т.е. изменение механической энергии равно работе внешних сил и сил трения.

Закон сохранения механической энергии

Механическая энергия системы сохраняется, если работа внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равна нулю и отсутствуют силы трения, т.е. нет перехода механической энергии в другие виды энергии, например, в тепло:

.

Отметим, что законы сохранения позволяют по начальному состоянию системы (по начальным скоростям) определить конечное состояние, не выясняя все детали взаимодействия тел и не уточняя величины сил взаимодействия.

На практике часто бывает полезно знать, как быстро может быть совершена та или иная работа. Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью.

Мощность, развиваемая постоянной силой тяги, равна отношению работы этой силы на некотором перемещении к промежутку времени, за которое это перемещение произошло. Мощность определяется по формуле

. (4.15)

Поскольку , то, подставляя это выражение в формулу (4.15), получим

, (4.16)

где - скорость тела, - угол между векторами F и v. Если движение тела равномерное, то под в (4.16) понимается скорость равномерного движения. Если движение не равномерное, но требуется определить среднюю мощность, развиваемую силой тяги на перемещении s, то под в (4.16) понимается средняя скорость перемещения. Если же требуется найти мощность в некоторый заданный момент времени (мгновенную мощность), то, беря малые промежутки времени и переходя к пределу при , получим

(4.17)

т.е. - мгновенная скорость тела. Понятие мощности вводится для оценки работы за единицу времени, которую может совершить какой-то механизм (насос, подъемный кран, мотор машины и т.д.). Поэтому в формулах (4.14)-(4.17) под F всегда понимается только сила тяги.

Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт (Вт)

.

. Динамика материальной точки, движущейся по окружности

Если материальная точка движется по окружности, то ее нормальное ускорение отлично от нуля. Нормальное, или центростремительное, ускорение или характеризует изменение скорости по направлению (см. гл. 1):

. (5.1)

Нормальное ускорение можно представить в виде

,(5.2)

где r - радиус окружности, - угловая скорость, с которой движется материальная точка по окружности, Т - период вращения, п - число оборотов в единицу времени. С точки зрения динамики наличие нормального ускорения означает, что на тело действуют силы, алгебраическая сумма проекций которых на радиус, соединяющий материальную точку с центром окружности, не равна нулю. При рассмотрении такого движения основной закон динамики записывается, как правило, в проекциях на касательную к окружности в данной точке и на две нормали к ней, одна из которых совпадает с нормальным ускорением (рис. 5.1). Таким образом, если на тело действует несколько сил, например, F1, F2 и F3, то 2-й закон Ньютона имеет вид

.

В проекциях на указанные направления имеем:

на касательное ,

на нормальное ,

.

Еще раз подчеркнем, что движение тела по окружность совершается не в результате действия на тело каких-то специальных сил, а в результате реального взаимодействия тела с другими телами (с нитью, с Землей и т.д.). Главное, чтобы их результирующая имела проекцию на радиус, соединяющий тело и центр окружности, отличную от нуля.

Как правило, в задачах достаточно спроектировать силы на радиус, соединяющий материальную точку с центром окружности, по которой она движется, и записать основной закон динамики в проекциях на это направление. Предварительно надо выяснить, по какой траектории будет двигаться материальная точка, и определить центр окружности.

Движение спутников вокруг Земли - типичный пример движения тел по круговой орбите со скоростью, постоянной по величине, т.е. полное ускорение тела равно нормальному ускорению. Спутники движутся под действием одной единственной силы - силы тяготения. Основной закон динамики в этом случае имеет вид

,

или в скалярном виде

, или ,

где r - расстояние спутника от центра Земли, Т - период обращения спутника вокруг Земли. Часто бывает удобно заменить произведение (см. формулу (2.6)).

6. Статика

Статика излучает условия равновесия тела или системы тел. Состояние механической системы называется равновесным, если все точки системы покоятся по отношению к выбранной системе отсчета. Если система покоится относительно инерциальной системы отсчета, то такое равновесие называется абсолютным, если система покоится относительно неинерциальной системы отсчета, то равновесие считается относительным. В дальнейшем мы будем рассматривать только абсолютное равновесие.

Для равновесия материальной точки необходимо и достаточно, чтобы сумма действующих на нее сил равнялась нулю, т. е.

.(6.1)

Для равновесия твердого тела условие (6.1) является необходимым, но недостаточным. Например, пусть на тело действуют две равные, но противоположно направленные силы, приложенные в разных его точках (рис. 6.1). Под действием этих сил тело придет во вращательное движение.

Пусть тело имеет неподвижную ось вращения О (рис. 6.2). Движение, вызванное силой F, зависит не только от величины и направления этой силы, но также и от точки ее приложения.

Момент силы - произведение силы на плечо. Плечо силы - это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (отрезок d на рис. 6.2). Считаем моменты сил, стремящихся вызвать вращение тела по часовой стрелке, положительными, а моменты сил, стремящихся вызвать движение в обратном направлении, отрицательными. Следовательно, для равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, относительно этой оси была равна нулю:

.(6.2)

Если у тела нет закрепленной оси вращения, для равновесия твердого тела необходимо и достаточно выполнение условий (6.1) и (6.2) относительно любой оси. Помимо изучения условий равновесия одним из вопросов статики является определение положения центра тяжести тела или системы тел. Центр тяжести - это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на тело при любом его положении в пространстве. Точка центра тяжести может быть вне самого тела, например, центр тяжести кольца. Сумма моментов всех элементарных сил тяжести относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равна нулю. Из определения центра тяжести следует, что его положение у однородного тела будет находиться на оси симметрии или на пересечении осей симметрии. Так, центр тяжести пластинки в форме прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей. Более общим понятием является центр масс. Центр масс - это точка твердого тела или системы тел, которая движется так же, как и материальная точка, на которую действует та же результирующая сила, что и на тело (систему тел):

,

где - масса всей системы, - скорость ее центра масс, - масса i - материальной точки, - ее скорость. Если линейные размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то центр масс совпадает с центром тяжести. Если известно положение всех материальных точек, составляющих систему, то положение центра масс всей системы или всего тела можно определить по формулам:

,

,(6.3)

,

где , , - координаты материальных точек, составляющих систему. Если ось вращения твердого тела проходит через центр тяжести (центр масс), то тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, если никакие силы, кроме силы тяжести, на тело не действуют. Это означает, что тело будет сохранять равновесие при любом повороте относительно этой оси.

Равновесие бывает безразличное, устойчивое и неустойчивое. Примером состояния безразличного равновесия является тело, лежащее на горизонтальной плоскости. Различают также устойчивое и неустойчивое положения равновесия. Устойчивым положением равновесия тела называется положение, при малом отклонении от которого на тело действуют силы, стремящиеся вернуть его к положению равновесия. Например, в устойчивом равновесии находится шарик на дне сферической чаши (рис. 6.3, а). При устойчивом положении равновесия потенциальная энергия системы минимальна. (Неустойчивое положение равновесия показано на рис. 6.3, б)

. Гидромеханика

В гидромеханике изучаются равновесия и движения так называемой сплошной среды. Хотя любое вещество, тело, среда состоят из молекул, и следовательно, дискретны, а в гидромеханике, рассматриваются объекты таких размеров, при которых этой дискретностью можно пренебречь. До сих пор мы имели дело с сосредоточенными силами, т.е. силами, которые имеют определенную точку приложения. Мы предполагаем, что все силы, действующие на тело, приложены к центру тяжести, хотя, очевидно, что сама сила тяжести является результирующей всех действующих на элементарные массы сил тяжести.

В гидромеханике в основном мы будем иметь дело только с распределенными силами, т.е. силами, которые действуют на каждый элемент площади выделенного объема жидкости и твердого тела (поверхностные силы) или каждую элементарную массу тела (массовые силы).

Заметим, что под жидкостью мы понимаем капельные жидкости, а также газы. Одним из основных понятий гидромеханики является давление. Выделим в жидкости некоторую поверхность (рис. 7.1). - ее площадь, нормаль к которой . В общем случае на нее может действовать сила F, направленная под углом к нормали . Разложим эту силу на две составляющие: и (касательную и нормальную к поверхности).

В случае покоящейся жидкости сколь угодно малая сила вызовет ее движение, т.е. в жидкостях отсутствует сила трения покоя. Поэтому при рассмотрении покоящейся жидкости (гидростатика) или идеальной жидкости (отсутствует трение, вязкость) касательная составляющая равна нулю. Следовательно, в этих случаях сила, действующая на выделенную поверхность, должна быть ей перпендикулярна. Это - сила давления.

Давление определяется отношением силы к площади поверхности , на которую эта сила действует:

.

В СИ единицей давления является паскаль (Па):

.

Через основные единицы СИ килограмм, метр и секунду паскаль выражается в виде

Давление может изменяться при переходе от одной точки жидкости к другой и, следовательно, давление является функцией координат x, y, z - . Для определения давления в заданной точке М берем элемент поверхности ( - его площадь) и находим давление как предел отношения силы F к при стремлении к нулю:

,

причем М принадлежит .

Закон Паскаля: внешнее давление, производимое на жидкость, передается ею по всем направлениям без изменения. Определим давление в точке М. Для этого мысленно выделим в жидкости треугольную призму, внутри которой находится и точка М (рис. 7.2). На боковую грань АВ действует сила давления F1, на АС сила F2 и на ВС - сила F3. Силы, действующие на основания призмы, уравновешены. Условие равновесия призмы есть

.(7.1)

Мы хотим определить давление в данной точке жидкости; призма очень мала, так что силой тяжести можно пренебречь. Сила F1 направлена вдоль х (сила давления по определению перпендикулярна поверхности) и равна

,

сила F2 направлена вдоль у и равна

,

Сила F3 имеет х- и у-составляющие и равна

,

,

.

Уравнение (7.1) в проекциях

на ось х ,

на ось у.

Заметим, что

, .

Отсюда , т.е. давление жидкости в данной точке не зависит от ориентации выбранной площадки, силу давления на которую мы определяем. Так, если в сосуд налита жидкость (рис. 7.3), то давление в точке А определится как сумма атмосферного давления и давления столба жидкости Р над уровнем, которое равно

.(7.2)

Здесь - площадь основания сосуда, - плотность жидкости. Давление называется гидростатическим давлением. Итак,

.

По закону Паскаля давления на стенку сосуда в точках А и В равны, т. е. .

Атмосферное давление - это гидростатическое давление столба воздуха, которое равно давлению столбика ртути высотой мм (рис. 7.4):

Вследствие разности давлений на различных уровнях в жидкости на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила.

Закон Архимеда. На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости.

Погрузим в жидкость цилиндр высотой h и площадью основания S (рис. 7.5), Давление на глубине h1 равно

,

а на глубине h2

.

Силы давления, действующие на основание цилиндра, равны

,

.

Суммарная сила давления на боковую поверхность в силу симметрии равна нулю. Отсюда результирующая сила давления, действующая на цилиндр, есть

(7.3)

и равна весу вытесненной жидкости (- объем вытесненной жидкости). Эта сила называется выталкивающей силой .

Обратим внимание на то, что выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости, а не силе тяжести. Если сосуд с жидкостью будет падать с ускорением свободного падения, то верхние слои жидкости не будут давить на нижние и будет равна нулю. Если же, наоборот, сосуд поднимать вверх с ускорением а, то выталкивающая сила, действующая на рассматриваемый цилиндр, равна

.

Точка приложения выталкивающей силы не обязательно должна совпадать с центром масс тела. Выталкивающая сила приложена к телу в точке, совпадающей с центром масс объема вытесненной жидкости, эту точку называют центром давления. Направления силы тяжести тела и выталкивающей силы, вообще говоря, не совпадают (рис. 7.6). Сумма моментов этих сил относительно любой оси вращения, перпендикулярной плоскости чертежа, не равна нулю. Так как в жидкостях нет силы трения покоя, то под действием этих моментов тело поворачивается в жидкости таким образом, чтобы силы были направлены вдоль одной прямой. Тогда суммарный момент сил станет равным нулю.

Равнодействующая выталкивающей силы и силы тяжести называется подъемной силой. Если плотность тела больше плотности жидкости , то выталкивающая сила меньше силы тяжести .

и тело тонет, но при этом вес тела уменьшается (рис. 7.7):

,

- сила натяжения пружины. Вес тела определяется силой натяжения

.

Если плотность тела равна плотности жидкости, то тело находится в состоянии безразличного равновесия:

.

Если же плотность тела меньше плотности жидкости, то выталкивающая сила больше силы тяжести:

Для того, чтобы тело удержать под водой, должна действовать внешняя сила.

Тело может находиться в равновесии, если оно не полностью погружено в жидкость. Условие равновесия:

, т.е.

,

- объем погруженной в жидкость части тела.

Тело находится в состоянии устойчивого равновесия, если центр тяжести лежит ниже точки приложения выталкивающей силы. На рис. 7.8 видно, что при отклонении тела от положения равновесия момент сил, действующих на тело, стремится вернуть тело к положению равновесия.

Рассмотрим один частный случай движущейся жидкости. Соотношения между скоростью течения и давлением описывается уравнением Бернулли. Сделаем ряд предположений:

1)жидкость идеальная, т. е. отсутствует трение (вязкость);

2)жидкость несжимаемая, т. е. плотность жидкости остается постоянной,

)течение стационарное (скорость и давление в данной точке не зависят от времени);

)при своем движении различные слои жидкости не смешиваются, т.е. считаем, что жидкость состоит из набора несмешивающихся струй. Тогда выделим в жидкости (рис. 7.9) некоторый объем между сечениями 1 и 2, при этом перетекание жидкости через боковую поверхность отсутствует.

За промежуток времени происходит перемещение выделенного объема и он будет находиться между сечениями 1' - 2' (на рис. 7.9 АА' - нулевой уровень отсчета потенциальной энергии). Тогда механическая энергия выделенного объема жидкости увеличится на энергию объема жидкости между сечениями 2 - 2', но уменьшится на энергию объема жидкости между сечениями 1 - 1', энергия же жидкости, заключенной между течениями 1' - 2, останется без изменений. Изменение энергии определяется формулами

,

где

,

,

и - массы жидкости между сечениями 1 - 1' и 2 - 2' соответственно,

,

,

и - скорость жидкости в сечениях 1 и 2, при этом считается, что скорость по сечению практически не изменяется, и - положение центров тяжести жидкостей между сечениями 1 - 1' и 2 - 2', и - площади сечений 1 и 2. Так как жидкость несжимаема, то количества жидкости, перетекающие через сечения 1 и 2 за один и тот же промежуток времени, должны быть равны, т.е.

, или .

Тогда изменение механической энергии запишется в виде

.

Изменение механической энергии равно алгебраической сумме работ сил, действующих на выделенный объем жидкости, в данном случае сил давления. Сила давления совершает положительную работу, равную , сила давления совершает отрицательную работу . Итак,

,

или

.

Окончательно

.

Так как сечения 1 и 2 выбраны произвольно, для любого сечения можно записать

.(7.4)

Это уравнение называется уравнением Бернулли.

Следствия уравнения Бернулли

1.Закон Бернулли: Если жидкость течет по горизонтальному каналу, то, чем больше скорость течения жидкости, тем меньше давление.

2.Формула Торичелли. Если в сосуде есть отверстие, через которое течет жидкость (рис. 7.10), то, записывая уравнение Бернулли для сечений 1 - 1' и 2 - 2', получим

.

Так как , для скорости струи, вытекающей из отверстия, имеем

.

.Пусть имеется трубка переменного сечения (рис. 7.11), в одном из сечений находится поршень, на который давят с силой F. Если площадь сечения 1 - 1' есть , то давление жидкости в этом сечении равно . Тогда уравнение Бернулли запишется в виде

.

Молекулярная физика и термодинамика

. Газовые законы

Все тела состоят из молекул. Молекулярная физика, изучая поведение молекул, объясняет состояние системы и процессы, протекающие в системе. Молекулы находятся в непрерывном движении. Хаотическое движение молекул обычно называется тепловым движением. Интенсивность теплового движения возрастает с увеличением температуры.

Молекулы взаимодействуют друг с другом. Между ними действуют силы притяжения и силы отталкивания, которые быстро убывают при увеличении расстояния между молекулами. Силы отталкивания действуют только на очень малых расстояниях. Практически поведение вещества и его агрегатное состояние определяются тем, что является доминирующим: силы притяжения или хаотическое тепловое движение. В твердых телах, где концентрация молекул ( - число молекул в единице объема) относительно велика, доминируют силы взаимодействия, и твердое тело сохраняет свои размеры и форму. Жидкости, где концентрация меньше, а следовательно, меньше силы взаимодействия, сохраняют свой объем, но принимают форму сосуда, в котором они находятся. В газах, где концентрация молекул еще меньше, силы взаимодействия малы, поэтому газ занимает весь предоставленный ему объем.

На рис. 8.1 приведен график зависимости потенциальной энергии взаимодействия двух молекул от расстояния между ними. Пусть в точке находится молекула, и вторая молекула приближается к ней из бесконечности.

Напомним, что , откуда

При сила притяжения больше, чем сила отталкивания: . При , потенциальная энергия минимальна, суммарная сила, действующая на молекулы, равна нулю. При сила отталкивания становится больше силы притяжения: (). При значениях ~ потенциальная энергия стремится к бесконечности. Это означает, что сила отталкивания также стремится к бесконечности, т. е. две молекулы не могут приблизиться друг к другу на расстояние меньше, чем . Это позволило рассматривать молекулы как два упругих шарика диаметрами , так как - минимальное расстояние между их центрами. Взаимодействие молекул рассматривается по законам абсолютно упругого удара (модель реального взаимодействия).

Силы, действующие между молекулами газа, малы и поэтому часто ими можно пренебречь. Кроме того, можно пренебречь объемом, который занимают молекулы. Газ, для которого это справедливо, называется идеальным газом. Любой газ при давлениях, меньших 10 атм, можно рассматривать как идеальный. Газ характеризуется тремя параметрами: объемом V, давлением Р и температурой Т. Температура может быть измерена по разным температурным шкалам. Абсолютная температура связана с температурой по шкале Цельсия соотношением: , изменение температуры по шкале Кельвина равно изменению температуры по шкале Цельсия: .

Если значения температуры и давления в различных точках объема разные, то температура и давление являются функциями координат, т. е. , . В этом случае газ (система) находится в неравновесном состоянии, и мы не можем назвать значения давления и температуры, определяющие состояние системы. Если систему, находящуюся в неравновесном состоянии, предоставить самой себе, то температура и давление постепенно выравниваются, система приходит в равновесное состояние. Процесс перехода к равновесному состоянию называется релаксацией, а время, необходимое для этого, временем релаксации. Равновесное состояние - это состояние, при котором температура и давление во всех точках объема одинаковы. Состояние газа может быть определено, если он находится в равновесном состоянии.

На графиках зависимости , , мы можем изображать только процессы, при которых каждое промежуточное состояние является равновесным. Такие процессы называются обратимыми. Экспериментально исследовались процессы, при которых один из трех параметров и масса газа оставались неизменными. Эти законы называются газовыми законами, и если газ подчиняется газовым законам, его можно считать идеальным (еще одно определение идеального газа).

1.Закон Бойля - Мариотта. Для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объем остается величиной постоянной:

.(8.1)

Зависимость давления от объема изображена на рис. 8.2.

Процессы, происходящие при постоянной температуре, называются изотермическими, а кривые, изображающие процессы при , называются изотермами. Поскольку (), изотермы являются гиперболами.

2.Закон Гей-Люссака. Для данной массы газа при постоянном давлении объем изменяется при увеличении температуры по линейному закону:

,(8.2)

где . Подставив в (8.2), получим

.

Введем абсолютную температуру , откуда

.

Закон Гей-Люссака можно сформулировать следующим образом: отношение объема к абсолютной температуре для данной массы газа при постоянном давлении остается постоянным. Процессы, происходящие при постоянном давлении, называются изобарными, а кривые, изображающие изобарный процесс, изобарами. На рис. 8.3 показаны две изобары при различных давлениях (очевидно, что при данной температуре, чем больше объем, тем меньше давление). Около точки () зависимости изображены пунктирными линиями. Это понятно, так как при низких температурах газ превращается в жидкость и законы, найденные экспериментально для газа, не работают. Продолжив экспериментальные зависимости до пересечения с осью абсцисс, найдем, что они пересекаются в одной точке .

3.Закон Шарля. Для постоянной массы газа при постоянном объеме отношение давления газа к его температуре остается постоянным:

при ,

Процессы, происходящие при постоянном объеме, называются изохорными, и кривые, их изображающие - изохорами.

На рис. 8.4 изображены изохорные процессы при разных значениях объема. Зависимости вблизи абсолютного нуля изображены так же, как и при изобарных процессах, пунктирными линиями. Указанные три закона устанавливают связь двух из трех параметров газа.

Уравнение, устанавливающее связь всех трех параметров при постоянной массе, называется объединенным газовым законом.

Пусть система, находящаяся в состоянии 1 (рис. 8.5), характеризующемся параметрами , , , перешла и состояние 2, характеризующееся параметрами , , . Переведем систему из состояния 1 в 2 следующим образом: сначала газ изотермически расширяется до объема (кривая ), а затем изохорно нагревается до температуры (отрезок). Итак, промежуточное состояние газа 1' характеризуется параметрами , , .

При изотермическом расширении справедливо выражение

(8.3)

(закон Бойля - Мариотта). При изохорном нагревании

(8.4)

(закон Шарля). Выразив из (8.3) и (8.4) и приравняв выражение для , получим

,

т.е. при

. (8.5)

Уравнение Клапейрона - Менделеева, или уравнение состояния идеального газа, связывает термодинамические параметры и массу газа.

Моль равен количеству вещества, содержащему столько же молекул, сколько их содержит 0,012 кг углерода (). В одном моле любого вещества число молекул равно числу Авогадро

.

Мacca моля М равна произведению массы одной молекулы на число Авогадро

.

Известно, что 1 моль любого газа при нормальных условиях ( и или ) занимает объем л. Для одного моля можно записать уравнение (8.5):

.

Величина называется универсальной (одинаковой для всех газов) газовой постоянной:

.

Итак, , или . Если в объеме содержится молей, то

(8.6)

уравнение Клапейрона - Менделеева. Все выше перечисленные газовые законы являются частным случаем уравнения Клапейрона - Менделеева. Газовая постоянная связана с числом Авогадро и постоянной Больцмана :

,

где . Подставив это выражение в (8.6), получим , где - число молекул газа. Величина называется концентрацией молекул. Таким образом,

. (8.7)

Уравнения (8.6) и (8.7) называются уравнениями состояния идеального газа.

Если в сосуде объемом находится смесь газов, то давление смеси определяется законом Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений: . Парциальное давление - это давление компонентов смеси, если бы она занимала весь объем, т.е.

,

где и - масса и масса моля i-ой компоненты смеси соответственно. Итак, если в сосуде находится смесь газов, состоящая из компонентов, то

.

Так как - плотность i-ой компоненты.

.

Атмосферное давление также определяется суммой парциальных давлений компонентов, из которых состоит воздух: кислорода, углекислого газа, азота, паров воды:

,

где , , , … и , , , … - массы и массы молей кислорода, углекислого газа, азота, паров воды в объеме , - эффективная масса моля воздуха, кг/моль.

. Молекулярно-кинетическая теория газов

Остановимся на общих свойствах молекул газа.

)Молекула - наименьшая частица вещества, состоящая из атомов и обладающая его основными химическими свойствами. Размеры молекул тем больше, чем больше число атомов в них, и лежат в пределах от до см.

)Молекулы газа находятся в непрерывном хаотическом движении. Слово "хаотическое" показывает, что не существует избранного, преимущественного направления движения молекул, все направления равновероятны.

Хаотическое движение молекул подтверждается в частности броуновским движением - движением очень маленьких частиц, находящихся во взвешенном состоянии в жидкости или газе, под действием ударов молекул, и диффузией - проникновением молекул одного вещества в другое. (Например, диффузией обусловлено распространение запахов.)

3)Скорости молекул различны по величине. Одним из опытов, подтверждающих это, является опыт Штерна, в котором использовались два коаксиальных цилиндра радиусами и , причем внутренний цилиндр имел узкую щель (рис. 9.1). На оси симметрии помещалась посеребренная платиновая проволока. При пропускании тока через проволоку она нагревалась и происходило испарение атомов серебра с поверхности проволоки. На внутренней поверхности внешнего цилиндра появлялся слой серебра в виде тонкой полоски. При вращении цилиндров эта полоска должна была смещаться. Если бы скорости атомов были одинаковы и равны , то время, за которое атомы проходили бы расстояние , равнялось бы времени поворота цилиндра на угол , т.е.

,(9.1)

причем слой должен смещаться на . Из (9.1) следует, что

. (9.1а)

Таким образом можно определить скорость атомов. Однако след оказался размытым, это означает, что атомы имеют разные скорости.

Одной из основных задач молекулярной физики является установление связи микропараметров газа (скорости молекул, их массы, концентрации) с макропараметрами (давлением, температурой). Объясним, что такое давление газа, как оно возникает с точки зрения молекулярной физики. Молекулы ударяются о стенки сосуда и взаимодействуют с ними по закону абсолютно упругого удара.

В результате удара молекула массой , летевшая к стенке со скоростью отскакивает от стенки со скоростью , причем, поскольку удар абсолютно упругий, (рис. 9.2). Изменение импульса молекулы

.

Импульс молекулы изменился, это означает, что на молекулу со стороны стенки подействовал импульс силы, по 2-му закону Ньютона равный

,

где - время взаимодействия молекулы со стенкой, мало.

По 3-му закону Ньютона на стенку со стороны молекулы подействовал импульс, равный по величине и противоположный по направлению:

.

Следовательно, давление возникает в результате толчков, которые испытывает стенка со стороны молекул. Сила давления перпендикулярна стенке сосуда. Если молекула летит под углом к стенке, то, как следует из рис. 9.3, изменение проекции импульса на ось х есть , изменение проекции импульса на ось у есть . Следовательно,

, ,

т.е. в результате удара независимо от того, как летит молекула, на стенку действует сила, направленная перпендикулярно стенке.

Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Сделаем ряд вспомогательных предположений:

1)Газ идеальный (определение идеального газа см. в гл. 8),

2)Молекулы можно разделить на группы. Пусть молекул имеют скорость ,

- скорость ,…, - скорость . Концентрация молекул первой группы , второй - , , где V - объем сосуда. Очевидно

,

где N - общее число молекул,

,

где п - концентрация молекул в сосуде. Это предположение, строго говоря, неверно, так кик в силу непрерывного хаотического движения число молекул, имеющих данную скорость, может непрерывно изменяться. Можно указать число молекул, скорости которых изменяются в некотором интервале скоростей, например, молекул, скорости которых изменяются от до , молекул, скорости которых изменяются в пределах от до и т. д. Однако при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории некорректность этого предположения не играет существенной роли.

)Направления движения молекул равновероятны. Пусть молекулы движутся по трем взаимно-перпендикулярным направлениям. В среднем в каждом направлении движется частиц.

Рассмотрим молекулы i-й группы, движущиеся вдоль оси х. В результате удара о стенку одной молекулы этой группы на стенку действует импульс силы:

.

За некоторый промежуток времени о стенку площадью S ударится не одна молекула, a молекул:

,

т.е. все молекулы, движущиеся по направлению к стенке (т. е. 1/6) и находятся в объеме (рис. 9.4).

Итак, средний импульс силы, подействовавший на стенку в результате удара об нее молекул i-й группы, за время равен:

.

Давление равно , отсюда давление на стенку, оказываемое молекулами i-й группы, есть

.

На стенку налетают молекулы всех групп, следовательно, суммарное давление равно

.

Введем понятие средне-квадратичной скорости:

.

Разделим числитель и знаменатель на объем сосуда:

,

откуда

.(9.2)

Средняя кинетическая энергия молекулы равна

,(9.3)

таким образом,

(9.4)

есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Давление газа пропорционально концентрации молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекулы.

Из уравнения Клапейрона - Менделеева следует:

.(9.5)

Приравняем выражения (9.4) и (9.5) и получим для :

.(9.6)

Абсолютная температура - мера кинетической энергии поступательного движения молекул. Если , то . Абсолютный нуль температуры - это температура, при которой прекращается поступательное движение молекул. Для одноатомного газа формула (9.6) определяет полную механическую энергию молекулы.

Выразим средне-квадратичную скорость через Т:

.

Если бы все молекулы газа двигались со средне-квадратичной скоростью, то давление и температура такого газа были бы такими же, как у реального газа. Средне-квадратичная скорость определяет термодинамические параметры - давление и температуру.

10. Первое начало термодинамики

Первое начало термодинамики - одна из частных формулировок закона сохранения энергии для систем, в которых существенную роль играют тепловые процессы.

1.Внутренняя энергия системы складывается из кинетической энергии хаотического теплового движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Каждая система обладает внутренней энергией.

Внутреннюю энергию идеального газа составляет только кинетическая энергия теплового движения молекул. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекулы одноатомного газа (энергия поступательного движения)

.

(см, гл. 9). Внутренняя энергия газа равна

,

где - число молекул газа:

,

откуда

(10.1)

( - универсальная газовая постоянная). Внутренняя энергия газа является функцией его абсолютной температуры Т. Изменение внутренней энергии зависит от начального и конечного состояний системы и не зависит от процесса, с помощью которого система переходит из первого во второе состояние. Если газ состоит из сложных молекул (двух-, трех- и многоатомных), то внутренняя энергия также прямо пропорциональна Т, но коэффициент пропорциональности будет другим. Сложные молекулы одновременно участвуют в поступательном и во вращательном движениях, поэтому их средняя кинетическая энергия будет больше.

.Количество теплоты - это количество энергии, получаемой или отдаваемой системой при теплообмене. Если привести в контакт два тела с разными температурами, то от более нагретого тела менее нагретому будет передано количество теплоты , т.е. более нагретое тело отдает часть своей энергии.

Для изменения температуры различных тел одинаковой массы на одну и ту же величину требуется разное количество теплоты

,

где с - удельная теплоемкость.

Удельная теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить 1 кг вещества для изменения его температуры на 1 К.

.

Единица измерения в системе СИ

Теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить веществу для изменения его температуры на 1 К.

,

Единица измерения в системе СИ

Молярная теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить 1 моль вещества для изменения его температуры на 1 К.

.

Единица измерения в системе СИ

Связь теплоемкостей определяется формулами

, .

Количество теплоты, необходимое для изменения температуры термодинамической системы, зависит от процесса, поэтому и теплоемкость одного и того же вещества различна при разных процессах.

.Работа газа. Если газ находится под поршнем массой и площадью сечения S, то давление газа определяется атмосферным давлением и давлением поршня:

.

Давление остается постоянными при нагревании или охлаждении газа, изменятся объем (рис. 10.1).

Если газ расширяется и поршень поднимается на , то работа силы давления положительна и равна

,

Так как

,

это произведение равно изменению объема газа, и работа газа равна

.(10.2)

В случае расширения работа газа положительна, в случае сжатия - отрицательна. (Когда мы говорим о работе газа, мы имеем в виду, что работу совершает сила давления газа.)

Если газ совершает положительную работу, то работа внешней силы отрицательна, так как условие равновесия поршня

.

Работа силы давления при расширении газа

,

работа внешней силы

.

На рис. 10.2 изображена зависимость P(V) при . Из рис. 10.2, а, и из формулы (10.2) следует, что работа газа численно равна площади прямоугольника. Если давление изменяется по более сложному закону (рис. 10.2, б), то, разделяя изменение объема на малые интервалы , в пределах каждого из которых давление остается примерно постоянным, и суммируя площади прямоугольников, получим, что работа газа численно равна площади криволинейной трапеции

.

Из сказанного следует, что работа всегда зависит от характера процесса.

Первое начало термодинамики формулируется следующим образом:

Изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме количества теплоты, сообщенного системе, и работы внешних сил, совершаемой над системой, т. е.

.

Работа внешних сил равна работе системы с обратным знаком:

,

откуда

.(10.3)

Первое начало термодинамики можно также сформулировать следующим образом: количество теплоты, сообщаемое системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой механической работы.

Рассмотрим известные процессы в газах в рамках первого закона термодинамики.

1.Изотермический процесс (). Так как температура остается постоянной, то не изменяется внутренняя энергия газа:

,

т.е. все количество теплоты, сообщаемое системе, идет на совершение механической работы.

Если газ отдает тепло (), газ сжимается, работа внешних сил при этом . Удельная теплоемкость при изотермическом процессе

.

( Изотермически газ нагреть нельзя.)

.Изобарный процесс (). В этом случае, если , то газ и нагревается и совершает механическую работу:

, .

Согласно уравнению Клапейрона - Менделеева

(работа при изобарном процессе). Для одноатомного газа имеем

,

следовательно,

,

откуда теплоемкость газа при постоянном давлении (для одноатомного газа) равна

.

.Изохорный процесс (). При изохорном процессе механическая работа газом не совершается. Следовательно,

,

т.е. все количество теплоты идет на изменение внутренней энергии. Удельная теплоемкость при для одноатомного газа равна

.

Следовательно, , или

. (10.4)

Отсюда очевиден физический смысл R. Универсальная газовая постоянная численно равна работе, которую совершает 1 моль идеального газа при изобарическом нагревании на 1 К.

4.Адиабатический процесс - процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой:

,

следовательно, . Если газ расширяется адиабатически, , , то происходит охлаждение газа; если газ адиабатически сжимается, , , то газ нагревается. Теплоемкость при адиабатическом процессе равна

.

Очевидно, что адиабатический процесс на опыте при отсутствии идеальной теплоизоляции должен быть осуществлен достаточно быстро, чтобы за это время не успел произойти теплообмен с окружающей средой.

При адиабатном расширении газа уменьшение давления происходит быстрее, чем при изотермическом процессе:

.

При изотермическом расширении уменьшение давления происходит только за счет уменьшения концентрации (), при адиабатическом уменьшается концентрация и понижается температура.

С точки зрения первого начала термодинамики возможны все процессы, при которых сохраняется энергия. Например, не запрещается переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому, только при этом необходимо, чтобы количество теплоты, отданное одним телом, было передано полностью другому телу. На самом деле это невозможно. Все процессы имеют направленность, второе начало термодинамики определяет условия, при которых возможны превращения энергии из одних видов в другие, т. е. указывает направленность процесса. Одна из формулировок второго начала термодинамики: невозможен самопроизвольный переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

Второе начало термодинамики формулируется также следующим образом: невозможно создание вечного двигателя второго рода, т. е. периодически действующего устройства, которое позволяло бы полностью превращать количество теплоты, сообщенное системе, в механическую работу, часть теплоты должна быть передана холодильнику.

Тепловыми называют такие машины, в которых происходит превращение теплоты в механическую работу. Вещество, производящее работу в тепловых машинах, называют рабочим телом или рабочим веществом. Тепловые машины могут быть устроены различным способом. Однако все они обладают общим свойством - периодичностью действия, или цикличностью, в результате чего рабочее тело периодически возвращается в исходное состояние.

Принципиальная схема тепловой машины изображена на рис. 10.3. Тепловая машина (двигатель) состоит из нагревателя, рабочего тела и холодильника. Коэффициент полезного действия тепловой машины

, (10.5)

где - количество теплоты, передаваемое нагревателем рабочему телу, количество теплоты, передаваемое рабочим телом холодильнику.

Опишем работу тепловой машины. Если рабочее тело (например, сосуд с поршнем) получает тепло, то газ начинает расширяться - газ совершает и положительную механическую работу. Например, при изотермическом процессе (рис. 10.4) работа равна площади заштрихованной фигуры . Тепловая машина работает циклически. Цикл - это последовательность процессов, в результате которой система возвращается в исходное состояние. Если система возвращается в исходное состояние по кривой , то суммарная работа газа за цикл будет равна нулю. Следовательно, возвращение в исходное состояние должно осуществляться по кривой, проходящей ниже , чтобы работа цикла была больше нуля. Коэффициенты полезного действия первых тепловых машин были очень малы.

Французский инженер Сади Карно показал, что самым выгодным был бы тепловой двигатель, работающий по циклу, состоящему из двух изотерм и двух адиабат (рис. 10.5), причем, все процессы обратимы. Кривая - изотермический процесс, при котором , все тепло, сообщенное рабочему телу переходит в механическую работу. Кривая - изотермическое сжатие газа, при котором , , - адиабаты, при этих процессах теплообмена не происходит, Цикл Карно обратим, т. е. его можно провести как в прямом, так и в обратном направлении через одни и те же промежуточные состояния и при этом не происходит изменений в окружающих телах. Процесс , например, является обратимым, так как при расширении система получает количество теплоты , при изотермическом сжатии по кривой она отдает количество теплоты, также равное .

Обратимых процессов в природе не существует. Работа "идеальной" тепловой машины Карно на самом деле реализована быть не может. Коэффициент полезного действия "идеального" теплового двигателя (машины) равен

(10.6)

Коэффициент полезного действия любого теплового двигателя, работающего в том же диапазоне температур, всегда меньше, т. е.

.

Перепишем (10.6) в виде

,

откуда ясно, что кпд можно повысить при уменьшении температуры холодильника или увеличении температуры нагревателя. В качестве холодильника обычно используется окружающий воздух, поэтому как правило идут по пути увеличения температуры нагревателя, работая с перегретым паром. Например, для паровой турбины с , имеем . У реальных турбин кпд порядка 40%. Заметим, что кпд идеальной тепловой машины не зависит от рабочего вещества (газ, пар), а зависит только от температур нагревателя и холодильника, что позволило ввести абсолютную температурную шкалу, называемую шкалой Кельвина. Введение любой эмпирической шкалы связано с рабочим телом (ртутные, спиртовые термометры и т. д.).

. Реальный газ. Влажность

При давлениях, больших 10-15 атм, концентрация молекул возрастает, среднее расстояние между молекулами уменьшается и силы взаимодействия - силы притяжения - начинают влиять на поведение газа. Возрастание концентрации приводит также к тому, что объем свободного пространства, в котором движутся молекулы, оказывается меньше объема сосуда на величину, равную собственному объему молекул. Поэтому уравнения, полученные для идеального газа, несправедливы. Рассмотрим сильно разреженный газ и начнем при постоянной температуре постепенно уменьшать объем (рис. 11.1). Зависимость давления от объема на участке кривой сходна с изотермой идеального газа.

Однако начиная с состояния 2 при дальнейшем уменьшении объема давление будет оставаться постоянным и равным давлению насыщенного пара . При уменьшении объема на участке происходит превращение пара в жидкость. Состояние 3 соответствует жидкости, так как весь пар перейдет в жидкость. Дальнейшее уменьшение объема вызовет резкое увеличение давления, так как жидкость слабосжимаема. Итак, на участке система находится в однофазном состоянии - пар (или газ, газ - это ненасыщенный пар некоторой жидкости), участок соответствует двухфазному состоянию пар и жидкость и участок - однофазному состоянию - жидкость. На рис. 11.2 изображены изотермы реального газа при разных температурах

.

Точка К - точка перегиба на кривой, соответствующей температуре (). Точка К соответствует критическому состоянию вещества, при котором исчезает граница между жидкостью и паром. В критической температуре плотность жидкости равна плотности пара. Каждому веществу соответствует своя критическая температура ( гелия равно 4 К, воды - 373 К.) Очевидно, что сжижение газов может осуществляться только при температуре ниже критической. Из рис. 11.2 следует, что заштрихованная область соответствует двухфазной области насыщенный пар - жидкость. Штриховая линия отделяет эту область от однофазных областей: пар и жидкость. Из рис. 11.2 видно, что давление насыщенного пара не зависит от объема, а зависит только от температуры. При повышении температуры давление насыщенного пара увеличивается. Если сосуд с жидкостью изолировать от внешней среды (рис. 11.3), то постепенно пар над жидкостью становится насыщенным: количество молекул, переходящих из жидкости в пар, равно количеству молекул, переходящих из пара в жидкость. Насыщенный пар находится в динамическом равновесии с жидкостью. Равновесие может быть нарушено, если жидкость нагреть (или охладить) или изменить давление пара над жидкостью. Насыщенный пар не подчиняется газовым законам: при постоянном объеме концентрация зависит от температуры и поэтому нет линейной зависимости между Р и Т, однако уравнение справедливо, т. е., зная давление, можно определить плотность пара.

В воздухе содержится водяной пар. Давление воздуха складывается из парциальных давлений сухого воздуха . и паров воды , т. е. атмосферное давление равно

Обычно при комнатных температурах , поэтому часто считается . Количество пара в воздухе описывается абсолютной и относительной влажностью. Абсолютная влажность определяется количеством паров воды в воздухе, т. е. плотностью . Относительная влажность определяется отношением плотности пара к плотности насыщенного пара . при той же температуре, или отношением парциального давления пара к давлению насыщенного пара при той же температуре:

. (11.1)

Относительная влажность обычно измеряется в процентах. Охлаждение ненасыщенного пара при постоянном давлении приводит к тому, что пар становится насыщенным. Температура, при которой ненасыщенный пар при данной абсолютной влажности становится насыщенным, называется точкой росы.

Уравнение Ван-дер-Ваальса.

Голландский физик И. Ван-дер-Ваальс показал, что согласие результатов теории и эксперимента в области высоких давлений и низких температур оказывается значительно лучшим, если учесть, что молекулы не только отталкиваются при соударениях, но еще и притягиваются друг к другу сравнительно слабыми силами на расстояниях, сравнимых с размерами молекул.

При движении молекулы вдали от стенок сосуда, в котором заключен газ, на нее действуют силы притяжения соседних с ней молекул, но равнодействующая всех этих сил в среднем равна нулю, так как молекулу со всех сторон окружает в среднем одинаковое число соседей. При приближении некоторой молекулы к стенке сосуда все остальные молекулы газа оказываются по одну сторону от нее и равнодействующая всех сил притяжения оказывается направленной от стенки сосуда внутрь газа. Это приводит к тому, что уменьшается импульс, передаваемый молекулой стенке сосуда. В результате давление газа на стенки сосуда уменьшается по сравнению с тем, каким оно было бы в отсутствие сил притяжении. Между молекулами:

или .

Уменьшение импульса, переданного молекулой при ударе о стенку, пропорционально силе притяжения, действующей на нее со стороны ее ближайших соседей, т.е. пропорционально концентрации молекул. Полный же импульс, передаваемый всеми молекулами газа стенками сосуда, в свою очередь пропорционален их концентрации. Поэтому вместо уравнения для идеального газа для реального газа получим:

.(11.2)

Поскольку сила, действующая на одну молекулу, пропорционально концентрации окружающих ее молекул, а суммарное давление также пропорционально концентрации, то дополнительное давление пропорционально квадрату концентрации, или, что то же самое, обратно пропорционально квадрату объема газа:

,(11.3)

где а - постоянная, зависящая от вида газа.

С учетом (11.3) для одного моль газа получим:

.(11.4)

Это первая поправка, вводимая в уравнение Ван-дер-Ваальса.

Вторая поправка должна учесть тот факт, что при любых, даже сколь угодно больших давлениях объем газа не может стать равным нулю. В модели Ван-дер-Ваальса молекулы принимают за твердые шарики диаметром . В этом случае оказывается, что молекулы реального газа свободно перемещаются не в объеме сосуда , а в уменьшенном объеме

.(11.5)

Здесь - так называемый "запрещенный объем"; он равен

,(11.6)

где - общее число молекул газа.

Подставляя (11.5) в (11.4), получаем:

или, иначе:

.(11.7)

Уравнение (11.7) - уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моль реального газа.

12. Свойства жидкости

Силы взаимодействия между молекулами жидкости больше, чем силы взаимодействия между молекулами газа. Рассмотрим молекулу 1 (рис. 12.1), находящуюся на поверхности жидкости, и молекулу 2, находящуюся внутри жидкости. Молекула 2 со всех сторон равномерно окружена молекулами и результирующая сила, действующая на нее со стороны окружающих ее молекул, отлична от нуля и направлена внутрь жидкости. Следовательно, переход молекулы из толщи жидкости в поверхностный слой сопровождается совершением работы против указанной силы, т.е. молекулы на поверхности обладают большей потенциальной энергией. Всякая система стремится прийти в состояние с минимальной потенциальной энергией, поэтому поверхность жидкости стремится сжаться, на поверхности жидкости должно оставаться как можно меньше молекул. Поэтому свободно летящая капля жидкости имеет сферическую форму, так как при данном объеме площадь поверхности сферы минимальна. Пусть пленка жидкости натянута на рамку, одна сторона которой подвижна (рис. 12.2). Для удержания в покое подвижной стороны рамки должна действовать сила F, направленная в сторону, противоположную силе поверхностного натяжения Fп, стремящейся уменьшить площадь поверхности пленки. Сила поверхностного натяжения направлена по касательной к поверхности жидкости и прямо пропорциональна длине стороны рамки :

,

где - коэффициент натяжения, который равен силе поверхностного натяжения, действующий на единицу длины контура, ограничивающего поверхность жидкости, коэффициент 2 появляется потому, что у пленки 2 поверхности:

. (12.1)

При увеличении площади поверхности жидкости внешними силами должна быть совершена работа

,

где - изменение площади поверхности. Отсюда

, (12.2)

т.е. коэффициент поверхностного натяжения численно равен работе, которую надо совершить, чтобы увеличить площадь поверхности жидкости на единицу.

На поверхности твердого тела форма капли может быть разной. Капля может растекаться по поверхности твердого тела (рис. 12.3), это означает, что сила взаимодействия между молекулами жидкости меньше, чем между молекулами жидкости и твердого тела, в этом случае жидкость смачивает поверхность твердого тела. Угол (краевой угол) между плоскостью, касательной к поверхности жидкости в точке А, и поверхностью твердого тела меньше . Капля может собираться на поверхности твердого тела (рис. 12.4). В этом случае силы взаимодействия между молекулами жидкости больше, чем между молекулами жидкости и твердого тела (), т. е. жидкость не смачивает поверхность твердого тела. Если , то наблюдается полное (идеальное) смачивание. Наличие поверхностного натяжения объясняет форму поверхности в тонких трубках - капиллярах. Если капилляр радиуса опустить в жидкость, смачивающую поверхность капиллярной трубки, то жидкость стремится растечься по поверхности и поднимается. Высоту подъема жидкости можно оценить из условия равновесия столбика жидкости (рис. 12.5). На столбик жидкости действует сила тяжести и сила поверхностного натяжения, направленная по касательной к поверхности к каждому элементу контура. В силу симметрии сила поверхностного натяжения равна

и направлена вверх. Сила тяжести равна

.

Из условия равновесия имеем

,

отсюда

. (12.3)

Если капилляр опустить в жидкость, не смачивающую поверхность капилляра, то жидкость опускается в капилляре, поскольку сила поверхностного натяжения будет направлена вниз (рис. 12.6). Высота, на которую опустится жидкость в капилляре, также может быть рассчитана по формуле (12.3). Давление жидкости под искривленной поверхностью отличается от давления под горизонтальной поверхностью жидкости. Выделим на искривленной поверхности правильную фигуру ABCD (рис. 12.7). Поверхность имеет два радиуса кривизны и - радиусы кривизны поверхности жидкости в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. На выделенную часть поверхности действуют силы F1, F2, F3, F4. Вследствие симметрии , следовательно, сумма проекций сил на ось х равна нулю. Сумма проекций на ось у равна

,

в силу симметрии , следовательно . Из подобия треугольников и МОО1 следует

, .

Сила определяется силой поверхностного натяжения, действующей на сторону АВ:

,

откуда

.

Добавочное давление в жидкости, обусловленное кривизной поверхности радиуса , равно

.

Добавочное давление, обусловленное кривизной поверхности радиуса , есть

Суммарное добавочное давление равно

(12.4)

(формула Лапласа), Радиус кривизны считается положительным, если центр кривизны находится в жидкости. На рис. 12.7. и > 0. Радиус кривизны считается отрицательным, если центр кривизны находится вне жидкости, рис. 12.8. и .

Можно рассчитать высоту подъема жидкости в капилляре по формуле (12.4). Если капилляр смачивается жидкостью (рис. 12.9), то поверхность жидкости в капилляре имеет отрицательные радиусы кривизны

,

Тогда

Следовательно, давление в точке А меньше, чем в точке В. Так как давление в капилляре должно быть равно давлению на том же уровне в сосуде (закон сообщающихся сосудов), то жидкость поднимается в капилляре для компенсации уменьшения давления на высоту h:.

, (12.5)

где R - радиус кривизны поверхности жидкости в капилляре:

,

где - радиус капилляра, - краевой угол. Тогда уравнение (12.5) преобразуется к виду

,

откуда

,

совпадает с (12.3).

Если жидкость не смачивает поверхность капилляра, то поверхность жидкости в капилляре будет выпуклой и . По закону сообщающихся сосудов жидкость в капилляре опускается.

. Тепловое расширение твердых тел и жидких тел

С ростом температуры возрастает кинетическая энергия теплового движения молекул и вследствие этого возрастает среднее расстояние между ними. С термодинамической точки зрения это означает, что увеличивается потенциальная энергия взаимодействия молекул. При этом происходит расширение как твердых, так и жидких тел. При нагревании

, (13.1)

где - линейный размер при температуре , - размер при , - коэффициент линейного расширения. Обычно длину при нагревании на определяют по формуле

,

где и - линейные размеры при температурах и .

Оценим ошибку при расчете по формуле (13.2). Если известен размер тела при при температуре , то из (13.1) можно определить длину при :

.

Тогда

.

Можно считать, что

с точностью до членов порядка . Отсюда

.

Таким образом, формулой (13.2) можно пользоваться, если членами порядка можно пренебречь.

Объем тела изменяется по закону

, (13.3)

где - объем тела при , - коэффициент объемного расширения. Найдем связь между коэффициентами объемного и линейного расширения и . При нагревании кубика длина стороны изменяется по закону (13.1), а объем кубика

.

В то же время, согласно (13.3),

.

Приравнивая эти два выражения, получим

,

откуда , если пренебречь членами порядка . Это соотношение справедливо для небольших значений температуры, пока произведение действительно мало. Заметим, что - величины порядка - . При нагревании изменяется плотность веществ, масса остается постоянной, а объем увеличивается:

.

Подставив в эту формулу (13.3), получим

,

где - плотность при

14. Закон сохранения энергии в термодинамике. Уравнение теплового баланса

Система, предоставленная самой себе, стремиться к равновесному состоянию. Равновесное состояние в термодинамике означает, что температура и давление во всех точках будут одинаковы. В равновесном состоянии прекращается процесс теплопередачи.

Если система изолирована, то, очевидно, что при переходе в равновесное состояние какие-то части системы отдают тепло (), какие-то получают (). При этом, поскольку (система изолирована), то . Это выражение можно переписать в виде

,

где , . В ряде процессов тепло может поглощаться или выделяться телом, и эти процессы не приводят к изменению температуры тела, как это наблюдается почти при всех фазовых превращениях.

Плавление - процесс превращения кристаллического твердого тела в жидкость. Процесс плавления происходит при постоянной температуре, при этом тепло поглощается.

Удельная теплота плавления равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы расплавить 1 кг кристаллического вещества, взятого при температуре плавления

. (14.1)

Отсюда следует, что, зная , можно определить , которое потребуется для того, чтобы перевести в жидкое состояние твердое тело массой :

. (14.2)

Поскольку температура плавления остается постоянной, то все количество теплоты, сообщаемое системе, идет на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул, при этом происходит разрушение кристаллической решетки, т.е. .

Процесс кристаллизации - это процесс, обратный процессу плавления. При кристаллизации жидкость превращается в твердое тело и выделяется количество теплоты, также определяемое по формуле (14.2).

Испарение - это процесс превращения жидкости в пар. Испарение происходит с поверхности жидкости. В процессе испарения жидкость покидают самые быстрые молекулы, т.е. молекулы, способные преодолеть силы притяжения со стороны молекул жидкости. Вследствие этого, если жидкость теплоизолирована, то в процессе испарения она охлаждается.

Удельная теплота испарения равна количеству теплоты, необходимому для того, чтобы превратить в пар 1 кг жидкости:

,(14.3)

зависит от температуры жидкости. В таблицах приводится при температуре кипения, откуда

. (14.4)

Удельная теплота испарения уменьшается с ростом температуры. При испарении происходит увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул испарившейся части жидкости, т.е.

.

Конденсация - процесс, обратный процессу испарения. При конденсации пар переходит в жидкость. При этом выделяется тепло. Количество теплоты, выделяющейся при конденсации пара, определяется по формуле (14.4).

Кипение - процесс, при котором давление насыщенных паров жидкости равно атмосферному, поэтому испарение происходит не только с поверхности, но и по всему объему (в жидкости всегда имеются пузырьки воздуха, при кипении давление паров в них достигает атмосферного и пузырьки поднимаются вверх). Очевидно, что с увеличением внешнего давления повышается температура кипения (и наоборот), т.е.

.

Теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение внутренней энергии, если механическая работа равна нулю, т.е.

,

где - удельная теплота парообразования при температуре кипения жидкости.

Процессы нагревания (1 - 2), плавления (2 - 3), нагревания жидкости (3 - 4), испарения (4 - 5), перегрева пара (5 - 6) идут с подводом тепла (рис. 14.1 а). Процессы охлаждение пара ( - ), конденсации ( - ), охлаждения жидкости ( - ), кристаллизации ( - ), охлаждения ( - ) идут с отводом тепла (рис.14.1 б).

15. Электростатика

При определенных условиях тела электризуются, т.е. приобретают некоторый заряд. (Вся совокупность электрических и магнитных явлений есть проявление существования, движения и взаимодействия электрических зарядов). Существуют заряды только двух видов: отрицательные и положительные, причем это деление чисто условное. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются (рис. 15.1). Если заряженное тело А притягивается к заряженному телу В, а тело В в свою очередь отталкивается от тела С, то последнее будет притягиваться к телу А. Никаких других зарядов, которые могли бы вызвать иное взаимодействие тел, в природе не существует. Единица заряда в СИ - кулон (Кл). По определению, 1 кулон равен заряду, протекающему через поперечное сечение проводника за 1 с при силе тока 1 А.

Наиболее распространенным способом электризации тел является электризация при соприкосновении (путем трения). Известно, что если шелком потереть стеклянную палочку или шерстью - эбонитовую, то по определению первая приобретает положительный заряд, а вторая - отрицательный. Этот способ электризации обусловлен тем, что при трении увеличивается площадь соприкосновения тел и улучшается контакт между их поверхностями. Для такого способа электризации необходимо, чтобы тела, приводящиеся в соприкосновение, обладали различными электрическими свойствами, например, разной концентрацией свободных электронов. Обычно тела электронейтральны, т.е. суммарный положительный заряд замкнутой физической системы равен суммарному отрицательному заряду. Частичный переход электронов от тела с наибольшей их концентрацией к телу с меньшей концентрацией приводит к тому, что оба тела приобретают заряд. Другим способом электризации тел является электризация через влияние, или метод электростатической индукции. В проводниках имеются свободные заряды, в частности, в металлах есть свободные электроны. Если состоящих из двух частей проводник поднести к заряженному телу, то вследствие отталкивания одноименных зарядов и притяжения разноименных на одной части проводника сосредоточатся заряды одного знака, а на другой - другого (рис. 15.2а). Разъединив эти две части тела, получим два заряженных тела (рис. 15.2б).

Перечислим свойства зарядов.

1.Существуют заряды двух видов: отрицательные и положительные. Разноименные заряды притягиваются, одноименные отталкиваются. Носителем элементарного, т.е. наименьшего, отрицательного заряда является электрон, заряд которого , а масса . Носителем элементарного положительного заряда является протон , масса .

.Электрический заряд имеет дискретную природу. Это означает, что заряд любого тела кратен заряду электрона , где - целое число. Однако мы, как правило, не замечаем дискретности заряда, так как элементарный заряд очень мал.

.В изолированной системе, т.е. в системе, тела которой не обмениваются зарядами с внешними по отношению к ней телами, алгебраическая сумма зарядов сохраняется (закон сохранения заряда). Например, если система состоит из двух одинаковых, но разноименно заряженных тел (), то после соприкосновения тела будут электронейтральны, однако алгебраическая сумма зарядов сохранится, так как она и до соприкосновения была равна нулю.

Закон Кулона

Ш. Кулон на основании опытов с крутильными весами установил, что сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль примой, соединяющей заряды.

Заряженное тело, размером и формой которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, называется точечным зарядом. Подчеркнем, что закон Кулона справедлив только для точечных зарядов и выражается следующей формулой:

,(15.1)

где и - величины взаимодействующих зарядов, - расстояние между ними (рис. 15.3), - коэффициент, зависящий от выбора системы единиц. Направление сил, действующих на заряды при взаимодействии одноименных зарядов, показано на рис. 15.3а, разноименных - на рис. 15.3б. Очевидно, что силы и , действующие на заряды и , равны по величине и определяются по формуле (15.1). В СИ имеем , где - электрическая постоянная, равная , . Если заряды находятся в идеально однородной среде, то сила взаимодействия между ними уменьшается в раз, - относительная диэлектрическая проницаемость среды. Тогда закон Кулона в СИ имеет вид

(15.2)

Если имеется система точечных зарядов, то сила, действующая на каждый из них, определяется как векторная сумма сил, действующих на данный заряд со стороны всех других зарядов системы. При этом сила взаимодействия данного заряда с каким-то конкретным зарядом рассчитывается так, как будто других зарядов нет (принцип суперпозиции).

Напряженность электрического поля

Заряды, находясь на некотором расстоянии один от другого, взаимодействуют. Это взаимодействие осуществляется посредством электрического поля (аналогично на тело массой действует сила, если оно находится в поле тяготения другого тела, например, Земли). Наличие электрического поля можно обнаружить, помещая в различные точки пространства электрические заряды. Если на заряд, находящийся в данной точке, действует электрическая сила, то это означает, что в данной точке пространства существует электрическое поле. Силовой характеристикой электрического поля служит напряженность .

Если на находящийся в некоторой точке заряд действует сила , то напряженность электрического поля равна:

,(15.3)

т.е. напряженность электрического поля - это величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля (в СИ - на заряд 1 Кл), откуда наименование . Отметим, что поля на самом деле исследуются с помощью пробных зарядов, которые должны быть настолько малы, чтобы внесение пробного заряда в исследуемое поле, создаваемое заряженным телом, не вызывало в нем перераспределение заряда.

Если известна напряженность как функция координат, , то, согласно (15.3), можно определить силу, действующую на точечный заряд , помещенный в некоторую точку поля , по формуле

. (15.4а)

Если зависит от координат, то поле называется неоднородным. Если вектор одинаков и по модулю, и по направлению во всех точках поля, то такое поле называется однородным. Очевидно, что в однородном электрическом поле сила, действующая на заряженное тело в любой точке, постоянна и равна

. (15.4б)

Графически электрические поля изображаются силовыми линиями. Силовая линия - это линия, касательная в каждой точке которой совпадает с вектором напряженности электрического поля в этой точке.

Электрическое поле точечного заряда

Пусть в точке О находится точечный заряд (рис. 15.4). Вокруг него существует электрическое поле. Для исследования этого поля поместим пробный заряд на расстоянии от него.

Сила Кулона, действующая на заряд , равна

.

Из определения (15.3) следует

,(15.5)

откуда

.(15.6)

Напряженность поля точечного заряда прямо пропорциональна величине заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного заряда до исследуемой точки.

Если поле создается несколькими зарядами, то напряженность электрического поля в данной точке определяется векторной суммой напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности. Причем поле каждого источника считается так, как будто других источников поля нет (принцип суперпозиции полей):

(15.7)

Поле, создаваемое непрерывно распределенным зарядом, сложно определить, используя только принцип суперпозиции. Если поля симметричны, то напряженность поля определяется с помощью теоремы Остроградского - Гаусса.

Без вывода приведем формулы для определения напряженностей электрических полей в следующих случаях:

1.Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости:

,(15.8)

где - поверхностная плотность заряда, равная , а - заряд площадки (рис. 15.5а).

. Поле проводящей сферы радиуса .

Силовые линии электрического поля равномерно заряженной сферы радиуса с поверхностной плотностью заряда направлены вдоль продолжений радиусов сферы (рис. 15.5б). Вне сферы силовые линии распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда. Поэтому на расстоянии от центра сферы напряженность Е определяются теми же формулами, что и напряженность точечного заряда, помещенного в центре сферы:

.(15.9)

Внутри равномерно заряженной сферы напряженность поля равна нулю.

Используя принцип суперпозиции, докажем, что напряженность поля внутри сферы в любой точке равна нулю. Пусть малые площади и на сфере вырезаются конусами с вершиной в точке (рис. 15.5. в), которые получаются при вращении образующей вокруг оси . Площадки ввиду малости можно считать плоскими. Конусы пространственно подобны друг другу, и площадки их оснований и относятся как квадраты образующих:

.

Длину можно считать равной расстоянию от точки до площадки , а длину - расстоянию от точки до площадки .

Из подобия конусов следует, что

.

Заряд площадки равен , а заряд площадки равен . Считая заряды площадок и точечными, находим, что напряженность поля , создаваемая в точке этими зарядами, равна:

Зависимость напряженности поля, созданного сферой, от расстояния до центра сферы представлен на рис. 15.12 а.

Проводники и диэлектрики в электрическом поле

В проводниках есть свободные электрические заряды, которые перемещаются в сколь угодно слабом электрическом поле. Следовательно, при рассмотрении задач электростатики напряженность электрического поля внутри проводника должна быть равна нулю.

При помещении проводника в электрическое поле начинается перемещение свободных электронов. На одной стороне проводника оказываются положительные заряды, на другой стороне - отрицательные.

Эти индуцированные заряды создают электрическое поле, напряженность которого внутри проводников направлена в сторону, противоположную напряженности внешнего электрического поля. Результирующая напряженность в любой точке пространства равна векторной сумме напряженностей внешнего поля и поля индуцированного заряда. Движение зарядов прекратится, когда эти напряженности станут равны по величине и суммарная напряженность поля внутри проводника будет равна нулю.

Если проводящая оболочка окружает электрические заряды, то внутри пространства, ограниченного оболочкой, и вне оболочки поле существует, в самой же оболочке напряженность поля равна нулю. Силовые линии поля перпендикулярны поверхности проводника. В противном случае на свободные заряды в проводнике действовала бы сила: , вызывающая движение зарядов (рис. 15.6), причем это движение происходило бы до тех пор, пока все силовые линии не стали бы перпендикулярны поверхности.

В диэлектриках нет свободных зарядов. Полярные диэлектрики состоят из диполей, которые в отсутствие внешнего электрического поля расположены хаотично, и суммарное электрическое поле в диэлектриках равно нулю (рис. 15.7а).

Диполь представляет собой совокупность равных по модулю и разноименных зарядов, находящихся на малом расстоянии друг от друга. При наложении внешнего электрического поля диполи ориентируются таким образом, что поле, создаваемое поляризованным зарядом, направлено в сторону, противоположную внешнему электрическому полю (рис. 15.7б). Напряженность электрического поля в диэлектрике равна разности напряженностей внешнего поля и поля, создаваемого поляризованным зарядом

: .

В неполярных диэлектриках в отсутствие внешнего поля молекулы не являются диполями, так как центры положительных и отрицательных зарядов совпадают. При наложении внешнего электрического поля молекулы растягиваются и становятся диполями, при этом поле поляризованного заряда направлено против внешнего поля.

Независимо от природы диэлектрика напряженность внешнего поля в нем всегда ослаблена в раз: . Относительная диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз напряженность электрического поля в диэлектрике меньше, чем в вакууме.

Поместим диэлектрик в виде длинной пластины с диэлектрической проницаемостью в однородное электрическое поле перпендикулярно силовым линиям как показано на рис. 15.8. Поле в диэлектрике ослабляется. На границе диэлектрика силовые линии терпят разрыв. Часть силовых линий заканчивается и начинается на поляризованных зарядах.

Потенциал. Разность потенциалов

Работа электростатических сил по перемещению электрических зарядов не зависит от траектории, а зависит от положения начальной и конечной точек траектории. Кулоновские силы являются консервативными потенциальными силами. Рассмотрим для простоты однородное электрическое поле. Пусть заряд перемещается и точки 1 с точку 2 (рис. 15.9). На заряд действует сила , тогда работа этой силы на отрезке прямой равна

,

где - проекция отрезка на силовые линии поля. Если заряд перемещается по траектории , то работа на отрезке есть , а работа на отрезке равна нулю, так как перпендикулярна перемещению. Следовательно, суммарная работа силы равна . При перемещении заряда по произвольной траектории изменяется на каждом малом перемещении угол между направлениями силы и перемещения. На малом перемещении работа равна

,

где - проекция перемещения на силовые линии поля, т.е. . Отсюда

,

т.е. работа не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в электрическом поле, а зависит только от положения начальной и конечной точек траектории. Сказанное выше справедливо не только для однородного, но для любого электростатического поля.

Разность потенциалов двух точек, скалярная энергетическая характеристика поля - величина, равная работе по перемещению единичного положительного заряда из одной точки поля в другую, т.е.

(15.10)

Из этого определения следует, что можно говорить только о разности потенциалов. Однако удобно ввести потенциал данной точки поля, по при этом в качестве второй точки мы берем бесконечно удаленную точку поля, потенциал которой принимается равным нулю. Потенциал на бесконечности можно считать равным нулю, если заряд, создающий поле, не бесконечно большой. Таким образом, потенциал данной точки поля - величина, равная работе кулоновской силы по перемещению единичного заряда из данной точки 1 в бесконечно удаленную точку:

. (15.11)

Работа кулоновских (консервативных) сил равна изменению потенциальной энергии заряда, внесенного в поле, взятому с обратным знаком:

,

,

, .

Отсюда , . Здесь - потенциальная энергия заряда на бесконечности, , - потенциальная энергия заряда в точке 1.

Потенциал в данной точке поля равен потенциальной энергии, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в эту точку:

.(15.12)

Потенциал измеряется в вольтах: . Геометрическое место точек, имеющих одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Силовые линии поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажем это. Предположим, что силовая линия неперпендикулярна эквипотенциальной поверхности (рис. 15.10). Перемещаем заряд из точки 1 в точку 2. Работа кулоновских сил, согласно (15.10), равна , а так как , то . С другой стороны . Так как , а , и не равны нулю, то единственный множитель, который должен быть равен нулю, , откуда , т.е. силовые линии должны быть перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Поверхность проводника всегда является эквипотенциальной поверхностью. Потенциал во всех точках внутри проводника остается постоянным. Если бы это было не так, то разность потенциалов должна была бы вызвать перемещение зарядов и работа по перемещению была бы отличной от нуля, однако, так как в проводнике напряженность поля равна нулю, то и работа равна нулю, т.е. потенциал во всех точках внутри проводника постоянен и равен потенциалу поверхности.

Потенциал поля точечного заряда равен

. (15.13)

Рассмотрим поле диполя (рис. 15.11). Очевидно, что плоскость, перпендикулярная оси х, т.е. плоскость yOz, является эквипотенциальной поверхностью нулевого потенциала поля диполя, так как в любой точке этой плоскости . Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал в данной точке определяется, согласно принципу суперпозиции, как алгебраическая сумма потенциалов полей, создаваемых в данной точке каждым источником в отдельности, т.е. .

Потенциал поля заряженной сферы также определяется по формуле (15.13).

Зависимость потенциала поля, созданного сферой, от расстояния до ее центра представлена на рис. 15.12 а.

Связь напряженности электрического поля с потенциалом

На рис. 15.12 изображены две эквипотенциальные поверхности с потенциалами и . Пусть заряд перемещается из точки 1 в точку 2. Работа по перемещению заряда равна

,

мало и можно под понимать среднее значение напряженности на перемещении . Из рисунка видно, что равно - кратчайшему расстоянию между двумя эквипотенциальными линиями, очевидно, что указывает направление наибыстрейшего изменения потенциала. С другой стороны работа определяется выражением

.

Приравнивая написанные два выражения для работы, получим

,

откуда

.

Если , то

. (15.14)

Силовые линии направлены в сторону уменьшения потенциала. При разность фаз , следовательно, силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Соотношение (15.14) выражает связь напряженности электрического поля и потенциала. Знак минус показывает, что вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала. Если разность потенциалов обозначить через , то формулу (15.14) для однородного поля можно записать в виде

, (15.15)

где - кратчайшее расстояние между эквипотенциальными поверхностями и , а - разность потенциалов между ними, причем, вследствие однородности поля никаких ограничений на длину отрезка нет.

Электрическая емкость

Если изолированному проводнику сообщить заряд , то его потенциал увеличится на , причем отношение остается постоянным:

, (15.16)

где С - электрическая емкость проводника, т.е. величина, численно равная заряду, который надо сообщить проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу (на 1 В).

Электрическая емкость проводников зависит от их размеров, формы, диэлектрических свойств среды, в которую они помещены, и расположения окружающих тел, но не зависит от материала проводника. Потенциал изолированной заряженной сферы радиуса , помещенной в однородный безграничный диэлектрик, равен . Тогда из (15.16) следует, что электрическая емкость сферы равна

. (15.17)

В СИ за единицу электрической емкости принимается 1 фарад (Ф):

.

Емкость, равная 1Ф, очень велика, поэтому на практике чаще пользуются единицами микрофарад () или пикофарад (). Конденсатор представляет собой систему двух проводников (обкладок), не соединенных друг с другом. Часто между обкладками помещают диэлектрик. При сообщении этим проводникам одинаковых по величине, но разноименных зарядов поле, создаваемое этими проводниками, практически полностью локализовано в пространстве между ними (проводники ограничивают область электрического поля); краевыми эффектами как правило пренебрегают. Конденсаторы являются накопителями электрических зарядов. Отношение заряда на обкладках конденсатора (заряды по модулю равны) к разности потенциалов между ними - постоянная величина:

. (15.18)

Плоский конденсатор состоит из двух пластин площадью , расположенных на небольшом расстоянии друг от друга (расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин), заряды на пластинах и . Определим емкость плоского конденсатора. В общем случае, если пространство между пластинами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , то напряженность электрического поля между пластинами равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждой из пластин:

.

(Считаем поле внутри конденсатора однородным, краевыми эффектами пренебрегаем). Используя связь разности потенциалов с напряженностью электрического поля, получим

(), откуда, согласно (15.18), для емкости плоского конденсатора получим формулу

. (15.19)

Из (15.19) следует, что емкость конденсатора зависит от площади пластин, расстояния между ними и диэлектрической проницаемости вещества, заполняющего пространство между пластинами конденсатора, и не зависит от заряда и разности потенциалов, приложенной к пластинам.

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

На практике конденсаторы часто соединяют различными способами. На рис. 15.13 представлено последовательное соединение трех конденсаторов. Если батарею конденсаторов подключить к источнику напряжения, то на левую пластину конденсатора перейдет заряд , на правую пластину конденсатора заряд . Вследствие электризации через влияние правая пластина конденсатора будет иметь заряд , а так как пластины конденсаторов и соединены и были электронейтральны, то вследствие закона сохранения заряда заряд левой пластины конденсатора будет равен , и т.д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по модулю заряд.

Найти эквивалентную емкость - это значит найти конденсатор такой емкости, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд , что и батарея конденсаторов. Разность потенциалов складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов:

. (15.20)

Воспользовавшись формулой (15.18), запишем

,

откуда

,

и в общем случае имеем

. (15.21)

На рис. 15.14 изображена батарея параллельно соединенных конденсаторов. Разность потенциалов меджу пластинами всех конденсаторов одинакова и равна . Заряды на пластинах

,

, (15.22)

.

На эквивалентном конденсаторе емкостью заряд на пластинах при той же разности потенциалов равен

. (15.23)

Согласно (15.18)

,

следовательно, , и в общем случае

. (15.24)

Если на обкладках конденсатора электроемкостью находится одинаковые по модулю электрические заряды, то разность потенциалов между обкладками конденсатора равна .

В процессе разрядки конденсатора разность потенциалов между его обкладками убывает прямо пропорционально заряду от первоначального значения до нуля. Среднее значение разности потенциалов в процессе разрядки равно

.

Для работы , совершаемой электрическим полем при разрядке конденсатора будем иметь:

.(15.25)

Изменение энергии электрического поля равно работе, которая совершена при разрядке конденсатора:

.

Следовательно, энергия электрического поля конденсатора электроемкостью , заряженного до разности потенциалов , равна:

.(15.26)

Подставив в формулу (15.26) значение электроемкости плоского конденсатора (15.19) и выразив разность потенциалов через напряженность поля, получим:

.

Разделив обе части уравнения на объем , занятый электрическим полем внутри конденсатора, получим:

.(15.27)

Величина имеет смысл плотности энергии электрического поля, т.е. энергии, содержащейся в единице объема. В системе СИ измеряется в .

Постоянный электрический ток

Ток - это направленное движение заряженных частиц. В металлах носителями тока являются свободные электроны, в электролитах - отрицательные и положительные ионы, в полупроводниках - электроны и дырки, в газах - ионы и электроны. Количественной характеристикой тока является сила тока. Сила тока определяется количеством электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за 1 с. Если - постоянная величина, то

,(16.1)

откуда следует, что за промежуток времени через поперечное сечение проводника протекает количество электричества, равное

.

Если сила тока изменяется со временем, то

.

Пусть сила тока изменяется по закону, изображенному на рис. 16.1а, тогда, разбивая промежуток времени на малых интервалов , в пределах каждого из которых сила тока постоянна, можно определить количество электричества :

,

т.е. количество электричества, протекшее через поперечное сечение проводника за промежуток времени , численно равно площади криволинейной трапеции.

В металлах носителями тока являются электроны, которые в отсутствие внешнего электрического поля движутся хаотически, подобно молекулам газа.

Согласно классической электронной теории металлов, при наложении внешнего электрического поля электроны начинают двигаться направленно, однако скорость хаотического теплового движения больше, чем скорость направленного (). Пусть концентрация свободных электронов в проводнике , заряд их . За промежуток времени через поперечное сечение проводника (рис. 16.1б) пройдет электронов:

,

где - поперечное сечение проводника. Количество электричества, прошедшее за время через сечение , равно

,

откуда сила тока равна

. (16.2)

Законы постоянного тока

Закон Ома для однородного участка цепи

Если к проводнику приложить разность потенциалов , то по проводнику потечет электрический ток. Сила тока прямо пропорциональна разности потенциалов (напряжению) на концах проводника, т.е.

, (16.3)

, ,

где - омическое (активное) сопротивление. Сопротивление зависит от свойств проводника и от его геометрических размеров:

, (16.4)

где - удельное сопротивление, т.е. сопротивление проводника длиной 1 м с единичной площадью поперечного сечения, - длина проводника, - площадь поперечного сечения.

Сопротивление зависит от температуры, при увеличении температуры увеличивается вероятность столкновения электронов с колеблющимися ионами кристаллической решетки, так как с ростом температуры амплитуда колебаний увеличивается. Сталкиваясь с ионами, электроны теряют скорость направленного движения (). Удельное сопротивление зависит от температуры:

, (16.5)

где - удельное сопротивление при , - термический коэффициент сопротивления, зависящий от свойств проводника. Размерность удельного сопротивления . Удельное сопротивление, например, медной проволоки , таким сопротивлением обладает проволока длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 мм2. За направление электрического тока принято направление движения положительных зарядов. Поэтому ток течет от большего потенциала к меньшему. Произведение силы тока на сопротивлении иногда называется падением напряжения

.

Последовательное и параллельное соединение сопротивлений

На рис. 16.2 изображены три последовательно соединенные сопротивления , , . Найти эквивалентное сопротивление - это значит найти такое сопротивление , которое при той же разности потенциалов пропускает тот же ток , что и три сопротивления:

.

Сила тока, текущего через последовательно соединенные сопротивления, одинакова. Разность потенциалов равна сумме падений напряжений на сопротивлениях , , :

,

следовательно,

,

или в общем случае при соединении сопротивлений

.(16.6)

При параллельном соединении (рис. 16.3) все сопротивления находятся под одной разностью потенциалов, но токи, текущие через разные сопротивления, будут различны. Ток, текущий через эквивалентное сопротивление, должен быть равен сумме токов, текущих через , , :

. (16.7)

Из (16.3) и (16.7) следует:

,

или

.

В общем случае при параллельном соединении сопротивлений

. (16.8)

Видно, что формулы (16.6) и (16.7) обратны формулам для определения эквивалентной емкости.

Шунтирование приборов

Сила тока в цепи измеряется амперметром, Сопротивление амперметра мало, так как он включается в цепь последовательно и не должен существенно повлиять на значение силы тока в цепи.

Если сила тока в цепи больше, чем максимальное значение силы тока, которую может измерить амперметр , то к амперметру параллельно подключают шунт, так что часть тока начинает течь через шунт. Для существенного увеличения диапазона измерения необходимо, чтобы сопротивление шунта было много меньше сопротивления амперметра. Итак,

. (16.9)

Падение напряжения на сопротивлениях амперметра и шунта одинаковы (параллельное включение, рис. 16.4а), поэтому

,

.

Подставив в (16.9) выражение для , получим

,

.

Если необходимо измерить силу тока, в раз большую, чем можно измерить данным амперметром, т.е. , то следует подключить шунт с сопротивлением

. (16.9*)

Напряжение на различных участках цепи измеряется вольтметром, который подключается параллельно. Показания вольтметра определяются падением напряжения на сопротивлении вольтметра и равны падению напряжения на сопротивлении . Если измеряемое напряжение больше, чем максимальное напряжение, которое может измерить данный вольтметр (), то к вольтметру последовательно подключают добавочное сопротивление . Тогда . Токи, текущие через вольтметр и добавочное сопротивление, одинаковы (последовательное соединение, рис. 16.4б)

, т.е.,

откуда

,

. (16.10)

Чтобы расширить диапазон измерения вольтметра, необходимо, чтобы

.

Если нужно измерить напряжение, в раз большее, чем то напряжение, которое может измерить данный вольтметр, т.е. , то необходимо подключить добавочное сопротивление

.

Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи

Для поддержания постоянного электрического тока в цепи необходимо подключить источник. При этом очевидно, что кулоновские силы не могут поддерживать ток, так как работа этих сил по замкнутому контуру равна нулю, а известно, что когда по цепи течет электрический ток, выделяется тепло. Следовательно, в цепи должны действовать электрические силы некулоновского происхождения, работа которых по замкнутому контуру не равна нулю. Устройство, в котором эти силы возникают, называется источником. Это могут быть химические силы (гальванические элементы), силы со стороны магнитного поля и т.д. Источники тока характеризуются электродвижущей силой (эдс). Эдс - физическая величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по замкнутой цепи:

. (16.11)

Полная электрическая цепь состоит из источника тока с эдс и внутренним сопротивлением и внешнего сопротивления (рис. 16.5). Сила тока, текущего по цепи, прямо пропорциональна эдс и обратно пропорциональна полному сопротивлению, т.е.

(16.12)

(закон Ома для полной цепи). Линии тока замкнуты. Во внешней цепи ток течет от к , во внутренней цепи, т.е. в самом источнике от к .

Закон Ома для неоднородного участка цепи

Неоднородный участок цепи состоит из источника и сопротивления (рис. 16.6). Падение напряжения на сопротивлении равно сумме удельных работ кулоновских сил и сил стороннего поля:

.

Если (рис. 16.6а), то ток течет от точки А к точке В, кулоновские силы больше сил стороннего поля; если (рис. 16.6б), то сила тока равна нулю; если (рис. 16.6в), то заряды движутся и под действием кулоновских сил и под действием сторонних сил в одном направлении.

Последовательное и параллельное соединение источников тока

При последовательном соединении нескольких источников тока (рис. 16.7а) полная эдс батареи равна алгебраической сумме эдс всех источников, а суммарное сопротивление равно сумме сопротивлений, т.е.

, . (16.13)

При параллельном подключении источников с одинаковыми эдс и внутренним сопротивлениями (рис. 16.7б) суммарная эдс равна эдс одного источника , а внутреннее сопротивление . Если эдс источников различны, то для расчетов значений сил токов в различных участках цепи удобно пользоваться правилами Кирхгофа.

Правила Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа. Точка соединения нескольких проводников называется узлом. Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

. (16.14)

Токи, текущие к узлу, будем считать положительными, от узла отрицательными. Тогда для узла, изображенного на рис. 16.8а, первое правило Кирхгофа запишется в виде:

.

Второе правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма падений напряжений на замкнутом контуре разветвленной цепи равна алгебраической сумме эдс:

. (16.15)

Запишем второе правило Кирхгофа для контура, изображенного на рисунке 16.8б. Пусть токи направлены так, как показано на рисунке. Если направление токов выбрано неверно, то значение сил токов получится отрицательным и, следовательно, они текут в направлении противоположном выбранному.

Выберем направление обхода контура против часовой стрелки. Тогда второе правило Кирхгофа запишется в виде

( берется со знаком , так как она вызывает движение зарядов в направлении, противоположном выбранному направлению обхода контура).

Тепловое действие тока

Если через сопротивление течет ток , то кулоновские силы совершают положительную работу:

,

где - количество электричества, протекшее через поперечное сечение проводника за промежуток времени : .

Эта работа согласно закону сохранения должна перейти в энергию. Вид энергии можно установить лишь привлекая для этого атомно-молекулярное представление о строении проводников. С точки зрения атомно-молекулярного строения твердых тел свободные электроны в проводнике под действием электрического поля приобретают дополнительную кинетическую энергию, которую отдают при столкновении атомам или ионам кристаллической решетки. Энергия хаотических колебаний ионов или атомов около положения равновесия возрастает. В результате чего возрастает и внутренняя энергия проводника. Температура проводника при этом также возрастает.

При этом происходит выделение тепла . Очевидно, что , или

(закон Джоуля - Ленца). Мощность тока - работа, совершенная за единицу времени и равная

.(16.16)

Полная мощность , развиваемая источником, идет на выделение тепла во внешнем и внутреннем сопротивлениях и равна

.(16.17)

Мощность, выделяемая во внешнем сопротивлении, называется полезной мощностью (это понятие используется в электронагревательных и осветительных приборах) и равна

. (16.18)

Мощность, выделяемая во внутреннем сопротивлении, использована быть не может и называется теряемой мощностью

. (16.19)

В этом случае кпд () равен

.

Из выражения (16.18) следует, что зависит от двух переменных: и или и . Для исследования зависимости перепишем выражение для полезной мощности, как функции одной переменной, например, :

.

На рис. 16.9 изображена зависимость . Ясно, что кривая, выражающая зависимость - парабола, ветви параболы направлены вниз. Максимум находим из условия обращения в нуль первой производной , или ,

,

а так как , то очевидно, что полезная мощность будет максимальна при и равна

.

При (короткое замыкание) , также при (разомкнутая цепь). На рис. 16.9 изображена также зависимость кпд от тока. При разомкнутой цепи кпд равен (ток не течет, и нет потерь). При короткозамкнутой цепи кпд равен 0 (ток течет, но нет внешнего сопротивления, полезной мощности негде выделиться) и при кпд равен . Подчеркнем, что когда выделяется максимальная полезная мощность, это не означает, что кпд максимален.

Ток в электролитах

В электролитах (растворы солей, кислот, щелочей и расплавы солей) имеются положительные и отрицательные ионы. В растворе устанавливается динамическое равновесие между процессами диссоциации и рекомбинации ионов. Под действием электрического поля ионы приобретают направленное движение - положительные ионы (катионы) движутся к катоду, отрицательные (анионы) - к аноду. При электролизе в растворах солей масса катода увеличивается, так как на катоде осаждаются положительные ионы. Например, если электролитом является раствор медного купороса и мы берем медные электроды, то масса катода увеличивается со временем.

Электролизом называется явление выделения вещества на электродах при прохождении через электролит электрического тока. Для электролиза справедливы два закона Фарадея:

1.Масса вещества, выделившегося при электролизе, прямо пропорциональна протекшему через электролит количеству электричества (заряду):

, (16.20)

где - электрохимический эквивалент данного вещества. Физический смысл электрохимического эквивалента состоит в следующем: численно равен количеству вещества, выделившемуся при прохождении через электролит заряда (СИ), .

2.Второй закон Фарадея устанавливает связь между электрохимическим и химическим эквивалентами данного вещества:

, (16.21)

где - химический эквивалент вещества, равный отношению атомной массы вещества А к его валентности : , - постоянная Фарадея, не зависящая от свойств электролита, . Подставив (16.21) в (16.20), получим объединенный закон Фарадея

, (16.22)

т.е. масса выделившегося вещества прямо пропорциональная атомной массе, силе тока и времени и обратно пропорциональна валентности вещества.

Если выделившаяся масса вещества численно равна его химическому эквиваленту, то постоянная Фарадея численно равна заряду, который должен пройти через электролит, чтобы на электроде выделилась масса вещества, численно равная его химическому эквиваленту.

16.Магнитное поле

Вокруг проводников с током и постоянных магнитов существует магнитное поле. Оно возникает вокруг любого направленно движущегося электрического заряда, а также при наличии переменного во времени электрического поля (и в вакууме, и в диэлектриках).

Магнитное поле можно обнаружить, помещая в него магнитные стрелки или проводники с током, так как оно оказывает на них ориентирующее действие. Магнитное поле можно исследовать с помощью замкнутого контура с током. Геометрические размеры контура должны быть настолько малы, чтобы в его пределах поле не изменялось. На контур в магнитном поле действует механический вращательный момент. Отношение максимального вращательного момента к произведению силы тока , текущего по контуру, и площади поверхности , охватываемой этим контуром, величина постоянная:

.

Этим отношением определяется основная силовая характеристика магнитного поля - вектор магнитной индукции . Произведение называется магнитным моментом контура с током:

.

Направление магнитного момента совпадает с направлением индукции магнитного поля, создаваемого в центре контура текущим по нему током. Направление вектора определяется по правилу: если направление вращения винта совпадает с направлением тока в контуре, то его поступательное движение укажет направление индукции магнитного поля и, соответственно, магнитного момента (рис. 17.1а) (следствие правила правого винта).

Направление магнитного поля можно найти, если известно направление тока, по правилу "левой руки": если взять провод в левую руку так, чтобы большой палец, отогнутый вдоль провода, показывал направление тока, тогда пальцы, охватывающие провод, покажут направление магнитного поля вокруг провода (рис. 17.1б).

Поскольку можно определить направление магнитного поля вокруг одиночного прямого провода, по которому идет электрический ток, то можно также предсказать вид поля вокруг проволочной катушки.

На рис. 17.1 б) и в) показаны поперечные разрезы через катушку с током. Используя правило левой руки, можно установить направление магнитного поля вокруг каждого провода: они показаны на чертеже стрелками.

Внутри катушки все силовые линии поля имеют одинаковое направление. Они идут вдоль катушки от одного ее конца к другому. Северный полюс катушки приписывается тому ее концу, где силовые линии выходят из катушки, а южный полюс, - где они входят в катушку. Если внутрь такой катушки внести железный сердечник, получим электромагнит.

Чтобы определить полярность электромагнита, когда известно направление тока в его катушке (рис. 17.1г), используется правило: если взять катушку в левую руку так, чтобы пальцы показывали направление тока в ней, то отогнутый большой палец покажет направление ее северного полюса.

Итак, вектор магнитной индукции определяется максимальным вращательным моментом, действующим на контур с током, магнитный момент которого равен единице:

. (17.1)

Магнитная индукция измеряется в теслах (Тл). Тесла - это индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с максимальным вращательным моментом на контур с током, магнитный момент которого равен .

Индукция магнитного поля - экспериментально измеряемая величина, зависящая от токов, создающих поле, и свойств среды, в которой оно создано.

Магнитное поле, так же как и электрическое, изображается силовыми линиями, т.е. линиями, касательная в каждой точке которых совпадает с вектором магнитной индукции . Однородное магнитное поле изображается параллельными линиями, отстоящими на равном расстоянии друг от друга. Направление линий магнитной индукции поля, созданного током, определяется по правилу правого винта: если направление поступательного движения винта совпадаем с направлением тока, то направление вращения головки винта укажет направление силовых линий магнитного поля этого тока.

Наряду с вектором магнитной индукции вводится еще одна силовая характеристика магнитного поля - напряженность магнитного поля . Векторы и связаны соотношением

. (17.2)

Напряженность магнитного поля измеряется в амперах на метр (), - магнитная постоянная, равная , - относительная магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в данной среде больше или меньше, чем в вакууме. Напряженность магнитного поля определяется только конфигурацией проводников, создающих поле, и токами, текущими по этим проводникам, т.е. макроисточниками поля, и не зависит от магнитных свойств среды, в которой поле создается.

Магнитное поле токов различной конфигурации

Индукция магнитного поля, создаваемого проводниками с током различной конфигурации, определяется по закону Био - Савара - Лапласа. Дальнейшие формулы приводим без вывода.

1)Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечно прямым проводником с током, равна:

. (17.3)

Конфигурация силовых линий представлена на рис. 17.2.

2)Индукция магнитного поля в центре кругового витка с током (рис. 17.3) равна

, (17.4)

3)Индукция магнитного поля в центре соленоида (вдали от краев соленоида, где поле существенно неоднородно) равна (рис. 17.4):

, (17.5)

где - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.

Если поле создается несколькими источниками, то вектор магнитной индукции в данной точке определяется, как векторная сумма векторов магнитной индукции полей, создаваемый каждым источником в отдельности (принцип суперпозиции):

. (17.6) (3.6)

Заметим, что силовые линии магнитного поля замкнуты, так как в природе не существует положительных и отрицательных магнитных зарядов.

Закон Ампера

Поместим в магнитное поле проводник длиной , по которому течет ток (рис. 17.5). На проводник действует сила, прямо пропорциональная силе тока, текущего по проводнику, индукции магнитного поля, длине проводника, и зависящий от ориентации проводника в магнитном поле.

Закон Ампера:

, (17.7)

где - угол между направлением тока в проводнике и направлением вектора магнитной индукции .

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если левую руку расположить так, что магнитные силовые линии входят в ладонь, четыре вытянутых пальца направить по току, то отогнутый большой палец укажет направление силы. Очевидно, что сила Ампера равна нулю, если проводник расположен вдоль силовых линий поля и максимальна, если проводник перпендикулярен силовым линиям.

Взаимодействие двух прямолинейных проводников с током

Пусть по двум параллельным проводникам, отстоящим друг от друга на расстоянии , текут токи в одном направлении и (рис. 17.6). Рассмотрим проводник 2 в поле проводника с током . Индукция магнитного поля, созданного проводником с током на расстоянии , согласно (17.3), равна

.

По закону Ампера на проводник 2 действует сила:

,

где - элемент длины проводника 2:

. (17.8)

На такой же элемент длины проводника 1 действует сила, равная по величине (17.8) и противоположная по направлению. Поскольку закон (17.8) легко проверить опытным путем, то из него может быть выведена основная электрическая единица СИ - ампер. 1 ампер - это сила такого тока, при протекании которого по двум бесконечным параллельным проводникам ничтожно малого сечения, расположенным друг от друга на расстоянии 1 м в вакууме, проводники взаимодействуют с силой на каждый метр длины проводника. Из рисунка следует, что токи, текущие в одном направлении, притягиваются, в противоположном - отталкиваются.

Рамка с током в магнитном поле

Поместим квадратную рамку в однородное магнитное поле, индукция которого (рис. 17.7). Сторона рамки равна , сила тока, текущая по контуру, равна . На стороны рамки действуют силы , , , Силы и равны по величине, направлены вдоль и взаимно компенсируют друг друга. Силы и равны по величине:

,

но направлены в противоположные стороны. Под действием этой пары сил рамка будет поворачиваться вокруг оси . Механический вращательный момент, действующий на рамку, равен сумме моментов сил и :

, (17.9)

,

,

где - угол между направлениями вектора магнитной индукции и магнитного момента .

Максимальный момент действует на рамку тогда, когда силовые линии лежат в плоскости рамки: . Если или , то , причем в первом случае рамка находится в состоянии устойчивого, во втором - неустойчивого равновесия (рис. 17.8а, б). Из рис. 17.8а видно, что при малом отклонении рамки от положения равновесия момент сил, действующих на рамку, стремится вернуть ее в первоначальное равновесие. При отклонении же рамки от положения равновесия во втором случае (рис. 17.8б) момент сил, действующих на нее, уводит ее от положения равновесия.

Движение заряженных частиц в магнитном поле

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера . Ток в свою очередь, это направленное движение заряженных частиц. Сила тока равна

,

где - заряд частицы, - концентрация движущихся заряженных частиц, - средняя скорость их направленного движения, - площадь поперечного сечения проводника. Подставив в выражение для , получим

,

где - общее число частиц, создающих ток. Тогда сила, действующая на отдельный движущийся заряд - сила Лоренца, равна

, (17.10)

где - угол между векторами скорости и магнитной индукции.

Направление силы Лоренца определяется для положительно заряженной частицы по правилу левой руки. Если левую руку расположить так, что силовые линии поля входят в ладонь, вытянутые четыре пальца направлены вдоль скорости, то отогнутый большой палец укажет направление силы Лоренца (рис. 17.9). Для частицы с отрицательным зарядом направление силы противоположно (рис. 17.10).

Из формулы (17.10) для силы Лоренца следует, что магнитное поле не действует 1) на неподвижную частицу (при ); 2) на нейтральную частицу (при ); 3) если скорость частицы направлена вдоль линий индукции поля (при , ). Так как сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости, то эта сила не изменяет величины скорости, а изменяет только ее направление, частица движется с центростремительным (нормальным) ускорением . Пусть заряженная частица, масса и заряд которой и , влетает перпендикулярно вектору со скоростью . На частицу действует сила Лоренца ()

.

Основной закон динамики для частицы, движущейся по окружности, имеет вид:

,

откуда радиус окружности, по которой движется частица, равен

. (17.11)

Как видим, в однородном магнитном поле и, следовательно, траектория частицы - дуга окружности. Период движения частицы по окружности равен

. (17.12)

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, а следовательно, и элементарному перемещению. Поэтому работа силы Лоренца равна нулю.

Если частица влетает под углом к линиям индукции магнитного поля (рис. 17.11), то она участвует в сложном движении. Разложим вектор скорости на две составляющие и , очевидно, что частица будет двигаться равномерно вдоль силовых линий магнитного поля со скоростью (на частицу, движущуюся вдоль силовых линий, магнитное поле не действует) и равномерно двигаться по окружности со скоростью в плоскостях, перпендикулярных вектору (на частицу действует сила Лоренца ). В результате сложения этих движений частица будет двигаться по винтовой линии.

Магнитный поток

Магнитным потоком через некоторую поверхность (рис. 17.12) называется скалярная величина, равная произведению модуля вектора магнитной индукции на площадь этой поверхности и косинус угла между нормалью к ней и направлением вектора магнитной индукции :

, (17.13)

где - угол между направлениями векторов и . Если магнитное поле неоднородно, то поверхность разбивают на элементарные площадки (рис. 17.13), в пределах каждой из которых поле можно считать однородным. Тогда полный поток через эту поверхность равен сумме потоков вектора магнитной индукции через элементарные площадки:

,

или

.

В СИ единицей магнитного потока является 1 вебер (Вб) - магнитный поток через поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно направлению однородного магнитного поля, индукция которого равна 1 Тл:

.

Работа при движении проводника с током в магнитном поле

Проводник длиной , по которому течет постоянный ток , помещен в однородное магнитное поле, индукция которого (рис. 17.14). На проводник действует сила , и проводник свободен и может перемещаться, то под действием силы он движется в магнитном поле. При этом сила тока поддерживается постоянной. Пусть перемещение проводника равно , работа силы Ампера на этом перемещении равна , где - изменение площади, ограниченной контуром с током.

Изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром с током, равно

,

откуда работа, совершаемая при перемещении проводника в магнитном поле, равна

,(17.14)

где - магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром в конце перемещения, - магнитный поток в начальный момент.

При вращении рамки в магнитном поле работа также равна , где - изменение магнитного потока через площадь рамки.

Электромагнитная индукция

Возникновение эдс в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром, называется электромагнитной индукцией. Также эдс индукции, а следовательно, разность потенциалов возникает на концах разомкнутого проводника, движущегося в магнитном поле и пересекающего силовые линии поля.

Опыт показывает, что эдс индукции не зависит от причин изменения магнитного потока, а определяется скоростью его изменения.

Согласно закону Фарадея, эдс индукции определяется как предел отношения изменения магнитного потока к промежутку времени , за которое это изменение произошло, при стремлении к нулю, или производной по времени магнитного потока

. (17.15)

Если проводник движется в магнитном поле, то под понимаем магнитный поток, "заметенный" проводником за промежуток времени .

Сила индуцированного тока, текущего по контуру, равна

. (17.16)

Знак минус в формуле (17.15) позволяет определить направление индукционного тока, если предварительно задать направление нормали к площади, ограниченной контуром. При решении задач удобнее пользоваться правилом Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы препятствовать причине, его вызывающей.

Если, например, круговой виток помещен в однородное магнитное поле, как показано на рис. 17.15, индукция которого уменьшается, следовательно, уменьшается магнитный поток через площадь витка, то индукционный ток направлен по часовой стрелке. Магнитное поле, создаваемое индукционным током направлено так, чтобы увеличивать магнитный поток, сцепленный с контуром, так как сам ток вызван уменьшением магнитного потока через площадь контура.

Рассмотрим проводник длиной , движущийся поступательно со скоростью в магнитном поле (рис. 17.16). За время он "заметает" поверхность ACDE площадью , где - угол между сторонами AC и AE. На концах проводника наводится эдс индукции:

,

где - угол между векторами и , - нормаль к поверхности, "заметаемой" проводником. Окончательно,

. (17.17)

При движении проводника в магнитном поле со скоростью вместе с ним движутся находящиеся в нем положительные и отрицательные заряды. На эти заряды действует сила Лоренца. Свободные заряды (электроны в металле) под действием силы Лоренца перераспределяются, сосредотачиваясь на концах проводника. Если этот проводник входит в состав замкнутой цепи, то в цепи возникает индукционный ток, направление которого определяется законом Ленца: направление тока таково, что механическая сила, действующая на движущийся проводник с током в магнитном поле, направлена в сторону, противоположную скорости движения проводника.

Еще раз подчеркнем, что возникновение эдс индукции связано с любым изменением во времени магнитного потока через контур. Изменение магнитного потока может происходить вследствие изменения магнитного поля, вследствие изменения площади поверхности, ограниченной контуром, а также при повороте контура в поле, когда изменяется угол между нормалью к поверхности и направлением магнитного поля.

Явление самоиндукции

Ток, текущий по проводящему контуру, создает вокруг него магнитное поле. Магнитный поток , сцепленный с контуром, прямо пропорционален силе тока в этом контуре:

, (17.18)

где - индуктивность контура. Индуктивность проводника зависит от его формы, размеров, а также от свойств окружающей среды. Если сила тока изменяется со временем, то изменяется и магнитный поток, сцепленный с контуром. Изменение магнитного потока, в свою очередь, вызывает появление в проводнике индукционного тока. Так как индукционный ток вызван изменением силы тока в самом проводнике, то данное явление возникновения индукционного тока называется самоиндукцией, а возникающая эдс - эдс самоиндукции. Самоиндукция является частным случаем явления электромагнитной индукции. Если изменяется со временем по линейному закону, то

, (17.19)

где - скорость изменения силы тока.

Формула (17.19) справедлива только при , т.е. в том случае, когда размеры и форма контура не изменяются и отсутствует ферромагнитная среда. При произвольной зависимости

.

Из (17.19) ясно, что индуктивность - величина, численно равная эдс самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока в нем на единицу за единицу времени.

В СИ за единицу индуктивности принимают индуктивность такого проводника, в котором при изменении силы тока на 1 А за 1 с возникает эдс самоиндукции 1 В. Эта единица называется генри (Гн):

.

Энергия магнитного поля тока

Энергия магнитного поля, созданного током, по закону сохранения энергии равна энергии, затраченной источником на создание тока. При замыкании цепи ток в цепи вследствие самоиндукции не сразу достигает максимального значения , а постепенно.

При размыкании цепи (рис. 17.17) ток также исчезает не сразу, а постепенно, при этом в проводнике выделяется тепло. Так как цепь разомкнута, то это тепло не может выделяться за счет работы источника, а может быть только следствием энергии, накопленной в соленоиде, энергии магнитного поля. Энергия магнитного поля соленоида, когда ток полностью прекратится, переходит в джоулево тепло. Выражение для магнитного поля соленоида имеет вид:

. (17.20)

17.Колебания и волны

Движения или процессы, обладающие свойством повторяемости во времени, называются колебаниями. Колебания, при которых смещение изменяется по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Любой произвольный колебательный процесс можно представить как сумму гармонических колебаний. (Любую периодическую функцию, согласно теореме Фурье, можно представить как сумму гармонических функций.)

Механические колебания

Пусть к пружине с коэффициентом упругости прикреплен груз массой , находящийся на идеально гладкой поверхности (рис. 18.1). При растяжении пружины на тело начинает действовать сила упругости (сила тяжести и сила нормальной реакции равны и направлены в противоположные стороны). Если тело отпустить, то под действием силы упругости оно начинает двигаться в сторону, противоположную смещению. Проходя положение равновесия, тело будет обладать максимальной скоростью и по инерции продолжит движение, сжимая пружину. Под действием силы упругости, возникающей при деформации сжатия, тело остановится и начнет двигаться к положению равновесия и т.д. При этом - смещение тела от положения равновесия - изменяется по закону

, (18.1)

где , , не зависят от времени. Уравнение (18.1) называется уравнением колебаний.

Характеристики гармонических колебаний

В уравнении (18.1) амплитуда - максимальное значение изменяющейся величины, в нашем примере - максимальное смещение от положения равновесия. Амплитуда зависит от энергии, сообщенной системе в начальный момент времени.

Циклическая (или круговая) частота - число полных колебаний, совершаемых системой за промежуток времени с.

Частота - число полных колебаний, совершаемых системой за 1 с.

Период колебаний - промежуток времени, за который совершается одно полное колебание:

, , (18.2)

где , , определяются параметрами колеблющейся системы.

Фаза колебаний определяет положение колеблющегося тела в данный момент времени, - начальная фаза, определяющая положение колеблющегося тела в момент времени . Фаза обычно измеряется в радианах.

Кинематика гармонических колебаний

Если

,

то скорость равна

, (18.3)

где - амплитудное значение скорости. Ускорение изменяется по закону

, (18.4)

где - амплитудное значение ускорения. Значения скорости и ускорения, так же как и смещения, изменяются по гармоническому закону. Из (18.1), (18.3) и (18.4) следует, что изменения скорости отстают на по фазе от смещения, а изменение ускорения происходит в противофазе со смещением:

или . (18.5)

Из сказанного выше следует, что если материальная точка совершает гармонические колебания, то справедливо уравнение (18.5). Эта связь ускорения и смещения, как можно показать, используя методы высшей математики, является необходимым и достаточным условием для того, чтобы тело совершало гармонические колебания около положения равновесия. Следовательно, если при анализе поставленной задачи будет найдено, что , где - положительная постоянная величина, то тело будет совершать гармонические колебания около положения равновесия с циклической частотой .

Динамика гармонических колебаний

Согласно второму закону Ньютона,

,

где - проекция на ось результирующей всех сил, действующих на тело. Поскольку

,

,

где - проекция сил на ось , вдоль которой совершаются колебания.

Из (18.6) следует, что равнодействующая сил, действующих на тело, совершающее гармоническое колебание, прямо пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению. Силы, прямо пропорциональные смещению и направленные в сторону, противоположную смещению, т.е. удовлетворяющие условию , но имеющие иную природу, чем упругие силы, называются квазиупругими. Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих сил.

Преобразование энергии при гармонических колебаниях

Если колебания тела происходят по закону

,

то кинетическая энергия тела равна

. (18.7)

Потенциальная энергия равна

. (18.8)

а так как ,

.

При этом за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбирается положение равновесия (). Полная механическая энергия системы равна

. (18.9)

Амплитуда колебаний равна

и определяется энергией, сообщенной системе. Потенциальная и кинетическая энергии изменяются по гармоническому закону с частотой . Выражения для потенциальной и кинетической энергий можно переписать в виде:

,

.

График зависимости потенциальной энергии колеблющегося тела от смещения изображен на рис. 18.2. На рисунке показаны кинетическая и потенциальная энергия тела при , полная механическая энергия тела при любом равна . При этом , если в системе отсутствует трение (сопротивление).

Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной прямой, например, вдоль оси . Частоты колебаний одинаковы, а разность фаз есть . Тогда уравнения колебаний имеют вид

, .

При сложении этих двух колебаний получим

.

Очевидно, что амплитуда результирующего колебания будет зависеть от разности фаз. Так, если , где , то , т.е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если , то , т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд и колебания происходят с минимальной амплитудой. Если амплитуды складываемых колебаний равны, то в этом случае колебаний вообще происходить не будет.

Затухающие колебания

Выше был рассмотрен случай, когда сопротивление отсутствует и на тело действует только сила . Во всех реальных случаях помимо этой силы на тело действует сила сопротивления, которая обычно считается пропорциональной скорости и направленной в сторону, противоположную скорости:

,

где - постоянный коэффициент. Тогда из второго закона Ньютона имеем

, (18.10)

Или

,

причем , - частота собственных колебаний системы в отсутствие затухания, , где - коэффициент затухания. Очевидно, чем больше и чем меньше , тем быстрее будут затухать колебания.

Решение уравнения (18.10) имеет вид:

, (18.11)

где . Колебания, описываемые уравнением (18.11), строго говоря не являются периодическими. Такие колебания принято называть затухающими колебаниями с периодом

.

На рис. 18.3 приведен график зависимости . Амплитуда изменяется по экспоненциальному закону (штриховая линия). Если силой сопротивления пренебречь нельзя, то механическая энергия в процессе колебаний непрерывно уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Амплитуда колебаний будет уменьшаться, и колебания постепенно затухнут.

Вынужденные колебания

Для поддержания колебаний в системе необходимо, чтобы действовала сила, работа которой компенсировала бы уменьшение механической энергии. Эта сила должна быть переменной, так как постоянная сила может только изменить положение равновесия, но не может способствовать поддержанию колебаний в системе. Таким образом, на систему, совершающую колебания должна действовать вынуждающая сила

,

где - амплитуда вынуждающей силы, - ее частота. Помимо вынуждающей силы на тело действует сила упругости (или квазиупругая сила) и сила сопротивления . Из второго закона Ньютона в этом случае имеем

. (18.12)

Собственные колебания в системе затухнут, следовательно, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы. Колебания, происходящие под действием вынуждающей силы, называются вынужденными колебаниями. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид

, (18.13)

где - амплитуда вынужденных колебаний, - фаза, определяемые соотношениями

,

. (18.14)

Из (18.14) видно, что амплитуда и фаза зависят от соотношения между частотой собственных колебаний и частотой вынуждающей силы . При совпадении этих частот амплитуда колебаний будет резко возрастать. Это явления получила название резонанса. Резонансная амплитуда зависит от сопротивления среды (рис. 18.4). Кривой 1 соответствует меньшее сопротивление среды, чем кривой 2. При , и соответственно уравнение колебаний имеет вид . Тогда скорость изменяется по закону . Из последнего равенства очевидно, что скорость изменяется в фазе с вынуждающей силой. Возрастание амплитуды при резонансе объясняется тем, что при направление вынуждающей силы все время совпадает с перемещением, и следовательно, вынуждающей силы все время совпадает с перемещением, и следовательно, вынуждающая сила будет непрерывно совершать положительную работу. Таким образом, механическая энергия, а соответственно, и амплитуда будут расти. При отсутствии сопротивления среды амплитуда стремиться к бесконечности. При вынуждающая сила на одних перемещениях совершает положительную, а на других отрицательную работу, и поэтому амплитуды вынужденных колебаний невелики.

Упругие (механические) волны

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом. Механические волны могут распространяться только в упругих средах, т.е. в средах, в которых возникают силы, препятствующие 1) деформации растяжений (сжатий) или 2) деформации сдвига.

В первом случае распространяется продольная волна, т.е. волна, вызывающая в пространстве колебания частиц среды вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут распространяться в твердых, жидких и газообразных средах.

Во втором случае в пространстве существует поперечная волна, т.е. волна, вызывающая в пространстве колебания частиц среды перпендикулярно направлению распространения волны. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах.

Пусть колебания точки О упругого шнура происходит по закону (рис. 18.5а), ось указывает направление распространения волны. В начальный момент времени точка О начинает двигаться вверх, увлекая соседние части шнура. В момент смещение О будет максимальным. За время в колебательный процесс будет вовлечена часть шнура ОА. К моменту времени точка О шнура завершит полное колебание, причем фазы колебаний точек O и D одинаковы. Кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися в одной фазе, называется длиной волны .

Длина волны - это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное одному периоду:

, (18.15)

где - скорость распространения волны, зависящая от свойств среды. В однородной среде скорость постоянна.

Скорость распространения продольных волн в твердых средах

, (18.16)

где - модуль Юнга, - плотность среды.

Скорость звука в газе (продольная механическая волна) есть

,(18.16а)

где - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме , - молекулярная масса воздуха.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, через которое проходит возмущение в данный момент времени. Форма фронта определяется источником. Так, фронт волны, генерируемой точечным источником, имеет форму сферы, и говорят, что распространяется сферическая волна.

Волна называется плоской, если фронт плоский. При распространении плоской волны все точки в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, колеблются в одинаковой фазе, поэтому, зная закон колебаний в одной точке, мы тем самым можем описать колебательный процесс во всех точках плоскости. Фронт волны всегда перпендикулярен направлению ее распространения.

Пусть вдоль оси распространяется плоская волна (рис. 18.5б). В точке О находится источник колебаний, уравнение смещения в точке О , где - время, отсчитываемое с момента начала колебаний в точке О.

В точке М колебания происходят по аналогичному закону: , где - время, отсчитываемое с момента начала колебаний в точке М. Очевидно, меньше на промежуток времени , за который волна успевает пройти расстояние , т.е. . Таким образом,

.

Так как точка М произвольна, можно записать

. (18.17)

Уравнение (18.17) представляет собой уравнение бегущей волны. Оно позволяет определить смещение в любой точке среды в любой момент времени. Уравнение (18.17) можно переписать в виде

. (18.18)

Интерференция волн

Интерференция - сложение волн с образованием устойчивой картины максимумов и минимумов амплитуды колебаний. Необходимым условием интерференции является когерентность источников. Когерентными называются источники, вызывающие в каждой точке пространства колебания, разность фаз которых остается постоянной во времени. Такие источники излучают когерентные волны. Очевидно, что только источники, возбуждающие колебания с одинаковыми частотами, могут быть когерентными, так как если , то разность фаз равна

и зависит от времени.

Если источники некогерентны, то во всех точках пространства будут возбуждаться колебания, разность фаз которых изменяется со временем. Изменяется со временем и амплитуда результирующего колебания, т.е. интерференции не будет. На рис. 18.6а источники и - когерентные и вызывают колебания частиц в одном направлении. Рассмотрим сложение колебаний, возбуждаемых этими источниками в точке М:

,

,

где и - расстояние источников до точки М. Разность фаз складываемых колебаний:

. (18.19)

Напомним, что если разность фаз складываемых колебаний равна , , и т.д., т.е. , где 0,1, 2, 3,…, то оба колебания вызывают смещение в одном направлении и амплитуда результирующего колебания будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

Если разность фаз складываемых колебаний равна , , и т.д., т.е. , то эти колебания вызывают смещение в противоположных направлениях и амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд исходных колебаний. Приняв , из выражения (18.19) получим

, . (18.20)

Таким образом, в точках пространства, где разность хода равна целому числу длин волн, наблюдаются интерференционные максимумы и . Сделав аналогичные выкладки, получим, что если разность хода равна нечетному числу длин полуволн

, (18.21)

то в этих точках пространства находятся интерференционные минимумы .

При интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве, так что в точках максимумов (для простоты будем считать, что ), и энергия колебаний ~ , в точках минимумов .

Если складываются две волны, идущие навстречу друг другу (прямая и отраженная), то образуется стоячая волна:

,

,

(18.22)

есть уравнение стоячей волны. Из уравнения (18.22) следует, что амплитуда колебаний при возбуждении стоячей волны

зависит от положения колеблющейся точки. В точках, для которых , т.е. , колебания происходят с удвоенной амплитудой: (пучности волны). В точках, для которых , т.е. , колебаний не происходит, (узлы стоячей волны). Расстояние между двумя соседними пучностями или двумя соседними узлами равно . На рис. 18.5а и 18.6б изображены "мгновенные снимки" бегущей и стоячей волн в моменты времени , , , , . Для сравнения стоячей и бегущей волн приведем таблицу.

Бегущая волнаСтоячая волнаУравнение Амплитуда Фаза Энергия

Одинакова во всех точках и равна А

Зависит от положения колеблющейся точки

Переносит энергию

Зависит от положения колеблющейся точки

Одинакова между двумя соседними узлами

Не переносит энергии (в прямом и обратном направлениях за один и тот же промежуток времени переносятся равные порции энергии)

Стоячие волны возбуждаются, например, в струнах музыкальных инструментов. Образование стоячей волны - частный случай интерференции волн.

Электромагнитные колебания

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора (рис. 18.7). Если зарядить конденсатор до напряжения , то в начальный момент времени на обкладках конденсатора будут амплитудные (максимальные) значения напряжения и заряда . Полная энергия системы равна энергии электрического поля конденсатора:

.

По цепи начинает течь ток, так как обкладки конденсатора накоротко замкнуты на индуктивность, однако вследствие самоиндукции конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно. Ток через индуктивность увеличивается, достигая максимального значения . В момент времени заряд конденсатора станет равным нулю, а ток достигнет максимального значения . Энергия системы будет равна энергии магнитного поля соленоида:

.

Когда напряжение обращается в нуль, ток в цепи должен прекратиться, однако вследствие самоиндукции ток будет продолжать течь, что вызовет перезарядку конденсатора. Постепенно ток уменьшится до нуля. В момент времени , , . Затем конденсатор начинает разряжаться, причем ток через индуктивность течет в обратном направлении, и т.д. Через промежуток времени, равный , система приходит в исходное состояние.

Напряжение на обкладках конденсатора равно эдс самоиндукции:

,

где - производная силы тока по времени, откуда

.

Сравнивая с (18.5) (), для частоты колебаний имеем

.

Период колебаний равен

. (18.23)

Заряд на обкладках конденсатора со временем изменяется по закону

, (18.24)

напряжение на обкладках равно

. (18.25)

Выражение для тока, равного , имеет вид

, . (18.26)

Таким образом, в колебательном контуре по гармоническому закону изменяются заряд, напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в контуре. Так же происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.

Если в цепи колебательного контура сопротивление не равно нулю, то в процессе колебаний часть энергии непрерывно будет переходить во внутреннюю (в тепло) и колебания затухнут. Для поддержания колебаний необходимо в цепь колебательного контура подключить переменную эдс:

,

где - амплитудное значение эдс, - ее частота. При совпадении собственной частоты колебаний с частотой внешней эдс амплитудные значения заряда, напряжения и тока резко увеличиваются (резонанс). Электрический резонанс используется для настройки на определенную длину электромагнитной волны. В колебательном контуре индуктивность или емкость берутся переменными, что позволяет настроить контур на нужную частоту. При совпадении частоты сигнала с собственной частотой колебательного контура ток в контуре становится достаточно большим. Сигналы всех остальных частот вызывают в цепи слабые токи (рис. 18.8).

Переменный ток

Переменный ток - ток, изменяющийся во времени. Будем рассматривать ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

(18.27)

и возникающий в цепи, подключенной к источнику эдс:

,

где - амплитудное значение силы тока, - циклическая частота, - начальная фаза.

Эффективное, или действующее, значение силы тока - это значение силы такого постоянного тока, который за промежуток времени, равный одному периоду, вызовет в омическом сопротивлении выделение такого же количества теплоты, что и переменный ток:

. (18.28)

Аналогично, эффективные значения напряжения и эдс равны соответственно

,

.

Если цепь состоит из омического сопротивления , электрической емкости и индуктивности , то сопротивление этого участка цепи равно

, (18.29)

где - реактивное индуктивное сопротивление, - реактивное емкостное сопротивление.

Если в цепь включена эдс (рис.18.9) , то сила тока равна

, (18.30)

где

, .(18.31)

Величина

(18.32)

называется реактивным сопротивлением и определяет отставание по фазе тока от эдс. Среднее за период значение мощности переменного тока

.(18.33)

Если , т.е. отсутствует реактивное сопротивление, получаем формулу для мощности постоянного тока:

.

Электромагнитные волны

Согласно теории Максвелла, переменное магнитное поле вызывает появление переменного вихревого электрического поля, которое, в свою очередь, вызывает появление переменного магнитного поля и т.д. Таким образом происходит распространение электромагнитных возмущений в пространстве, т.е. распространяется электромагнитная волна. Силовые линии электрического поля в этом случае являются замкнутыми. Источником этого поля является переменное магнитное поле, а не положительные и отрицательные заряды. Электрическое поле в электромагнитной волне - вихревое, силовые линии этого вихревого поля лежат в плоскостях, перпендикулярных вектору .

Перечислим основные свойства электромагнитных волн.

.Электромагнитная волна - поперечная (рис. 18.10). Векторы , и взаимно перпендикулярны и составляют правовинтовую тройку векторов.

.Скорость электромагнитных волн в вакууме равна

и совпадает со скоростью света. В среде

,

где и - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

Напряженность электрического поля и индукция магнитного поля изменяются в фазе:

,

.

3.Электромагнитные волны переносят энергию.

4.Электромагнитные волны отражаются от проводящих поверхностей и преломляются на границе двух диэлектриков.

.Электромагнитные волны оказывают давление на тела.

.Если электромагнитная волна оказывает давление на тела, т.е. сообщает им импульс, следовательно, она также обладает импульсом.

.Наблюдаются дифракция, интерференция и поляризация электромагнитных волн.

Шкала электромагнитных волн

Электромагнитные волны генерируются в широком диапазоне частот. Каждый участок спектра имеет свое название (рис. 18.11). Так, видимому свету соответствует довольно узкий диапазон частот и соответственно длин волн: от до .

С коротковолновой стороны от видимой области спектра (рис. 18.11) находится ультрафиолетовая область, с длинноволновой - инфракрасная. За ультрафиолетовым диапазоном идет рентгеновский, а затем -излучение, -лучи - электромагнитное излучение самой большой частоты ( ~ ). Радиоволны лежат в диапазоне . Отметим, что -лучи излучаются при распаде радиоактивных ядер, электромагнитные волны излучаются атомами. Радио- и микроволновое излучение генерируется макротелами - системами. Несмотря на кажущееся различие излучений в разных диапазонах, все они обладают свойствами электромагнитных волн.

. Геометрическая оптика

Геометрическая оптика - это раздел оптики, изучающий законы распространения света в прозрачных средах и отражения света от зеркальных или полупрозрачных поверхностей. При этом используется представление о световом луче, как линии, указывающей направление распространения световой энергии. Отсюда ясно, что одним из основных положений геометрической оптики есть положение о прямолинейном распространении света. Понятие о световом луче, как о бесконечно тонком пучке света, распространяющемся прямолинейно, составляет противоречие с представлениями о волновой природе света, согласно которым отклонение от прямолинейного распространения будет тем больше, чем более узкий световой пучок мы пытаемся получить (явление дифракции). Закон прямолинейного распространения света и законы преломления и отражения позволяют объяснить и описать многие физические явления, а также провести расчеты и конструирование оптических приборов.

Законы отражения света

1.Падающий и отраженный лучи на нормаль к отражающей поверхности, восстановленная в точке падения, лежат в одной плоскости.

2.Угол падения равен углу отражения , причем - угол между падающим лучом и нормалью, - угол между отраженным лучом и нормалью. Если падающие параллельные лучи после отражения от плоской поверхности остаются параллельными, то такое отражение называется зеркальным, а отражающая поверхность является плоским зеркалом.

Построим изображение в плоском зеркале. Пусть точечный источник света находится на расстоянии от плоского зеркала (рис. 19.1) и пусть один из лучей падает перпендикулярно зеркалу. Тогда, отразившись, он распространяется по той же прямой . Пусть второй луч падает под некоторым углом . Отразившись под углом , он не сможет пересечь первый отраженный луч. Но продолжения этих лучей пересекутся в точке . Тогда будет мнимым изображением точечного источника. Треугольник - равнобедренный и - его высота, следовательно, и . Еслинаблюдатель видит отраженный зеркалом поток, то ему будет казаться, что источник находится в точке .

Законы преломления света

1.Падающий и преломленный лучи и нормаль к границе раздела сред в точке падения лежат в одной плоскости.

2.Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно относительному показателю преломления второй среды относительно первой:

, (19.1)

где - угол между падающим лучом и нормалью, - угол между преломленным лучом и нормалью. Относительный показатель преломления , где и - абсолютные показатели преломления двух сред, равные отношению скорости распространения света в среде:

, .

Считается, что чем больше показатель преломления, тем среда оптически более плотная. Если луч идет из среды, оптически менее плотной в среду, оптически более плотную, то (рис. 19.2а). Если луч идет из среды, оптически более плотной в среду, оптически менее плотную, то (рис. 19.2б).

При луч полностью отражается от границы раздела сред, поэтому называется предельным углом, а отражение лучей от границы раздела сред - полным внутренним отражением.

Линзы

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное криволинейными поверхностями. Простейшая линза - сферическая. Преломление лучей при прохождении их через линзу строго определяется законами преломления. Расчеты, проводимые на основании этих законов, показывают, что линзы можно разделить на два типа: собирающие и рассеивающие. Используя законы преломления света, можно показать, что линзы а - в (рис. 19.3) будут собирать падающий на них параллельный пучок лучей, а линзы г - е - рассеивать. Слева на рисунках показаны условные обозначения тонких собирающей и рассеивающей линз.

Рассмотрим тонкую линзу, т.е. линзу, максимальная толщина которой значительно меньше ее радиусов кривизны (рис. 19.4). Главной оптической осью называется прямая, проходящая через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу. Радиусы этих сфер называются радиусами кривизны. Фокусом линзы называется точка пересечения преломленных линзой лучей, падающих параллельно главной оптической оси. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Оптическим центром линзы называется точка, при прохождении через которую любой луч преломляется таким образом, что направление его распространения не изменяется. Оптический центр - это точка пересечения главной оптической оси с тонкой линзой. Другие прямые, проходящие через оптический центр линзы, называются побочными оптическими осями. Расстояние между оптическим центром линзы и фокусом называется фокусным расстоянием. Очевидно, что фокусное расстояние является величиной положительной.

Лучи, параллельные побочной оптической оси, собираются в фокальной плоскости, в точке ее пересечения с побочной оптической осью (точка М).

У рассеивающей линзы фокус мнимый. Параллельный пучок лучей, падающих на линзу, рассеивается. Пересекаются продолжения этих лучей (рис. 19.5).

Все изложенное относится к идеальным оптическим системам и справедливо в достаточно узком параксиальном пучке лучей, т.е. лучей, образующих с главной оптической осью малый угол.

Величина, обратная фокусному расстоянию (выраженному в метрах), называется оптической силой линзы:

(дп),

которая измеряется в диоптриях: 1 дп - это оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м.

Отметим, что форма линзы не определяет того, будет линза собирающей или рассеивающей. Выпуклая линза, помещенная в среду с большой оптической плотностью, будет рассеивать лучи.

Фокусное расстояние и оптическая сила линзы определяются радиусами кривизны ее сферических поверхностей. Формула, связывающая эти величины, имеет вид

, (19.4)

.

Для выпуклой линзы и . Тогда, если , то , т.е. линза собирающая, если же , то , линза рассеивающая, где - отношение показателей преломления линзы и среды. Радиус кривизны считается положительным для выпуклых поверхностей и отрицательным для вогнутых (рис. 19.6). Для двояковогнутой линзы и . Тогда, если , то , т.е. линза рассеивающая, если , то , и линза собирающая.

Построение изображений в линзах

Изображение точечного источника - это точка, в которой собираются лучи от источника, преломленные в линзе. Если после преломления лучи, идущие от источника, пересекаются в некоторой точке, то такое изображение называется действительным; если после преломления в линзе лучи расходятся, а пересекаются из продолжения, то такое изображение называется мнимым.

Пусть точечный источник света помещен на главной оптической оси собирающей линзы (рис. 19.7а). Луч, идущий от источника вдоль главной оптической оси, не преломляется. Возьмем некоторый произвольный луч . Чтобы найти, каким образом он преломляется, проведем побочную оптическую ось параллельно .

Она пересекает фокальную плоскость в точке . Очевидно, что преломленный луч пересекает фокальную плоскость в той же точке. Пресечение двух лучей и дает изображение в точке . Изображение источника в любой оптической системе - это точка, в которой пересекаются все лучи, исходящие из источника , после прохождения лучами оптической системы. Следовательно, для построения изображения достаточно найти мочку пересечения двух любых лучей. Изображение в данном случае действительное.

Пусть источник находится в некоторой произвольной точке (рис. 19.7б). Возьмем два луча: луч проходит, не преломляясь через оптический центр линзы, луч параллелен главной оптической оси. После преломления в линзе этот луч проходит через фокус линзы. Точка пересечения лучей - действительное изображение источника .

Аналогично можно построить изображение предмета, используя те же лучи. Рассмотрим несколько случаев построения изображений в собирающей линзе (рис. 19.8).

1.Предмет находится на расстоянии, превосходящем двойное фокусное расстояние . Изображение действительное перевернутое уменьшенное (рис. 19.8а).

2.При изображение действительное перевернутое. Размеры изображения равны размеру предмета (рис. 19.8б).

.При изображение действительное перевернутое увеличенное (рис. 19.8в).

.При изображения нет. Лучи, идущие от каждой точки источника выходят под разными углами из линзы параллельными потоками (рис. 19.8г).

.При изображение получается с той же стороны, что и предмет. Изображение мнимое, прямое, увеличенное (рис. 19.8д).

Для изображений действительных предметов, даваемых тонкими собирающими линзами, полезно запомнить следующую таблицу

Расстояние от линзы до предметаИзображение прямое или перевернутоеИзображение действительное или мнимоеИзображение увеличенное или уменьшенноепрямоемнимоеувеличенноеперевернутоедействительноеувеличенноеперевернутоедействительноеуменьшенное

Эта таблица - для положительной линзы. Если вы попытаетесь построить такую таблицу для отрицательной линзы, то убедитесь, что она всегда имеет прямое, мнимое, уменьшенное изображение предмета. Отсюда можно сделать важный вывод: какой бы линзой ни создавалось прямое изображение, оно всегда будет мнимым.

Вывод формулы линзы

Отношение линейных размеров изображения к линейным размерам предмета называется линейным увеличением:

(рис. 19.8а). Из подобия треугольников и следует, что

. (19.5)

Из подобия треугольников и и равенства следует, что

.

Приравнивая выражения для , получим

.

Воспользуемся свойством пропорции и получим уравнение:

.

Разделив все члены уравнения на , получим формулу линзы:

. (19.6)

Для собирающих линз , , , если изображение действительное и , если изображение мнимое. Для рассеивающих линз , , .

Построение изображений в рассеивающей линзе

1)Пусть точечный источник света находится на главной оптической оси линзы (рис. 19.9а). Луч, идущий через оптический центр, не изменяет направления. Возьмем произвольный луч . Побочная оптическая ось пересечет фокальную плоскость в точке В. В этой же точке пересечет фокальную плоскость продолжение преломленного в линзе луча . Точка пересечения продолжения этого луча с главной оптической осью есть изображение источника . Изображение мнимое.

2) Если источник находится в любой точке плоскости чертежа, то один луч удобно выбрать идущим через оптический центр, а другой - параллельно главной оптической оси. После преломления продолжение этого луча пересечет главную оптическую ось в точке фокуса. Точка пересечения указанных лучей даст изображение источника.

Изображение предмета строится аналогично. Рассмотрим несколько случаев построения изображения. Заметим, что рассеивающая линза позволяет получить только мнимое изображение предмета (рис. 19.9б).

-При изображение мнимое уменьшенное прямое.

-При изображение существует (в отличие от собирающей линзы). Из построения очевидно, что размеры изображения в два раза меньше размеров предмета (рис. 19.9в).

-При изображение мнимое прямое уменьшенное (рис. 19.9г). С приближением к линзе размеры изображения увеличиваются, однако они всегда будут меньше размеров предмета, .

На рис. 19.10 изображена зависимость от для рассеивающей линзы. Для рассеивающей линзы справедлива формула, аналогичная (19.6).

Запишем формулу линзы в общем случае:

. (19.7)

Слева знак плюс берется в случае собирающей, знак минус в случае рассеивающей линзы. При первом члене в правой части равенства знак плюс берется в случае действительного источника, знак минус в случае, когда на линзу падает сходящийся пучок лучей, который пересекся бы в некоторой точке за линзой на расстоянии от нее, если бы линзы не было. Такой источник можно трактовать как мнимый, поэтому в этом случае в формуле (19.7) берется . При втором слагаемом знак плюс берется в случае действительного изображения, знак минус в случае мнимого.

Оптические системы

Оптическая система может состоять из одних линз или линз и зеркал, в которых последовательно получаются изображения предмета. Изображение, полученное в первой линзе, является предметом для второй линзы. Изображение, построенное второй линзой, в свою очередь является предметом для третьей линзы и т.д.

Пусть две собирающие линзы с фокусными расстояниями и с общей оптической осью находятся на расстоянии друг от друга. Если расстояние от предмета до первой линзы больше ее фокусного расстояния , то изображение будет находиться на расстоянии .

Если , то расстояние от изображения до оптического центра второй линзы получим по формуле

,

откуда

.

Если , то

.

При

, ,

где - расстояние, на котором собирается параллельный пучок лучей, подающих на оптическую систему. Величина определяет оптическую силу системы , следовательно,

.

Оптическая сила нескольких тонких линз, вплотную прилегающих друг к другу, равна алгебраической сумме оптических сил каждой линзы, причем для собирающих линз , для рассеивающих .

. Волновая оптика

В этой главе мы рассмотрим явления, доказывающие волновую природу света. Для любого волнового процесса характерны явления интерференции и дифракции.

Интерференция света

Интерференция света - это явление наложения волн с образованием устойчивой картины максимумов и минимумов. При интерференции света на экране наблюдается чередование светлых и темных полос, если свет монохроматический (излучаются электромагнитные волны одной длины волны), или цветных полос, если свет белый или состоит из волн разной длины. При рассмотрении интерференции механических волн мы говорили, что необходимым условием наблюдения интерференционной картины является когерентность волн. Два различных источника света не могут быть когерентны. Свет излучается возбужденными атомами, время излучения атома длится ~ , период колебаний, возбуждаемых световой волной, ~ . Невозможно согласовать излучение двух атомов одного источника, тем более невозможно согласовать излучение двух разных источников. (Исключение составляют лазеры, так как разность фаз колебаний, возбуждаемых излучение двух лазеров в данной точке, не зависит от времени, а зависит только от расстояния до точки.)

Каждый атом излучает короткий цуг волн, который можно представить как сумму монохроматических волн с начальной фазой, определяемой моментом излучения. Для получения интерференционной картины видимого света необходимо разделить излучение от одного источника на два потока, эти потоки направить по двум разным траекториям, а затем соединить их в некоторой области пространства. В этом случае в данной точке пространства будут сходиться волны, испущенные одним атомом в одном акте излучения, и разность фаз колебаний, возбуждаемых в этой точке этими волнами, будет определяться только разностью хода волн. Например, луч, падающий непосредственно на экран, , и луч, отразившийся от зеркала, , будут когерентны (рис. 20.1). Разность геометрических длин в данном случае является разностью хода волн

.

Очевидно, что разность хода волн не должна превышать 3 м. Если , то в точке А встречаются волны, излученные разными атомами, так как за время одним атомом излучается цуг волн длиной , где - скорость света, равная .

Если волны распространяются в среде с показателем преломления , то длина волны изменяется и в условиях берется оптическая разность хода волн. Для того же примера (рис. 20.1) имеем

.

Если лучи распространяются в различных оптических средах с показателями преломления и и проходят расстояния и , то оптическая разность хода волн равна

.

Если разность хода волн равна четному числу длин полуволн или целому числу длин волн , то в этих точках пространства наблюдаются интерференционные максимумы (яркие полосы). Если же разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн , где 0, 1, 2,…, то в этих точках пространства наблюдаются интерференционные минимумы (темные полосы).

Если в данной точке пространства накладываются некогерентные волны, то они возбуждают колебания, разность фаз между которыми будет непрерывно изменяться во времени. В результате сложения этих колебаний амплитуда результирующего колебания будет изменяться. В результате глаз зафиксирует среднюю освещенность экрана, равную сумме освещенностей, создаваемых каждым источником в отдельности (интерференции нет).

Дифракция света

Явление огибания волнами препятствий и попадания света в область геометрической тени называется дифракцией.

Пусть плоская волна падает на щель в плоском экране . Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, причем все эти вторичные источники когерентны. Огибающая к фронтам волн от вторичных источников дает положение нового фронта волны. На рис. 20.2 видно, что после прохождения отверстия волны будут распространяться в область геометрической тени. Явление дифракции наблюдается при условии соизмеримости препятствия с длиной волны ~ . Все вторичные источники когерентны и распределение интенсивности есть результат интерференции волн, излучаемых вторичными источниками.

Дифракционная решетка состоит из чередующихся прозрачных и непрозрачных полос. Суммарная ширина прозрачной и непрозрачной полос называется периодом дифракционной решетки .

Так как ширина щелей и непрозрачных полос постоянна, то достаточно рассмотреть интерференцию параллельных пучков от двух соседних щелей.

Пусть на решетку падает плоская волна. Так как ~ , то лучи начинают отклоняться от первоначального направления распространения. Щели являются когерентными источниками. Рассмотрим два луча от соответствующих точек двух соседних щелей, отклонившиеся на одинаковый угол ( - угол дифракции) (рис.20.3). Заметим, что угол принимает любое значение в пределах .

Разность хода лучей 1 и 2 равна . После дифракционной решетки установлена собирающая линза, в фокальной плоскости которой помещен экран. Лучи собираются в фокальной плоскости в точке М. Линза не изменяет разность хода волн.

Если разность хода волн , то на экране появится светлая полоса, если , то на экране появится темная полоса. Следовательно, на экране будут видны чередующиеся светлые и темные полосы, если источник света монохроматический.

Если источник является источником белого света, то на экране будут видны полосы разного цвета. Монохроматические пучки, относящиеся к различным значениям , называются порядками спектра, а создаваемые ими изображения - спектральными линиями. Все порядки, соответствующие , симметричны относительно спектра нулевого порядка. Если - порядок спектра, то при (спектр нулевого порядка) в центре экрана будет белая полоса, так как условие максимума выполняется для всех длин волн. Условие максимума в спектре первого порядка . Фиолетовый цвет имеет наименьшую длину волны и, соответственно, условие максимума выполняется для фиолетовой области спектра при наименьшем угле отклонения. Для больших углов последовательно выполняются условия максимума для синей, голубой, зеленой, желтой, оранжевой, красной полос. Также очевидно, что в спектре ближайшей к центру будет фиолетовая полоса, а наиболее удаленной красная и т.д.

, ,

.

. Фотоэффект

Явления дифракции и интерференции хорошо объясняются волновой природой света. Изучение фотоэффекта выявило корпускулярную природу света.

Фотоэлектрическим эффектом называется испускание электронов с поверхности металла под действием света (внешний фотоэффект, или фотоэлектронная эмиссия). Если к электродам откаченной трубки приложить напряжение, ток по цепи не потечет, так как в пространстве между катодом и анодом нет носителей тока. Но при облучении катода световым потоком в цепи появится ток. Зависимость силы тока от напряжения представлена на рис. 21.1. При увеличении напряжения сила тока растет, все большее число электронов покинувших катод под действием света, достигает анода. Начиная с некоторого значения напряжения , сила тока в цепи не изменяется. Это означает, что все электроны, вышедшие из катода за 1 с, достигают анода. Этот ток называется фототоком насыщения. Он позволяет определить количество электронов, покидающих катод за 1 с. При , равном нулю, фототок отличен от нуля. Это объясняется тем, что электроны вылетают из металлической пластинки с некоторой скоростью и не нужно создавать электрического поля для того, чтобы они достигли анода. Для того чтобы фототок был равен нулю, надо создать поле, препятствующее движению электронов к аноду. Разность потенциалов, при которой электроны не достигают анода, называется задерживающим напряжением . Изменение кинетической энергии электрона должно быть равно работе электростатических сил поля, созданного между электродами:

, (21.1)

где и .

Законы Столетова для фотоэффекта

1.Сила фототока насыщения тем больше, чем больше падающий на катод световой поток (средняя по времени энергия, падающая на поверхность катода, за единицу времени). С увеличением падающего потока возрастает количество электронов, покидающих катод.

2.Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

Фотоэффект наблюдается, если длина волны падающего излучения меньше некоторой определенной длины волны, называемой красной границей фотоэффекта, т.е. при . Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, зависит от свойств металла.

Последний закон невозможно объяснить с позиции классической физики. Была выдвинута гипотеза, что свет излучается и поглощается порциями - квантами или фотонами. Энергия фотона

,

где - постоянная Планка, равная . Фотон - элементарная частица, движущаяся в вакууме со скоростью , равная скорости света. Масса покоя фотона равна нулю. Импульс фотона

. (21.2)

Согласно Эйнштейну, энергия фотона, падающего на металл, идет на работу выхода электрона из металла и на сообщение электрону кинетической энергии. Уравнение Эйнштейна имеет вид

. (21.3)

С учетом (21.1) можно записать

, (21.4)

где - работа выхода электрона из металла.

Работой выхода называется минимальная энергия, которую надо сообщить электрону, чтобы он покинул металл. Свободные электроны, выходя за пределы кристаллической решетки металла. Образуют вокруг него электронное облако. Между ним и кристаллической решеткой создается электрической поле, препятствующее дальнейшему выходу электронов из металла. Для того, чтобы электрон покинул металл, он должен обладать достаточной энергией для преодоления этого поля. Скорости электронов в системе различны. Электрону с меньшей энергией надо сообщить большую порцию энергии, чем электрону с большей энергией, для того, чтобы они покинули металл.

Работа выхода зависит только от химического состава металла и от состояния его поверхности. Из определения работы выхода ясно, что в формуле (21.3) представляет собой максимальную кинетическую энергию выбитого электрона. Из формулы (21.3) очевидно также, что фотоэффект наблюдается, если , где

.

Соответственно,

.

. Атомная и ядерная физика

Атомы состоят из положительного ядра и обращающихся вокруг него электронов (планетарная модель атома). Атомы электрически нейтральны, следовательно, заряд ядра по модулю равен суммарному заряду электронов. Размеры атома малы, порядка ~ , размеры ядра порядка , т.е. существенно меньше размеров атома. Движущийся по круговой орбите с нормальным ускорением электрон должен излучать энергию (согласно законам электродинамики, при любом неравномерном движении заряженной частицы будет излучаться электромагнитная волна, и частица будет терять энергию), при этом кинематическая энергия электрона, его скорость и радиус орбиты должны уменьшаться и он должен упасть на ядро. Однако известно, что атомы устойчивы и излучают линейчатые спектры. Для объяснения линейчатости спектров и устойчивости атомов Нильс Бор сформулировал следующие постулаты:

1.Электроны могут двигаться в атоме только по определенным орбитам, называемым стационарными, при движении по которым энергия не теряется.

2.Излучение и поглощение энергии атомом происходит при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую.

Энергия испускаемого (поглощаемого) фотона равна

, (22.1)

где - постоянная Планка, равная , - частота испускаемого (поглощаемого) фотона. Если электрон переходит с более удаленной от ядра орбиты на более близкую, то при этом излучается фотон, обратный переход может произойти при поглощении фотона. Условие стационарности -й орбиты по Бору:

, (22.2)

где , и - скорость и радиус электрона на -й орбите. Величина - момент импульса электрона - положительное число, называемое главным квантовым числом. Оно указывает номер орбиты, по которой может обращаться электрон. Согласно Бору, электрон может двигаться в атоме не по любым, а по строго определенным орбитам. Условие (22.2) называется условием квантования орбит.

Рассчитаем радиусы возможных орбит электронов в водородоподобном атоме, т.е. атоме, потерявшем все электроны, кроме одного. На электрон действует кулоновская сила

,

где - число положительных зарядов в ядре, равное числу электронов, - заряд ядра. Основной закон динамики имеет вид

. (22.3)

Уравнения (22.2) и (22.3) образуют систему двух уравнений относительно двух неизвестных и . Решая ее, получим

. (22.4)

Расчеты показывают, что радиус первой орбиты равен

, .

Энергия электрона на -й орбите равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

.

(Потенциальная энергия электрона в атоме отрицательна, так как нулевой уровень отсчета берется на бесконечность, а по мере приближения электрона к ядру его потенциальная энергия уменьшается.) Из (22.3) следует

,

откуда

.

Подставив в это выражение из (22.4), получим

, 1, 2, 3, … (22.5)

При переходе электрона с -й орбиты на -ю будет излучаться фотон, энергия которого равна

.

Длина волны излучения определяется соотношением

. (22.6)

Формула (22.6), полученная теоретически на основании модели атома Бора, совпадает с формулой Бальмера, полученной экспериментально на основе изучения спектров излучения атомов:

, (22.7)

где - постоянная Ридберга, равная

.

Для атома водорода при , постоянный коэффициент в формуле (22.6)

совпадает по величине с . Формула (22.5) показывает, что энергия электрона в атоме может принимать дискретный набор значений, т.е. энергия квантуется.

Наименьшее значение энергии имеют электроны, вращающиеся по первой боровской орбите.

На рис. 22.1 изображена схема энергетических уровней электрона в атоме водорода. Расчеты и эксперименты показывают, что видимой области спектра соответствуют переходы электронов на вторую боровскую орбиту. В атомной и ядерной физике энергия измеряется в электронвольтах. Энергия 1 эВ - это значение энергии, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 1 В:

.

Строение ядра

Ядро атома состоит из протонов и нейтронов. Масса протона , заряд протона равен по величине заряду электрона .

Масса нейтрона . Нейтрон - электрически нейтральная частица.

Массы ядер принято измерять в атомных единицах массы. 1 атомная единица массы равна массы атома углерода. В этих единицах масса нейтрона равна

,

а масса протона

.

Нейтроны и протоны, составляющие ядро, называются нуклонами. Между нуклонами в ядре действуют силы, удерживающие из на малом расстоянии друг от друга - ядерные силы. Ядерное взаимодействие гораздо сильнее кулоновского и гравитационного взаимодействий. Ядерные силы - короткодействующие, это значит, что они действуют только на малых расстояниях порядка размеров ядра, т.е. на . Общее число нуклонов в ядре равно числу целых единиц атомной массы элемента и называется массовым числом А. Число протонов в ядре обозначается буквой и называется зарядовым числом. Очевидно, что число нейтронов в ядре равно . Элемент принято обозначать , где - символ химического элемента.

Ядра одного и того же химического элемента, содержащие одинаковое число протонов, но разное число нейтронов, называются изотопами. Например, водород имеет три изотопа: , , . Если подсчитать суммарную массу частиц, составляющих ядро, и сравнить ее с массой ядра, то оказывается, что первая больше второй. Разность этих масс

называется дефектом массы. Из формулы Эйнштейна, связывающей массу и энергию

,

определим энергию, необходимую для того, чтобы разделить ядро на составляющие его частицы - энергию связи:

.

На рис. 22.2 представлен график зависимости удельной энергии связи (энергии связи на один нуклон) от массового числа А. Видно, что наиболее стабильными являются ядра с А = 56. Анализ графика зависимости от А показывает, что возможно выделение энергии при синтезе (соединении) легких ядер или при делении тяжелых. Первая реакция называется реакцией термоядерного синтеза, так как для того, чтобы ядра приблизились друг к другу на расстояние меньше и преодолели силы кулоновского отталкивания, они должны иметь очень большую энергию. Энергия, выделяемая при термоядерной реакции соединения дейтерия с тритием , составляет 3,5 . Эта реакция имеет вид

. (22.8)

Наиболее распространенной реакцией деления является деление ядер урана . Запишем типичную реакцию деления:

. (22.9)

Ядро урана сначала поглощает нейтрон, образуя промежуточное ядро , существующее , затем ядро распадается на два осколка. Реакция деления происходит практически мгновенно.

При реакции деления на один нуклон приходится энергия, равная 1 МэВ. Выделяющиеся при реакции деления нейтроны могут поглощаться другими ядрами, что вызывает дальнейшие реакции деления. Так происходит цепная реакция, при которой выделяется огромная энергия (атомная бомба). В ядерном реакторе осуществляется управляемая реакция деления. Среднее число нейтронов при каждом акте деления, вызывающих деление других ядер, называется Коэффициентом размножения нейтронов . В реакторах ~ 1, при взрыве атомной бомбы . В ядерных реакторах используются стержни из кадмия, которые поглощают нейтроны и поддерживают реактор в рабочем состоянии. Если стержни вынуть, то произойдет цепная реакция, если их вставить полностью, то реакции деления прекращаются.

адиоактивность

В природе существуют нестабильные ядра, которые превращаются в ядра других элементов, при этом происходит излучение. Известны три вида радиоактивного излучения: -, - и -излучение. -лучи - это поток ядер гелия .

Примером -распада является превращение радия в радон:

. (22.10)

Дочернее ядро возникло из материнского ядра радия.

Отметим, что при всех ядерных превращениях (22.8) - (22.10) сохраняются массовые и зарядовые числа. При всех ядерных превращения выполняются все известные законы сохранения: энергии, импульса, момента импульса, заряда, а также закон сохранения нуклонов. При -распаде происходит излучение электронов. Пример -распада - распад ядра углерода:

.

Дополнительная частица - антинейтрино - обеспечивает выполнение фундаментальных законов сохранения энергии и импульса. При -распаде не происходит превращение одного элемента в другой. При -распаде ядро теряет положительный заряд, равный , и в результате элемент смещается на две клетки к началу периодической системы элементов; при -распаде элемент смещается на одну клетку к концу периодической системы элементов. Приведенные выше правила называются правилами смещения.

При поглощении частиц стабильными атомными ядрами они могу стать радиоактивными. Такая радиоактивность называется искусственной.

Например, при поглощении ядрами алюминия -частиц образуется радиоактивный изотоп фосфора, который затем распадается, испуская позитрон (античастица электрона):

,

.

Закон радиоактивного распада

Основная характеристика радиоактивного вещества - период полураспада. Это промежуток времени, за который распадается половина имеющихся радиоактивных ядер. За период полураспада радиоактивность снижается в 2 раза. Следовательно, через число ядер будет равно , через следующий промежуток времени число ядер будет равно и т.д. Через промежуток времени число ядре будет равно

,

или

.

Этот закон выражает основной закон радиоактивного распада.

Механика 1.Введение. Кинематика Механика изучает механическое движение, условия и причины, вызывающие данное движение, а также условия равновесия

Больше работ по теме: