Модель межотраслевой экономики – модель Леонтьева

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Специальность «Государственное и муниципальное управление»








КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Основы математического моделирования социально-экономических процессов



Выполнил студент 2 курса заочной формы обучения









г. Шахунья

г.

ЗАДАНИЕ №1


Модель межотраслевой экономики - модель Леонтьева.

Задача 1. Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечный продукт Yi для двухотраслевой экономической системы. Данные приведены в таблице.

.Определить коэффициенты полных затрат, вектор валового выпуска, межотраслевые поставки продукции;

.Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат;

.Составить и заполнить таблицу межотраслевого баланса.

.Найти матрицу косвенных затрат.


ОтрасльКоэффициенты прямых затрат aijКонечный продукт Yi1210,1*m0,1100020,30,1*n500+100*n

Подставив данные варианта m = 4, n = 4, получим:


ОтрасльКоэффициенты прямых затрат aijКонечный продукт Yi1210,40,1100020,30,4900

Из таблицы получаем:


0,4 0,1 1000

А= 0,3 0,4 ,Y=900.



Найдем матрицу полных затрат:


Находим определитель:



А также матрицу миноров:



А затем матрицу алгебраических дополнений:



И соответствующую ей транспонированную матрицу:



Что позволяет найти обратную матрицу - матрицу полных затрат:



Так как все элементы матрицы полных затрат неотрицательны, а также сумма элементов матрицы А по всем строкам и столбцам <1, то матрица коэффициентов прямых затрат является продуктивной.

Найдем вектор валового выпуска:



Помножив первое уравнение на 6 и сложив первое уравнения со вторым, получим:



Откуда найдем:



Межотраслевые поставки считаем по формуле:



В итоге таблица межотраслевого баланса выглядит следующим образом:

ОтрасльКоэффициенты прямых затрат aijКонечный продукт YiВаловой выпуск1210,30,110002090,90920,30,49002545,454

Найдем матрицу косвенных затрат:



ЗАДАНИЕ №2


Линейное программирование. Задача оптимального производства продукции

Задача 2. Предприятие планирует выпуск двух видов продукции: I и II. На производство расходуется три вида сырья: A, B и C. Потребность aij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль cj от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:


Вид сырьяВиды продукцииЗапас сырьяIIIAa11=na12=2b1=mn + 5nBa21=1a22=1b2=m + n +3Ca31=2a32=m+1b3=mn+4m+n+4Прибыльc1=m+2c2=n+1План (ед.)x1x2затрата индексный решение excel

Подставив данные варианта, получим:

Вид сырьяВиды продукцииЗапас сырьяIIIA4236B1111C2540Прибыль65План (ед.)x1x2

Целевая функция решения имеет следующий вид:



Система ограничений на целевую функцию:



Воспользовавшись сервисом «поиск решения» в программе MS Excel, получим оптимальный план производства продукции:

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 6x1 + 5x2 при следующих условиях-ограничений.


x1 + 2x2?36+ x2?11

x1 + 5x2?40+ x2?4

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).


x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 36

x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 11

x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 40

x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1x6 = 4


Введем искусственную переменную: в 4-м равенстве вводим переменную x7;


x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 36

x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 11

x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 40

x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1x6 + 1x7 = 4


Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

(X) = 6x1+5x2 - Mx7 ? max


Из уравнения выражаем искусственную переменную:

= 4-x1-x2+x6


которую подставим в целевую функцию:

(X) = (6+M)x1+(5+M)x2+(-M)x6+(-4M) ? max


Решим систему уравнений относительно базисных переменных:, x4, x5, x7,


Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:= (0,0,36,11,40,0,4)


БазисBx1x2x3x4x5x6x7x3364210000x4111101000x5402500100x7411000-11F(X0)-4M-6-M-5-M000M0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее, 4-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен 1 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.


БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx33642100009x411110100011x540250010020x7411000-114F(X1)-4M-6-M-5-M000M00

Получаем новую симплекс-таблицу:

БазисBx1x2x3x4x5x6x7x3200-21004-4x47000101-1x532030012-2x1411000-11F(X1)2401000-66+M

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x6, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai6 и из них выберем наименьшее, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен 4 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.


БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx3200-21004-45x47000101-17x532030012-216x1411000-11-F(X2)2401000-66+M0

Получаем новую симплекс-таблицу:

БазисBx1x2x3x4x5x6x7x650-1/21/4001-1x4201/2-1/41000x52204-1/20100x1911/21/40000F(X2)540-211/2000M

Итерация №2.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен 1/2 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx650-1/21/4001-1-x4201/2-1/410004x52204-1/2010051/2x1911/21/4000018F(X3)540-211/2000M0

Получаем новую симплекс-таблицу:

БазисBx1x2x3x4x5x6x7x67000101-1x2401-1/22000x560011/2-8100x17101/2-1000F(X3)62001/2400M

Индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план. Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым. Оптимальный план можно записать так:

= 7

x2 = 4

F(X) = 54 + 67 = 62


Для решения графическим методом заменим неравенства уравнениями и построим их на координатной плоскости. Область решений обозначена штриховкой.


Добавим на график целевую функцию (на графике обозначена пунктирной линией):



Будем искать максимальное значение a, при котором целевая функция касается многоугольника решений. Получилось a=62 для значений x1 = 7 и x2 = 4.

Литература


1.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер,2004.

.Орлова И. В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели. - М.: Вузовский учебник, 2009.

.Замков О.О. и др. Математические методы в экономике. - М.: Дело и сервис, 2009.

.Шапкин А. С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями. - М.: «Дашков и К0», 2006.


Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образован

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ