Минимизация носителя в методе вспомогательных токов

 

1. Задачи дифракции и методы их решения

.1 Постановка задачи

Сформулируем математическую постановку задачи дифракции первичного волнового поля на теле, ограниченном замкнутым контуром S.

Рассеянное волновое поле удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

,

где - волновое число, условию излучения Зоммерфельда на бесконечности вида

,

(для простоты мы рассматриваем двумерный случай), а также некоторому краевому условию на границе S рассеивателя. Пусть, например, это будет условие Дирихле

,

где - известная функция, поле падающей на препятствие волны.

1.2 Представление поля посредством волновых потенциалов

Представление волновых полей посредством волновых потенциалов имеет следующий вид:

В этом соотношении - радиус-вектор точки наблюдения, - радиус-вектор точки интегрирования на - некоторой достаточно гладкой замкнутой поверхности (в двумерном случае - контура), - дифференцирование в направлении внешней к нормали, и - плотности потенциалов двойного и простого слоя соответственно, - функция Грина (фундаментальное решение уравнения Гельмгольца).

В двумерном случае

-

функция Грина свободного пространства.

Осуществляя деформацию носителя плотностей внутрь , мы можем аналитически продолжить волновое поле в область , причём такое продолжение, очевидно, возможно лишь в том и только в том случае, если полученная в результате деформации замкнутая поверхность (контур) охватывает все особенности продолжения волнового поля в область .

Если при этом поверхность (в двумерном случае контур ) нерезонансная, т.е. не является собственным значением соответствующей внутренней задачи Дирихле или Неймана для области внутри , то волновое поле может быть представлено посредством лишь потенциалов простого

,

либо соответственно - двойного слоя

Представления и лежат в основе методов, в которых носитель плотностей располагается внутри рассеивателя, - это метод вспомогательных токов (МВТ), стандартный метод дискретных источников (СМДИ) и модифицированный метод дискретных источников (ММДИ).

2. Особенности аналитического продолжения волнового поля

Анализ показывает, что продолжение решения внутрь области D представляет собой, вообще говоря, многозначную функцию, имеющую в D особенности типа ветвления. Поэтому для выделения однозначного решения требуется вводить систему разрезов, на которых полученное продолжение будет иметь разрывы первого рода.

Для исследования задачи о продолжении решений в вещественном пространстве естественно распространить рассматриваемое уравнение в комплексную область. Это связано с тем обстоятельством, что уравнение Гельмгольца имеет комплексные характеристики, вдоль которых распространяются особенности решения этих уравнений.

3. Метод вспомогательных токов

Возникающее интегральное уравнение первого рода с гладким ядром имеет, например, следующий вид:

Ясно, что при заданной правой части уравнение далеко не всегда имеет решение. С другой стороны, нетрудно показать, что если поверхность охватывает все особенности волнового поля , то уравнение имеет решение. Точнее говоря, имеет место следующая теорема:

Пусть - произвольная замкнутая нерезонансная поверхность Ляпунова в ( - область внутри ), тогда необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения вида в , заключается в том, чтобы поверхность охватывала множество особенностей продолжения рассеянного поля внутрь .

Требование нерезонансности, т.е. отсутствия на данной частоте собственных колебаний в области внутри (решений внутренней однородной краевой задачи) связано с видом уравнения . Если же краевую задачу свести к уравнениям, содержащим обе плотности и потенциалов, то требование нерезонансности отпадает. Условие охвата поверхностью всех особенностей волнового поля остается в силе и для дискретного аналога метода.

Рассмотрим, например, вопрос о существовании решения поставленной задачи дифракции.

Если в уравнении интеграл слева заменить по какому-либо правилу суммой, а левую часть этого уравнения приравнять к правой в соответствующем числе точек, то мы получим формулировку задачи, эквивалентную так называемому методу вспомогательных источников. Одним из принципиальных вопросов, от которых зависит эффективность метода, является выбор контура, на котором должны располагаться вспомогательные источники. Очевидно, что правильным является такой выбор вспомогательного контура, когда он охватывает особенности дифракционного поля.

Если контур стянуть к отрезку оси , то в этом случае представление дифракционного поля в виде потенциала простого слоя оказывается уже не полным и нужно использовать представление:

.

В самом деле, как поле , так и его нормальная производная терпят разрыв при переходе через отрезок , что эквивалентно наличию двух токов - электрического и магнитного - на этом отрезке.

Подставив в граничное условие Дирихле, получим:

дифракция контур волновой ток

Так как неизвестных функций две, то для их определения нужны два уравнения. Необходимые уравнения мы получим, если обратим внимание на то, что слагаемое с в создает симметричное относительно линии поле, а слагаемое с - антисимметричное. В соответствии с этим разобьем функцию на симметричную и антисимметричную (относительно ) части:

.

В результате величины и могут быть найдены из двух интегральных уравнений:

Для решения этих двух уравнений воспользуемся методом прямоугольников.

Введем обозначения:

, ,

Тогда:

, т.к. и , то

При получим:

, ,

В соответствии с методом дискретных источников вторичное поле находится в виде:

где

, ,

Таким образом, получим системы:

,

где:

, ,

Решив данную систему, найдем диаграмму:

4. Численное моделирование

Рассмотрим решение задачи дифракции методом вспомогательных токов на трех видах носителей токов:

.Двулистник.

2.Овал Кассини.

3.Эллипс.

На рис. 1. приведены диаграмма и невязка для решения задачи дифракции на эллипсе с параметрами .

На рис. 2 приведены диаграмма и невязка для задачи дифракции на двулистнике с параметрами .

На рис. 3 приведены диаграмма и невязка для задачи дифракции на овале Кассини с параметрами .

В качестве еще одного критерия достоверности получаемых результатов часто используют оптическую теорему, согласно которой

В таблице приведены результаты проверки оптической теоремы при

ЭллипсДвулистникОвал Кассини2.63463.40301.03562.63463.40301.0356

Заключение

В данном реферате решена задача минимизации носителя в методе вспомогательных токов. Данная минимизация позволяет существенно сократить вычислительную сложность алгоритма (вместо решения системы размера решаются две системы размера ).

Метод вспомогательных токов является простым и универсальным. А так же проведенные исследования показали, что он является очень эффективным при решении внешних краевых задач и обеспечивает достаточно высокую точность результатов.

Предложенный подход может быть распространен на трехмерные и векторные задачи дифракции.

Список литературы

1.В.Ф. Апельцин, А.Г. Кюркчан. Аналитические свойства волновых полей. М.: Изд-во МГУ, 1990

2.Е.Л. Шендеров. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989

3.А.Г. Кюркчан, С.А. Минаев, А.Л. Соловейчик. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля. // РЭ, 2001, том 46, №6, с. 666-672.

4.А.Г. Кюркчан, Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов. Особенности продолжения волновых полей // УФН, 1996, том 166, №12.

5.А.Г. Кюркчан. «Об аналитическом продолжении волновых полей» // РЭ, 1986, Вып.7

6.А.Г. Кюркчан. Аналитические свойства волновых полей и диаграмм, Москва: Препринт ИРЭ АН СССР - 1984

7.Уфимцев П.Я. Приближенный расчет дифракции плоских электромагнитных волн на некоторых металлических телах. Часть 1. Дифракция на клине и ленте. ЖТФ, 27, NQ8, 1957, с. 1840-1849.

1. Задачи дифракции и методы их решения .1 Постановка задачи Сформулируем математическую постановку задачи дифракции первичного волнового поля на

Больше работ по теме: