Методы решения некорректно поставленных задач
ВВЕДЕНИЕ
Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.
Быстро растущее использование вычислительной техники требует развития вычислительных алгоритмов для решения широких классов задач. Но что надо понимать под «решением» задачи? Каким требованиям должны удовлетворять алгоритмы нахождения « решений »?
Классические концепции и постановки задач не отражают многих особенностей встречающихся на практике задач. Мы покажем это на примере.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Az=u,
где z — искомый вектор, и — известный вектор, А ={aij} — квадратная матрица
с элементами aij.
Если система невырожденная, т. е. detA ? 0, то она имеет единственное
решение, которое можно найти по известным формулам Крамера или другими
способами.
Если система вырожденная, то она имеет решение (притом не единственное)
лишь при выполнении условий разрешимости, состоящих из равенств нулю со-
ответствующих определителей.
Таким образом, прежде чем решить систему, надо проверить, вырожденная она
или нет. Для этого требуется вычислить определитель системы detA.
Если п — порядок системы, то для вычисления detА требуется выполнить
около п3 операций. С какой бы точностью мы ни производили вычисления, при
достаточно большом значении п, вследствие накопления ошибок вычисления, мы
можем получить значение detА, как угодно отличающееся от истинного. Поэтому
желательно иметь (построить) такие алгоритмы нахождения решения системы,
которые не требуют предварительного выяснения вырожденности или
невырожденности системы.
Кроме того, в практических задачах часто правая часть u и элементы
матрицы А, т. е. коэффициенты системы уравнений, известны нам приближенно. В этих
случаях вместо системы, мы имеем дело с некоторой другой системой A1z=u1
такой, что
||А1— А||U непрерывно, взаимно однозначно и
множество Fo компактно на F, то обратное отображение Uo>Fo множества Uo на
множество Fo также непрерывно по метрике пространства F.
Доказательство. Пусть z — элементы множества F (z?F), а u—элементы множества U (u?U). Пусть функция u=?(z) осуществляет прямое отображение
F>U, а функция z=?(u)—обратное отображение U>F.
Возьмем произвольный элемент u0 из Uo. Покажем, что функция ?(u) непрерывна
на u0. Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число ?1 > 0,
что для всякого ? > 0 найдется элемент и1 из Uo, для которого ?U(и1, и0)
Больше работ по теме:
Реферат
Минимизация функций нескольких переменных. Метод спуска
Реферат
Многогранники
Реферат
Множина комплексних чисел
Реферат
Модифицированный метод Хука-Дживса
Реферат
Предмет: Математика
Тип работы: Реферат
Новости образования
22 Июля 2016 16:26
Более 70 представителей крупных вузов АСЕАН подтвердили участие в форуме во Владивостоке
22 Июля 2016 12:51
Абызов: публикация первичных статсведений снизит бюрократическую нагрузку на школы
22 Июля 2016 11:53
В Чечне свыше 200 школьников сдали ЕГЭ с результатом свыше 90 баллов - министр
22 Июля 2016 05:36
Замглавы Минобрнауки РФ: задача сократить число людей с высшим образованием не стоит
21 Июля 2016 20:19
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2019 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ