Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности

 

Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности

Введение

Идентификация объектов в настоящее время является обязательным элементом и наиболее сложной стадией выполнения ряда прикладных проектов. Оперативное и адекватное решение ее проблем создает необходимые условия эффективного практического использования математических методов и сложных наукоемких технологий. Разработка методов и алгоритмов идентификации приобретает в настоящее время исключительно важное значение для фундаментальной науки. Развитие теории идентификации в классическом направлении сейчас также актуально и практически значимо, как и 50-е годы XX века, когда она зарождалась под влиянием насущных проблем практики. Постоянная необходимость в оптимизации процесса решения практических проблем за счет рациональной идентификации стимулирует прогресс теории в классическом направлении. В связи с этим по-прежнему актуальны для фундаментальной науки такие области исследования, как математические методы параметрической и непараметрической идентификаций, математическая теория структурной идентификации, математическое моделирование систем, математические проблемы управления с оперативным идентификатором, методологии идентификации при известной адекватной математической постановке практической проблемы.

Для решения многих классов задач управления и идентификации используется широко известный среди специалистов по автоматическому управлению и специалистов, занимающихся проблемами идентификации исследуемых процессов, явлений, объектов и т.п., алгоритм чувствительности (будем называть его базовым или стандартным). На его основе можно с единых позиций подходить к вопросам идентификации различных классов динамических объектов (непрерывных, дискретных, сосредоточенных, распределенных и др.), а также решать краевые задачи алгоритмического конструирования оптимальных регуляторов.

В стандартном алгоритме чувствительности (САЧ) в критерии качества подстройки оценок неизвестных параметров обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) используется метрика, учитывающая расстояние между экспериментальными данными и решением этого уравнения, но не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения уравнения. Настоящая работа направлена на устранение данного пробела, а именно на создание нового алгоритма, который будем называть модифицированным алгоритмом чувствительности (МАЧ). Это позволит применять данный алгоритм в тех задачах, где необходимо описать как экспериментальные данные, так и производную с наименьшей суммарной ошибкой аппроксимации. Кроме этого, плохая обусловленность матриц, возникающих при подстройке неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью алгоритма чувствительности, привела к идее о модификации данного алгоритма с целью улучшения обусловленности матриц.

Цель работы: целью работы является синтез, исследование, программная реализация и применение МАЧ подстройки неизвестных параметров ОДУ, являющегося обобщением САЧ.

Для решения поставленных научных задач использовались элементы математического анализа, методы решения ОДУ, численные методы, методы функционального анализа и методы системного программирования.

В первой главе на основании обзора отечественной и зарубежной литературы рассмотрены вопросы, связанные с методами и задачами теории чувствительности (ТЧ), в основе которых лежит использование функций чувствительности (ФЧ), по существу представляющих собой градиенты показателей качества системы по некоторым совокупностям параметров, характеризующих саму систему и внешнюю среду. Рассмотрены вопросы, связанные с созданием и развитием ТЧ, которая сформировалась как самостоятельное научное направление в шестидесятых годах прошлого столетия в связи с бурным развитием теории и практики адаптивных (самонастраивающихся) систем управления (СУ), создаваемых для эффективной работы при наличии параметрических возмущающих воздействий. Обсуждены вопросы, связанные с созданием и применением САЧ.

В ТЧ в 70-х годах прошлого столетия возникла необходимость в создании алгоритма, требующего умеренного количества вычислений (например, как в градиентном алгоритме) и обладающего высокой скоростью сходимости. Такой алгоритм для минимизации определенного класса функционалов был предложен в 1961 году математиками С.Н. Соколовым и И.Н. Силиным и был назван алгоритмом линеаризации. По причине динамичности объекта существенным элементом алгоритма является получение и решение уравнений чувствительности. Из-за этой специфичности алгоритм линеаризации стали называть алгоритмом чувствительности. Отмечено, что в САЧ подстройка параметров осуществляется на основе той же информации, что и в градиентных алгоритмах, но перемещения по каждой координате совершаются оптимальным (в смысле выбранного критерия квадратичного вида) образом, т.е. среди всех градиентных методов данный алгоритм является наилучшим. Аналогичная ситуация возникает в методах наискорейшего спуска и квазилинеаризации, в которых используется одинаковая информация, но гораздо большего объема, чем в предыдущем случае. В конце главы приведен ряд работ, в которых в основном показана принципиальная возможность применения САЧ для решения тех или иных задач параметрической идентификации.

Во второй главе представлен метод аналитического описания экспериментальных данных, основанный на использовании в качестве аппроксимирующих операторов ОДУ и хорошо известного среди специалистов, занимающихся проблемами идентификации и оценивания параметров математических моделей процессов и объектов, САЧ. Изложена содержательная сущность и математическая постановка задачи аппроксимации экспериментальных данных и выбор класса ОДУ для ее описания. Рассмотрен САЧ, а именно: поставлена задача идентификации математической модели объекта и описан сам алгоритм, который является итерационным методом расчета динамических параметров нелинейных (в том числе и линейных) математических моделей непрерывных и дискретных, сосредоточенных и распределенных объектов. Сделан акцент на том, что САЧ основан на использовании хорошо известного в численном анализе метода линеаризации и так называемых ФЧ по неизвестным параметрам ОДУ. Изложены подходы к заданию начальных условий для решения ОДУ и начальных приближений неизвестных параметров, приведена блок-схема, позволяющая наглядно представить итерационную процедуру САЧ.

В третьей главе предложена модификация САЧ. Одно из направлений в развитии ТЧ - усовершенствование хорошо известного в данной теории алгоритма чувствительности. Причина неудовлетворенности САЧ заключается в том, что в данном алгоритме в критерии качества подстройки неизвестных параметров ОДУ используется метрика, не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения данного уравнения с найденными оценками. В МАЧ предложен новый критерий качества подстройки искомых параметров, который позволяет убрать данный недостаток. Здесь применены рассуждения второй главы относительно получения САЧ, в результате чего получен модифицированный алгоритм.

Четвёртая глава посвящена разработке и исследованию итерационного МАЧ, в котором предложен новый критерий качества подстройки неизвестных параметров объектов управления. Было показано, что данный алгоритм является эффективным для оценки неизвестных параметров ОДУ таким образом, что его решение оказывается адекватной математической моделью исследуемого процесса, явления, объекта и т.д. Благодаря высокой скорости сходимости, всего за несколько итераций достигается желаемая точность аппроксимации экспериментальных данных. Модифицированный алгоритм является простым в смысле его реализации на ПК и надёжным в смысле высокой точности описания данных и производной, поэтому может быть с успехом использован в различных отраслях производства. С большим успехом алгоритм может быть использован на предприятиях, где необходимо управлять процессом и осуществлять его прогноз во времени. Описанный алгоритм может использоваться специалистами, занимающимися задачами оценивания порядка и неизвестных параметров дифференциального уравнения.

аппроксимирующий итерационный неизвестный чувствительность

1. Обзор методов теории чувствительности

Под чувствительностью систем управления (СУ) принято понимать зависимость их свойств от изменения параметров. Совокупность принципов и методов, связанных с исследованием чувствительности, формирует теорию чувствительности (ТЧ) [1-14].

В основе разнообразных методов ТЧ лежит использование функций чувствительности (ФЧ), по существу представляющих собой градиенты показателей качества системы по некоторым совокупностям параметров, характеризующих саму систему и внешнюю среду. Поэтому в ТЧ важное место занимают различные способы математического и экспериментального нахождения ФЧ для типовых классов систем.

Имея ФЧ, можно решать ряд задач анализа систем регулирования, подверженных влиянию параметрических возмущений. Кроме того, использование ФЧ делает возможной постановку некоторых задач синтеза СУ, когда критерий оптимальности формулируется с учетом требований к нечувствительности системы. Одновременно использование информации о ФЧ является теоретической основой построения различных беспоисковых самонастраивающихся систем [15].

1.1Теория чувствительности

1.1.1 Создание и развитие теории чувствительности

Впервые проблема чувствительности систем автоматического управления (САУ) была сформулирована в работе Г. Боде [16] при изложении свойств линейных систем с обратной связью. Более детально вопросы чувствительности были рассмотрены впоследствии в связи с исследованиями точности счетно-решающих устройств. Формирование ТЧ как самостоятельного научного направления в технической кибернетике относится к шестидесятым годам прошлого столетия в связи с бурным развитием теории и практики адаптивных (самонастраивающихся) СУ, создаваемых для эффективной работы при наличии параметрических возмущающих воздействий.

К началу 1972 года вопросам чувствительности были посвящены лишь две монографии [13, 17]. Они сыграли в своё время важную роль в пропаганде ТЧ как самостоятельного научного направления. ТЧ становится самостоятельным и достаточно чётко очерченным разделом технической кибернетики, имеющим в то же время тесные органические взаимосвязи с многочисленными смежными дисциплинами. ТЧ берут на вооружение специалисты в области надежности, контроля, диагностики и испытаний объектов и СУ. Это является следствием того, что центр тяжести исследований автоматических систем в современной технической кибернетике постепенно переносится из пространства «входные - выходные сигналы» в более широкое пространство, включающее в себя наряду с характеристиками входных и выходных сигналов характеристики оператора системы. Необходимость изучения свойств оператора и его влияния на качество работы системы вызывается постоянным усложнением объектов автоматизации и непрерывным повышением требований к точностным и надежностным характеристикам системы.

В последующие годы проблема чувствительности в той или иной постановке затрагивалась в теории ошибок (погрешностей), в вычислительной математике и в теории счетно-решающих устройств, в теории стрельбы и баллистике снарядов и ракет, теории электрических и электронных цепей, в теории возмущений (например в классической механике) и т.д.

1.1.2 Задачи и методы теории чувствительности

ТЧ САУ были посвящены три международных симпозиума (1964, 1968 - в Югославии, 1979 - в Италии), 1-й и 2-й Ленинградские симпозиумы (1971, 1979 гг.) и Всесоюзная школа-семинар (1975 г.). На 4-м и 5-м Всесоюзных совещаниях в Киеве (1971 и 1976 гг.) кроме вопросов теории инвариантности широко обсуждались проблемы ТЧ. Постепенно методы ТЧ становятся универсальным аппаратом исследования СУ. Это привело к резкому росту числа публикаций по применению методов ТЧ к системам различной природы (техническим, биологическим, социально-экономическим и т.п.). В России опубликовано несколько сот работ такой направленности. Проблеме чувствительности уделяется большое внимание на страницах как зарубежной, так и отечественной периодической литературы.

Подробный обзор работ, относящихся к проблеме чувствительности, приведён в [1, 2, 4-11, 13]. Однако с того времени появилось значительное количество публикаций [3, 8, 12, 14], посвящённых дальнейшему развитию ТЧ. Расширился круг теоретических и прикладных задач, решаемых с помощью методов ТЧ. В настоящее время функции и коэффициенты чувствительности используются для идентификации, контроля, испытаний, распределения допусков; анализа точности СУ и радиоэлектронной аппаратуры с учётом разброса параметров, анализа устойчивости, синтеза параметрически инвариантных и малочувствительных СУ; для решения задач оптимального управления, адаптивного управления, идентификации объектов, испытания и настройки СУ и радиоэлектронной аппаратуры, распределения допусков на параметры элементов систем и т.д.

Анализ указанных задач показывает, что их обязательными элементами являются ФЧ к изменению параметров системы и дополнительное движение [18] (задачи анализа точности и устойчивости). Исходным соотношением при малых изменениях параметров является следующее представление дополнительного движения :

, (1.1.1)

где - матрица чувствительности, - вектор параметрических возмущений, вызвавших , S - независимая переменная (время, частота и т.д.). Причем, в одних задачах при заданных ФЧ ищется дополнительное движение или изменение параметров, в других - оценка дополнительного движения сочетается с нахождением изменения параметров (задачи адаптивного управления, алгоритмы численной оптимизации). При таком рассмотрении большинство задач, решаемых с привлечением ФЧ, можно объединить в следующие три группы [19]:

) Прямые задачи ТЧ (по заданным ФЧ и изменениям параметров оценивается дополнительное движение).

) Обратные задачи ТЧ (охватывают задачи, процесс решения которых включает элементы прямых и обратных задач).

) Смешанные задачи ТЧ (охватывают задачи, процесс решения которых включает элементы прямых и обратных задач).

В соответствии с рассмотренными задачами ТЧ методы данной теории можно разбить на следующие группы:

) Анализ чувствительности.

) Прямые и обратные задачи ТЧ.

) Синтез систем с учетом требований чувствительности.

) Чувствительность оптимальных систем.

) Применение ТЧ в других задачах автоматического управления.

Как видно, выделяют три группы задач и пять методов ТЧ. Одним из методов ТЧ является алгоритм параметрической идентификации, описанный в следующем разделе.

1.2 Алгоритм чувствительности

.2.1 Создание алгоритма чувствительности

Для решения экстремальной задачи может быть использован любой метод нелинейного программирования. Наиболее распространенными среди них являются градиентные алгоритмы. Они универсальны, но имеют невысокую скорость сходимости, которая при прочих равных условиях падает с ростом числа подстраиваемых параметров [20]. Повышение скорости сходимости достигается в методах второго порядка [21], но для задач идентификации они требуют громадного объема вычислений, обусловленного расчетом матрицы вторых производных от функционала, который необходимо минимизировать, по неизвестным параметрам, входящим в этот функционал. Вдали от экстремума их поведение неудовлетворительно. Причин много и одна из них заключается в плохой обусловленности матрицы вторых производных от функционала по неизвестным параметрам. Необходимо было разработать алгоритм, требующий умеренного количества вычислений (например, как в градиентном алгоритме) и обладающий высокой скоростью сходимости. Такой алгоритм минимизации определенного класса функционалов был предложен в 1961 году С.Н. Соколовым и И.Н. Силиным [22]. Он был назван алгоритмом линеаризации.

Первые результаты по применению данного алгоритма к решению задач идентификации динамических объектов нашли отражение в диссертационной работе Рубана А.И. [23]. В силу динамичности объекта существенным элементом алгоритма является получение и решение уравнений чувствительности. Из-за этой специфичности алгоритм линеаризации стали называть алгоритмом чувствительности [7, 23-35]. Большое влияние на распространение этого алгоритма при решении широкого спектра задач теории управления оказала работа [7] Б.Н. Петрова и П.Д. Крутько. В настоящее время насчитывается очень много работ такого плана.

САЧ применяется у нас в стране и за рубежом, начиная с 1969 года. Оказалось, что на основе САЧ можно с единых позиций подходить к вопросам идентификации различных классов динамических объектов (непрерывных, дискретных, сосредоточенных, распределенных и др.) при неполной наблюдаемости их переменных, а также решать нелинейные многоточечные краевые задачи и задачи алгоритмического конструирования оптимальных регуляторов.

1.2.2 Применение алгоритма чувствительности

С 1969 года САЧ стал использоваться специалистами по автоматическому управлению. С этого момента началось интенсивное использование его для решения многих классов задач управления и идентификации. Этому способствовало развитие ТЧ, теории инвариантности, теории синтеза управляющих устройств, теории идентификации и др., а также появление мощных вычислительных средств. САЧ хорошо развит применительно к детерминированным моделям, причем большая часть работ посвящена подстройке параметров дифференциальных уравнений. К ним относятся работы Дж. Гудвина [33], Ч.Л. Медлера, Щу Чай-Ши [34], Б.Н. Петрова, П. Крутько [7], Р.М. Юсупова, Ф.М. Захарина [35], В.И. Городецкого, Ф.М. Захарина, Е.Н. Розенвассера, Р.М. Юсупова [36], В.И. Городецкого, Р.М. Юсупова [37], К. Спиди, Р. Брауна, Дж. Гудвина [38], В. Клейна, Д. Вильямса [39], Р.М. Юсупова, Ю.Я. Остова [40] и А.И. Рубана [23, 25-32]. Приведем основные особенности решаемых в них, а также других источниках задач идентификации с помощью САЧ.

Дж. Гудвин [129], Ч.Л. Медлер и Щу Чай-Ши [34] подстраивают неизвестные параметры ОДУ, располагая непрерывным выходом в интервале времени [].

Б.Н. Петров и П.Д. Крутько [7] решают отдельно задачи идентификации неизвестных параметров ОДУ, возмущающих воздействий и начальных условий. Они указывают на возможности идентификации нестационарных параметров и приводят классы задач теории управления, которые могут решаться на основе САЧ.

Р.М. Юсупов и Ф.М. Захарин [35] рассмотрели условия идентифицируемости неизвестных параметров ОДУ, возмущающих воздействий, начальных условий и вопросы улучшения корректности обратных задач, а также получения решения в вырожденных случаях.

При управлении объектами часто используется метод последовательной оптимизации. В.И. Городецкий и Р.М. Юсупов [41] показали, что его можно применять при решении задач идентификации постоянных и переменных параметров. Одной из реализаций метода последовательных приближений является САЧ. На основе его была решена задача идентификации плотности атмосферы по результатам траекторных изменений вертикальных параметров движения центра масс космического аппарата, входящего в атмосферу Земли со второй космической скоростью по траектории с однократным отражением.

В работах Р.М. Юсупова, Ю.Я. Остова [40], А.И. Рубана [23, 25-32] и в монографии К. Спиди, Р. Брауна и Дж. Гудвина [38] ставится и решается на основе САЧ задача идентификации одновременно параметров ОДУ, параметров возмущающих воздействий и начальных условий.

В работе А.И. Рубана [23] САЧ рассмотрен применительно к идентификации всех параметров линейных одномерных объектов, и решена численная задача подстройки начальных условий и параметров ОДУ, описывающее движение нелинейного маятника. САЧ был обобщен на случаи, когда неизвестные параметры входят в модель измерительного устройства и когда от параметров зависят начальные условия и т.п. Были рассмотрены три варианта подстройки параметров:

) Начальные условия известны и модель имеет структуру, совпадающую с объектом.

) Начальные условия неизвестны, а модель имеет структуру, совпадающую с объектом.

) Начальные условия известны и модель имеет структуру, не совпадающую с объектом.

Р. Бударель, Дж. Дельмас, Дж. Анри и Л. Лелети [42] на основе САЧ (называемом ими алгоритмом Гаусса-Ньютона) произвели расчет параметров двух систем линейных ОДУ второго порядка при числе экспериментов, равном 500, и наличии аддитивных помех. В первом примере 3 параметра подстраиваются за 16 итераций, во втором - 6 параметров за 3 итерации. Было предложено для улучшения сходимости производить предварительное сглаживание переходного процесса [42].

Вопросы идентификации линейных одномерных объектов на основе САЧ, выбора начального приближения параметров и определения порядка ОДУ рассмотрены в работе В.П. Гусева и А.И. Рубана [24].

Р.М. Юсуповым и Ю.Я. Остовым [40] решена задача идентификации входных воздействий в линейных системах с помощью САЧ.

Вопросы конструирования оптимальных регуляторов на основе САЧ рассматривались в работах Б.Н. Петрова и П.Д. Крутько [7] и П.Д. Крутько [43]. В первой из них решена задача управления движением линейного объекта по заданной траектории при неполной степени наблюдаемости фазовых координат. Во второй - приведено решение простейшей (классической) задачи конструирования регулятора для линейного объекта при скалярном управлении, квадратичной функции качества, а также неполной наблюдаемости. Перечисленные задачи относятся к классу нерешенных в теории аналитического конструирования регуляторов.

В работах Р. Брауна, Дж. Гудвина [44] и К. Спиди, Р. Брауна и Дж. Гудвина [38] изложен вариант применения сопряженных уравнений для расчета составляющих градиента от функции качества по параметрам ОДУ. Для расчета же составляющих градиента по начальным условиям эту процедуру применить нельзя, и в этом случае необходимо вновь обращаться к САЧ.

В работе В.И. Городецкого, Ф.М. Захарина, Е.Н. Розенвассера и Р.М. Юсупова [36] описан САЧ и проведен его анализ. С помощью него решена задача подстройки параметров нелинейных ОДУ при полностью известной линейной модели измерительного устройства и непрерывном времени наблюдения.

При рассмотрении обратных задач ТЧ псевдообращение матриц в САЧ было впервые использовано В.И. Городецким, Ф.М. Захариным, Е.Н. Розенвассером и Р.М. Юсуповым [36].

Доказательство сходимости САЧ при минимизации суммы квадратов невязок и оценка скорости сходимости были даны М.К. Гавуриным и Ю.Б. Фарфоровской [45].

Во всех указанных выше работах показана в основном принципиальная возможность применения САЧ для решения тех или иных задач параметрической идентификации. Иллюстрирующие примеры демонстрируют высокую скорость сходимости (от 2 до 10 итераций). Кроме того, в книге К. Спиди, Р. Брауна и Дж. Гудвина [38] дано общее сравнение с алгоритмом наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и Ньютона; выяснено влияние аддитивного шума малой интенсивности на точность отслеживания. САЧ имеет ту же сложность программирования, что и алгоритмы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов, но он значительно проще алгоритма Ньютона [21, 31]. В то же время САЧ имеет такую же скорость сходимости, как и алгоритм Ньютона, и она намного выше скорости сходимости первых двух алгоритмов. Учитывая также то, что САЧ имеет по сравнению с алгоритмом Ньютона более широкую область сходимости, А.И. Рубан в своей работе [23] приходит к выводу, что САЧ выгодно отличается от остальных алгоритмов.

За рубежом в 60-х годах ХХ века широкое распространение получил алгоритм квазилинеаризации, разработанный Р. Беллманом и Р. Калабой [46]. САЧ близок по структуре к алгоритму квазилинеаризации: оба имеют высокую скорость сходимости и просто реализуемы на ЭВМ. Однако алгоритм квазилинеаризации уступает в вычислительном отношении САЧ. Улучшая вычислительную схему алгоритма квазилинеаризации, зарубежные исследователи неизбежно приходят фактически к САЧ и называют его модифицированным алгоритмом квазилинеаризации. Первые работы в этом направлении за рубежом были сделаны К. Бэирдом [47], Р. Паулем и К. Леге [48] при решении двухточечных краевых задач, а также Ч. Медлером, Щу Чай-Ши [34] и Дж. Гудвиным [33] при решении задач параметрической идентификации.

Указанные выше работы представляют результаты, полученные ещё в прошлом столетии. Ниже приведены работы, представляющие более поздние результаты применения САЧ к параметрической идентификации.

На III Международной конференции в г. Москве 2004 г., посвященной проблемам идентификации систем и задачам управления, Е.Д. Агафоновым и Е.С. Кириком в работе [49] решена задача параметрической идентификации нелинейных динамических процессов с использованием САЧ. В работе описан алгоритм решения задачи для процессов с одним входом и одним выходом в случае однократного и многократных переходов между локальными линейными моделями. Результаты работы САЧ иллюстрируются на примере идентификации процесса нагрева галогенной инфракрасной лампы.

На Европейском конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках, проведенном в 2004 г. В Польше, автором R. Szopa в его работе [50] рассмотрен вопрос, связанный с изменением формы зерна в процессе его отвердевания. Была построена математическая модель теплового процесса, происходящего в зерне. Полученная модель представляет собой ОДУ, для оценки неизвестных параметров которого был использован САЧ. В конце работы было сделано заключение, в котором говориться о том, что САЧ весьма точен и эффективен. Автор рекомендует применять данный алгоритм для оценки неизвестных параметров ОДУ, решение которых описывают всевозможные температурные процессы в окружающей среде.

На VI Всемирном конгрессе по структурной оптимизации, проведенном в 2005 г. В Бразилии, J.H. Choi, J.H. Won и J.M. Yoon в своей работе [51], в которой были рассмотрены вопросы, связанные с эмиссионной микроскопией, в полученной модели использовали САЧ для параметрической идентификации.

1.2.3 Некоторые модификации алгоритма чувствительности

Из всех изученных источников литературы удалось выяснить, что до настоящего момента осуществлялось всего лишь несколько модификаций САЧ. В одном из них [59] идея видоизменения алгоритма чувствительности при полной наблюдаемости линейных систем была высказана М.Р. Матаучеком и М.Д. Миловановичем. При применении САЧ используются методы, основанные на интегрировании дифференциального уравнения модели. А.И. Рубан [32] под модификацией алгоритма подразумевает два способа задания начального приближения неизвестных параметров дифференциального уравнения. Им также [26] были рассмотрены другие две важные для практического использования модификации САЧ. В первой из них псевдообратная матрица вычисляется на первой итерации и затем не меняется, во второй - уравнения чувствительности решаются только на первой итерации. Затем эта информация используется при совершении последующих шагов. Естественно, что скорость сходимости при этом падает, и вторая модификация может даже не обеспечивать сходимости.

Основными задачами, рассматриваемыми в данной теории, являются анализ влияния малых изменений конструктивных параметров и внешних условий работы на динамику системы, а также синтез систем, малочувствительных к изменениям этих факторов. Таким образом, если в классической постановке задач регулирования основными требованиями является устойчивость и качество регулирования системы, обладающие еще одним важным свойством - малым реагированием на неизбежные флуктуации конструктивных параметров и внешней обстановки функционирования системы. Аппарат ТЧ является эффективным средством анализа и синтеза САУ и теоретической основой построения новых классов оптимальных и самонастраивающихся систем.

САЧ был создан специально для минимизации определенного класса функционалов в 1961 году. С 1969 года САЧ начал использоваться для решения многих классов задач управления и идентификации. Многими авторами говорится об эффективности применения данного алгоритма к идентификации различных классов объектов, хорошей сходимости и помехоустойчивости. Применению данного алгоритма посвящено множество как ранних, так и самых последних публикаций зарубежных и отечественных авторов.

В рассмотренных работах САЧ был применен к описанию функций. В целом ряде случаев необходимо иметь аппроксимации не только функции, но и её производной. В настоящей диссертационной работе разрабатывается алгоритм, позволяющий получать такие аппроксимации.

2. Решение задачи идентификации на основе алгоритма чувствительности

Будем рассматривать случай, когда из предварительного анализа исследуемого процесса удается составить его модель в виде системы ОДУ с точностью до параметров, которые необходимо определить на основе наблюдений некоторых переменных процесса в дискретных точках пространственной и временной координат.

Существующие методы решения этой задачи идентификации [12] (под идентификацией мы будем понимать процесс построения адекватных математических моделей исследуемых объектов) требуют, чтобы были измеряемы все переменные, входящие в уравнения, причем расстояние между дискретами должно быть таким, чтобы можно было с достаточной степенью точности вычислять соответствующие производные и интегралы. Кроме того, широко известный метод - метод модулирующих функций [60], применим лишь к дифференциальным уравнениям, в которые искомые параметры и производные от переменных входят линейно.

В данной работе рассмотрен метод решения задачи идентификации, не требующий обязательного выполнения указанных выше условий, т.е. при неполной наблюдаемости переменных линейного и нелинейного объекта. Под неполной наблюдаемостью переменных понимается то, что экспериментальные данные получены в дискретные моменты времени. Данный метод основан на использовании в качестве аппроксимирующих операторов ОДУ и хорошо известный среди специалистов, занимающихся проблемами идентификации и оценивания параметров математических моделей процессов и объектов, САЧ, сущность которого будет рассмотрена далее.

2.1 Содержательная сущность и математическая постановка задачи идентификации

Содержательная сущность задачи аппроксимации экспериментальных данных заключается, как известно [20], в том, чтобы, используя ту или иную вещественную функцию одной вещественной переменной, описать зависимость одной переменной от другой и сделать это таким образом, чтобы точность полученного описания удовлетворяла предъявляемым к ней требованиям.

Анализируя данную задачу с математической точки зрения, нетрудно видеть, что она является существенно неопределенной, прежде всего потому, что в настоящее время известно весьма значительное множество вещественных функций одной вещественной переменной, используя которые можно добиться желаемой точности математического описания обсуждаемой нами зависимости. В частности, вполне успешно это можно сделать, если при решении рассматриваемой задачи воспользоваться алгебраическими, тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими и т.п. полиномами; дробно-рациональными функциями одной вещественной переменной [20] или решениями дифференциальных уравнений [61]. Ещё одной причиной существенной неопределенности данной задачи является то, что для количественной оценки точности математического описания экспериментальных данных можно воспользоваться многими, как уже известными, так и вновь предложенными количественными характеристиками погрешности данного описания. Одна их таких характеристик будет рассмотрена далее.

Как вытекает из изложенного в предыдущем абзаце, для получения математически корректной постановки рассматриваемой задачи, необходимо, во-первых, выбрать класс функций, заданных с точностью до некоторого набора параметров, изменяя которые можно влиять на точность получаемой аппроксимации экспериментальных данных. Во-вторых, задать какую-либо конкретную количественную характеристику погрешности данного описания. Учитывая отмеченные причины недоопределенности рассматриваемой задачи и задавшись целью устранить данные причины, чтобы в итоге получить корректно поставленную математическую задачу, сформируем задачу количественного описания экспериментальных данных, полученных в результате проведенных нами измерений, базируясь на следующих трех положениях.

Во-первых, будем считать, что зависимость одной переменной y от другой переменной t может быть достаточно точно описана с помощью функции:

(2.1.1)

являющейся решением ОДУ n-го порядка вида:

(2.1.2)

где n - некоторое натуральное конечное число, - вектор неизвестных параметров уравнения, - некоторая заданная функция. Другими словами, будем считать, что, выбирая должным образом порядок n и подбирая значения параметров , можно получить единственное ОДУ вида (2.1.2), решение которого, с удовлетворяющей наши потребности точностью, описывает зависимость переменной y от переменной t. Во-вторых, будем предполагать, что у нас имеется некоторое конечное число N пар измерений вида:

(2.1.3)

где - i-ое значение независимой переменной, а - измеренное значение, удовлетворяющее равенству:

(2.1.4)

Здесь - истинное, неизвестное среднее значение переменной, а - неизвестное значение ошибки измерения истинной переменной, являющееся одним из бесконечного множества значений случайной величины , среднее значение и дисперсия которой удовлетворяют условиям:

а) и b) (2.1.5)

где - плотность распределения вероятностей случайной величины , . Кроме того, будем считать, что при случайные величины и являются стохастически независимыми и, соответственно, коэффициенты ковариаций данных величин удовлетворяют равенствам:

(2.1.6)

где - плотность совместного распределения вероятностей величин и , которая в данном случае удовлетворяет условию:

(2.1.7)

где и - плотности распределения вероятностей случайных величин и соответственно,

В-третьих, для количественной оценки погрешностей описания имеющихся измеренных значений функциями вида (2.1.1), будем использовать так называемую евклидову метрику S, определяемую равенством:

, (2.1.8)

где - единичная матрица порядка N, и - векторы размерности N, - значение независимой переменной, при котором в соответствии с обозначениями, принятыми в (2.1.3), измеренное значение зависимой переменной равно .

Замечания:

) В более общем случае в метрике (2.1.8) вместо единичной матрицы берется матрица весовых коэффициентов. Причина, по которой во всей работе будет использоваться единичная матрица, заключается в том, что мы не знаем, чему равны эти весовые коэффициенты.

) Значения всякой функции y(t), являющейся решением уравнения (2.1.2) зависят, очевидно, не только от значений t, но и от параметров данного уравнения и, соответственно, удовлетворяет равенству , т.е. также является некоторой функцией параметров ОДУ (2.1.2). Именно это обстоятельство оправдывает необходимость и целесообразность ее введения и позволяет успешно решить с ее помощью рассматриваемую нами задачу.

Учитывая содержательную сущность задачи аппроксимации экспериментальных данных и отмеченные выше три положения, на которых необходимо основываться, чтобы получить корректно поставленную математическую задачу, можно видеть, что с вычислительной точки зрения задача аппроксимации данных может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо, используя имеющиеся у нас N измерений вида (2.1.3), подобрать порядок n и значения неизвестных параметров ОДУ (2.1.2) так, чтобы решение полученного при этом уравнения доставляло минимум метрике S, определяемой равенством (2.1.8), и, соответственно, удовлетворяло соотношению:

, (2.1.9)

которое в дальнейшем будем называть критерием качества подстройки неизвестных параметров и порядка уравнения.

Анализ приведенной выше математической постановки задачи аппроксимации данных позволяет непосредственно видеть, во-первых, что одной из величин, значения которых необходимо определить, является порядок n ОДУ (2.1.2). Во-вторых, поскольку он может принимать только натуральные, т.е. целые и положительные значения, то определение его конкретного значения, при котором удовлетворяется соотношение (2.1.9), наиболее целесообразно начинать с и последовательно увеличивать его до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность описания экспериментальных данных. В-третьих, при каждом из заданных значений порядка n решение рассматриваемой задачи сводится к определению значений параметров ОДУ (2.1.2), удовлетворяющих соотношению (2.1.9). Алгоритм определения данных значений рассматривается в следующем разделе.

2.2 Общие результаты

.2.1 Задача идентификации математической модели объекта

Проблеме и задаче идентификации посвящено множество как отечественной, так и зарубежной литературы [39, 62-66]. Процедуры идентификации - обязательный элемент системных методологий, конструирование которых - одна из главных и наиболее трудных проблем теории управления.

Рассматривая любые процессы природы, человек в первую очередь строит для них модели, в которых связи между основными переменными процесса имеют вид математических зависимостей.

Практика последних трех столетий показала, что динамику объектов с успехом можно описать с помощью введенного Ньютоном и Лейбницем дифференциального исчисления, т.е. с помощью дифференциальных и интегральных уравнений. Идея заключается в том, что для бесконечно малой части пространственно-временной области составляются уравнения процесса, которые затем интегрируются при заданных краевых и начальных условиях, и получается модель развития процесса во времени и в пространстве. Накопленный за последние столетия опыт составления дифференциальных уравнений был оформлен в виде отдельных научных направлений, таких как гидродинамика, термодинамика, кинетика и др.

Мощные средства вычислительной техники и эффективные методы подстройки параметров модели (методы идентификации) позволяют в короткий срок перебрать несколько классов моделей и выбрать из них подходящую.

2.2.2 Описание алгоритма чувствительности

На основании методов ТЧ получен САЧ [23-32] идентификации объектов, который является одним из наиболее эффективных алгоритмов, позволяющих оценивать порядок и неизвестные параметры ОДУ. В отличие от ранее применявшихся подходов, данный алгоритм позволяет решать задачи идентификации при неполной наблюдаемости переменных объекта.

САЧ основан на использовании хорошо известного в численном анализе метода линеаризации и так называемых ФЧ по параметрам ОДУ (2.1.2), определяемых равенствами:

(2.2.1)

Здесь - решение ОДУ n-го порядка (2.1.2). Из равенств (2.2.1) непосредственно видно, что ФЧ - это частная производная по параметру от функции , зависящей от переменной t и параметров .

Данный алгоритм является итерационным, т.е. алгоритмом, действуя в соответствии с которым точное решение может быть получено лишь в результате многократного повторения единообразных действий. На каждой его итерации выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Для описания данной последовательности операций будем считать, что нами уже выполнено k-1 итераций, где k - некоторое натуральное число, принимающее значения k=1,2,3,…, и получен вектор оценок параметров , но они оказались недостаточно точными. Поэтому мы вынуждены выполнить хотя бы ещё одну k-ую итерацию, чтобы получить новые более точные оценки параметров . Рассмотрим последовательность вычислительных операций, которые необходимо для этого выполнить и которые в своей совокупности составляют содержание k-ой итерации САЧ.

Представим вектор новых оценок параметров , которые нам необходимо получить, равенством вида:

, (2.2.2)

где - вектор оценок параметров , полученный на предыдущей итерации, - вектор поправок. При этом будем считать, что компоненты вектора поправок являются достаточно малыми величинами. Разложим неизвестные нам функции в окрестности значений в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом линейным приближением. В результате видим, что:

, (2.2.3)

где . Воспользовавшись ФЧ из (2.2.1), представим данное равенство в виде:

, (2.2.4)

где - матрица, состоящая из элементов

Анализируя данное равенство, можно непосредственно видеть, что:

) оно является функциональным уравнением, линейным относительно поправок при всех значениях аргумента t;

) если значения функций, составляющие вектор , и функций чувствительности, составляющие матрицу , нам известны, то оно позволяет составить систему линейных алгебраических уравнений относительно поправок .

Отсюда вытекает, что для определения поправок необходимо решить следующие две задачи:

) найти значения функций и ФЧ ;

) воспользовавшись найденными функциями, составить каким-либо образом систему линейных алгебраических уравнений относительно поправок и решить ее, например, методом Гаусса или каким-либо другим известным методом.

Приступим теперь к формированию системы уравнений относительно поправок . Для этого воспользуемся метрикой S, заданной равенством (2.1.9), и соотношением (2.2.4). Подставляя вычисленные значения функций и ФЧ в соотношение (2.2.4), а затем в правую часть равенства (2.1.9), получим, что:

. (2.2.5)

Таким образом, мы получили метрику, которую можно использовать для количественной оценки погрешностей описания имеющихся у нас измеренных значений функциями, являющимися решениями дифференциального уравнения.

Как видно из равенства (2.2.5), метрика S удовлетворяет равенству , т.е. является явно заданной и положительно определенной функцией поправок . Для этого, как известно из математического анализа, необходимо и достаточно продифференцировать метрику S по вектору поправок и приравнять полученные при этом частные производные к нулю. Выполнив данные операции над метрикой S, будем иметь n+1 уравнений вида:

. (2.2.6)

Если выполнить все необходимые и вполне очевидные арифметические операции, то данной системе уравнений можно придать следующий, предельно компактный и традиционный в линейной алгебре вид:

, (2.2.7)

где:

а) и b) . (2.2.8)

Здесь - квадратная матрица порядка n+1. Как видно из (2.2.8b) эта матрица является симметричной.

Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно вектора поправок . Решение , как известно, определяется равенством:

, (2.2.9)

где - обратная к матрица. В противном случае, т.е. в случае, когда является вырожденной матрицей, система уравнений (2.2.7) оказывается недоопределенной и имеет бесконечное множество решений. Во всех подобных случаях наиболее целесообразно в качестве ее решения использовать ее псевдорешение , вычисляемое в соответствии с равенством:

, (2.2.9)

где - псевдообратная к матрица.

Предпочтительность использования псевдорешения в данном случае обуславливается, прежде всего, тем, что из всего бесконечного множества решений системы уравнений (2.2.7) оно имеет минимальную евклидову норму [21]. Отсюда вытекает, что, используя данное решение, мы будем изменять имеющиеся у нас оценки предельно осторожно и ровно настолько, насколько это необходимо для того, чтобы новые оценки оказались решением задачи (2.2.5). Ещё одним фактором, определяющим целесообразность использования псевдорешения , является то, что рассматриваемый алгоритм при этом оказывается наиболее устойчивым по отношению к ошибкам задания матрицы и правой части системы (2.2.7) и ошибкам вычислений. Кроме того, в случае, когда матрица является невырожденной, имеет место равенство и, таким образом, псевдорешение системы уравнений (2.2.7) в этом случае совпадает с ее классическим решением .

2.2.3 Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров

Как было получено в работе [23] А.И. Рубана, выбор значений начальных условий и приближений неизвестных параметров существенно влияет на точность подстройки этих параметров и оценки порядка уравнения, а также на скорость сходимости САЧ. Остановимся на возможных подходах задания начальных условий и приближений.

Задание начальных условий для решения дифференциального уравнения

Рассмотрим способы задания начальных условий, с помощью которых решаются дифференциальные уравнения. Данные условия необходимы для того, чтобы определить значения констант в полученном решении уравнения.

Рассмотрим два подхода к заданию начальных условий:

) В качестве начальных условий можно использовать оценки Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров вычисленные на основе экспериментальных данных, где - шаг дискретизации аргумента t. Недостатком данного подхода является тот факт, что сами экспериментальные данные, как правило, снимаются с погрешностью с измерительного устройства, следовательно, начальные условия в данном случае вычисляются с ошибкой.

) Оптимальные начальные условия при решении дифференциального уравнения можно найти, если в качестве критерия подстройки использовать метрику:

, (2.2.15)

т.е. на каждой итерации, кроме подстройки неизвестных параметров а, осуществлять подстройку начальных условий . В отличие от предыдущего случая, начальные условия на каждой итерации будут меняться.

Предпочтительность использования того или иного способа задания начальных условий зависит от поставленной задачи. Если необходимо аппроксимировать экспериментальные данные быстро, не задаваясь при этом целью достичь высокой точности, то можно выбрать первый способ. Если же нам крайне важна точность описания экспериментальных данных, то в данном случае следует выбрать второй способ.

Задание начальных приближений неизвестных параметров

Рассмотрим способы задания начальных приближений неизвестных параметров дифференциального уравнения.

Для их определения можно использовать несколько подходов:

) Подход основан на использовании априорной информацию В данном случае необходимо наличие информации о параметрах. Учитывая эту информацию, подстраиваем оценки неизвестных параметров ОДУ, т.е. решаем задачу (2.1.9).

) Задачу (2.1.9) можно решить с помощью симплексного алгоритма [28]. Сущность его сводится к следующему. Произвольный набор параметров вектора а берем за центр симплекса и по каждой составляющей вектора а выбираем интервал варьирования - размер симплекса. Строим исходный симплекс и в каждой его точке вычисляем значение метрики S, заданной в виде (2.1.9), решая при этом наше исходное дифференциальное уравнение с заданными граничными условиями. Затем худшую точку симплекса заменяем лучшей (с меньшим значением S) и т.д. до попадания в окрестность экстремума S. Большие размеры симплекса позволяют проскочить мелкие локальные экстремумы и выделить окрестность глубокого (который может оказаться глобальным) минимума S. В последнем симплексе точку, соответствующую наименьшему значению S, берем за центр нового симплекса; уменьшаем его размер и вновь движемся к экстремуму S. В результате получаем набор начальных приближений параметров а, более близкий к решению задачи (2.1.9), причем дробление размера симплекса можно осуществлять несколько раз. Полученное решение является начальным приближением для САЧ, позволяющее с высокой скоростью и точностью отыскивать минимум метрики S.

Как правило, мы не обладаем априорной информацией, поэтому первый подход к заданию начальных приближений неизвестных параметров дифференциального уравнения не всегда может быть применен. Если же такая информация имеется, то при её использовании алгоритм сходится достаточно быстро. Второй подход, хотя он и трудоемок, но позволяет эффективно подобрать параметры. С его помощью минимум метрики S достигается довольно быстро.

2.2.4 Блок-схема алгоритма чувствительности для реализации его на ПК

Блок-схема - это способ задания алгоритма в графической форме, представляющий собой совокупность блоков, соединенных друг с другом линиями. Форма блока определяет тип действия, а текст внутри блока дает детальное толкование конкретного действия. Стрелки на линиях, соединяющих символы схемы, указывают последовательность выполнения команд, предусмотренных алгоритмом.

Блок-схемы при создании алгоритмов очень эффективны с точки зрения наглядности. За счет этого, они упрощают создание эффективных алгоритмов, понимание работы уже созданных, и как следствие их оптимизацию. Существование стандартов на типы используемых блоков позволяет легко адаптировать алгоритмы, созданные в виде блок-схем, на любые, существующие на сегодняшний день, языки программирования. Поэтому, при разработке алгоритмов, нет необходимости привязываться к синтаксису определенного языка. Использование блок-схем позволяет предотвратить неправильное программирование алгоритмов.

Как было сказано в параграфе 2.2.2, САЧ является итерационным, и на каждой его итерации выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Представим их в виде блок-схемы, которая может использоваться для реализации данного алгоритма на ПК.

В блок-схеме - число, которое задается пользователем. В случае, когда значение метрики S меньше либо равно , САЧ останавливает свою работу. Это значит, что достигнута желаемая точность аппроксимации экспериментальных данных. Если невозможно достичь высокой точности аппроксимации или САЧ начинает выполнять большое количество итераций, то необходимо увеличить порядок ОДУ, либо увеличить значение .

Как видно из приведенной блок-схемы, САЧ является несложным для реализации его на ПК. САЧ имеет высокую скорость сходимости [31] и за приемлемые отрезки времени позволяет получить оценки порядка неизвестных параметров ОДУ таким образом, что оно оказывается адекватной математической моделью исследуемого объекта

Данная глава посвящена рассмотрению одного из довольно мощных и перспективных подходов к построению моделей динамических объектов управления - САЧ, который занимает важное место в ТЧ.

Рисунок 1 - Блок-схема алгоритма чувствительности

В главе была описана содержательная сущность и математическая постановка задачи аппроксимации экспериментальных данных, представлена итерационная процедура САЧ, изложены подходы к заданию начальных условий для решения ОДУ и начальных приближений неизвестных параметров, изображена блок-схема алгоритма, облегчающая его понимание и способствующая быстрой реализации алгоритма на ПК.

3. Модифицированный алгоритм чувствительности

Ещё в шестидесятых годах прошлого столетия ТЧ и связанные с ней проблемы стали часто обсуждаться на международных симпозиумах и научно-практических конференциях. Данная теория начала развиваться как самостоятельное научное направление. Это позволило накопить достаточно знаний в теории чувствительности, чтобы осуществлять в настоящее время дальнейшее ее развитие и обогащение новыми результатами.

Одно из направлений в развитии ТЧ - усовершенствование алгоритма чувствительности, который является эффективным методом для определения порядка и оценивания неизвестных параметров ОДУ таким образом, что его решение оказывается адекватной математической моделью заданного процесса.

Идея о модификации алгоритма, как правило, возникает в связи с необходимостью ускорения работы алгоритма (ускорения процесса сходимости), избегания ситуаций, когда алгоритм расходится, увеличения точности, расширения круга решаемых с помощью алгоритма задач. Однако в нашем случае причиной неудовлетворительности САЧ является то, что, используя метрику, которая применяется для определения порядка и оценки неизвестных параметров ОДУ, мы требуем, чтобы только значения решения были близки к измеренным значениям. В метрике модифицированного алгоритма, кроме этого, мы требуем, чтобы значения производных, полученных по экспериментальным данным, были близки к значениям оценок производных, полученным в результате решения дифференциального уравнения с найденными оценками неизвестных параметров.

В данном разделе предложена модификация существующего САЧ для оценивания неизвестных параметров ОДУ.

Идея МАЧ, рассматриваемая в данной работе, заключается в том, что вместо метрики (2.1.9), используемой в САЧ, вводится новая метрика, определяемая равенством:

, (3.1.1)

где - вектор экспериментальных данных размерности N; y - вектор оценок истинных значений решения ОДУ размерности N, полученных в результате его решения тем или иным методом; - единичная матрица порядка N, - единичная матрица порядка N-1; - известный параметр, значение которого задается исследователем из интервала [0,1]; - вектор размерности N-1, компоненты которого определяются в соответствии с формулой:

, (3.1.2)

- вектор размерности N-1, компоненты которого определяются согласно формуле:

. (3.1.3)

Выражения (3.1.2) и (3.1.3) являются, очевидно, оценками производных и и, таким образом, используя метрику вида (3.1.1), мы добиваемся того, чтобы не только значения решения были близки к измеренным значениям, но и оценки производных и , определяемых равенствами (3.1.2) и (3.1.3), также были близки друг к другу.

В выражении (3.1.1) в первом слагаемом векторы имеют размерность N, равной числу имеющихся у нас N измерений. Во втором слагаемом векторы имеют размерность N-1, т.к. имея N измерений, мы можем определить только N-1 значений, вычисляемых согласно формулам (3.1.2) и (3.1.3).

В функции (3.1.1) с помощью изменения можно отдавать предпочтение первому или второму слагаемому. Так, если взять , то тем самым мы будем добиваться того, чтобы только оценки производных функций были близки друг к другу. Если же положить , то мы будем стремиться к тому, чтобы только значения решения были близки к измеренным значениям. Если , то в данном случае мы в равной степени заинтересованы в том, чтобы были близкими как значения решений ОДУ, так и их производных.

Как и САЧ, предлагаемая его модификация является итерационной. На каждой итерации алгоритма выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Для описания данной последовательности операций будем считать, что нами уже выполнено k-1 итераций, где k - некоторое натуральное число, принимающее значения k=1, 2, 3,…, и получен вектор оценок параметров , но они оказались недостаточно точными. Поэтому мы вынуждены выполнить хотя бы ещё одну k-ую итерацию, чтобы получить новые, более точные оценки параметров . Рассмотрим последовательность вычислительных операций, которые необходимо для этого выполнить и которые в своей совокупности составляют содержание k-ой итерации МАЧ.

Представим вектор-столбец новых оценок параметров , которые нам необходимо получить, равенством вида:

, (3.1.4)

где - вектор оценок параметра , полученный на предыдущей итерации, - вектор поправок. При этом будем считать, чт компоненты вектора являются достаточно малыми величинами. Разложим неизвестные нам функции в окрестности значений в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом линейным приближением. Прежде чем это сделать, продифференцируем по вектору a. В результате чего получим:

(3.1.5)

Используя выражение (2.2.1), определяющее ФЧ, запишем уравнение (3.1.5) в следующем виде:

. (3.1.6)

Разложение функции в ряд Тейлора примет вид:

. (3.1.7)

Разложение же функции с учетом выражения (3.1.6) будет следующим:

. (3.1.8)

Приступим теперь к формированию системы уравнений относительно вектора поправок . Для этого воспользуемся метрикой S, заданной равенством (3.1.1), и соотношениями (3.1.7) и (3.1.8). Подставляя значения функций и в правую часть равенства (3.1.1), получим:

. (3.1.9)

Таким образом, мы получили метрику, которую можно использовать для количественной оценки погрешностей описания имеющихся у нас измеренных значений и вычисленных по ним производных , соответственно, функциями, являющимися решениями дифференциального (2.1.2), и производными от этих функций. Именно эту метрику всюду ниже мы и будем использовать. При этом мы можем и будем изменять параметр , входящий в данную метрику, в соответствии с нашими целями и желаниями.

Как видно из равенства (3.1.9), метрика S удовлетворяет равенству , т.е. является явно заданной и положительно определенной функцией вектора поправок и позволяет сделать следующий шаг к тому, чтобы получить интересующую нас систему уравнений относительно вектора поправок . Для этого, как известно из математического анализа, необходимо продифференцировать метрику S по вектору поправок и приравнять полученные при этом частные производные к нулю. Выполнив данные операции над метрикой S, будем иметь n+1 уравнений вида:

(3.1.10)

Сделаем следующее обозначение:

, (3.1.11)

тогда с учетом того, что:

(3.1.12)

выражение (3.1.10) можно записать в более компактном виде:

(3.1.13)

Если выполнить все необходимые и вполне очевидные арифметические операции, то данной системе уравнений можно придать следующий, предельно компактный и традиционный в линейной алгебре вид:

, (3.1.14)

где:

а) и b) ; (3.1.15)

а) и b) . (3.1.16)

Здесь и - квадратные матрицы порядка n+1. Как видно из (3.1.16а) и (3.1.16b), обе эти матрицы являются симметричными.

Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно вектора поправок и, если матрица неособенная, то решение , как известно, определяется равенством:

, (3.1.17)

где - обратная матрица. В противном случае, т.е. в случае, когда является вырожденной матрицей, система уравнений (3.1.14) оказывается недоопределенной и имеет бесконечное множество решений. Во всех подобных случаях наиболее целесообразно в качестве ее решения использовать ее псевдорешение , вычисляемое в соответствии с равенством:

, (3.1.18)

где - псевдообратная матрица.

Проведем вышеописанные рассуждения на примере линейного ОДУ первого порядка, имеющего следующий вид:

(3.1.19)

Продифференцируем данное уравнение по параметрам и :

a) b) (3.1.20)

Согласно формулам (3.1.7) и (3.1.8) разложим и в ряд Тейлора:

, (3.1.21)

. (3.1.22)

Подставим полученные разложения в метрику (3.1.1), получим:

(3.1.23)

Для того чтобы получить интересующую нас систему уравнений относительно вектора поправок , продифференцируем метрику S по вектору поправок :

(3.1.24)

Сделаем следующие обозначения:

a) b) c) (3.1.25)

тогда выражение (3.1.24) можно записать в более компактном виде:

(3.1.26)

Выразив из данного уравнения вектор поправок , получим:

(3.1.27)

Рассмотрим пример ОДУ - уравнения нелинейного маятника, взятое из работы [31] А.И. Рубана, имеющее следующий вид:

(3.1.28)

Сведем данное уравнение к системе двух уравнений, являющихся ОДУ первого порядка:

. (3.1.29)

Продифференцируем данную систему уравнений по параметрам

(3.1.30)

(3.1.31)

(3.1.32)

(3.1.33)

(3.1.34)

(3.1.35)

Разложим и в ряд Тейлора:

, (3.1.36)

. (3.1.37)

Подставив в метрику S разложения (3.1.36) и (3.1.37), получим:

(3.1.38)

Продифференцировав данное равенство по , приравняв полученное выражение к нулю, согласно формулам 3.1.13 - 3.1.17, получаем СЛАУ на :

, (3.1.39)

где:

; (3.1.40)

; (3.1.41)

; (3.1.42)

. (3.1.43)

Подставив в уравнения (3.1.30) - (3.1.35), (3.1.28) известные значения , вычислим значения функций чувствительности и значения , используя любой из численных метод решения ОДУ, например метод Рунге-Кутты [68]. Начальные условия для уравнения (3.1.28) известны из постановки задачи, для уравнений (3.1.30) - (3.1.35) следует выбрать нулевые начальные условия [69]: .

Решив уравнение (3.1.39) любым способом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получим вектор поправок , после чего вычисляем .

Рассмотрим трудоемкость реализации САЧ и МАЧ. Если сравнить равенства (3.1.17) и (3.1.18), которые используются для нахождения поправок имеющихся оценок неизвестных параметров дифференциального уравнения в МАЧ, с равенствами (2.2.9) и (2.2.10) соответственно, которые используются для таких же целей в САЧ, то можно увидеть, то МАЧ более трудоемок.

Построим таблицу, содержащую величины, которые приходится дополнительно вычислять в МАЧ, и количество используемых для их нахождения операций.

Таблица 3.1.1 - Таблица вычисляемых в МАЧ величин

ВеличинаКоличество операцийТип операциивекторы и вычитаниеделениевектор умножениематрица умножениематрица сложение

Как видно из таблицы 3.1.1 в МАЧ необходимо дополнительно посчитать 5 величин. При этом приходится использовать такие арифметические операции, как сложение, вычитание, умножение и деление.

При применении МАЧ, вектор вычисляется только один раз, используя экспериментальные данные. Что же касается вычисления векторов и , а также матриц и , то их приходится считать на каждой итерации k.

Суммарная трудоемкость реализации МАЧ характеризуется следующими данными: операций вычитания, операций деления, операций умножения и операций сложения.

Вычисление вышеописанных дополнительных величин приводит к тому, что скорость работы МАЧ уменьшается. Данное обстоятельство было бы нежелательным тогда, когда ЭВМ обладали низкой скоростью работы. С развитием же мощных персональных компьютеров появилась возможность в считанные секунды выполнить достаточное количество итераций МАЧ для того, чтобы с некоторой точностью описать экспериментальные данные, используя при этом ОДУ. Таким образом, вычисление дополнительных величин занимает пренебрежительно малое время и практически не сказывается на времени работы МАЧ в целом.

4. Сходимость модифицированного алгоритма чувствительности

Свойство сходимости тех или иных математических объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Понятие сходимости возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному объекту, т.е. имеющих его своим пределом. Важнейшим свойством численного метода является его сходимость к искомому решению. Характер сходимости во многом определяет эффективность метода идентификации.

Итерационные методы доставляют средство для приближенного решения системы как линейных, так и нелинейных уравнений. Решение системы при помощи итерационных методов получается как предел последовательных приближений, вычисляемых некоторым единообразным процессом. При применении итерационных методов существенным является не только сходимость построенных последовательных приближений, но и скорость сходимости, при этом, как это принято в численных методах [21], под скоростью сходимости будем понимать количество итераций, которые выполнит метод, чтобы достичь заданной точности решения. Однако каждый итерационный метод имеет свою ограниченную область применимости, т.к. во-первых, процесс итераций может оказаться расходящимся для данной системы, и, во-вторых, сходимость процесса может быть настолько медленной, что практически оказывается невозможным достигнуть удовлетворительной близости к решению.

В связи с тем, что исследование сходимости алгоритма невозможно осуществить аналитически, её приходится исследовать на конкретном примере и на основании полученных результатов делать выводы о сходимости.

Для того чтобы провести исследование сходимости алгоритма, был взят пример ОДУ нелинейного маятника (3.1.28), описанный в разделе 3.2. Необходимо оценить неизвестные параметры , и данного уравнения, используя МАЧ.

Общий алгоритм работы МАЧ показан на рисунке 2, отличия в реализации для конкретной задачи будет заключаться в различных формулах для уравнений (3.1.30) - (3.1.35), (3.1.28). Также возможно изменение метода решения ОДУ, если метод Рунге-Кутты [68] будет демонстрировать неудовлетворительные результаты решений.

Для имплементации алгоритма внутри Matlabа [70] были использованы следующие функции:

1)Ode45 - функция, предназначенная для численного интегрирования систем ОДУ с помощью формул Рунге - Кутты.

2)Interp1 - сглаживание полученных решений ОДУ.

3)Mldivide (или «\») - функция решения СЛАУ, выбор алгоритма решения осуществляется внутри функции и зависит от вида входных параметров.

Поиск экстремума метрики S, заданной выражением (3.1.3), будем производить при:

. (3.2.1)

Будем считать, что истинные значения неизвестных параметров определены следующим образом:

. (3.2.2)

Рисунок 2 - Блок-схема модифицированного алгоритма чувствительности

В первом эксперименте возьмем

, , (3.2.3)

которые в дальнейшем будем постепенно изменять с шагом 0.5, считая при этом на каждой итерации ошибки аппроксимации, заданные согласно выражениям (значение ошибки в этом и последующих экспериментах будет равной 0.001):

а) и b) , (3.2.4)

Как видно из данных равенств, величины S1 и S2 являются квадратичными метриками, характеризующими погрешность аппроксимации экспериментальных данных и производной , вычисленной по этим данным, решением и его производной соответственно.

В таблице 4.1 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S1 и S2 на каждой итерации k подстройки оценок параметров a1, a2 и a3 при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.3).

Таблица 4.1 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.3)

k12345a11.61.04371.11511.09941.1a21.40.792460.898520.900560.90001a31.50.971341.00570.999860.99994S10.549110.290110.0428090.0019830.00046647S21.0420.183630.0266850.00242190.00048952

Ниже для наглядности на рисунках 3 - 12 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.3).

Рисунок 3 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.3)

Рисунок 4 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.3)

Рисунок 5 - Аппроксимация экспериментальных данных на второй итерации при (3.2.3)

Рисунок 6 - Аппроксимация производной на второй итерации при (3.2.3)

Рисунок 7 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.3)

Рисунок 8 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.3)

Рисунок 9 - Аппроксимация экспериментальных данных на четвёртой итерации при (3.2.3)

Рисунок 10 - Аппроксимация производной на четвёртой итерации при (3.2.3)

Рисунок 11 - Аппроксимация экспериментальных данных на пятой итерации при (3.2.3)

Рисунок 12 - Аппроксимация производной на пятой итерации при (3.2.3)

Во втором эксперименте возьмем:

, . (3.2.5)

В таблице 4.2 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S1 и S2 на каждой итерации k подстройки оценок параметров a1, a2 и a3 при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.5).

Таблица 4.2 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.5)

k12345678a13.12.41550.444330.7851.07241.10381.10011.1a22.90.862131.00730.960890.931980.902310.900530.90006a33.00.94130.846510.931420.984520.9998911S11.31692.05532.0990.836840.125030.00348270.00109350.0001426S23.36381.10661.67290.597940.0837610.00398360.00102970.0001497

Ниже для наглядности на рисунках 13 - 18 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.5).

Рисунок 13 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.5)

Рисунок 14 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.5)

Рисунок 15 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.5)

Рисунок 16 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.5)

Рисунок 17 - Аппроксимация экспериментальных данных на пятой итерации при (3.2.5)

Рисунок 18 - Аппроксимация производной на пятой итерации при (3.2.5)

В третьем эксперименте возьмем:

, . (3.2.6)

В таблице 4.3 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S1 и S2 на каждой итерации k подстройки оценок параметров a1, a2 и a3 при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.6).

Таблица 4.3 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.6)

k12345a12.11.51251.03071.10471.0999a21.90.996840.915250.902450.90027a32.00.944880.982960.998121S10.88230.529060.172520.00520260.00085702S21.95130.39760.113370.0061150.00069407

Ниже для наглядности на рисунках 19 - 22 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.6).

Рисунок 19 - Аппроксимация экспериментальных данных на перовой итерации при (3.2.6)

Рисунок 20 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.6)

Рисунок 21 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.6)

Рисунок 22 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.6)

В четвёртом эксперименте возьмем:

, . (3.2.7)

В таблице 4.4 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S1 и S2 на каждой итерации k подстройки оценок параметров a1, a2 и a3 при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.7).

Таблица 4.4 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.7)

k12345678a13.12.24420.404570.718021.00021.09651.0991.1a22.91.26910.753160.774930.843960.892310.898810.89995a33.00.790270.881340.918630.982391.00011.00080.9999S11.31690.974131.8770.647930.0987420.01380.00119810.00023737S23.36380.905451.36470.48180.0924050.0126920.00254590.00025878

Ниже для наглядности на рисунках 23 - 28 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.7).

Рисунок 23 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.7)

Рисунок 24 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.7)

Рисунок 25 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.7)

Рисунок 26 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.7)

Рисунок 27 - Аппроксимация экспериментальных данных на пятой итерации при (3.2.7)

Рисунок 28 - Аппроксимация производной на пятой итерации при (3.2.7)

В пятом эксперименте возьмем:

, . (3.2.8)

В таблице 4.5 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S1 и S2 на каждой итерации k подстройки оценок параметров a1, a2 и a3 при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.8).

Таблица 4.5 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.8)

k12345a11.61.04371.11511.09941.1a21.40.792460.898520.900560.90001a31.50.971341.00570.999860.99994S10.549110.196850.03210.00242788.7372e-005S21.0420.147680.0238180.00181060.00013531

Ниже для наглядности на рисунках 29 - 32 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями.

Рисунок 29 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.8)

Рисунок 30 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.8)

Рисунок 31 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.8)

Рисунок 32 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.8)

В шестом эксперименте возьмем:

, . (3.2.9)

В таблице 4.6 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S1 и S2 на каждой итерации k подстройки оценок параметров a1, a2 и a3 при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.9).

Таблица 4.6 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.9)

k123456a13.11.98870.718911.0321.10131.1001a22.91.25410.83590.894020.898910.90016a33.00.607570.966290.938090.998680.99973S11.31690.78790.782540.114940.00582780.00021634S23.36381.00550.548270.140860.00477880.00056639

Ниже для наглядности на рисунках 33 - 36 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.9).

Рисунок 33 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.9)

Рисунок 34 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.9)

Рисунок 35 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.9)

Рисунок 36 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.9)

Приведённые графики позволяют наглядно видеть процесс аппроксимации

Экспериментальных данных и производной с помощью ОДУ (3.1.28) при применении МАЧ для подстройки неизвестных параметров данного уравнения. Также видно, что при увеличении числа итераций k аппроксимирующие кривые всё с большей точностью описывают экспериментальные данные и производную.

Подстройка неизвестных параметров дифференциального уравнения (3.1.28) была осуществлена при значениях параметра , и начальных приближениях 1.6, 2.1, 2.6, 3.1, 1.4, 1.9, 2.4, 2.9 и 1.5, 2.0, 2.5, 3.0. В приложении Б приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S1 и S2 на каждой итерации k подстройки оценок параметров a1, a2 и a3.

При остальных значениях параметра результаты получились аналогичными. Таким образом, на основании полученных результатов можно заключить, что, во-первых, при значениях параметра алгоритм сходится за одинаковое количество итераций при одних и тех же начальных приближениях, т.е. скорость сходимости не зависит от значения параметра ; во-вторых, значения метрик S1 и S2 с увеличением k монотонно уменьшается; в-третьих, при уменьшении значения параметра , значение ошибки аппроксимации экспериментальных данных S1 увеличивается, а значение ошибки аппроксимации производной S2 уменьшается, причём данная закономерность наблюдается уже на первой итерации и сохраняется на всех последующих итерациях; в-четвёртых, количество итераций зависит от выбора начальных приближений неизвестных параметров и чем ближе они к истинным значениям, тем меньше итераций необходимо выполнить, чтобы достичь заданной точности аппроксимации.

На основании выше изложенного можно сказать, что модифицированный и базовый алгоритмы чувствительности обладают высокой скоростью сходимости, которая зависит от выбора начальных приближений искомых параметров. Применение данных алгоритмов позволяет достичь высокой точности аппроксимации всего за несколько итераций.

Данная глава посвящена разработке и исследованию итерационного МАЧ, в котором предложен новый критерий качества подстройки неизвестных параметров объектов управления. Было показано, что данный алгоритм является эффективным для оценки неизвестных параметров ОДУ таким образом, что его решение оказывается адекватной математической моделью исследуемого процесса, явления, объекта и т.д. Благодаря высокой скорости сходимости, всего за несколько итераций достигается желаемая точность аппроксимации экспериментальных данных. Модифицированный алгоритм является простым в смысле его реализации на ПК и надёжным в смысле высокой точности описания данных и производной, поэтому может быть с успехом использован в различных отраслях производства. С большим успехом алгоритм может быть использован на предприятиях, где необходимо управлять процессом и осуществлять его прогноз во времени. Описанный алгоритм может использоваться специалистами, занимающимися задачами оценивания порядка и неизвестных параметров дифференциального уравнения.

На основании проведённых исследований можно заключить, что МАЧ позволяет:

1)Формулировать и решать задачу аппроксимации как заданной функции, так и её производной.

2)Влиять на точность аппроксимации функции и производной.

3)За приемлемые интервалы времени находить неизвестные параметры.

Скорость сходимости МАЧ зависит от начального приближения неизвестных параметров, и она тем выше, чем ближе начальное приближение к истинным параметрам. Следовательно, немаловажное значение для эффективного применения алгоритма играет выбор начального приближения.

Заключение

Основные результаты настоящей диссертационной работы сводятся к следующему:

.Дано общее представление ТЧ, а также ФЧ, которые играют одну из ключевых ролей в данной теории. Рассмотрены задачи и методы ТЧ.

.Обсуждены некоторые вопросы, связанные с САЧ: причины создания и применение. Приведён ряд работ, в которых с успехом был применён САЧ. На основании обзора литературы выяснено, что за всё время существования этого алгоритма было предложено несколько его модификаций. Рассмотренные источники литературы позволяют заключить, что САЧ используется для широкого класса задач у нас в стране и за рубежом до настоящего момента.

.Показано, что САЧ является эффективным методом оценивания неизвестных параметров ОДУ.

.На основании САЧ предложена его модификация и для неё построена итерационная процедура. Отличие нового алгоритма заключается в том, что метрика, которая используется в нём, позволяет учитывать не только расстояние между экспериментальными данными и решением ОДУ, но и разность между производной, вычисленной по этим данным. И производной решения уравнения. Данный алгоритм позволяет влиять на точность аппроксимации как экспериментальных данных, так и производной.

.МАЧ позволяет оценить неизвестные параметры дифференциального уравнения таким образом, что его решение и производная решения адекватно описывают экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным, соответственно.

.На примере показана хорошая сходимость и скорость сходимости полученного алгоритма.

7.САЧ является частным случаем его модификации, т.к. при модифицированный алгоритм превращается в стандартный.

Полученные в диссертации результаты можно применять при решении широкого круга задач идентификации динамических процессов. Алгоритм чувствительности и предложенная его модификация с методами статистической обработки данных позволит осуществить новые научные исследования в различных областях наук. Изложенные результаты представляют интерес для специалистов, занимающихся проблемами математического моделирования реальных объектов, процессов, явлений и т.д. и, прежде всего, для тех из них, кто в качестве математических моделей исследуемых или управляемых объектов использует различные классы дифференциальных уравнений.

Список источников

1Быховский M.JI. Основы динамической точности электрических цепей. Издательство АН СССР, 1958. 213 с.

Быховский M.JI. Чувствительность динамических систем // Теория и методы математического моделирования: Труды 4 Всесоюзной конференции. Издательство «Наука», 1966. С. 56-58.

Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973. - 245 с.

Кокотович П.В., Рутман P.C. Чувствительность систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика. 1965. - Т. 26. - №4. - С. 85 -87.

Кокотович П.В. Метод точек чувствительности в исследовании и оптимизации линейных систем управления // Автоматика и телемеханика. - 1964. Т. 25.- №12.-С. 79-83.

Пагурек Б. Чувствительность оптимальных систем регулирования к изменениям параметров объекта // Чувствительность автоматических систем. Издательство «Наука», 1968. - С. 209 - 216.

Петров Б.Н., Крутько ПД. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. -1970. №2. - С. 134 - 140.

Розенвассер E.H. Об исследовании чувствительности неавтономных колебательных систем по отношению к частоте возбуждения // Автоматика и телемеханика. -1980. №00. - С. 100 - 102.

9Ciric V., Leeds J.V. Sensitivity Consideration of Multiple Input Compensator Design for Dynamic Optimization 11 Circuits and Theory: Proc. Of 6-th Allerton Conf. University of Illinois, Urbana, Illinois, 1968. - P. 123 - 125.

Ciric V, Leeds J.V. Design of Minimum Sensitivity Control Systems // Joint Automatic Control Conference. Boulder, Colorado, 1968. - P. 67 - 69.

Ciric V. Design of Minimum Sensitivity Control Systems: Ph. D. Thesis. Rice University, Houston, Texas, 1969. - 20 p.

Gustavsson I. Servey of application of identification in chemical and physical process // Identification and System Parameter Estimation: Proceedings of the 3-rd IFAC Symposium, 12-15 June 1973. - The Hague/Delft, The Netherlands, 1973. - p. 1. - p. 37 - 40.

Tomovic R. Sensitivity analysis of dynamic systems. Belgrade, 1963. - 314 p.

Yang R.J., Botkin M.E. Accuracy of the domain material derivative approach to shape design sensitivities // AIAA. 1987. - №25. - P. 1606-1610.

15Козлов ЮМ, Юсупов P.M. Беспоисковые самонастраивающиеся системы. М.: Наука, 1969. - 211 с.

Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. Издательство иностр. лит., 1948. 112 с.

Быховский M.JI. Чувствительность и динамическая точность систем управления // Известия АН СССР / Техническая кибернетика. 1964. - №6.-С. 38-43.

Кокотович П.В., Рутман P.C. Матрица чувствительности и ее моделирование // Автоматика и телемеханика. 1966. - Т. 27. - №6. - С. 93 - 97.

Ермаченко А.И, Юсупов P.M. Применение функций чувствительности в задачах синтеза линейных многосвязных систем управления // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. 1976. - №2. - С. 67 - 70.

Крылов В.И. Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Минск: Издательство «Вышэйшая школа», 1972. -584 с

Фаддеев Д.К., Фаддеева В Н Вычислительные методы линейной алгебры. М. - Л.: ГФ-МЛ, 1963. - 754 с.

Соколов О.Н., Силин И.Н. Нахождение минимумов функционалов методом линеаризации / Объединенный институт ядерных исследований. - Препринт, Д - 810,1961. 57 с.

Рубан А.И. Некоторые вопросы математического описания динамических объектов: Кандидатская диссертация. Томск. 1969. - 234 с.

Гусев В.П., Рубан A.M. Идентификация линейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности // Системы управления. 1975. -320 с.

Рубан А.И. Применение алгоритма чувствительности при решении нелинейных краевых задач // Теория инвариантности и теория чувствительности в автоматическом управлении. Киев, 1971. - ч. III. - С. 491-501.

Рубан А.И. Сходимость двух алгоритмов метода линеаризации // Труды СФТИ. Томск, 1973. - вып. 64. - С. 56 - 71.

Рубан А.И. Применение алгоритма чувствительности при решении нелинейных краевых задач // Теория инвариантности и теория чувствительности в автоматическом управлении. Киев, 1971. - ч. III. - С. 491-501

Рубан А.И. Идентификация распределенных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. Киев, 1971. - №6. - С. 191 - 196.

Рубан А.И. Идентификация химических реакторов на основе использования метода линеаризации // Моделирование химических процессов и реакторов. 1972. - т. 4. - ч. I. - С. 92 - 106.

Рубан А.И. Идентификация дискретных динамических систем на основе использования метода линеаризации // Автоматика и вычислительная техника. -1972. №6. - С. 98 - 100.

Рубан А.И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности. - Томск: Издательство Томского университета, 1975. - 271 с.

Рубан А.И. Адаптивный алгоритм линеаризации при идентификации динамических объектов // Адаптивные и поисковые методы в задачах математического описания и оптимизации объектов управления. - 1974. - с. 10 -22.

33Goodwin G.C. The application of curvature methods to parameter and state estimation // Proc. HE. 1969. - №6. -116 p.

Medler Ch.L., Hsu Chih-Chi. An algorithm for nonlinear parameter identification // IEEE Trans. Aut. Cont. 1969. - v. 14. - №6. - P. 69 - 73.

35Юсупов P.M., Захарин Ф.М. Методы теории чувствительности в задачах идентификации динамических систем // Теория и применение адаптивных систем. - 1971. С. 145-158.

Городецкий В.И., Юсупов P.M. Метод последовательной оптимизации в задачах идентификации // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. -1972. - №3.-С. 72-79.

37Городецкий В.И., Захарин Ф.М Розенвассер E.H. и др. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении. Ленинград: Энергия, 1971. - 179 с.

38Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. - М. Мир, 1973. - 201 с.

39Klein V., Williams D.A. On some problems related to the identification of aircraft parameters // Identification and system Parameter Estimation: Proc. Of the 3rd IFAC Symposium, 12 15 June 1973. - p. 1. - P. 435 - 444

40Юсупов P.M., Остов ЮЯ. Решение задачи наблюдения и идентификации возмущающих воздействий методом инверсной чувствительности // Вопросы кибернетики / Адаптивные системы. 1971. - С. 175 - 186.

Городецкий В.И, Юсупов P.M. Методы оптимизации // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика, 1973. - №2. - С. 79 - 86.

Бударель Р., Дельмас Дж., АнриДж. и др. Применение алгоритма Гаусса - Ньютона к задаче оптимизации и идентификации // Управление в космосе.-М.: Наука, 1972.-Т. 1.-С. 135-154.

Крутько П.Д. Алгоритмическая процедура решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов // Автоматика и телемеханика. -1973. - №10.-С. 104-108.

44Brown R.F., Goodwin G.C. Hybrid method of state and parameter estimation for use in gradient techniques 11 Electronics letters. December 1967. - №12. - P. 45-48.

45Гавурин М.К., Фарфоровская Ю.Б. Об одном итеративном методе разыскания минимума суммы квадратов // Вычислительная математика и математика физики. 1966. - №6. - С. 1094-1097.

Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. - М.: Мир, 1968. - 320 с.

47Baird С.A. Modified quasilization technique for the solution of boundary - value problems for ordinary differential equations 11 Optimization theory appl. -1969. vol. 3. - №4. - P. 78 - 80.

Paul R.A., Legge C.G. Direct - sensitivity method of solving boundary - value problems in optimal control studiea // Proceedings IEE. - 1969. - v. 116. - №2. - p. 273 - 280.

49Агафонов Е.Д., Кирик Е.С. Об учёте начальных условий в задаче непараметрической идентификации нелинейных динамических процессов с использованием метода линеаризации // Идентификация систем и задачи управления: Труды III международной конференции, 28 - 30 января 2004. - М., 2004. - с. 845 - 856.

50Szopa R. Sensitivity analysis of soldification with respect to grains shape // Computational methods in applied sciences and engineering: Europen Congress, 24 28 July 2004. - Poland, 2004. - P. 175 - 195.

Choi J.H., Won J. H, Yoon J.M. Boundary method for shape design sensitivity analysis in the optimization of three-dimentional elastostatics // Structural and multidisciplinary optimization: 6-th world congress, 30 may - 03 june 2005. - Brazil, 2005. - p. 44 - 55.

Rousselet B., Haug E J. Design sensitivity of shape variation // Optimization of distributed parameter structures. The Netherlands, 1981. - P. 1397-1442.

Choi K.K., Haug EJ. Shape design sensitivity analysis of elastic structures. Structural Mechanics. 1983. - P. 231 - 269.

Dems K, Mroz Z. Variational approach by means of adjoint systems to structural optimization and sensitivity analysis // Solids and structures. 1984. - №20. - P. 527-552.

Yang R.J., Botkin M.E. Accuracy of the domain material derivative approach to shape design sensitivities // AIAA. 1987. - №25. - P. 1606-1610.

Choi K.K., SeongH.G. Domain method for shape design sensitivity analysis of built-up structures // Computer methods in applied mechanics and engineering. -1986. - №4.-P. 1-15.

Rodenas J.J., Fuenmayor F.J. Tarancon J.E. A numerical methodology to access the quality of the design velocity field computation methods in shape sensitivity analysis // Numerical methods in engineering. 2004. - №59. - P. 1725-1747.

Park C.W., YooY.M., Kwon K.H. Shape design sensitivity analysis of an axisymmetric turbine disk using the boundary element method // Computers and structures. 1989. - №33. - P. 7 - 16.

Matausek M.R., Milovanovic M.D. Identification by preudosensitivity functions and quasilinearization // Identification and System Parameter Estimation: Proceedings of the 3-rd IFAC Symposium, 12 - 15 june 1973. - the Hague/Delft, The Netherlands, 1973. - p. 2. 847 - 850.

60Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач: Пособие для физ.-матем. пед. ин-тов. М.: Издательство «Учпедгиз», 1962. - 184 с.

Элъсголъц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебник для вузов / Л.Э. Эльсгольц. СПб.: Лань, 2002. - 218 с. 114. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Издательство «Мир», 1975. - 683 с.

Арбачаускене Н., Балтрунас И., Немура А. и др. Идентификация динамических систем. Вильнюс: Издательство «Минтис», 1974. - 312 с.

Живоглядов В.П., Каипов В.Х. О применении метода стохастических аппроксимаций в проблеме идентификации // Автоматика и телемеханика. 1966. - №10.-С. 67-70.

Райбман Н.С. Что такое идентификация? М.: Наука, 1971. - 210 с.

65Fairman F.W., Shen D.W.C. Parameter identification for a class of distributed systems I I Int. J. Control. 1970. - vol. 11. - No. 6. - P. 78 - 80.

Mehra R.K., Tyler J.S. Case studies in aircraft parameter identification //Identification and System Parameter Estimation: Proc. of the 3-rd IFAC Symp., 1973. The Netherlands, 1973. - p. 1. - P. 201 - 213.

67Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для вузов / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, A.A. Шишкину Под ред. В.Ф. Бутузова. 3-е изд., испр. - М.: Физико-математическая литература, 2000. -479 с.

Демин Н.С., Решетникова Г.Н., Семенов М.Е. Решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем методами Рунге-Кутты и Эйлера. Учебное пособие. Томск: Издательство Томского университета, 1999. - 27 с.

Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М: Издательство «Советское радио», 1972. - 240 с.

Решетникова Г.Н., Хлебников А.А, Арцер П.А. и др. MathCAD PLUS 6.0 PRO: Учебное пособие / Под редакцией к.т.н., доцента Г.Н. Решетниковой. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. - 140 с.

Елькин Б.И., Потапов В.И., Шафеева О.П. Дипломное проектирование: методические указания для студентов, обучающихся по специальности 230101 и направлению подготовки бакалавров 230100. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007. - 64 с.

Николаев А.Б., Александриди Т.М., Милов Л.Т. Методические основы организации дипломного проектирования по специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления»: учеб. пособие. - М.: МАДИ(ТУ), 1999. - 75 с.

ГОСТ 2.105. ЕСКД. Общие требования к текстовым документам. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 1996. - 38 с.

РД 50-34.698-90. Автоматизированные системы. Требования к содержанию документов. - М.: Изд-во стандартов, 1991. - 144 с.

ГОСТ 19.701-90. ЕСПД. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения. - М.: Изд-во стандартов, 1990. - 14 с.

ГОСТ 19.701-90. ЕСПД. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. - М.: Изд-во стандартов, 1990 - 8 с.

Цыганенко В.Н. Технология программирования: конспект лекций. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. - 32 с.

ГОСТ 34.201-89. Информационная технология. Автоматизированные системы. Основные положения: сб. ГОСТов. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 2002. - 8 с.

Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности Введе

Больше работ по теме: