Методика вивчення стереометричних задач в курсі геометрії 9-го класу

 

Методика вивчення стереометричних задач в курсі геометрії 9-го класу

1. Методичні основи вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

1.1 Місце стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи та вимоги до його засвоєння

Структурування навчального матеріалу з геометрії доцільно здійснити на основі таких принципів:

а) у курсі математики в 5-6-х класах треба ознайомити учнів з основними поняттями геометрії площини та простору на наочно-інтуїтивному та оперативному рівнях, формулами для обчислення площ поверхонь та обємів геометричних тіл, готувати учнів до вивчення систематичного курсу геометрії, суміжних дисциплін;

б) систематичне вивчення геометрії має починатися з 7-го класу курсом планіметрії, який містить дещо розширену порівняно з 5-6-м класами стереометричну частину;

в) стереометричний матеріал має органічно поєднуватися з аналогічним планіметричним матеріалом; властивості плоских фігур треба демонструвати на відповідних елементах стереометричних фігур, розкриваючи тим самим певні властивості останніх;

г) вивчення стереометричного матеріалу в основній школі має носити практичний характер, базуватися переважно на дослідах, інтуїції, експерименті; тим самим буде сформовано необхідний запас просторових уявлень як основи для вивчення систематичного курсу стереометрії в 10-11-х класах на науково-теоретичному рівні;

д) курс планіметрії треба завершити узагальнюючим розділом «Елементи стереометрії».

Передбачається вивчення геометричного матеріалу з різним ступенем обґрунтованості та повноти. Мінімальний рівень підготовки описаний за допомогою завдань відповідно до класу та навчального матеріалу.

Нище пропонуємо Навчальнувну програму для учнів 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів для розділу «Початкові відомості з стереометрії».

-й клас. ГЕОМЕТРІЯ

К-ть год.Зміст навчального матеріалуДержавні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів8Тема 6. ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ З СТЕРЕОМЕТРІЇ Взаємне розташування прямих у просторі. Взаємне розташування площин. Взаємне розташування прямої та площини. Перпендикуляр до площини. Пряма призма. Піраміда. Площа поверхні та обєм призми і піраміди. Циліндр. Конус. Куля. Площі поверхонь і обєми циліндра, конуса і кулі. Розвязування задач на обчислення площ поверхонь і обємів, у тому числі прикладного характеру.Описує взаємне розміщення в просторі двох прямих; прямої та площини; двох площин. Пояснює, що таке: пряма призма, піраміда, циліндр, конус, куля та їх елементи; поверхня і обєм многогранника і тіла обертання. Зображує і знаходить на малюнках многогранники і тіла обертання та їх елементи. Записує і пояснює формули площ поверхонь і обємів зазначених у програмі геометричних фігур. Застосовує вивчені означення і властивості до розвязання задач у т. ч. прикладного змісту.

Розділ «Початкові відомості зі стереометрії» є новим у програмі геометрії в 9-х класах і має на меті, щоб учні, які не будуть продовжувати вивчення геометрії в старших класах, мали уявлення про просторові фігури, про обчислення площ поверхонь та обємів простіших геометричних тіл. Інше призначення цього розділу - пропедевтична підготовка до вивчення геометрії в 10 і 11 класах. Основна мета - повторити, привести в систему і розширити відомості про геометричні фігури в просторі та навчити обчислювати площі поверхонь і обєм розглянутих тіл. Початкові відомості з стереометрії можуть вивчатися окремою темою, як записано у програмі, або протягом усього курсу планіметрії під час вивчення відповідного навчального матеріалу. Наприклад: взаємне розташування прямих на площині та в просторі; трикутник - піраміда; коло - сфера тощо.

Так, нові програми з математики для основної та профільної старшої школи побудовані з урахуванням вимог Державного стандарту базової і повної середньої освіти, яким передбачено вивчення математики за методом фузіонізму. Зокрема, курс геометрії основної школи пропонується будувати так, щоб елементи стереометрії тісно перепліталися з відповідним планіметричним матеріалом, що значно полегшить створення в систематичному курсі стереометрії цілісних і міцних знань, стійких до збереження в пам'яті, сприятиме розвитку просторових уявлень та уяви учнів. Часті переходи від двовимірної площини до тривимірного простору сприятимуть розвитку інтуїції школяра. Позитивною рисою також є підвищена увага до питань пропедевтики геометрії, особливо в 5-6-х кл-х.

Як бачимо, зрушення щодо введення питань стереометрії в курс математики основної школи є. Однак питання визначення змісту і обсягу стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи, його місця в програмі, вимог до підготовки учнів під час диференційованого навчання залишаються розв'язаними недостатньо. Недостатньо розроблена також методика його вивчення та не створена система задач, яка забезпечує це вивчення.

1.2 Аналіз змісту і методів вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу за новими підручниками з геометрії

У зв'язку з введенням у школах нових навчальних планів і програм з математики постала гостра потреба у підручниках, які б відповідали вимогам нових програм.

Навчання геометрії у 9 класах загальноосвітніх навчальних закладів здійснюється за новими підручниками: «Геометрія. 9 клас» А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір; «Геометрія. 9 клас» Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.; «Геометрія. 9 клас» А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршова; «Геометрія. 9 клас» Г.В. Апостолова.

Ці підручники створено відповідно до Державного стандарту та нових програм з алгебри та геометрії для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Однією з основних проблем шкільних підручників геометрії - оптимальне поєднання науковості й доступності викладення матеріалу. Складністю вирішення цієї проблеми пояснюється те, що українські школи мають обмаль підручників, за якими справді хотілося б навчати учнів. Та з іншого боку, це дало поштовх до педагогічної творчості чималій кількості небайдужих вчителів.

Розглянемо, як висвітлений розділ «Початкові відомості зі стереометрії» у цих підручниках.

У підручнику «Геометрія, 9» М.І. Бурди, Н.А. Тарасенкової науковість змісту розділу забезпечена в першу чергу логічно послідовним розміщенням навчального матеріалу, коректним формулюванням означень понять, достатнім рівнем строгості. Логічне упорядкування і послідовність навчального матеріалу розділу відповідають вимогам дидактики і математики як науки. Термінологія сучасна, предметна й однозначна. Поняття і властивості геометричних фігур сформульовані коректною математичною мовою. Чітко розмежовується зміст понять (перераховуються всі суттєві ознаки) і їх обсяг (вказується множина об'єктів, де застосовується поняття). При цьому зміст понять розкривається за допомогою означень, а їх обсяг - із залученням класифікацій (поділу понять за певною ознакою). З одного боку, це покращить засвоєння і застосування понятійного апарату даної теми, а з другого - посилить його зорове сприймання. Заслуговує на увагу і те, що поряд з означеннями понять через найближчий рід і видову відмінність, сприймання яких вимагає складнішої розумової діяльності, використовуються і конструктивні означення, які дають змогу учневі усвідомити сам процес створення (побудови) відповідного стереометричного обєкта. Тому означення поняття нерідко спирається або на малюнок, або побудову відповідної геометричної фігури, або на розгляд життєвої ситуації. Учням пропонується спочатку самостійно дати означення поняттю, а потім порівняти його з наведеним у підручнику.

Вивчення геометричних фактів, як правило, розпочинається з аналізу учнем емпіричного досвіду (відповідних прикладів із довкілля, моделей чи малюнків), або з опису практичних дій. Це дає змогу проводити невеликі дослідження, з'ясовувати суттєві ознаки понять, властивості геометричних фігур і на основі цього самостійно формулювати відповідні твердження. Самостійно оволодіти навчальним матеріалом допоможе і підкріплення його малюнками, які виконують не лише ілюстративну, а й евристичну роль - на малюнках кольором виділено дані і шукані величини, допоміжні побудови тощо. Кольорові фотографії та ілюстрації також несуть ретельно продумане дидактичне навантаження.

Задачі підручника мають чотири рівні складності - початковий, середній, достатній і високий. Усередині набору кожного рівня складності задачі згруповані за порядком вивчення теоретичних відомостей. Як правило, набори початкового і середнього рівнів складності розпочинаються із задач за готовими малюнками. Хоча вони не є винятком і серед більш складних задач. Окремі найбільш важливі задачі-теореми виділені чорним шрифтом. Учням доцільно запамятати їх формулювання. Ці геометричні твердження можна застосовувати у розв'язуванні інших задач. Особливістю задач є те, що задачі високого рівня складності включають елементи задач середнього і достатнього рівнів, а останній - елементи задач початкового рівня.

Особливістю розділу є прикладна спрямованість змісту. Автори намагалися, де це можливо, не лише показати виникнення геометричного факту із практичної ситуації, а й проілюструвати застосування його на практиці. З цією метою в окремо виділеному блоці завдань «Застосуйте на практиці» подано типові практичні ситуації, де потрібно застосувати вивчений матеріал.

У підручнику «Геометрія, 9» А.П.Єршової, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановського, С.В.Єршова зазначено, що цей розділ «своєрідний стислий огляд курсу геометрії 10-12 класів». Тема «Початкові відомості зі стереометрії» передбачає ознайомлення учнів з фігурами в просторі і є пропедевтичним вступом до курсу стереометрії, що вивчатиметься у старших класах. Разом із цим, у порівнянні з попередніми підручниками, з'являються нові дидактичні акценти, пов'язані зі специфікою «геометрії методів», розширюються і поглиблюються окремі питання щодо властивостей геометричних фігур, методики розв'язування задач тощо.

Структура, обсяг і співвідносність розділів навчального матеріалу повністю відповідають діючій програмі. Однак порівняно з традиційними підходами до розгляду відповідного навчального матеріалу запропоновано декілька важливих інновацій. Це дає можливість спростити низку доведень. Найбільш складні з точки зору обґрунтування теореми супроводжуються в основному тексті зрозумілими для пересічного учня загальними схемами міркувань, а відповідні строгі доведення подаються в «Додатках».

У тексті виділено основний зміст (означення, теореми й наслідки з них), доповнення та приклади розв'язування задач. До кожної теореми подано її назву. Наприкінці розділу міститься підсумковий огляд його змісту у вигляді таблиці, які наочно ілюструють змістовно-логічні та структурно-функціональні зв'язки між елементами навчального матеріалу.

Крім того, наприкінці розділу пропонуються контрольні запитання і типові задачі для підготовки до контрольної роботи. Наявність цих матеріалів дає змогу учневі самостійно оцінити рівень своєї математичної підготовки; запитання і задачі мають діагностичну цінність і сприяють корекції знань. Додаткові задачі до розділу призначені для організації інтегрованого повторення і узагальнення вивченої теми, встановлення внутрішніх взаємозв'язків між окремими фрагментами теми. Окремо після розділу виділено задачі підвищеної складності. Така організація матеріалу дає змогу забезпечити опанування учнем програмового змісту як під керівництвом учителя, так і самостійно.

Теоретичний матеріал побудовано за схемою «означення основних понять - аксіоми й теореми - наслідки - приклади застосування». Окреме місце відводиться опорним задачам, які містять додаткові теоретичні відомості, на які учні далі можуть посилатися без доведення. Такі задачі подаються як в основному тексті параграфів, так і в задачному матеріалі. Задачі до кожного параграфа розподілено на чотири групи. Першу групу складають усні вправи - завдання теоретичного плану, друга група завдань - графічні вправи, які учні можуть виконувати як власноруч у зошиті, так і за допомогою комп'ютера, наступну групу складають письмові задачі, згруповані за трьома рівнями складності. Зазначимо, що на кожному рівні завдання диференційовано за змістом навчальної діяльності - задачі на обчислення, доведення, побудову тощо. Нарешті, наприкінці кожного параграфа виділено теоретичний матеріал, який необхідно повторити для свідомого засвоєння наступної теми, і подано задачі для повторення.

Розв'язувати всі задачі розділу не обов'язково (а з урахуванням наявного навчального часу і неможливо). Задачі до кожної теми свідомо подано в надлишковій кількості, щоб розширити творчі можливості вчителя, сприяти організації особистісно-орієнтованого навчання, диференціації роботи учнів у класі та вдома з урахуванням їхніх індивідуальних можливостей і рівня математичної підготовки.

Підручник Апостолової Г.В. Геометрія 9: дворівневий підручник для загальноосвітнього навчального закладу. Логічне упорядкування і послідовність навчального матеріалу розділу відповідають вимогам дидактики і математики як науки. Підручний створений на досить високому рівні та за глибиною матеріалу призначений для більш поглибленого вивчення теми. Вивчення даного розділу розпочинається із введення поняття стереометрії та проведення паралелі між планіметрією та стереометрією. В першому параграфі наводяться основні аксіоми та теореми стереометрії, які супроводжуються ілюстративним зображенням, яке демонструє всю суть даного твердження. Опорні поняття виділенні жирним шрифтом та курсором, що звертає увагу учнів на основні аспекти теми. Означення, теореми та наслідки позначаються спеціальними знаками.

Стереометрія - розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі («стереос» у перекладі з грецької - просторовий, а «метріо» - вимірюю), тому в цьому розділі одним із головних елементів повинні бути малюнки всіх необхідних побудова та зображень. У підручнику Апостолової Г.В. всі твердження дуже актуально продемонстровані графічним зображенням, що дозволяє відразу зрозуміти та уявити дане твердження. В теоретичному матеріалі грані, ребра та вершини позначені. Елементи фігури у малюнках зображені різними відтінками декількох кольорів, які для сприймання. Дані малюнки розвивають у дітей абстрактне мислення.

Кожний параграф закінчується «Практичною роботою», де запропоновано різні завдання, які учні повинні виконати практично логічно мислячи. Ці завдання дозволяють учням самим зробити стереометричний макет. Після «Практичної роботи» знаходяться задачі на доведення, розрахунки та побудову. Кількість завдань задовільна, що сприяє відмінному засвоєнню матеріалу. Задачі мають чотири рівня складності і рівень має свої позначення. Після кожного параграфа прикріплено рубрику «Для допитливих», в якій розповідається про різні цікаві історичні та математичні факти. Вивчення розділу «Початкові відомості зі стереометрії» закінчується набором завдань для повторення вивченого матеріалу.

До теми «Взаємне розташування прямих у просторі» у трьох підручниках докладно подано основні фігури в просторі, позначення і зображення площин, розміщення точок у просторі. У підручниках Апостолової і Єршова чітко виділені твердження, як однозначно задати площину. Також тут подані графічні зображення взаємного розміщення двох прямих у просторі, у підручнику Бурди лише продемонстровано на прикладі кімнати.

До теми «Взаємне розміщення прямих і площин у просторі» у підручнику Бурди всі випадки взаємного розміщення прямої і площини, двох площин наведені в таблиці, графічних зображень немає.

При вивченні в 9 класі даного розділу значну увагу слід приділити формуванню в учнів культури графічного зображення просторових тіл та їх елементів. Вивчення основних тіл стереометрії, вони закладають формування переходу від мислення в категоріях плоских фігур до мислення в просторі, також усвідомлення того, що для визначення взаємного розташування фігур у просторі слід правильно виокремити ті елементи, які визначають це взаємне розташування.

Так, до теми «Поняття багатогранника.» у даних підручниках сформульоване поняття геометричного тіла, багатогранника та його елементів, наведені наочні та графічні зображення фігур. Девятикласники вже мають запас просторових уявлень, тому при вивченні даних тем вони доповнюються і систематизуються.

У підручнику Бурди вивчення піраміди і призми подано одночасно, властивості розглядаються без доведень, проте вони мають достатньо переконливе наочне підтвердження. Так, вивчення властивостей фігур у просторі спирається на приклади з довкілля, макети, малюнки або досліди. Щоб учні до формул обємів призми (піраміди) розглядаються досліди з пересипанням піску.

Циліндр, конус, куля подаються в усіх підручниках як тіла обертання. Бічні поверхні циліндра і конуса розглядаються через розгортки відповідно циліндра і конуса.

У школі вчителі протягом вивчення стереометрії приділяють увагу в основному опрацюванню теорії та розвязуванню абстрактних задач, оскільки вони недооцінюють можливості реалізації прикладної спрямованості для досягнення цілей вивчення цього курсу. Посилюють цю ситуацію такі фактори: невелика кількість годин, що відведена для вивчення курсу стереометрії; у методичній літературі мало матеріалів, які доводять значущість прикладної спрямованості та конкретних методичних розробок, що допомагають вчителю ефективно використовувати її засоби тощо. З огляду на перераховані обставини, у вчителів відсутня мотивація для систематичного прикладного спрямування курсу, зокрема для розвязування з учнями прикладних задач, особливо враховуючи їх невелику кількість у підручниках, посібниках та майже повну відсутність серед добірок завдань контролюючого характеру.

1.3 Методичні рекомендації щодо вивчення стереометрії в школі

Виходячи з цілей і завдань вивчення математики, рекомендованого змісту питань геометрії, шкільний курс геометричної освіти доцільно будувати так.

-6-ті класи - курс наочної геометрії, який по суті має бути пропедевтичним перед вивченням систематичних курсів планіметрії та стереометрії. Саме в цьому полягає одна з його основних цілей. Не менш важливим є озброєння учнів практичними знаннями з геометрії, які потрібні їм під час вивчення географії, фізики, креслення, трудового навчання та інших суміжних дисциплін.

Пріоритетними завданнями мають бути розвиток просторових уявлень та уяви, систематизація емпіричного геометричного матеріалу, накопиченого в дошкільному віці та в початкових класах; формування уявлень про певні класи геометричних фігур на площині та в просторі; формування навичок використання формул площ та об'ємів геометричних фігур під розв'язування задач прикладної спрямованості.

Реалізація цих завдань має здійснюватися через спостереження геометричних фігур (зокрема й просторових) в оточуючому середовищі, виділення їх з цього середовища та маніпулювання ними; використання моделей плоских і просторових фігур та їх виготовлення; вимірювання та обчислення за готовими формулами певних геометричних величин; дослідне встановлення деяких властивостей фігур, що розглядаються.

Спираючись на Державні стандарти базової та повної середньої освіти, доцільно в зміст даного курсу разом з наявним геометричним матеріалом включити питання стереометрії.

-9-й класи - систематичний курс планіметрії, який має будуватися на основі фузіонізму, тобто стереометричний матеріал має органічно поєднуватися з відповідними поняттями та фактами планіметрії без суттєвих змін внутрішньої логічної структури самого курсу. При цьому планіметрія вивчається на систематичному рівні в межах існуючих державних програм, з відповідними обґрунтуваннями та доведеннями розглядуваних фактів, стереометрія - на рівні пропедевтики.

Стереометричний матеріал, що вивчається у 7-9-х класах, за назвами дещо збігається із запропонованим у 5-6-х класах, проте зміст понять поступово наповнюється новими логіко-математичними властивостями, а сформовані образи перетворюються у математичні поняття, яким потім даються чіткі означення.

До завдань, що стосуються вивчення стереометричної частини курсу, належать такі: формування понять про певні класи многогранників, тіл обертання та вивчення деяких їх властивостей; формування вмінь застосовувати формули площ поверхонь та об'ємів тіл до розв'язування прикладних задач; формування конструктивних умінь учнів, їх графічної культури.

Питання стереометрії мають рівномірно розглядати у 7-9-х класах, що забезпечить безперервність їх вивчення. Для міцного та свідомого засвоєння понять стереометрії слід якомога ширше використовувати моделі, таблиці, рисунки.

-11-й класи - систематичний курс стереометрії, завдання якого - систематичне вивчення стереометричного матеріалу на глибшому теоретичному рівні з повним обґрунтуванням тверджень, що доводяться.

2. Загальні методичні рекомендації вивчення стереометричних задач у курсі геометрії 9 класу

.1 Перші уроки систематичного курсу стереометрії

В курсі стереометрії учні із двовимірного простору «переходить» в реальний тривимірний простір, тобто приступають до вивчення властивостей стереометричних фігур, які існують в просторі трьох вимірів.

Всі знання і уявлення учнів про властивості фігур, які вивчались раніше, спирались на площину, а в тривимірному просторі площина стає самостійною фігурою і одночасно носієм всіх плоских фігур з їх багато чисельними властивостями. Нелегко учню уявити образ площини в тривимірному просторі, розміщення в ньому трьох і більше площин і зовсім важко побачити розміщення на цих площинах вже відомих плоских фігур з їх властивостями. Навчити кожного учня бачити, малювати уявляти про яку фігуру йде мова в теоремі, задачі, означенні і доведенні - головні навчально-виховні цілі уроку.

Учням необхідно розяснити, що доведення проводиться не тільки з метою переконання істинності якого-небудь твердження, але і для того, щоб звести дане твердження до раніше відомих, показати, яким чином із аксіом, означень і вже доведених теорем виникає дане твердження.

З перших уроків вивчення курсу стереометрії необхідно вчити учнів робити малюнок до умови задачі, намічати хід розвязання, тобто проводити аналіз розвязання задачі, опускаючи обґрунтування, а після цього переходити до строгого обґрунтування розвязання.

Побудова системи аксіом стереометрії здійснюється за допомогою таких дій:

)переформулюються аксіоми планіметрії для простору (дія виконується за допомогою прийняття аксіоми: «В кожній площині простору виконуються всі аксіоми планіметрії»).

)доповнюються нові «специфічні» аксіоми стереометрії (дія полягає в формуванні декількох аксіом належності для простору).

Методична схема вивчення аксіом стереометрії:

розяснити абстрактний характер геометричних понять;

розяснити сутність аксіом і їх роль у побудові геометрії, сформулювати аксіоми;

проілюструвати аксіоми на моделях, закріпити аксіоми шляхом логічного аналізу їх формулювань;

закріпити аксіоми в процесі їх застосування до доведення перших наслідків геометрії належності в просторі, до розвязання задач.

Наслідки являють собою нове завдання площини. В заключення теорем-наслідків необхідно виділити дві частини:

)існування площини;

)єдності.

2.2 Методика розвязування стереометричних задач для формування початкових стереометричних знань

У навчанні стереометрії велику роль відіграють задачі.

Розвязування стереометричних задач - це модель вивчення самої стереометрії. Тому робота з стереометричними задачами повинна відображати всю діалектику звязків стереометрії з реальним світом: виникнення на практиці - побудова абстрактної теорії, що відповідає усім вимогам математичної формалізації - інтерпретація отриманих результатів, осмислення їх практичних додатків. Необхідно, відповідно крім розвязування «готових» задач, показати учням процес їх народження, їх складання (починаючи з математизації практичних ситуацій, що розглядаються). Далі, не можна вважати будь-яку задачу самостійною частинкою курсу стереометрії, розвязавши яку, ми втрачаємо до неї інтерес. Необхідно здійснювати співставлення задач, що розвязуються, шукати більш загальні способи їх розвязування, аналізувати, яке коло практичних ситуацій вони можуть охопити. Виникають, таким чином, задачі другого рівня, метою яких є вивчення самих стереометричних задач (у їх традиційному розумінні). Такі «задачі про задачі» значно підвищують ефективність вивчення стереометрії. Немає ніяких підстав відмовлятися від них у процесі вивчення стереометрії в старших класах.

Розвязуючи задачі, учні засвоюють найважливіші геометричні поняття, оволодівають математичною символікою, навчаються використовувати доведення.

Розвязування стереометричних задач сприяє розвитку просторової уяви учнів, формуванню їх алгоритмічної та обчислювальної культури.

Стереометричними задачами називають задачі, в яких ідеться про фігури тривимірного простору. Залежно від вимог, які ставляться в стереометричній задачі, розрізняють задачі:

на обчислення,

на побудову,

на доведення,

на дослідження.

До стереометричних задач на побудову відносять задачі, у яких вимагається в тривимірному просторі побудувати фігуру з певними властивостями.

Базою для розвязання стереометричних задач на побудову є розроблена Н.Ф. Четверухіним теорія довільного паралельного проектування, яка дає можливість доцільно швидко і просто одержувати правильні і наочні малюнки.

Існують різні підходи стосовно видів стереометричних задач на побудову і методики їх розвязання.

Г.П. Бевз дотримується погляду, що до стереометричних задач на побудову належать задачі на уявлювані побудови, задачі на проекційних малюнках і задачі на моделях (ефективні задачі). Під час розвязування задач першого типу побудови за допомогою інструментів не виконують, а тільки пояснюють спираючись на аксіоми і на наслідки з них, що і в якій послідовності «будують». Приклад задачі на уявлену побудову. Через точку, яку задано поза прямою, проведіть площину перпендикулярну до цієї прямої.

Задачі на ефективні побудови починають розвязувати лише тоді, коли учні засвоять основні властивості паралельного проектування (припускається, що напрям прямих і відрізків, про які йдеться в цих властивостях, не збігаються з напрями проектування):

проекція прямої є пряма;

проекція відрізка є відрізок;

паралельні відрізки на проекції зображуються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

відношення відрізків однієї прямої чи паралельних прямих зберігається;

проекція спільної точки двох фігур є спільною точкою їх проекцій.

Основні задачі на побудову розбиті на групи.

До першої належить побудова точки перетину прямої з площиною, побудова лінії перетину двох площин і побудова перерізу многогранника площиною.

До другої відносять розбудову прямої, що проходить через точку поза даною прямою і паралельна даній:

побудова прямої, паралельна даній площині;

побудова площини, паралельної даній;

побудова площини, яка проходить через одну з даних мимобіжних прямих і паралельна другій з них;

побудова прямої, яка проходить через дану точку і перетинає дві дані мимобіжні прямі.

До третьої групи належать побудова перпендикуляра до даної площини і побудова площини, перпендикулярної до даної прямої.

Стосовно методики розвязування задач на побудову, то вона традиційна. Схема розвязування стереометричних задач на побудову збігається із схемою, введеною в курсі планіметрії, за винятком відносностей у досліджені.

Л.М. Лоповок вказує види стереометричних задач на побудову: задачі на побудову зображень просторових фігур, основні задачі на побудову, позиційні задачі (положення шуканої фігури залежать від положення даних) на побудову і метричні задачі (положення шуканої фігури не залежать від положення даних і може бути вибрано на площині довільно) на побудову.

Зображення фігури (прообраз) називають будь-яка фігура (образ), подібна до паралельної проекції даної фігури на площину. Форма зображення залежить від положення зображуваної фігури щодо площини проекції, а також від вибору напряму проектування.

Задача зображення фігури вважається розвязаною, якщо одержано будь-яке зображення фігури, яке вдало, правильно і наочно відображає форму геометричної фігури співвідношення між її елементами. Для цього у процесі виконання малюнків мають бути реалізовані такі вимоги:

правильність, яка означає, що існує такий спосіб проектування, при якому зображення фігури подібне до його проекції;

наочність, яка передбачає, що образ фігури створює саме те враження, що і прообраз;

простота зображення, яка полягає в тому, що для виконання додаткових побудов не треба користуватися складними допоміжними побудовами;

повнота, суть якої в тому, що за розміщенням усіх елементів геометричної фігури або її частин на малюнку можна говорити про розміщення цих елементів у просторі.

Способи побудови зображення фігур ґрунтуються на властивостях паралельного проектування (мається на увазі загальний випадок, коли проектування здійснюється паралельно прямій, яка не паралельна тим прямим чи відрізкам, що проектуються):

проекція точки є точка;

проекція прямої є пряма;

зберігається паралельність прямих (відрізків);

відношення довжин відрізків прямої (яка проектується) дорівнює відношенню довжин їх проекцій;

відношення довжин проекції двох паралельних відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, які проектуються.

До основних задач на побудову відносяться: побудова точки зустрічі прямої з площиною; побудова лінії перетину двох даних площин; побудова перерізу многогранника площиною, яка визначена відповідним способом.

Розглянемо побудову перерізів в многогранниках. Уміння розвязувати задачі на побудову перерізів є основою вивчення майже усіх тем курсу стереометрії. Основними діями, які складають метод побудови перерізів, є:

знаходження точки перетину прямої з площиною;

побудова лінії перетину двох площин;

побудова прямої, паралельної до площини;

побудова прямої перпендикулярної до площини;

метод внутрішнього проектування;

комбінований метод.

Для формування вмінь володіти вказаними діями, потрібно мати на увазі, що в сукупності вправ повинні бути передбачені всі ситуації застосування дій.

Задача на побудову точок перетину двох фігур чи взаємне розміщення їх, називається позиційною. Для розвязування позиційної задачі потрібне повне зображення. Позиційні задачі зводяться до таких найпростіших: побудови лінії перетину двох площин, точки перетину прямої з площиною.

Ще одним із видів стереометричних задач є задачі на доведення. Щоб уміти розвязувати задачі на доведення, треба мати добре розвинуті логічне мислення і просторову уяву.

Без виконання достатньої кількості вправ не буде досягнута головна мета - розвиток просторової уяви учнів. Так у темі «Паралельність прямих та площин у просторі» порівняно багато теорем і їх доведень.

Частина вправ має форму запитань і ставить собі за мету виявити, чи правильно учні розуміють зміст означення, розглянуті аксіоми та теореми.

Щоб учні навчилися розвязувати задачі, треба починати з неважких, далі розглядати задачі середньої складності і т.д.

Під час розвязування стереометричних задач на доведення корисно звертати увагу учнів на аналогічні планіметричні задачі, особливо якщо і методи їх розвязування аналогічні. Навчаючи дітей доводити стереометричні твердження, слід памятати, що:

доведення повинно бути раціональним;

малюнок повинен суть задачі;

міркування повинні бути чіткими, доведення - чистим.

У процесі розвязування задач на доведення в учнів часто виникає низка труднощів. Вони повязані у першу чергу з нестійкими знаннями учнів теоретичного матеріалу. Або учні добре запамятали формулювання означень і теорем, але не знають, що з ними робити, де і коли їх треба застосовувати.

Щоб допомогти школярам вчити стереометрію, учителю необхідно весь час вказувати на ті звязки, які існують між стереометричними твердженнями, показувати, що розуміння цих звязків значно полегшує запамятовування матеріалу уроку.

Учні повинні знати, що для вивчення геометрії не потрібно заучувати напамять всі факти, а краще знаходити зв'язок між ними і з одних фактів одержувати інші за допомогою висновків.

Учням необхідно розяснити, що доведення будь-якого факту необхідне для того, щоб переконатись самим і переконати інших у тому, що певна властивість фігури є загальною і необхідною, обовязковою в усіх випадках, коли виконуються певні умови.

Розвязанню задач на доведення на уроках стереометрії виділяється досить мало часу. А саме ці задачі найбільше розвивають логічне мислення учнів. Вони примушують їх систематизувати всі свої знання для досягнення поставленої мети.

Під час розвязування задач на доведення необхідно привчати дітей робити аналіз. За допомогою аналізу ми знаходимо ланцюг міркувань, що приводить до необхідного висновку.

У 9-му класі пропедевтичне засвоєння знань стереометричних понять завершується розглядом питань на обчислення площ поверхонь та об'ємів многогранників і тіл обертання. У 5-6-х класах учні вже зустрічалися з такими задачами, але під час їх розв'язування вони користувалися готовими формулами.

Після того, як у систематичному курсі планіметрії учні ознайомилися з обчисленням площ плоских фігур, розширили відомості про геометричні тіла, вони набувають чіткіших уявлень про обчислення площ поверхонь та об'ємів многогранників і тіл обертання. Ці уявлення слід закріпити під час розвязування таких задач.

Виконання під керівництвом учителя геометричного аналізу запропонованих ситуацій, спостереження предметів навколишньої дійсності, моделей геометричних тіл, їх виготовлення, вправи з використанням зображень, на обчислення елементів тіл, площ поверхонь та об'ємів сприяють накопиченню та переробці в свідомості учнів геометричних фактів, формуванню і розвитку в них конструктивних навичок, просторових уявлень, що забезпечить необхідну базу для вивчення систематичного курсу стереометрії.

стереометричний школа підручник розвязування

Висновок

В курсі стереометрії учні із двовимірного простору «переходить» в реальний тривимірний простір, тобто приступають до вивчення властивостей стереометричних фігур, які існують в просторі трьох вимірів.

Всі знання і уявлення учнів про властивості фігур, які вивчались раніше, спирались на площину, а в тривимірному просторі площина стає самостійною фігурою і одночасно носієм всіх плоских фігур з їх властивостями. Навчити кожного учня бачити, малювати уявляти про яку фігуру йде мова в теоремі, задачі, означенні і доведенні - головні навчально-виховні цілі уроку.

У навчанні стереометрії велику роль відіграють задачі.

Розвязування стереометричних задач - це модель вивчення самої стереометрії. Тому робота з стереометричними задачами повинна відображати всю діалектику звязків стереометрії з реальним світом: виникнення на практиці - побудова абстрактної теорії, що відповідає усім вимогам математичної формалізації - інтерпретація отриманих результатів, осмислення їх практичних додатків.

Розвязування стереометричних задач сприяє розвитку просторової уяви учнів, формуванню їх алгоритмічної та обчислювальної культури.

Стереометричними задачами називають задачі, в яких ідеться про фігури тривимірного простору. Залежно від вимог, які ставляться в стереометричній задачі, розрізняють задачі: на обчислення, на побудову, на доведення, на дослідження.

Список літератури

1.Моторіна В.Г. Технології навчання математики в сучасній школі. Харків: 2001, 262 с.

2.Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник. - 2-е вид., допов. І переробл. - К.: вища шк., 2006. - 582 с.:іл.

.Бурда М.І. Геометрія: Підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл./ М.І. Бурда, Н.А. Тарасенкова. - К.: Зодіак-ЕКО;

.Єршова А.П. Геометрія: підручник для 9 кл. загальноосвітніх навч. закл./ А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов. - Харків: «Ранок»;

.Мерзляк Г. Геометрія: підручник для 9 кл. загальноосвітніх навч. закл./ Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір - «Гімназія».

.Моторіна В.Г. Технологія підготовки вчителя математики до уроку: Навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету педагогічних навчальних закладів. - Х.: 1998. - 156 с.

.Погорєлов. А.В. Элементарная геометрия. Стереометрия. - М., 1970 г., 96 стр., с илл.

.Погорєлов. О.В. Геометрія 10 - 11. - К.: Освіта, 2000. - 128 с.

.Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. - М. «Сентябрь», 1996.

.Бабенко С.П. Усі уроки геометрії. 10 клас. Академічний рівень. - Х.: Вид. група «Основа», 2010. - 318, (2) с.

.Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. - М.: Изд. Московского ун-та, 1985.

.Малкова Н. «Навчання учнів розв'язувати стереометричні задачі в умовах застосування ІКТ».

.Боровик В.Н., Яковець В.П. Курс вищої геометрії: Навчальний посібник. - Суми: ВТД «Універсальна книга», 2004. - 464 с.

.Прус А.В. «Про прикладну спрямованість шкільного курсу стереометрії».

.І.А. Сверчевська «Еволюція вивчення геометричних тіл у шкільному курсі стереометрії».

Методика вивчення стереометричних задач в курсі геометрії 9-го класу 1. Методичні основи вивч

Больше работ по теме: