Методика обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры

 

Содержание

Введение

Глава 1. Педагогические технологии

.1 Понятие педагогической технологии

.2 Принципы и сущность технологии академика В.М. Монахова

.3 Дидактические принципы организации обучения

.4 Возрастные особенности подростков

Глава 2. Методические особенности изучения Теоремы Безу

.1 Принципы отбора содержания

.2 Авторская программа

2.3 Обзор теории

2.4 Методические рекомендации

.5 Банк задач

Заключение

Список изученной литературы

Введение

Анализируя результаты проверки знаний выпускников средней школы по математике, можно сказать что, уровень математической подготовки не удовлетворяет тем целям, которые были поставлены перед учителем с пятого класса. Если некоторые шаблоны и алгоритмы школьниками и усвоены, то любое отступление от стандарта в формулировке задач и упражнений приводят ученика в замешательство. Это происходит потому, что в средней школе не уделяется достаточно внимания развивающей стороне математики. В школьном курсе нет возможности получить формулы решения кубических уравнений. Между тем круг задач, которые целесообразно решать в школе, значительно шире стандартной задачи "Решить уравнение" - можно говорить и о числе корней уравнения, и о нахождении целых и рациональных корней и т.д., а многие из этих вопросов вовсе не требуют умения находить все корни уравнения. Поэтому один из таких крупных разделов как "Тождественные преобразования многочленов и решение уравнений" необходимо обогатить заданиями, связанными с теоремой Безу. Подобное расширение внутри этой важнейшей темы послужило бы глубокому и прочному усвоению базовых знаний, умений и навыков, которые позволят решать более широкий спектр задач, развить мышление учащихся, расширить их математический аппарат.

Кроме того, существует большой разрыв между математикой, которая преподается в средней школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Отсутствие в курсе средней школы заданий связанных с схемой Горнера, теоремами о целых и дробных корнях многочлена, теоремой Безу является одной из причин этого разрыва. Теорема Безу включена в проект программы по математике для двенадцатилетней школы, поэтому нужно изучить особенности прохождения этой темы в школьном курсе. Но в проекте программы по математике для двенадцатилетней школы эта тема рассматривается в старшей школе. В своей дипломной работе я собираюсь показать, что изучение этой темы возможно и на более раннем этапе - материал по данной теме вполне доступен для изучения учащимися 7-9 классов. Его изучение подготовит ребят к успешному усвоению курса алгебры в старшей школе. В отличие от большинства тем школьного курса алгебры, ориентированных в целом на изучение функций, теорема Безу представляет собой математический аппарат для решения задач более широкого содержания - прежде всего решения уравнений. Она позволит учащимся решать уравнения третьих и более высоких степеней с целыми коэффициентами, которые в школьном курсе не рассматриваются. В свой дипломной работе я постараюсь показать, что теорему Безу можно и нужно изучать в школьном курсе алгебры, хотя для этого придется дополнить его некоторым теоретическим материалом. Целью моей дипломной работы является разработка методики обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры. В связи с этим мною были поставлены следующие задачи:

проанализировать методическую, педагогическую и психологическую литературу по данной теме, с целью определения роли и места теоремы Безу в школьном курсе алгебры;

отобрать материал, который должен входить в содержание темы;

определить место этого материала среди традиционных тем курса алгебры;

разработать методические рекомендации, обеспечивающие усвоение теоремы Безу.

Часть материала, предлагаемая к изучению в седьмом классе, была опробована при работе с семиклассниками (общеобразовательного класса) в средней общеобразовательной школе №818. Более подробно о результатах этого эксперимента я расскажу во второй главе, а сейчас отмечу лишь, что ранняя пропедевтика изучения материала, связанного с теоремой Безу и ее следствиями посильна учащимся 7-х классов, начавшим изучать тему "Разложение многочленов на множители".

ГЛАВА I. Педагогические технологии

1.1 Понятие педагогической технологии

В последнее время образовательное пространство России бурно заполняется не только различными новыми и новейшими технологиями, но и псевдотехнологиями, для которых характерно прежде всего безответственное отношение их авторов к самому термину "технология".

Как правило, ими игнорируются два принципиальных признака технологии: гарантированность конечного результата обучения (точнее, степень гарантии) и определенная процедурность проектирования той или иной формы учебного процесса, к этому можно еще добавить отсутствие в школьной практике диагностируемых целей обучения, существующие традиции бессмысленных домашних заданий.

Обращает на себя внимание та легкость, с которой любые рекомендации стали называться технологиями.

Термин "технология" в педагогической литературе используется в различных словосочетаниях: педагогическая технология, технология личностно ориентированного образования, технология учебного процесса, технология обучения, технология развивающего обучения и т.д. В научно-педагогической литературе представлен широкий спектр трактовок этих понятий. Так, понятие педагогической технологии предлагают вводить как посредством расплывчатых, вычурных определений, так и с помощью аксиоматического метода. Приведем ряд трактовок:

Педагогическая технология - целенаправленное использование объектов, приемов, технических средств, обучения, событий и отношений в учебном процессе.

Педагогическая технология - концептуальная мозаика педагогических понятий; педагогическая технология - педагогическая профессия.

Педагогическая технология - комплексный интегративный процесс, включающий людей, идеи, средство, способы организации деятельности.

Педагогическая технология есть область исследования теории и практики (в рамках системы образования), имеющая связи со всеми сторонами организации педагогической системы для достижения специфических и потенциальных воспроизводимых результатов [34].

Как положительное явление отметим попытки авторов выделить признаки педагогической технологии. Среди них есть такие, которые совершенно не имеют отношения к технологии, однако диагностическое целеполагание, результативность, целостность, управляемость, корректируемость, алгоритмируемость относятся, несомненно, к признака технологии.

Термин "технология", вообще говоря, не является для нас новым, правда, [34]. ранее он связывался главным образом с производственной сферой, например, технология металлов, технология изготовления бетона и т.д. Поскольку понятие технологии в педагогику пришло из производственной сферы, то рассмотрим основные признаки технологии производственного процесса. Энциклопедия разъясняет технологию как совокупность методов обработки, изготовления, изменения состояния, свойств, формы сырья материала или полуфабриката, осуществляемых в процессе производства продукции. Технологическая карта, важнейший элемент технологии, рассматривается как форма технологической организации, в которой записан весь процесс обработки изделия, указаны операции и их составные части, материалы, производственное оборудование и технологические режимы, необходимые для изготовления изделия время, квалификация работников и т.п. Укажем еще одно понятие - технологические теории, для которых характерно признание определяющей роли производства, техники в развитии общества и отрицание значения производственных отношений. Эти теории получили распространение в 40-х гг. ХХ в. под воздействием работ П. Друкера (США). Итак, технологизация процесса изначально предполагает достаточно глубокое знание закономерностей его функционирования и отрицание роли личностного фактора в его осуществлении. Главное в управлении технологизируемым процессом заключается в знании всех его этапов, последовательности их реализации, закономерностей протекания процесса. Очевидно, что, чем больше известно о каком-либо процессе, тем выше возможность его технологизации[34].

В данное время в педагогических науках, в частности в методике обучения математике, известны многие закономерности процесса обучения, поэтому правомерно говорить о технологии этого процесса. Ясно, что теоретическое осмысление явления, процесса невозможно вне построения его модели. В зависимости от конкретных целей исследования ученые выбирают разные модели исследуемого процесса.

Конструирование модели непременно требует отвлечения от некоторых атрибутов изучаемого феномена. Так, исследуя процесс обучения, авторы его моделей отвлекаются от личности конкретного учителя, которая имеет большое значение в реализации учебного процесса. Процесс обучения математике чаще моделируется системой, компонентами которой являются цели обучения математике, содержание математического образования, методы, формы и средства обучения математике. Закономерные связи между компонентами системы, а также между компонентами и внешней средой образуют теорию обучения математике, обусловленную избирательной моделью процесса обучения и его внешней средой. В данной контексте методику обучения (в узком смысле) можно рассматривать как приложение теории. Цель методики в узком смысле заключается в "переводе" теоретических положений в плоскость конкретных явлений. Технологии обучения, выстроить его этапы, выделить условия их реализации, соотнести с возможностями школьников и т.п. Можно сказать, что теория обучения математике выявляет закономерности функционирования методической системы обучения математике, методика строит их приложения, а технология разрабатывает способы реализации модели этой системы. При таком подходе технология предполагает диагностируемость целей и выявление условий (методов, средств, форм, зависимостей), т.е. проектирование процесса обучения математике, осуществление которого призвано достичь намеченных целей обучения. Таким образом, технология основывается на теории обучения математике и ее приложениях и ее эффективность зависит от уровня их развития.

Технологизация обучения предполагает диагностику, в частности диагностику целей обучения. Последнее предполагает постановку целей обучения так, чтобы можно было проверить их выполнимость.

Технология обучения позволяет эффективно выстраивать процесс обучения, управлять им, получать результаты в соответствии с запланированными целями.

Обобщая все выше сказанное, отметим, что педагогическую технологию отличает два принципиальных момента:

) технология гарантирует конечный результат;

) технология является проектом будущего учебного процесса.

Итак, педагогическая технология - это иерархинизированная и упорядоченная система процедур, неукоснительное выполнение которых гарантирует достижение определенного планируемого результата, в рамках нашей темы - это проект программы двенадцатилетней школы [21].

Второй вывод: педагогическая технология - это набор технологических процедур, обновляющих профессиональную деятельность учителя и гарантирующих конечный планируемый результат.

Очевидно, что приход технологии на смену традиционной методике должен безусловно способствовать большей эффективности учебного процесса. В этом плане устойчивость показателей учебного процесса следует рассматривать как характерологическое качество именно технологии. Тогда неустойчивость показателей вряд ли можно отнести к технологии.

Важно заметить, что выход на технологический уровень проектирования учебного процесса и реализации этого проекта выступает альтернативой формального образования, учитывает значительное усиление роли обучаемого.

Педагогическая технология позволяет создать проект учебно-познавательного процесса, определяющий структуру и содержание учебно-познавательной деятельности самого учащегося.

Главное в проекте, во-первых, структура и содержание учебно-познавательной деятельности учащегося, а не педагогические воздействия учителя, во-вторых, методология технологического целеобразования (целеполагания) как центральная проблема технологизации.

Цель является основой функционирования любой технологии и основой управления учебным процессом. Главное в технологии - это достигается или не достигается цель, отсюда и эффективность технологии.

.2 Принципы и сущность технологии академика В.М. Монахова

Педагогическая технология академика В.М. Монахова скрупулезно учитывает проекты Государственных образовательных стандарта как школьного, так и вузовского. Перечислю некоторые принципы, которые, по моему мнению, позволят гарантировать достижение запланированного результата.

. Принцип параметризации учебного процесса.

Выбранные параметры образуют модель учебного процесса, которая и становится основой педагогической технологии. В педагогической технологии академика В.М. Монахова принято параметрическое задание информационной модели учебного процесса. Выделяются пять параметров: целеполагание, диагностика, дозирование, логическая структура, коррекция.

) "ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ"

Представляет информацию о цели и направленности учебно-воспитательного процесса в виде системы микроцелей.

Микроцели формируются в форме: " знать…", " уметь…", "понимать…", " иметь представление о…". В основе этой деятельности учителя лежат государственные документы стандарта и программ. Язык микроцелей должен быть понятен ученику.

) "ДИАГНОСТИКА".

Доставляет управленческую информацию о факте достижения микроцели или о факте недостижения микроцели.

) "ДОЗИРОВАНИЕ".

Формирует содержательную и количественную информацию об объеме, характере, особенностях самостоятельной деятельности учащихся, достаточную для гарантированного успешного прохождения диагностики.

) "ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА".

Это информация о переводе методического замысла учителя в целостную и логически наглядную модель учебного процесса. Этот параметр несет в себе многоаспектную информацию об учебном процессе. Этот параметр не просто фотография логической структуры учебного процесса, а специально формируемое рабочее поле, где все представляется в технологическом виде и может быть существенно улучшено и оптимизировано по определенным технологическим процедурам. Структура представляется цепочкой уроков, которые разбиваются на группы по числу микроцелей. Каждая микроцель - это некая группа уроков, на которых, во-первых, дожна быть достигнута микроцель, во-вторых, это программа развития мышления, памяти, речи, внимания, интереса.

) "КОРРЕКЦИЯ".

Предоставляет информацию о педагогическом браке, т.е. об учащихся, не прошедших диагностику, и о содержании методического пути коррекции.

. Принцип целостности и цикличности модели учебного процесса.

Результатом многолетних исследований явилось установление нетривиального факта, что основным объектом технологизации учебного процесса должна быть учебная тема любого предмета. Причем, объем учебной темы был канонизирован: минимальный объем - 6-8 уроков, максимальный объем - 22-24 урока. Именно в проекте учебной темы целостно задается будущий учебный процесс с помощью пяти параметров и именно такая учебная тема обеспечивает цикличность технологизации и проектирование в виде одних и тех же универсальных технологических процедур, позволяющих проектировать учебный процесс по любым учебным предметам.

. Принцип технологизации информационной модели учебного процесса.

В педагогической технологии академика В.М. Монахова технологизация информационной модели учебного процесса завершилась после многолетних поисков созданием технологической карты проекта учебного процесса в границах одной учебной темы - ТК, в которой в технологически продуманном виде представлены все пять параметров учебного процесса. Технология вооружает учителя системой технологических процедур для проектирования всех пяти соответствующих компонентов технологической карты. Сама технологическая карта выступает паспортом проекта учебного процесса по учебной теме. Дальнейшая конкретизация такого проекта учебного процесса осуществляется в виде информационных карт урока - ИКУ. Например, в технологической карте указано 17 уроков, следовательно, конструируется 17 информационных карт урока.

. Принцип технологизации профессиональной деятельности учителя.

Этот принцип касается в первую очередь следующих инновационных компонентов профессиональной деятельности учителя.

·Умение выражать педагогический замысел проекта учебного процесса на весь учебный год в виде последовательности микроцелей, сконструированных учителем на основании своего методического опыта, содержания учебной программы и требований Государственного образовательного стандарта, последовательное выполнение которых приводит класс к безусловной реализации стандарта. Эта система микроцелей может быть представлена в более наглядном виде, как лестница, ступеньками которой являются микроцели, ведущая к стандарту. Другими словами - это технологическая процедура перевода требований стандарта на язык микроцелей, где микроцель - это ступенька познания и развития учащихся.

·Второй компонент требует от учителя - автора проекта высокого уровня мастерства и творчества, так как связан со сложнейшим методическим действом - переструктурированием традиционных учебных тем. Действительно, система микроцелей на весь учебный год как бы "растворяет" границы между учебными темами, и учитель-мастер получает возможность, исходя из своего опыта и технологических процедур, установить свою авторскую структуру. Каждый цикл - это учебная тема (в новой трактовке), совокупность циклов обеспечивает целостность и полноту проекта учебного процесса.

·Третий компонент - это профессиональное умение проектировать технологическую карту - ТК. Фактически - это верх педагогического мастерства, когда свое видение будущего учебного процесса, свой замысел учитель представляет в канонической форме технологической карты. Надо заметить, что это профессиональное умение достаточно сложное, многокомпонентное, интегративное по своей сущности, требующее от учителя хорошо развитых рефлективных способностей.

·Четвертый компонент профессиональной деятельности учителя - это профессиональное умение конструировать информационную карту урока, ибо совокупность ИКУ для данной учебной темы является конкретизированным проектом будущего учебного процесса.

·Пятый инновационный компонент - это профессиональное умение сравнивать два педагогических объекта: проект учебного процесса в виде ТК и системы ИКУ и результаты реального учебного процесса в данном классе, причем, сравнение необходимо проводить по определенным параметрам и технологическим процедурам. В основе сравнительной процедуры лежит специальный мониторинг, фиксирующий динамику учебно-воспитательной деятельности в данном классе и результаты диагностики.

. Принцип нормирования проекта учебного процесса.

После того, как проект учебного процесса готов в виде технологической карты, необходимо провести расчеты:

учебного времени Т;

объема дидактической информации V;

интенсивности освоения дидактической информации;

времени, выделяемого на методические программы развития учащихся в границах данной учебной темы (после того, как в "ЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ" спроектированы необходимые, по мнению учителя, методические программы развития речи, памяти, внимания, мышления, интереса, мотивации и т.д. необходимо найти время на реализацию таких программ и органически встроить их в ткань учебного процесса);

времени на изменение понятийной структуры учебной темы после технологической процедуры оптимизации структуры понятийного аппарата учебной темы.

. Принцип формирования рабочего поля, в котором нормально функционирует педагогическая технология, гарантируя конечный результат при нормальных и комфортных условиях обучения.

В основе технологических процедур, инструментов, норм и технологических регулятивов мы закладываем, в первую очередь, объективные и глубинные закономерности процесса познания, процесса и механизма формирования знаний у детей разных возрастных групп, особенности организации мышления человека, возрастные особенности памяти и внимания ребенка. А затем уже конструируем то дидактическое содержание, которое наиболее рационально и эффективно позволяет выстроить траекторию достижения микроцели.

1.3 Дидактические принципы

Для более эффективного развития учащихся и успешного усвоения ими материала, необходимо определенно организованное обучение. Соблюдая принцип создания рабочего поля, необходимо придерживаться дидактических принципов обучения.

Учет возрастных особенностей. Это один из основополагающих принципов.

Если объективно существуют этапы биологического созревания организма, его нервной системы и органов, а также связанное с ним развитие познавательных сил, то разумно организованное воспитание должно приспосабливаться к возрастным особенностям, основываться на них. Игнорирование или отрицание природных ступеней неизбежно приводит к ошибочному утверждению возможности усвоить любой социальный опыт, любые знания, практические навыки и умения в любом возрасте, при подборе и применении соответствующей методики. Возможности человека в связи с ускорением темпов социального развития, широким доступом к разнообразным информационным источникам несколько возрастают, но далеко не беспредельно. Возраст цепко удерживает развитие и диктует свою волю. Закономерности, действующие в этой области, жестко лимитируют возможности развития [33].

"Все подлежащее усвоению должно быть распределено сообразно ступеням возраста так, чтобы предлагалось для изучения только то, что доступно восприятию в каждом возрасте", - писал Я.А. Коменский.

Доступность обучения. В основе принципа доступности лежит закон тезауруса: доступным для человека является лишь то, что соответствует его тезаурусу, т.е. объему накопленных человеком знаний, умений, способов мышления.

Можно указать и на другие закономерности, лежащие в основе принципа доступности: доступность обучения определяется возрастными особенностями школьников и зависит от их индивидуальных особенностей. Доступность обучения зависит от организации учебного процесса, применяемых учителем методов обучения и связана с условиями протекания процесса обучения. Доступность обучения определяется его предысторией; чем выше уровень умственного развития школьников и имеющийся у них запас представлений и понятий, тем успешнее они могут продвинуться вперед при изучении новых знаний. Постепенное нарастание трудностей обучения и приучение к их преодолению положительно влияют на развитие учащихся и формирование их моральных качеств. Обучение на оптимальном уровне трудности положительно влияет на темпы и эффективность обучения, качество знаний [33].

Научность обучения. В основе принципа научности лежит ряд положений, играющих роль закономерных начал: мир познаваем, и человеческие знания, проверенные практикой, дают объективно верную картину развития мира; наука в жизни человека играет все более важную роль, поэтому школьное образование направлено на усвоение научных знаний, вооружение подрастающих поколений системой знаний об объективной действительности. Научность обучения обеспечивается прежде всего содержанием школьного образования, строгим соблюдением принципов его формирования. Научность обучения зависит от реализации учителем принятого содержания. Научность обучения, действенность приобретенных знаний зависят от соответствия учебных планов и программ уровню социального и научно-технического прогресса, подкрепления приобретенных знаний практикой, от межпредметных связей [33].

Систематичность и последовательность обучения. Принцип опирается на следующие научные положения, играющие роль закономерных начал: человек только тогда обладает настоящим и действенным знанием, когда в его мозгу отражается четкая картина внешнего мира, представляющая систему взаимосвязанных понятий. Универсальным средством и главным способом формирования системы научных знаний является определенным образом организованное обучение. Система научных знаний создается в той последовательности, которая определяется внутренней логикой учебного материала и познавательными возможностями учащихся. Процесс обучения, состоящий из отдельных шагов, протекает тем успешнее и приносит тем большие результаты, чем меньше в нем перерывов, нарушений последовательности, неуправляемых моментов. Если систематически не упражнять навыки, то они утрачиваются. Если не приучать учащихся к логическому мышлению, то они постоянно будут испытывать затруднения в своей мыслительной деятельности. Если не соблюдать системы и последовательности в обучении, то процесс развития учащихся замедляется.

Требования систематичности и последовательности в обучении нацелено на сохранении преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при которой каждый урок - это логическое продолжение предыдущего, как по содержанию изучаемого материала, так и по характеру, способам выполняемой учениками учебно-познавательной деятельности [33].

Наглядность обучения. Один из старейших и важнейших принципов в дидактике. Принцип наглядности означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. "Помните - дитя мыслит формами, красками, звуками, ощущениями вообще: отсюда необходимость наглядного обучения, которое строится не на отвлеченных понятиях и словах, а на конкретных образах непосредственно воспринимаемых ребенком".

Однако использование наглядности должно быть в той мере, в какой она способствует формированию знаний и умений, развитию мышления. Демонстрация и работа с предметами должны вести к очередной ступени развития, стимулировать переход от конкретно-образного и наглядно-действенного мышления к абстрактному, словесно-логическому [33].

Прочность усвоения учебного материала. Прочность усвоения учащимися учебного материала зависит не только от объективных факторов: содержания и структуры этого материала, но также и от субъективного отношения учащихся к данному учебному материалу, обучению, учителю. Прочное усвоение происходит, если ученик проявляет интеллектуальную, познавательную активность. Прочность усвоения знаний учащимися обуславливается организацией обучения, использованием различных видов и методов обучения, а также зависит от времени обучения. Память учащихся носит избирательный характер: чем важнее и интереснее для них тот или иной учебный материал, тем прочнее этот материал закрепляется и дольше сохраняется [33].

Принцип сознательности и активности учащихся в обучении - один из главных принципов современной дидактической системы, согласно которой обучение эффективно тогда, когда ученики проявляют познавательную активность. Это выражается в том, что учащиеся осознают цели учения, планируют и организуют свою работу, умеют себя проверить, проявляют интерес к знаниям, ставят проблемы и умеют искать их решения.

Реализация рассматриваемого принципа способствует не только формированию знаний и развитию детей, но и их социальному росту и воспитанию.

Но самый главный принцип обучения и отбора содержания - это принцип преемственности. Он заключается в том, что существующую программу нет необходимости полностью менять, т.к. "традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение последних десятилетий отражает тот объем математических знаний, который, с одной стороны, является фундаментом математической науки, а с другой доступен большинству учащихся". Поэтому в имеющуюся программу достаточно будет добавить дополнительный материал [33].

.4 Возрастные особенности подростков

Мною предполагается начать пропедевтику темы "Теорема Безу" в 7 классе и ее изучение в 7-9 классах. В этой связи рассмотрим возрастные особенности учащихся 7-9 классов (подростков).

Подростковый возраст - это возраст от 10-11 до 15 лет, что соответствует возрасту учащихся 5-9 классов. Ученики 5 класса еще во многом напоминают младших школьников, а учащиеся 9 класса уже имеют многие черты, свойственные ранней юности.

С переходом из младших классов в средние и далее в старшие классы школы изменяется положение детей в системе деловых и личных взаимоотношений с окружающими людьми. Учителя и родители начинают переходить на новый стиль общения с подростками, больше апеллируя к их разуму и логике, чем к чувствам, и рассчитывая, в свою очередь на аналогичное ответное обращение.

В подростковом и юношеском возрасте активно идет процесс познавательного развития. Подростки и юноши уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. Особенно заметным в эти годы становиться рост сознания и самосознания детей. Развитие самосознания ребенка находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда. Прежние "детские" мотивы, характерные для младшего школьного возраста, теряют свою побудительную силу. На их месте появляются и закрепляются новые, "взрослые" мотивы, приводящие к переосмыслению содержания, целей и задач деятельности. Те виды деятельности, которые выполняли ведущую роль, например игра, начинают себя изживать и отодвигаться на второй план. Возникают новые виды деятельности, меняется иерархия старых, начинается новая стадия психического развития.

В подростковом возрасте активно совершенствуется самоконтроль деятельности, являясь вначале контролем по результату или заданному образцу, а затем - процессуальным контролем, то есть способностью выбирать и избирательно контролировать любой момент и шаг в деятельности. Вплоть до юношеского возраста у многих детей еще отсутствует способность к предварительному планированию

В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти. Вследствие появления в школе многих новых учебных предметов значительно увеличивается количество информации, которую должен запоминать подросток, в то числе механически. У него возникают проблемы с памятью, и жалобы на плохую память в этом возрасте встречаются намного чаще, чем у младших школьников. Наряду с этим появляется интерес подростков к способам улучшения запоминания.

А. Н. Леонтьев исследовал, как идет развитие двух основных видов памяти - непосредственной и опосредственной - в течение детства и установил особенности их преобразования в старшем школьном возрасте. Он показал, что с увеличением возраста идет постепенное улучшение непосредственного запоминания, причем быстрее, чем опосредствованного. Одновременно с этим от дошкольного к младшему школьному возрасту увеличивается разрыв, существующий между продуктивностью непосредственного и опосредствованного запоминания. Затем - уже в подростковом и юношеском возрасте - прирост продуктивности непосредственного запоминания замедляется, и одновременно с этим увеличивается продуктивность опосредствованного запоминания [31].

С возрастом меняются и отношения между памятью и мышлением. В раннем детском возрасте память является одной из основных психических функций, и в зависимости от нее строятся все остальные психические процессы. Мышление ребенка этого возраста во многом определяется его памятью: мыслить - значит вспоминать. В младшем школьном возрасте мышление обнаруживает высокую корреляцию с памятью и развивается в непосредственной зависимости от нее. Решающий сдвиг в отношения между памятью и другими психическими функциями происходит в подростковом возрасте. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать - значить мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.

В подростковом и раннем юношеском возрасте активное развитие получает чтение, монологическая и письменная речь. С V по IX классы чтение развивается в направлении от умения читать правильно, бегло и выразительно до способности декларирования наизусть. Монологическая речь преобразуется иначе: от умения пересказывать небольшое произведение или отрывок текста до способности самостоятельно готовить устное выступление, вести рассуждения, высказывать мысли и аргументировать их. Письменная речь улучшается в направлении от способности к письменному изложению до самостоятельного сочинения на заданную или произвольную тему.

Особую линию в речевом развитии образует та, которая связана с соединением и взаимопроникновением мышления и речи. В V-VI классах эта линия развития проявляется в умении составлять план устного или письменного текста, а IX-X классах - план речи, выступления и следовать ему.

В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно. Значительный прирост предметных знаний создает хорошую базу для последующего развития умений и навыков в тех видах деятельности, где эти знания практически необходимы.

В общении формируются и развиваются коммуникативные способности учащихся, включающие умение вступать в контакт с незнакомыми людьми, добиваться их расположения и взаимопонимания, достигать поставленных целей.

В труде идет активный процесс становления тех практических умений и навыков, которые в будущем могут понадобиться для совершенствования профессиональных способностей.

Подростковый и ранний юношеский возраст являются достаточно сензитивными для развития всего этого комплекса разнообразных способностей, и степень практического использования имеющихся здесь возможностей влияет на индивидуальные различия, которые к концу этого возраста, как правило, усиливаются.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с из стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности.

В основе повышенной интеллектуальной и трудовой активности подростков лежат не только указанные выше мотивы. За всем этим можно усмотреть и естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста. Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей [31].

Важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста - это умение оперировать гипотезами. Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач. Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности - стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию - характерная особенность и подросткового, и раннего юношеского возраста.

Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям. Одновременно с этим складывается новое отношение к учению, особенно в последних классах школы. Ее выпускников привлекают предметы и виды знаний, где они могут лучше узнать себя, проявить самостоятельность, и к таким знаниям у них вырабатывается особенно благоприятное отношение. Вместе с теоретическим отношением к миру, предметам и явлениям у подростка и юноши возникает особое познавательное отношение к самому себе, выступающее в виде желания и умения анализировать и оценивать собственные поступки, а также способность вставать на точку зрения другого человека, видеть и воспринимать мир с иных позиций, чем свои собственные [29].

Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения. Подростки и особенно юноши принимают лить то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным.

Для лучшего развития всех психических качеств ученика, таких как его внимания, мышления, воображения, памяти, наблюдательности, необходимо привить устойчивый интерес учащихся к учению.

Итак подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, в учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Важнейшим интеллектуальным приобретением подросткового возраста является умение строить и оперировать гипотезами. Подросток уже может мыслить логически, может рассуждать не связывая себя с конкретной ситуацией; он может ориентироваться на одни лишь общие посылы независимо от воспринимаемой реальности. Иными словами: подросток может действовать в логике рассуждений. Подростковый возраст является наиболее удачным и для формирования алгоритмического стиля мышления.

ГЛАВА II. Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

2.1 Принципы отбора содержания

Отберем весь необходимый объем материала с точки зрения целей обучения математики.

Начинаем отбор материала с точки зрения общеобразовательной значимости. Главной целью изучения многочленов исторически было решение целых алгебраических уравнений. Из школьной практики известно, что для решения уравнений вида f(x)=0 очень полезно разложить f(x) на множители: если f(x)=g(x)·h(x), то дальнейшее сводиться к решению двух более простых уравнений g(x)=0 и h(x)=0.

Однако, найдя даже несколько корней уравнения, мы далеко не всегда решим уравнение. Например, для уравнения x4 - x3 - 6x2 - x + 3 = 0 легко подобрать корни -1 и 3, но что делать дальше, неясно.

Между тем небольшое продвижение в теории существенно поможет нам в решении уравнений. Дело в том, что понятие корня тесно связано с разложением многочленов на множители - точнее, с выделением в многочлене линейного множителя. Но если, решая уравнение f(x)=0, мы сможем разложить многочлен f на множители, то далее остается решать только уравнения меньших степеней.

Рассмотрим следующий пример: Решить уравнение х3+2х2+3х-22=0.

Нетрудно проверить, что многочлен f(x)= имеет корень 2. Поэтому по теореме Безу f(x) делится на х-2, т. е. имеет место равенство

х3+2х2+3х-22 = (х-2) (х2+4х+11).

Остается, следовательно, решить квадратное уравнение х2+4х+11=0.

Это уравнение, очевидно, не имеет действительных корней, так что х =2 - единственный действительный корень исходного уравнения.

В этой задаче мы продемонстрировали общий факт: если известен хотя бы один корень алгебраического уравнения степени n, то с помощью теоремы Безу можно, как говорят, понизить степень, т. е. свести задачу к решению уравнения степени n-1.

Этот прием позволяет решить любое уравнение третьей степени, если, конечно, удастся подобрать какой-нибудь его корень.

При решении таких задач большую пользу приносит все та же схема Горнера. Напомним, что в конце второй строки этой схемы получается значение многочлена f при x=c. Однако на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) - это коэффициенты частного от деления на x-c.

Построим схему Горнера для многочлена f=3x5-5x4-7x2+12 и с=1, -1,2:

3-50-701213-2-2-9-93-13-88-1515-32312-3-60

Желающие могут самостоятельно убедится, что составив по каждой из трех "вторых" строк соответствующий многочлен степени 4, мы действительно получим частным:

=(3x4-2x2-2x2-9x-9)(x-1)+3,=(3x4-8x3+8x2-15x +15)(x+1)-3,=(3x4+x3+2x2-3x-6)(x-2).

Решим в качестве примера рассмотренное выше уравнение

x4-x3-6x2-x+3=0.

Целые корни многочлена f= x4-x3-6x2-x+3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа ±1 и ±3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно равна 0.

При х=-1: имеем схему

1-1-6-13-11-2-430

Мы видим, что -1 - корень f, и в частном получается многочлен

=x3-2x2-4x+3.

Значение х=1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. Значение х=-1 проверить обязательно - ничто не мешает ему быть также и корнем частного g:

1-2-43-11-3-14

Следовательно, g (-1)¹0.

Составим схему Горнера для х=3:

обучение подросток алгебра теорема

1-2-13311-40

Следовательно, g(3)=0, и при делении g на х-3 получается многочлен х2-х -1, корни которого (1±)/2. Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1±)/2.

С помощью теоремы Безу можно частично ответить и на важный теоретический вопрос - "Сколько корней может иметь многочлен?".

К числу ведущих принципов также относятся: принцип научности, принцип сознательности, принцип связи обучения с практикой, принцип систематичности и последовательности в овладении достижениями науки, культуры, принцип коллективного характера обучения и учета индивидуальных способностей учащихся. Указанные принципы имеют прямое отношение к мировоззренческой стороне обучения. Но в обучении имеется и техническая сторона, например, определенные приемы демонстрации предметов и явлений или их изображений, обеспечивающие наиболее благоприятные условия их восприятия школьниками.

К техническим процедурам обучения относятся принципы наглядности, прочности, сознательности и активности, принцип рационального сочетания коллективных и индивидуальных форм и способов учебной работы.

Принцип научности требует, чтобы содержание обучения знакомило учащихся с объективными научными фактами, теориями, законами, отражало бы современное состояние наук. Принцип научности воплощается в учебных программах и учебниках, в отборе изучаемого материала, а также в том, что школьников обучают элементам научного поиска, методам науки, способам организации учебного труда.

Содержание учебного материала должно знакомить учащихся с объективными научными фактами, законами, отражало бы современное состояние науки. Чтобы обеспечить овладение научными знаниями, включая и идеи современной науки, необходим тщательный отбор самого существенного содержания науки. Овладение научными знаниями определяется характером их усвоения, восприятием предметов и явлений реального мира и верным отражением в сознании школьников существенных связей и отношений между ними. Для этого необходимо, чтобы восприятие нового представляло собой процесс, в котором учащиеся рассматривали бы новое явление с различных сторон, устанавливая многообразие связей данного объекта с другими, как сходными с ними, так и резко отличными. Введение каждого научного понятия должно логически вытекать из поставленной познавательной задачи и в ходе учебного процесса получать дальнейшее развитие и применение. Следуя данному принципу для изучения и применения теоремы Безу необходимо изучить схему Горнера, теоремы о целых и дробных корнях многочлена и теорему о делении с остатком.

Вообще, если говорить о принципе научности, то он целиком и полностью находится в единстве с принципом доступности.

Принцип доступности требует учета особенностей развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения, чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок. Еще Я.А. Коменский дал несколько правил этого принципа:

переходить от легкого к трудному, от известного к неизвестному;

переходить от изучения того, что близко (история родного края), к тому, что далеко (всеобщая история).

Непосильный для данного возраста и уровня подготовленности учащихся учебный материал может вызывать их быстрое утомление, снижать мотивационный настрой на учение, работоспособность школьников. Поэтому материал, с учетом возрастных особенностей и уровнем подготовленности учащихся, был распределен на блоки по классам: схема Горнера и теоремы о целых и дробных корнях многочлена - 7 класс, теорема о делении с остатком - 8 класс, теорема Безу - 9 класс.

После того, как весь материал был проанализирован с точки зрения образовательной значимости, научности и доступности можно перейти к принципу систематичности. Требование систематичности обучения вытекает из принципа научности.

Данный принцип предполагает преподавание и усвоение знаний в определенном порядке, системе. Он требует логического построения как содержания, так и процесса обучения. Этот принцип нашел отражение в технологической карте.

2.2 Авторская программа

В данном параграфе представлена система включения материала в школьный курс алгебры.

СодержаниеТребования к уровню математической подготовки учащихся7 класс (4 часа)Схема Горнера, теоремы о целых и дробных корнях многочленаУметь применять схему Горнера для вычисления значений многочленов, нахождения корней многочленов, нахождения корней целых алгебраических уравнений. Знать формулировки теорем о целых и дробных корнях многочленов с целыми коэффициентами. Уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений любых степеней с целыми коэффициентами.8 класс (2 часа)Теорема о делении с остатком Знать теорему о возможности деления с остатком. Уметь находить частное и остаток от деления многочлена на многочлен.9 класс(3-4 часа)Теорема Безу, следствия из теоремы Безу Уметь применять теорему Безу для выделения линейного множителя. Уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному с помощью подбора рациональных корней. Знать, что число корней многочлена не превосходит его степени. Приводить примеры многочленов, у которых число корней меньше степени и равно степени.

Место включения материала и время на его изучение.

класс.

Содержание учебного материала.

.Выражения, тождества, уравнения.

Числовые выражения.

Выражения с переменными.

Сравнения значений выражений.

Свойства действий над числами.

Тождества. Тождественные преобразования выражений.

Уравнение и его корни.

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений.

.Функции.

Что такое функция. Вычисление значений функций по формуле.

График функции.

Линейная функция и ее график.

Прямая пропорциональность.

Взаимное расположение графиков линейных функций (начало).

Взаимное расположение графиков линейных функций (продолжение).

. Степень с натуральным показателем.

Определение степени с натуральным показателем.

Умножение и деление степеней.

Возведение в степень произведения и степени.

Одночлен и его стандартный вид.

Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень.

Функции у=х2,у=х3 и их графики.

Абсолютная и относительная погрешности.

.Многочлены.

Многочлен и его стандартный вид.

Сложение и вычитание многочленов.

Умножение одночлена на многочлен. (Проверка делением)

Вынесение общего множителя за скобки.

Умножение многочлена на многочлен. (Проверка делением)

Разложение многочлена на множители способом группировки.

Схема Горнера. (2 часа)

Доказательство тождеств.

.Формулы сокращенного умножения.

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений.

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

Умножение разности двух выражений на их сумму.

Разложение разности квадратов на множители.

Разложение на множители суммы и разности кубов.

Преобразование целого выражения в многочлен.

Применение различных способов для разложения на множители.

Применение преобразований целых выражений.

Целые и дробные корни многочлена. (2 часа)

. Системы линейных уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными.

График линейного уравнения с двумя переменными.

Системы линейных уравнений с двумя переменными.

Способ подстановки.

Способ сложения. Решение задач с помощью систем уравнения.

Обобщающее итоговое повторение курса.

класс.

Содержание учебного материала.

.Рациональные дроби и их свойства.

Рациональные выражения.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей. Возведение дроби в степень.

Деление дробей.

Преобразование рациональных выражений.

Теорема о делении с остатком. (2 часа)

.Квадратные корни.

Рациональные и иррациональные числа.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень.

Уравнение х2=а.

Нахождение приближенных значений квадратного корня.

Функция у=и ее график.

Квадратный корень из произведения, дроби, степени.

Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

.Квадратные уравнения.

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена.

Решение квадратных уравнений по формуле.

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Теорема Виета.

Решение дробных рациональных уравнений.

Решение задач с помощью рациональных уравнений.

.Неравенства.

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.

Сложение и умножение числовых неравенств.

Числовые промежутки.

Решение неравенств с одной переменной.

Решение систем неравенств с одной переменной.

Решение систем неравенств с одной переменной (продолжение).

.Степень с целым показателем.

Определение степени с целым отрицательным показателем.

Свойства степени с целым показателем.

Стандартный вид числа.

Запись приближенных значений.

Действия над приближенными значениями.

Вычисления с приближенными данными на микрокалькуляторе.

Итоговое повторение курса алгебры 8 класса. Решение задач.

класс.

Содержание учебного материала.

.Квадратичная функция.

Функция. Область определения и область значений функции.

Свойства функции.

Квадратный трехчлен и его корни.

Разложение квадратного трехчлена на множители.

График функции у=ах2.

Графики функций у=ах2=n и y=a(x-m)2.

Построение графика квадратичной функции.

Решение неравенств второй степени с одной переменной.

Решение неравенств методом интервалов.

.Уравнения и системы уравнений.

Целое уравнение и его корни.

Уравнения, приводимые к квадратным.

Теорема Безу. (3-4 часа)

Графический способ решения систем уравнений.

Решение систем уравнений второй степени.

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

.Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Последовательности.

Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Формула n суммы первых членов арифметической прогрессии.

Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Формула n суммы первых членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1.

.Тригонометрические выражения и их преобразования.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Радианная мера угла. Вычисление значений тригонометрических функций с помощью МК.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений.

Итоговое повторение курса алгебры 7-9 классов.

Повторение.

2.3 Обзор теории

Теорема Безу и ее приложения вполне могут быть усвоены учащимися средней школы, но, к сожалению, школьные учебники не содержат материала по этой теме. В этой главе мы рассмотрим теорию представленную по этому вопросу в различной методико-математической литературе.

Вполне возможно, что теорема Безу может вызвать сложности у некоторых, а может быть и большинства учащихся, поэтому необходимо подготовить учащихся к ее восприятию. В этом параграфе вы найдете ответ на вопрос: "Какой материал необходимо изучить до теоремы Безу?". На мой взгляд, таким материалом является:

схема Горнера;

теоремы о целых и дробных корнях многочлена с целыми коэффициентами;

теорема о делении с остатком.

.Схема Горнера. Схема Горнера является самым простым материалом и, опираясь на него, вводиться последующий материал. Она позволит учащимся быстро проверить является ли некоторое число корнем многочлена.

В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, т. е., в конечном счете, в число. Если многочлен обозначен буквой f, а с - некоторое число, то значение f при х = с обозначается, как известно через f(с). Число f(с) часто называют также значение многочлена f в точке с.

Например, если f =3x2 - 12х +10, то

f (3) =3·32 - 12·3 + 9 =0, f (0) =9,

В общем виде, если например,

= a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an

и с - некоторое число, то

(c) = a0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an

Особо отметим "крайний" случай, когда f - многочлен нулевой степени, т. е. f = а, где а - число, так что f в действительности не содержит переменной. В этом случае считают, что его значение при любом х равно а.

Поэтому такие многочлены называются постоянными, или константами (от латинского constantum - постоянство). Нулевой многочлен также является константой: все его значения равны нулю.

Сделаем два важных для решения задач замечания:

. Значение f(О) равно свободному члену многочлена.

. Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Действительно, если

= a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an ,(0) = an , f(1) = a0 + a1 + … + an-1 + an .

Важно обратить внимание учащихся на то, что нахождение значений многочлена в соответствии с определением не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими.

Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера - по имени английского математика ХVI в. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена

f = 2х4 - 9х3 - 32х2 - 57

при х = 7 строка его коэффициентов записывается первой, старший коэффициент "дублируется" во второй строке, а перед ним ставится значение переменной 7, при котором мы вычисляем значение многочлена. Получается таблица, пустые клетки которой и предстоит теперь заполнить.

2-9-320-5772Это делается по единому правилу: стоящее слева число умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Поэтому в первой пустой клетке ставится число 2·7 - 9 = 5, во второй клетке ставится 5· 7 - 32 = 3, в третьей - 3·7 + 0 = 21, и в последней - 21·7 - 57 = 90.

Полностью заполненная схема Горнера выглядит так:

2-9-320-5772532190

Эти вычисления приводят к ответу: f(7)=90 - это последние число второй строки. Это утверждение можно проверить непосредственной подстановкой

Одной из основных задач, ради которой в математике развивалась теория многочленов с одной переменной, являете решение так называемых целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,

произвольных степеней и с произвольными коэффициентами. В связи с решением уравнений вводится важнейшее понятие - корень многочлена.

Определение. Число с называется корнем многочлена f, если f (с) = 0.

Другими словами, число с является корнем многочлена, если

0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an = 0.

Это равенство означает, что число с является корнем уравнения

0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,

при подстановке вместо х числа с получается верное равенство. Поэтому корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f (х) = 0 - это одно и то же.

Понятно, что схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число с корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f (с).

Если требуется проверить несколько значений с, то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну - объединенную. Например, для многочлена f=3x5-5x4-7x2+12 и чисел с = 1, -1, 2 составляется таблица:

3-50-701213-2-2-9-93-13-88-1515-32312-3-60

Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы "работает" только первая строка - строка коэффициентов многочлена f.

Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только с = 2 является корнем данного многочлена.

.Целые и дробные корни многочленов. В этом пункте приводится теория, которая позволяет ответить на вопрос является ли число корнем данного многочлена.

Одной из основных задач теории многочленов с одной переменной является решение целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,

Эта задача, однако, чрезвычайно сложна и, как доказано в математике, в определенном смысле вообще неразрешима. Если для уравнений низких степеней - от первой до четвертой - существуют специальные формулы для вычисления корней, то для уравнений пятой и более высоких степеней дело обстоит иначе, и их корни, вообще говоря, могут быть найдены лишь приближенными методами.

В то же время полностью может быть решена более узкая задача - нахождение рациональных, т. е. целых и дробных (если они существуют) корней любого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами. Более того, поиск таких корней достаточно прост и основан на простейшем рассуждении, ясном из следующего примера.

Пример. Определить является ли число 7 корнем многочлена

= 2x5 - 15x4 + 7x3 - 2x + 10.

Преложим учащимся вычислить значение f(7) по схеме Горнера.

2-1570-21072-100-24

Мы видим, что число 7 не является корнем данного уравнения. Обратим внимание учащихся на то, что даже по схеме Горнера вычисления могут быть очень громоздкими. Если в задаче нужно проверить является ли число -13 корнем данного уравнения, то числа будут получаться просто астрономическими.

Как же быть? Нет ли более простого способа, который позволил бы нам определить может ли данное число быть корнем нашего уравнения?

Вернемся к примеру. Можно заметить, что в сумме

2·75 - 15·74 + 7·73 - 2·7 + 10

все слагаемые, кроме последнего, - целые числа, делящиеся на 7. Отсюда ясно, что эта сумма не равна 0. Действительно, если

2·75 - 15·74 + 7·73 - 2·7 + 10 = 0,

·75 - 15·74 + 7·73 - 2·7 = -10,

Но этого не может быть, потому что левая часть равенства делится на 7, а правая не делится. Это рассуждение показывает, что целыми корнями данного многочлена могут быть только числа, являющиеся делителями числа -10. Для любого другого числа мы точно так же, как для 7, приходим к противоречию.

Целое число, не являющееся делителем 10, не может быть корнем данного многочлена.

На самом деле верно и общее утверждение, а его доказательство проводится буквально по той же схеме, что в рассмотренном примере.

Теорема 1 (о целых корнях).

Если целое число k - корень многочлена с целыми коэффициентами, то k - делитель его свободного члена.

Доказательство.

Пусть

= a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an

- многочлен с целыми коэффициентами, и целое число k - его корень.

Тогда, по определению корня, выполняется равенство f(k) = 0, т. е.

0kn + a1kn-1 + … + an-1k + an = 0,

Вынося общий множитель k за скобки, получим равенство

(a0kn-1 + a1kn-2 + … + an-1) + an = 0,

откуда

n = -k(a0kn-1 + a1kn-2 + … + an-1) .

Так как числа a0, a1,…, an-1, an и k - целые, то в скобках стоит целое число, и следовательно, аn делится на k, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами полностью решена - с помощью теории делимости целых чисел.

Но оказывается, что на той же основе можно получить алгоритм поиска и дробных корней многочленов с целыми коэффициентами.

Теорема 2 (о рациональных корнях).

Пусть рациональное число - корень многочлена с целыми коэффициентами, причем дробь - несократимая. Тогда числитель дроби p - делитель свободного члена, а знаменатель q - делитель старшего коэффициента многочлена.

Доказательство.

Пусть рациональное число где q - несократимая дробь, является корнем многочлена f = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an c целыми коэффициентами.

Это означает, что выполняются равенства

f() = a0()n + a1()n-1 + … + an-1() + an = 0,0() + a1() + … + an-1() + an = 0,

откуда после приведения к общему знаменателю получим

0pn + a1pn-1q + … + an-1pqn-1 + anqn = 0,

Полученное равенство можно переписать в виде

0pn = -q(a1pn-1 + … + an-1pqn-2 + anqn-1 )= 0,

откуда следует, что a0pn делится на q. Так как дробь несократима, то числа р и q не имеют общих простых делителей, а тогда числа рn и q также не имеют общих простых делителей.

Поэтому а0 делится на q, что и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что аn делится на р. Теорема доказана.

Заметим, что теорема о целых корнях является простым следствием только что доказанной теоремы: если положить q = 1, то дробь p/1 = р несократима, и поэтому свободный член аn делится на числитель р.

Другим важным следствием этой теоремы является следующее утверждение.

Теорема 3. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является целым числом.

Доказательство.

Пусть - корень многочлена со старшим коэффициентом 1. Тогда по теореме 2 число 1 делится на q, а это возможно только когда q = +1, так что действительно является целым числом. Теорема доказана.

Эта теорема может быть сформулирована и другими способами, полезными для решения задач:

. "Многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 не может иметь дробных корней".

. "Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 либо целые, либо иррациональные".

Следует обратить внимание учащихся на то, что утверждения, обратные к теоремам о целых и рациональных корнях, неверны. Например, утверждение, обратное к теореме о целых корнях, может быть сформулировано следующим образом: "Если целое число k - делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами, то k - корень этого многочлена" или "Всякий делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами является его корнем". Так как эти факты можно опровергнуть простой проверкой, то они могут быть предложены учащимся в качестве задач.

3. Теорема о делении с остатком. Материал, представленный в этом пункте, необходим для открытия теоремы Безу.

Определение. Пусть f и g - два многочлена, причем g ¹ 0. Многочлен f делится на многочлен g тогда и только тогда, когда существует такой многочлен h, что f=gh.

Основные свойства делимости в множестве многочленов те же, что и в множествах натуральных и целых чисел. Например, если f делится на g и g делится на h то f делится на h.

В самом деле, если f = gu и g = hv, то f = uhv = h (uv) так что f действительно делится на h. Доказательства этих свойств проводятся точно так же, как и в числовых множествах.

Делимость многочленов имеет большое значение для решения уравнений: если многочлен f делится на многочлен g, т. е. f представляется в виде f = gh, то уравнение f(х)=0 равносильно уравнению g(х)h(х)=0. Поэтому дальше надо решить уравнения g(х)=0 и h(х)=0, каждое из которых имеет степень, меньшую степени многочлена f, т. е. существенно проще.

Таким образом, для решения уравнений полезно уметь раскладывать многочлены на множители. Однако эта задача очень трудная, и для ее решения полезным оказывается новое понятие - деление многочленов с остатком. С подобным понятием (деление с остатком) учащиеся уже встречались в множестве натуральных чисел.

Определение. Остатком от деления многочлена f на многочлен g¹0 называется такой многочлен r, что

) разность f-r делится на g;

) многочлен r либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень g.

Отметим сразу же, что утверждения: "остаток от деления f на g - нулевой" и " f делится на g" означают одно и то же.

Из определения остатка следует, что если r - остаток от деления f на g, то разность f - г имеет вид gq, где q - некоторый многочлен, и следовательно, f=gq+r. Это представление многочлена через делимое g и остаток r очень важно для теории и для практики решения задач.

Но дело в том, что определение частного и остатка не дают никакой информации о существовании и единственности частного и остатка при делении одного многочлена на другой. Поэтому нам понадобится следующая теорема:

Теорема.

Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство f(x)=g(x)q(x)+r, и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).

Коротко эту теорему можно сформулировать так: любой многочлен на любой ненулевой многочлен можно однозначно разделить с остатком. Именно эта однозначность и позволяет ввести термины "остаток" и "частное" (или, как и в натуральных числах, полное частное").

Для нахождения остатка существует специальный прием, алгоритм - "деление уголком". Основа этого алгоритма - последовательное понижение степени делимого. Мы покажем его на конкретном примере, а затем сформулируем правило деления.

Пусть f =4х5 - Зх3 + х - 1, g =2x2 - 3. Домножим g на такой одночлен, чтобы старшие члены f и g "уравнялись": это будет, очевидно, одночлен q1, = 2х3, а получить его можно, разделив 4х5 на 2х2. Так как старшие члены многочленов f и gq1, оказались равными, то при вычитании из f произведения gq1 получим многочлен степени меньшей, чем у многочлена f.

Обозначим эту разность через f1; тогда f1 = f - gq1 = (4х5 - Зх3 + х - 1) - (2x2 - 3)·2x3 = (4х5 - Зх3 + х - 1) - (4x5 - 6x3) = 3x3 + x - 1.

Теперь вместо f будем рассматривать многочлен f1, и уравняем старшие члены f1, и g - для этого g надо домножить на q2 = 3x3:2x2 = x. Новая разность f2, равна f2 = f - gq2 = (3x3 + x - 1) - (2x2 - 3)· x = (3x3 + x - 1) - (3x2 - x) = x - 1, и мы получили многочлен степени 1 - меньшей, чем степ многочлена g.

Оказывается, что этот многочлен f2, и есть искомый остаток (по определению). В самом деле, о степени его мы уже сказали, а с другой стороны I

2 = f - gq2 , f1 = f - gq1 ,

и поэтому

f2 = f - gq2 = f - gq1 - gq2 ,

откуда

= f2 + gq1 + gq2 = f2 + g(q1 + q2),

Другими словами, многочлен f2, удовлетворяет определению остатка от деления многочлена f на многочлен g.

Итак, мы разделили f на g с остатком:

4х5 - Зх3 + х - 1 = (2x2 - 3)(2x3 + x) + x - 1.

Таким образом, в процессе деления с остатком осуществляем одни и те же действия: на каждом шагу делим старший коэффициент "промежуточного" многочлена с некоторым индексом на старший коэффициент многочлена g, умножаем g на частное, вычитаем произведение из "промежуточного" многочлена, получаем следующий многочлен - до тех пор, пока не получится "промежуточный" многочлен степени меньшей, чем степень многочлена g, - это и есть остаток.

Итак, всякий многочлен f можно разделить с остатком на сбой другой многочлен g, отличный от нулевого, и это всегда можно сделать с помощью деления "уголком".

Однако в случае, когда многочлен g - линейный, т. е. f = ax+ b, то вычисления можно провести по схеме Горнера (нетрудно убедится, что схема дает одновременно и остаток, и частное).

.Теорема Безу. В учебной литературе представлены различные трактовки и доказательства теоремы Безу, приведем некоторые из них.

1.Остаток от деления многочлена f(x) на x-a равен значению f(x) при x=a.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и разделим его с остатком на двучлен x-а. Поскольку степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен 0, либо имеет степень 0. И в том, и в другом случае остаток r есть число. Таким образом, многочлен f(x) представляется в виде

(x) = (x - a) q(x)+r.

Положив в этом тождестве x=a, получим, что f(a) =r. Мы доказали тем самым, что остаток от деления многочлена на двучлен x-a равен значению многочлена при х=а [32].

2.Для того чтобы многочлен f(x) делился на x-c, необходимо и достаточно, чтобы f(c)=0.

Доказательство.

Необходимость. Пусть f(x) делится на x-c, т.е. f(x)=(x-c)h(x). Следовательно f(c)=0.

Достаточность. Пусть f(c)=0. Тогда в равенстве f(x)=(x-c)h(x)+r будет

=f(c)=0, т.е. f(x)=(x-c)h(x) [11].

3. Пусть f(x) - многочлен, c - некоторое число.

) f(x) делится на двучлен x-c тогда и только тогда, когда число с является его корнем.

) Остаток от деления f(x) на x-c равен f(c).

Доказательство.

Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f с остатком на x-c:

(x)=(x-c)q+r;

по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x-c, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в том случае, когда она равна нулю, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является нулем или отличным от нуля числом.

Подставив теперь в равенство f(x)=(c-c)q(c)+r значения x=c, мы получим

(c)=(c-c)q(c)+r,

так что действительно r=f(c), и второе утверждение доказано [10].

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f(x) делится на x-c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f(x) делится на x-c" означает тоже самое, что и f(c)=0.

Чаще всего в учебной литературе встречается первая формулировка, но она будет трудно доступна для восприятия учащимися в силу своей краткости.

На мой взгляд, наиболее удачны третья формулировка и доказательство (Дорофеев, Пчелинцев) теоремы Безу, но 1-й и 2-й пункты следует поменять местами потому что, во-первых, утверждение 2 проще открыть и, во-вторых, с него начинается доказательство теоремы.

. Следствия из теоремы Безу. Материал, представленный в данном пункте, позволит учащимся ответить на важный теоретический вопрос: "Сколько корней имеет уравнение n-степени?"

Теорема 1.

Многочлен степени n имеет не более n корней.

Доказательство.

Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и с - один из его корней. Предположим противное - пусть k> n.

По теореме Безу, f=(x-c)g, и частное g имеет степень n-1. Всякий корень f, отличный от с, является одновременно и корнем g: если f(a)=0, то (a-c)g(a)=0, откуда g(a)=0, так как a¹c. Другими словами, многочлен g имеет по меньшей мере k-1> n-1 корней, т.е. число его корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно привести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение k> n неверно, и следовательно, k не больше n.

Нетрудно привести примеры, когда многочлен степени имеет ровно n корней и когда он имеет меньше n корней, в частности, вообще не имеет корней. Эти примеры полезно придумать самостоятельно.

При этом следует иметь в виду, что число корней многочлена существенно зависит от того, какое числовое множество мы рассматриваем.

Например, многочлен f=x2-2 не имеет корней в множестве рациональных чисел Q - не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. В то же время в множестве действительных чисел R он имеет два иррациональных корня (±).

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительных важных и для теории, и для практики утверждения.

Теорема 2.

Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения по меньшей мере при n+1 значении х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.

Доказательство.

"В одну сторону" это утверждение очевидно: если многочлены имеют одинаковые коэффициенты, то при всех значениях х они, естественно, принимают одинаковые значения.

И наоборот, если многочлены f и g имеют степень не больше n, то их разность h либо является нулевым многочленом, а тогда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты, либо отлична от нуля и имеет степень не больше n. Но тогда эта разность имеет не меньше чем n+1 корень - это те значения переменной х=хi, при которых h(xi)=f(xi)-g(xi)=0, что противоречит теореме 1 о числе корней: число корней разности большее ее степени.

Теорема 3.

Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.

Доказательство.

Это утверждение моментально следует из предыдущего: если многочлены принимают одинаковые значения при всех значениях х, то они принимают одинаковые значения при числе значений, большем наибольшей из их степеней.

2.4 Методические рекомендации

1.Организация обучения.

Так как на изучение теоремы Безу отводится мало времени, то следует определенным образом организовать изучение материала, то есть параметризировать учебный процесс.

В педагогической технологии академика В.М. Монахова выделяются пять параметров: целеполагание, диагностика, дозирование, логическая структура, коррекция.

На этапе ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ выделим основные цели которые будут поставлены перед учащимся и сформулируем их в форме: " знать…", " уметь…", "понимать…", " иметь представление о…" (подробнее см. в технологической карте).

На этапе ДИАГНОСТИКА с помощью небольших самостоятельных работ (на 5-10 минут), получаем информацию о достижения микроцели или о недостижения микроцели, а также выявляются типичные ошибки учащихся (подробнее см. в технологической карте).

На этапе ДОЗИРОВАНИЕ определяем объем и содержание самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся (подробнее см. в технологической карте).

На этане ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА по числу микроцелей выделим группы уроков

На этапе КОРРЕКЦИЯ организуем специальную деятельность учащихся по ликвидации пробелов, выявленных на этапе диагностики (подробнее см. в технологической карте).

7 класс.

Целеполагание.

В1. Уметь применять схему Горнера для вычисления значений многочленов.

В2. Уметь применять схему Горнера для нахождения корней многочленов и

нахождения корней целых алгебраических уравнений.

В3. Знать формулировки теорем о целых и дробных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

В4. Уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений любых степеней с целыми коэффициентами.

Диагностика.

Д0. 1. Выполните действия. (Устно)

2. Найти сумму коэффициентов многочлена

а) f(x) = 3x4 + 2x3 + 15x2 - x - 1;

б) f(x) = 7x5 - 3x3 + 12x2 - 2x + 13.

. Выпишите коэффициенты многочлена и свободный член.

а) f(x) = 3x4 + 2x3 + 15x2 - x - 1;

б) f(x) = 7x5 - 3x3 + 12x2 - 2x + 13.

Д1. Используя схему Горнера, вычислите значение f(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 1 при с=3; -4.

Д2. Определите, какие из чисел -5; 2 являются корнями уравнения x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0.

Д3. Определите, какие из чисел 1, 2, -2, 4, 5, -13, 28, -7, 123, 3 не являются корнями многочлена:

а) x3 + 38x - 123;

б) 2x4 - 13x3 + 8x2 - 12x + 40.

Д4. Найдите рациональные корни многочлена:

6x5 - x4 + 2x3 - 2x2 - 4x - 1.

Коррекция.

К1. Затруднения в этой теме связаны с заполнением схемы Горнера (пропуск коэффициента).

Пример. f(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 1

1321

Пути исправления.

. Выпишите коэффициенты многочлена (при x5 , x4 , x3 , x2 , x) и свободный член.

(x) = x5 + 4x3 - 53x2 + 25

2. Проверьте правильность заполнения первой строки схемы Горнера для многочлена:

f(x) = 7x5 - 3x3 + 12x2 - 2x + 13

7-312-213

3. Составить схему Горнера для многочлена f(x) =13x4 - 6x2 + x - 17

К2. Затруднения в этой теме связаны с заполнением схемы Горнера (арифметические ошибки).

Пути исправления.

) Выполните действия.

2) Повторить правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами.

Отдельным учащимся могут быть предложены индивидуальные карточки с вычислительными заданиями.

К3. Затруднения связанные с усвоением алгоритма нахождения значений по схеме Горнера.

Пути исправления.

)Учащимся предлагается визуально оформленный алгоритм (см. ?)

) При выполнении вычислений по схеме Горнера порядок действий указывается стрелками.

К4.Ученик не может перечислить все делители числа.

Пути исправления.

. Выпишите все натуральные делители чисел 9, 13, 28, 31?

. На какие из данных чисел 1, 3, 12 , -3, -4, 5, -6, 6, -18 делится число 36?

. Выпишите все целые делители числа 30.

. Повторить признаки делимости.

Дозирование самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся.

класс.

Целеполагание.

В1. Знать теорему о возможности деления с остатком.

В2. Уметь находить частное и остаток от деления многочлена на многочлен.

Диагностика.

Д0. Найдите неполное частное и остаток от деления:

а) числа 137 на 14;

б) числа 12506 на 27.

Д1. 1. Указать несколько делителей нулевой, первой, второй степени многочлена:

а) x3;

б) x2 - 5x + 6.

2. Выберите правильную формулировку теоремы о делении с остатком:

а) Для любого многочлена f(x) и любого произвольного многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство

(x)=g(x)q(x)+r,

и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).

б) Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство

(x)=g(x)q(x)+r,

и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).

с) Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство

(x)=g(x)q(x)+r,

и многочлен r(x) имеет степень большую степени g(x).

Д2. 1.Разделите с остатком многочлен f(x) на g(x) (Найдите неполное частное и остаток от деления многочлена f(x) на g(x)):

(x) = x4 + 5x3 + 4x2 - 5x + 5, g(x) = x2 + 3x + 1;

2. Проверьте, делиться ли многочлен f(x) на g(x):

(x) = x4 + 4x3 + 9x2 + 10x + 6, g(x) = x2 + 2x + 2;

Коррекция.

К1. При делении многочлена на многочлен учащиеся ошибаются при вычитании, забывая менять знак.

Пример.

Пути исправления.

. Упростите:

а) (2x2 - 3x + 12) - (3x2 + 7x - 5)

б) (x3 - 29x - 6) - (x3 + x2 + 4x)

2. Выполните вычитание.

К2. При делении многочлена на многочлен нам приходится поэтапно производить вычитание двух многочленов. Некоторые учащиеся бездумно производят вычитания, не производя заранее анализа подобных слагаемых.

Пути исправления.

) Приведите подобные слагаемые (x3 - 29x - 6) - (x2 + 4x)

) Укажите коэффициент при а) x3 б) x2 в) x

1. 2x3 + x - 4

. 9x2 - 7x + 15

Дозирование самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся.

класс.

Целеполагание.

В1. Уметь применять теорему Безу для выделения линейного множителя.

В2. Уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному с помощью подбора рациональных корней.

В3. Знать, что число корней многочлена не превосходит его степени.

Диагностика.

Д0. 1. Какие из чисел 1, 2, -3, -2, -5, 13, -15 являются корнями многочлена x4 + 23x3 + 3x + 35.

. Найти остаток от деления x3 + x2 - x + 5 на x - 1;

Д1. Подбирая целые корни, разложите многочлен на множители с помощью схемы Горнера: x5 - 5x3 + 5x2 - 1.

Д2. Решите уравнение 4x3 - 5x + 2 = 0.

Д3. Решите уравнение:

а) 2x3 - 5x2 - 3x + 6 = 0;

б) x6 - 7x3 + 6 = 0.

Коррекция.

К1. Затруднения связанные с вспоминанием алгоритма нахождения значений по схеме Горнера.

Пути исправления.

)Учащимся предлагается визуально оформленный алгоритм (см. ?)

) При выполнении вычислений по схеме Горнера порядок действий указывается стрелками.

К2. Арифметические ошибки.

Пути исправления.

) Повторить правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами.

) Решение вычислительных примеров в устных упражнениях, эстафетах.

) Проведение коротких математических диктантов.

Отдельным учащимся могут быть предложены индивидуальные карточки с вычислительными заданиями (как для решения на уроке, так и на дом).

К3. Учащиеся не помнят или допускают ошибки в алгоритме нахождения целых и дробных корней.

Пути исправления.

Учащимся предлагаются индивидуальные карточки-инструкции с указанными алгоритмами.

Дозирование самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся.

2. Методические рекомендации.

Важно не увлечься теоретизированием, а больше внимания уделить практическим упражнениям. В этом параграфе представлены методические рекомендации, которые позволят сделать теоретический материал, изложенный в первой главе, доступным для восприятия учащимися. В конце каждого пункта описаны знания и умения, которыми должны обладать ученики после прохождения данной темы, а также указано ее место в школьном курсе и время на ее изучение.

Схема Горнера. Для лучшего усвоения учениками правила заполнения схемы Горнера, на мой взгляд, можно воспользоваться следующей схемой:

Эти вычисления приводят к ответу: f(7) = 90 - это последнее число второй строки. Ученики могут проверить это непосредственной подстановкой и сравнить время, понадобившееся на вычисление в обои случаях.

Место темы: 7-й класс.

Время на изучение: 2 часа (урока).

Изучение данной темы позволит учащимся значительно упростить вычисления значений многочленов. А также даст возможность быстро проверить является ли некоторое число с корнем уравнения.

После изучения темы учащиеся должны уметь применять схему Горнера для:

вычисления значений многочленов

нахождения корней многочленов и нахождения корней целых алгебраических уравнений

Целые и дробные корни многочленов. Важно, вместе с учащимися, выделить алгоритмы поиска целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Можно оформить эти алгоритмы в виде индивидуальных карточек-инструкций и раздать всем ученикам. Эти карточки будут особенно полезны тем учащимся, которые умеют решать задачи только по заданному образцу. Способные учащиеся смогут быстрее освоить процесс нахождения целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами и перейти к решению более сложных задач.

Место темы: 7-й класс.

Время на изучение: 2 часа (урока).

Материал представленный в данном параграфе позволит учащимся существенно упростить процесс нахождение рациональных (целых и дробных) корней уравнений с целыми коэффициентами.

После изучения темы учащиеся должны:

знать формулировки теорем о целых и дробных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений любых степеней с целыми коэффициентами.

Примечание. Для пропедевтики материала изучаемого в 7 классе при прохождении тем "Умножение одночлена на многочлен" и "Умножение многочлена на многочлен" можно ввести проверку делением.

Теорема о делении с остатком. Так как в процессе изучения этой темы нужно чтобы учащиеся научились делить "уголком" нужно четко сформулировать правило деления одного многочлена на другой.

Сформулируем правило.

Ученикам, у которых возникают трудности с делением можно предложить карточку-инструкцию, содержащую данное правило.

Место темы: 8-й класс

Время на изучение: 2 часа (урока).

Данная тема необходима для открытия, доказательства и применения теоремы Безу.

После изучения темы учащиеся должны:

знать теорему о возможности деления с остатком

уметь находить частное и остаток от деления многочлена на многочлен.

Теорема Безу. Открытие теоремы Безу:

Разобьем класс на два варианта и предложим учащимся выполнить следующие упражнений.

№1.

Ответы выписываются на доске и сравниваются, после чего учащиеся могут высказать следующий вывод: остаток от деления f(x) на x-c равен f(c).

№2.

Ответы выписываются на доске и сравниваются, после чего учащиеся могут высказать следующий вывод: f(x) делится на x-c тогда и только тогда, когда число с является его корнем.

После чего сформулируем и докажем теорему Безу.

Место темы: 9-й класс

Время на изучение: 3-4 часа (урока).

После изучения темы учащиеся должны:

уметь применять теорему Безу для выделения линейного множителя

уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному с помощью подбора рациональных корней

знать, что число корней многочлена не превосходит его степени, приводить примеры многочленов, у которых число корней меньше степени и равно степени

. Устные упражнения и творческие задания.

Так как на материал не отводится много времени и нужно организовать его адекватное усвоение, я предлагаю особую систему проведения устных упражнений и творческих заданий.

Схема Горнера.

Устные упражнения. Форма проведения - фронтальный опрос.

. Выполните действия

. Подсчитай, какое число должно быть в рамке?

3. Выполните умножение. Назовите сумму коэффициентов.

а) х2 · (4х + 1);

б) (5х - 3)(5х + 3).

Творческое задание.

. Восстановите схему Горнера, заполнив пустые клетки:

112-1-3-3

1-3-201230

По заполненной схеме составьте многочлен. Укажите его степень.

. Придумайте многочлен. Составьте для него схему Горнера. Сколько столбцов будет в этой схеме?

Целые и дробные корни многочлена.

Устные упражнения.

Форма проведения - фронтальный опрос.

. Перечислите делители 15; 28; 36; -35.

. Укажите, какое число лишнее? Ответ обоснуйте.

а) 20; 50; 100; 200; 85.

б) 30; 63; 52; 72; 3.

в) 60; 75; 22; 115; 2005.

г) 7; 13; 15; 17; 23.

Форма проведения - эстафета по рядам.

. Выпишите в столбик все делители числа.

1 ряд2 ряд3 ряд363040

Творческое задание.

Опираясь на признаки делимости, придумайте пять трехзначных чисел, имеющих хотя бы один общий делитель (не единицу).

Теорема о делении с остатком. Устные упражнения.

Форма работы - фронтальный опрос.

. 2·8 - 9(-1)· 63+46

16·2+47·3-7

·(-5) - 34·(-8)-12

2. Заполните таблицу.

ДелимоеДелительНеполное частноеОстаток1722658931043

3. Заполните пропуски.

Творческое задание.

Заполните таблицу.

ДелимоеДелительНеполное частноеОстаток12241337456

Теорема Безу.

Устные упражнения.

Эстафета по рядам с выходом к доске или на раздаточном материале.

. Заполнить схему Горнера.

а)

3-6-90-117б)

3-6-90-116в)

3-6-90-118

. Определите, какие из чисел 1, 2, -2, 4, 5, -13, 28, -7, 123, 3 не являются корнями многочленаx4 - 2x3 + 5x2 - 13x - 40.

. Заполните таблицу.

ДелимоеДелительНеполное частноеОстаток253193508411115

Творческое задание.

. Придумайте многочлен (не меньше третьей степени). Составьте для него схему Горнера. Найдите целые и дробные корни многочлена или докажите, что их нет.

. Придумайте:

а) многочлен, имеющий четыре целых корня.

б) многочлен, имеющий четыре различных целых корня.

в) многочлен, имеющий два целых корня и два дробных корня.

г) многочлен третьей степени, имеющий только один корень.

д) многочлен четвертой степени, имеющий пять корней.

2.5 Банк задач

Здесь приведена система упражнений, рекомендуемая для закрепления материала, выделены основные типы задач.

Типы задач необходимые при изучении темы теорема Безу.

. Задачи на составление (заполнение) схемы Горнера.

. Задачи на применение схемы Горнера.

. Задачи на нахождение делителей числа (многочлена). (Пропедевтическая)

. Задачи на нахождение целых корней многочлена с целыми коэффициентами.

. Задачи на нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

. Задачи на деление с остатком двух чисел. (Пропедевтическая)

. Задачи на деление многочлена на многочлен.

. Задачи на разложение многочлена на множители.

. Задачи на решение уравнений (с помощью теоремы Безу).

А также задачи трудные задачи.

Схема Горнера.

. Проверьте правильность заполнения первой строки схемы Горнера для многочлена:

а) f(x) = 3x4 + 2x3 + 15x2 - x - 1

3215-1-1

б) f(x) = 7x5 - 3x3 + 12x2 - 2x + 13

7-312-213

2. Заполните схему Горнера:

2-73-132

Чему равно f(2)?

. Используя схему Горнера, вычислите значение f(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 1 при с=1;2;3;-1;-2;-4.

. Определите, какие из чисел ±1; ±2; ±3 являются корнями уравнения:

а) x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0;

б) 3x5 - 2x4 + 19x3 - 5x2 - x - 6 = 0.

. Восстановите схему Горнера, заполнив пустые клетки:

а)

112-1-2-3

б)

1-1-201240

в)

1011-7912-19

6*. Заполните схему Горнера для произвольного многочлена степени 3: f(x) =a0x3 + a1x2 + a2x + a3 и произвольного числа с и убедитесь, что последнее число второй строки есть значение f(c).

7*. Проверьте, что для многочлена f(x) = a0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 верно равенство f(c) = ((((a0c + a1)c + a2)c + a3)c+ a4) + a5 . Как это равенство связано со схемой Горнера?

Целые и дробные корни многочленов.

. На какие из данных чисел 1, 3, 12 , -3, -4, 5 делится число 36?

. Выпишите (назовите) все натуральные делители чисел 7, 13, 10, 6?

Есть ли среди указанных чисел простые числа? Если есть укажите.

. Выпишите все целые делители чисел: 15, 16, 18, 30.

. Дан многочлен f(x) = x4 - 5x3 + 19x2 - 8x + 12. Выпишите все делители свободного члена.

. Определите, какие из чисел 1, 2, -2, 4, 5, -13, 28, -7, 123, 3 не являются корнями многочлена:

а) x3 + 38x - 77;

б) 2x4 - 21x3 + 3x2 - 17x + 20;

в) 9x5 - x3 - 16x2 + 4x - 35;

. Какие из чисел 1, 2, -3, -2, -5, -7 являются корнями многочлена:

а) 2x5 - 5x4 + 11x3 - 17x2 + 16x - 4;

б) x4 + 23x3 + 3x + 35;

. Найдите все целые корни многочлена или докажите что многочлен не имеет целых корней.

а) x4 - 11x3 + 5x2 - x + 15;

б) 2x5 - 28x4 + 3x3 - 7x2 - 35;

. Найдите рациональные корни многочлена:

a) 36x3 - 36x2 +11x - 1;

б) 6x5 - x4 + 2x3 - 2x2 - 4x - 1;

в) 6x5 + x4 - 4x3 - 11x2 + 10x - 2.

. Найдите дробные корни многочлена:

а) 4x4 + 4x3 + 3x2 - x - 1;

б) x3 + 2x2 - 5x - 6;

в) x4 - 4x3 - 10x2 +23x + 10.

. Докажите, что из данных чисел только одно является общим корнем многочленов f(x) и g(x):

а) f(x) = x3 - 7x + 6, g(x) = 5x4 - 8x3 + 7x - 4, {-7; -; -;; 1; 2};

б) f(x) = 3x3 + 2x2 + 4x - 9, g(x) = x5 - 2x4 + 3x3 - 6x + 4, { -; -2; ; ; 5; 1; 3}

Теорема о делении с остатком.

. Указать несколько делителей нулевой, первой, второй степени многочлена:

а) x2;

б) x3 - 1;

с) x2 - 5x + 6.

. Найдите неполное частное и остаток от деления:

а) числа 126 на 13;

б) числа 27408 на 34.

. Разделите с остатком многочлен f(x) на g(x) (Найдите неполное частное и остаток от деления многочлена f(x) на g(x)):

а) f(x) = x4 + 5x3 + 4x2 - 5x + 5, g(x) = x2 + 3x + 1;

б) f(x) = x5 + 3x3 + 2x2 - 1, g(x) = 3x2 + x + 2;

в) f(x) = x1995 - 1, g(x) = x397 - 1.

. Проверьте, делиться ли многочлен f(x) на g(x):

а) f(x) = x3 - 5x2 + 7x - 2, g(x) = x2 - 3x + 1;

б) f(x) = x4 + 4x3 + 9x2 + 10x + 6, g(x) = x2 + 2x + 2;

в) f(x) = 2x5 + 4x4 + 8x3 + 5x2 + 8x + 3, g(x) = x2 + 2x + 3.

. Укажите многочлены, делящиеся на g(x) = x2 + x + 1:

а) f(x) = x4 + x2 + 1;

б) f(x) = x6 + x + 1;

в) f(x) = x3 - 12x +4;

г) f(x) = x5 - 1.

. Какие из многочленов данных многочленов делятся на 1) x - 1; 2) x +1.

а) f(x) = x2 + 3x + 2;

б) f(x) = x3 - 3x2 + 2;

в) f(x) = x4 - 2x3 + 2x2 - 9x + 8;

г) f(x) = 4x5 + x2 - 7x + 2.

*. Существует ли число с, при котором f(x) делится на g(x):

а) f(x) = x4 - 3x3 + 5x2 - 9x + 6, g(x) = x2 + c;

б) f(x) = x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4, g(x) = x2 + x + c;

Теорема Безу.

. Найти остаток от деления f(x):

а) f(x) = x3 + x2 - x + 5 на x - 1;

б) f(x) = x4 - 3x3 + 9x2 - 27x + 81 на x + 3.

. Подбирая целые корни, разложите многочлен на множители с помощью схемы Горнера:

а) x4 - 2x3 - x2 - 4x + 12;

б) x5 - 5x3 + 5x2 - 1;

с) x6 - 3x4 + 3x2 - 1.

. Составьте план решения и решите уравнение:

а) 4x3 - 5x + 2 = 0;

б) 8x3 - 4x2 + 1 = 0;

в) 9x3 - 12x2 + 1 = 0;

г) 27x3 + 9x2 - 9x + 1 =0.

. Решите уравнение:

1) а) x3 + x2 - 5x + 3 = 0;

б) 2x3 - 5x2 - 3x + 6 = 0;

)а) x4 - x2 - 2 = 0;

б) x6 - 7x3 + 6 = 0.

5. Решите уравнение:

а) (x2 - x + 1)2 = 3x2 - x3 - x4;

б) (x2 + x + 1)2 = 3x4 +7x3 + 5x2;

в) 9(x2 + 1)2 = (5x2 + x + 3) (x2 + 1)2.

г) 2x4 - 4x3 + x2 + x - 1 = 0;

д*) 12x4 + 24x3 + 8x2 - 4x - 1.

. Решите уравнение, подобрав сначала целый корень:

а) x5 - 8x4 + 21x3 -21x2 + 8x - 1 = 0;

б) x5 - 3x4 - 2x3 - 8x2 - 4 = 0.

*. Решите систему методом подстановки:

а)

б)

Заключение

Целью дипломной работы являлась разработка методики обучения теме "Теорема Безу" в школьный курс алгебры.

В процессе выполнения дипломной работы была проработана существующая литература по методам преподавания алгебры в школьной программе и решены следующие задачи:

Посредством анализа методической и психолого-педагогической литературы обоснован способ включения теоремы Безу в школьный курс алгебры, при этом удалось учесть дидактические принципы организации обучения, основными из которых являются научность, доступность и систематичность, а также учесть возрастные особенности учащихся (7-9 класс).

Изучение учебной литературы позволило отобрать и систематизировать материал, который должен входить в содержании темы: схема Горнера, теоремы о целых и дробных корнях многочлена, теорема Безу.

Проработка программы по математике и учебников в связи с исследуемой темой позволила создать комплекс задач, обеспечивающих оптимальное усвоение теоремы Безу учащимися средней школы.

Рассмотренные в дипломной работе вопросы предоставлены в виде предложений по включению и преподаванию теоремы Безу в школьном курсе алгебры и конкретных рекомендаций по проведению уроков.

Список изученной литературы

) Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. Учреждений/Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.5-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

) Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. Учреждений/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2001.

) Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - 9-е изд. - М.: Просвещение, АО "Московские учебники", 2001.

) Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, АО "Московские учебники", 1997.

) Атутов П.Р. Технология и современное образование / / Педагогика. - 1996. - № 2.

) Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. - М.: Педагогика, 1989.

) Бесчетнов В. М. Математика: Курс лекций для учащихся 7-11 кл.: Том 1. - М.: Демиург, 1994.

) Галицкий М.П. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. - М.: Просвещение, 1992.

) Гамезо М.В., Домашенко И.А. Атлас по психологии: Информ.-метод. Материалы к курсу "Общ. психология": Учеб. пособие для студентов педю ин-тов. - М.: Просвещение, 1986.

) Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены с одной переменной. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, студентов пед. университетов и преподавателей школ с углубленным изучением математики. - СПб.: Специальная Литература, 1997.

) Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс. А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев и др.; Сост.: С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 1980.

) Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. №2. 2000. С.13-18.

) Коротов В.М. Общая методика учебно-воспитательного процесса: Учеб. пособие для слушателей ФПК директоров школ и студентов пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1983.

) Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990.

) Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников/Под редакцией Н.И. Чуприковой. - М.: Издательство "Институт практической психологии"; Воронеж: Издательство НПО "МОДЭК", 1998.

) Крутецкий В.А. Психология: Учебник для учащихся пед. училищ. - М.: Просвещение, 1980.

) Математика: 5-11кл.: Программы. Тематическое планирование: для общеобразоват. шк., гимназий, лицеев: Сост. Г.М Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - М.: Дрофа, 2000.

) Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, и др.; Под редакцией Г.В. Дорофеева - М.: Дрофа, 1999.

) Менчинская Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка/Под редакцией Е.Д. Божович. - М.: Издательство "Институт практической психологии"; Воронеж: Издательство НПО "МОДЭК", 1998.

) Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов/Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский и др. - М.: Просвещение, 1975.

) Монахов В.М. Целеполагание. - Москва - Новокузнецк, 1997.

) Монахов В.М. Технологические основы проектирования и конструирования

учебного процесса. - Волгоград: Перемена,1995.

) Монахов В.М. Технологизация и параметризация профессиональной деятельности учителя в условиях образовательного стандарта. Региональная стратегия и тактика обеспечения инновационных процессов. - Москва - Новокузнецк, 1996.

) Мордкович А.Г. и др. Алгебра 7 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2000.

) Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.

) Мордкович А.Г. и др. Алгебра 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2000.

) Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2001

) Муравин, К.С. и др. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. Учреждений/К.С. Муравин, Т.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. 2-е изд. - М.: Дрофа,1999.

) Мухина В.С. Психология детства и отрочества. Учебник для студентов психолого-педагогических факультетов вузов. - М.: Институт практической психологии, 1998.

) Немов Р.С. Психология. Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. В 3 кн. Кн. 1. Общие основы психологии. - 2-е изд. - М.: Просвещение: ВЛАДОС, 1995.

) Немов Р.С. Психология. Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. В 3 кн. Кн. 2. Психология образования. - 2-е изд. - М.: Просвещение: ВЛАДОС, 1995.

) Окунев Л.Я.Высшая алгебра. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1966.

) Подласый И.П. Педагогика. Новый курс.: Учеб. для студ. Пед. вузов. Кн. 1: Общие основы. Процесс обучения. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2000.

) Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов/Г.И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002.

) Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Учебное пособие для вузов. - М.: Наука, 1984.

) Проект образовательного стандарта основного общего образования по математике // http://www.mccme.ru/

Содержание Введение Глава 1. Педагогические технологии .1 Понятие педагогической технологии .2 Принципы и сущность технологии академика В.М. Мон

Больше работ по теме: