Метод конечных элементов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Курсовая работа

Метод конечных элементов

Выполнила

Студентка 390 группы

Шумкина М.В.

Проверил

к.ф.-м.н. , доцент

Слезко И.В.

Тюмень 2012

Оглавление

Введение

История развития метода

Метод взвешенных невязок

Общий алгоритм статического расчета МКЭ

Ошибки метода конечных элементов

Решение задач методом конечных элементов

Заключение

Список литературы

Введение

Метод конечных элементов (МКЭ) - численный метод решения задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

МКЭ основан на идее аппроксимации непрерывной функции (в физической интерпретации - температуры, давления, перемещения и т.д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. Исследуемая геометрическая область разбивается на элементы таким образом, чтобы на каждом из них неизвестная функция аппроксимировалась пробной функцией (как правило, полиномом). Причем эти пробные функции должны удовлетворять граничным условиям непрерывности, совпадающим с граничными условиями, налагаемыми самой задачей. Выбор для каждого элемента аппроксимирующей функции будет определять соответствующий тип элемента.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти.

История развития метода

Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах (идея МКЭ была разработана советскими учёными ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея - Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

К семидесятым годам относится появление математической теории конечных элементов. Здесь можно выделить труды И. Бабушки, Р. Галлагера, Ж. Дек-лу, Дж. Одена, Г. Стренга, Дж. Фикса. Значительный вклад в разработку теоретических основ МКЭ внесли и российские ученые. В. Г. Корнеев указал на совпадение математической сущности МКЭ и ВРМ. Сопоставление МКЭ с рядом вариационных методов приведено в трудах Л. А. Розина. Под руководством А. С. Сахарова разработана моментная схема конечных элементов.

С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя метод конечных элементов.

Метод взвешенных невязок

МКЭ основывается на методе взвешенных невязок, суть которого заключается в следующем: подбирается функция, удовлетворяющая дифференциальным уравнениям и краевым условиям, но подбирается не произвольно, поскольку такой подбор вряд ли возможен уже в двумерном пространстве, а с использованием специальных методов.

Пусть состояние некоторой среды описывается следующим дифференциальным оператором, с заданным граничным условием:

Здесь L - дифференциальный оператор (например, оператор Лапласа),- фазовая переменная - неизвестная функция, которую следует найти,- величина, независящая от V,(Г) = Vг - граничное условие первого рода (Дирихле), то есть на границе задано значение фазовой переменной.

Будем искать решение с помощью функции, имеющей следующий вид:

(1)

Здесь V* - приближённое решение,- функция, удовлетворяющая граничным условиям,m - пробные функции, которые на границе области должны быть равны нулю,m - неизвестные коэффициенты, которые необходимо отыскать из условия наилучшего удовлетворения дифференциальному оператору,- количество пробных функций.

Если подставить V* в исходный дифференциальный оператор, то получим невязку, принимающую в различных точках области разное значение:

(2)

Необходимо сформулировать условие, позволяющее минимизировать эту невязку по всей области. Одним из вариантов такого условия может быть следующее уравнение:

Здесь Wn - некоторые весовые функции, в зависимости от выбора которых различают варианты метода взвешенных невязок,- область пространства, в которой ищется решение.

При выборе в качестве весовых функций дельта-фукций будем иметь метод, который получил название метод поточечной коллокации, для кусочно-постоянных функций - метод коллокации по подобластям, но наиболее распространенным является метод Галёркина, в котором в качестве весовых функций выбираются пробные функции N. В этом случае, если количество пробных функций равно количеству весовых функций, после раскрытия определенных интегралов приходим к замкнутой системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов A.

где коэффициенты матрицы K и вектора Q вычисляются по формулам:

После нахождения коэффициентов A и подстановки их в (1), получаем решение исходной задачи.

Недостатки метода взвешенных невязок очевидны: поскольку решение ищется сразу по всей области, то количество пробных и весовых функций должно быть значительным для обеспечения приемлемой точности, но при этом возникают трудности при вычислении коэффициентов Kij и Qi, особенно при решении плоских и объемных задач, когда потребуется вычисление двойных и тройных интегралов по областям с криволинейными границами. Поэтому на практике этот метод не использовался, пока не был изобретен метод конечных элементов.

Идея МКЭ заключается в том, чтобы в методе взвешенных невязок воспользоваться простыми пробными и весовыми функциями, но не во всей области S, а в её отдельных подобластях (конечных элементах). Точность решения задачи необходимо обеспечить использованием большого числа конечных элементов (КЭ), при этом КЭ могут быть простой формы и вычисление интегралов по ним не должно вызывать особых затруднений. Математически переход от метода взвешенных невязок к МКЭ осуществляется с использованием специальных пробных функций, которые также называются глобальными базисными функциями, обладающих следующими свойствами:

) в узле аппроксимации функции имеют значение равное единице;

) функции отличны от нуля только в КЭ, содержащих этот узел аппроксимации, во всей остальной области равны нулю.

Общий алгоритм статического расчета МКЭ

В принципе общий алгоритм расчета МКЭ сводится к последовательности шагов (матричных операций), в результате выполнения которых определяются необходимые параметры решения задачи (перемещения, деформации, напряжения). На практике расчеты по МКЭ всегда выполняются с применением компьютерных технологий, реализующих известные матричные формулы и выражения для получения промежуточных и конечных результатов.

Ниже приведены основные этапы статического расчета конструкции МКЭ.

.Дискретизация конструкции.

Рассматриваемая область представляется в виде совокупности конечных элементов, соединенных между собой в узловых точках. Сами элементы могут иметь различную форму и размеры, например, в виде стержня, треугольной пластинки, прямоугольной в плане оболочки, пространственного тетраэдра (рис. 1, а). Выбор типа КЭ и общего их числа зависит от вида и формы конструкции, от требуемой точности, от характера внешней нагрузки и наложенных связей. Например, при расчете стержневых систем каждый стержень постоянного сечения принимается за отдельный элемент (рис. 1, б). Решение в этом случае получается точным.

Дискретизация континуальных систем (пластины, оболочки, массивы) является более сложной задачей. Общих рекомендаций по нанесению сетки или разбивке области на отдельные элементы нет. Обычно руководствуются предварительными представлениями о характере ожидаемого результата и в местах предполагаемых высоких градиентов искомых величин сетку КЭ сгущают. При решении двумерных задач (балка-стенка, изгиб плиты) дискретизация области обычно производится треугольными и прямоугольными элементами (рис. 1, в). Предполагается, что вся действующая нагрузка приводится к узловой, поэтому, например, в случае распределенной нагрузки для ее более точного моделирования бывает необходимо вводить дополнительные узлы и элементы. Заданные перемещения, жесткие или упругие связи также должны быть отнесены к узлам.

Рисунок 1. Дискретизация конструкции

Таким образом, первый этап заключается в составлении конечно-элементной схемы - дискретной модели конструкции. Здесь можно выделить следующие действия:

а) выбор типа КЭ (по геометрии, виду аппроксимации и т. п.);

б) разбивку области на КЭ (с нумерацией узлов и элементов);

в) описание каждого элемента: топологические (номера узлов в сетке), физико-механические (модуль упругости и т. п.), геометрические характеристики;

г) описание каждого узла (координаты в общей системе координат);

д) описание заданных узловых нагрузок и перемещений.

Несмотря на то, что перечисленные выше действия не опираются на строгие теоретические рекомендации и во многом выполняются интуитивно, первый этап имеет большое значение для дальнейшего расчета конструкции.

. Построение глобальных матрицы жесткости и вектора узловых сил.

Процедура основана на формировании матрицы жесткости (МЖ) и вектора нагрузок (ВН) отдельных элементов и их размещении в глобальных МЖ и ВН путем обхода по всем конечным элементам дискретной модели.

Расчеты по МКЭ различных конструкций отличаются принципиально только применяемыми элементными МЖ, ВН и матричными операторами для определения внутренних усилий и напряжений. Данные матрицы и векторы строятся на основе вариационных принципов с учетом принятой геометрии КЭ и выбранных аппроксимаций. В случае если МЖ и ВН конечного элемента построены в локальной (местной) системе координат, не совпадающей с глобальной, необходимо преобразовать их для глобальной системы.

Больше работ по теме: