Метод хорд

Министерство образования и науки РФ

Рязанская Государственная Радиотехническая Академия

Кафедра САПР ВС

Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине ,,Информатика”

Тема: ,,Метод хорд”

Выполнил: студент 351 группы

Литвинов Е.П.

Проверил:

Скворцов С.В.

Рязань 2004г.
Контрольный пример к курсовой работе студента 351 группы Литвинова Евгения.

Задание: Разработать программу, которая выполняет уточнение корня нелинейного уравнения отделенного на заданном интервале [a,b], заданным методом.

Решить нелинейное уравнение с использованием разработанной программы и средств системы MathCAD. Сравнить полученные результаты.

Определить количество необходимых итераций для следующих значений погрешностей результата: Eps=[pic];[pic];[pic];[pic];[pic].

Используемый метод: метод хорд.

Контрольный пример: [pic] ;

Интервал [a,b]: [0,1].

Вариант: 2.2
Задание принял:
Число выдачи задания:
Число выполнения задания:
Проверил: Скворцов С.В.

Метод хорд.

Пусть дано уравнение [pic], где [pic] - непрерывная функция, имеющая в интервале (a,b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [a,b].

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке
[a,b] дугу кривой [pic]можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай
(рис.1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е.
[pic].

Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки
(a, f(a)) и (b, f(b)).

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

[pic]

Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:

[pic].

Пусть x1 - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то

[pic] x1 может считаться приближенным значением корня.

Аналогично для хорды, проходящей через точки [pic] и [pic], вычисляется следующее приближение корня:

[pic]

В общем случае формулу метода хорд имеет вид:

[pic]
(1)

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. [pic][pic], то все приближения к корню [pic] выполняются со стороны правой границы отрезка [pic] (рис.2) и вычисляются по формуле:

[pic]
(2)

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции [pic] и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка
[pic] изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (1) используется в том случае, когда [pic]. Если справедливо неравенство [pic], то целесообразно применять формулу (2).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением

Если обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке
[a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:

[pic] или [pic] где [pic]- заданная погрешность вычислений.

Список идентификаторов. a – начало отрезка, b – конец отрезка, eps – погрешность вычислений, x – искомое значение корня, min – модуль значения производной функции в начале отрезка, d – модуль значения производной функции в конце отрезка, x0 – точка, в которой мы ищем производную.

****************************************************************
Program kursovaia; uses crt;
Var a,b,eps,x,min: real;

{Вычисление данной функции}
Function fx(x:real): real; begin fx:=exp(x)-10*x; end;
----------------------------------------------------------------
{Функция вычисления производной и определение точности вычислений}
{Для определения точности вычисления берем значение 2-й производной в точке x*=[pic]}
Function proizv(x0,eps: real): real; var dx,dy,dy2: real; begin dx:=1;

Repeat dx:=dx/2; dy:=fx(x0+dx/2)-fx(x0-dx/2); dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4); dy2:=dy2+fx(5*x0/4-dx);

Until abs(dy2/(2*dx))1; utoch:=k; end;
----------------------------------------------------------------
{Процедура определения наименьшего значения производной на заданном промежутке}
Procedure minimum(a,b,eps: real; var min: real); var d: real; begin a:=a-eps; b:=b+eps;

Repeat a:=a+eps; b:=b-eps; min:=abs(proizv(a,eps)); d:=abs(proizv(b,eps));

If min>d Then min:=d

Until min 0 end;
----------------------------------------------------------------
{Процедура уточнения корня методом хорд}
Procedure chord(a,b,eps,min: real; var x:real);
Var x1: real; begin x1:=a;

Repeat x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1)); x1:=x

Until abs(fx(x))/mind

Да

Начало

chord(a,b,eps,min)

Конец

Нет

t:=k

Нет

Да

min=0

x1:=a

x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1))

x1:=x

Abs(fx(x))/min>=eps

Да

Нет

Конец

abs(dy/2(2*dx))>=eps

dy2:=dy2+fx(5*x0/4-dx)

dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4)

dy:=fx(x0+dx/2)-fx(x0-dx/2)

dx:=dx/2

dx:=1

Да

Нет

Начало

proizv(x0,eps)

Конец

fx(x)

Нет

Да

eps

Больше работ по теме: