Метод Гольдфарба

 

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный открытый университет

Чебоксарский политехнический институт

Кафедра

Управления и информатики в технических системах

Специальность 220201

Контрольная работа

по ТАУ

по теме

Метод Гольдфарба

2010 год

Задание на контрольную работу

Используя соотношение , вычислить параметры периодических решений в нелинейной САР (если они имеются) и определить их устойчивость.

№ варФамилия, имя, отчествоПараметры Тип F(x)Параметры F(x)41.Цветкова Наталья Вениаминовнаk=90; Т0=0.2 с.IIIс =20;

m = 0.25;

b= 2.

В качестве нелинейного элемента y = F(x) задан III тип - релейная характеристика с гистерезисной петлей.

Решение

система периодическое регулирование гольдфарб

Исследование системы проведем по методу гармонического баланса (метод Гольдфарба). Этот метод позволяет только определить наличие или отсутствие незатухающих колебаний в системе, т. е. в конечном итоге устойчивость системы.

Характеристическое уравнение для нелинейной САР замкнутой системы имеет вид:

(1)

Для графического решения характеристического уравнения его преобразуют к виду:

или (2)

Если на одном и том же чертеже и в одинаковых масштабах построить годографы и , то их пересечение будет означать наличие автоколебаний; при этом частоту автоколебаний можно получить из годографа , амплитуду - из годографа . Удобно проводить проверку системы на наличие автоколебаний в следующем порядке:

. Строим годограф (годограф Найквиста).

. Строим годограф функции . Передаточная функция может быть представлена в виде

, (3)

где функции и , называемые коэффициентами гармонической линеаризации, имеют следующий вид для нелинейного элемента:

(4)

Подставив и в (3) окончательно получим:

(5)

Получим уравнение для построения АФЧХ линейной части САР в разомкнутом состоянии:

(6)

Сделаем замену

(7)

Умножив числитель и знаменатель выражения (7) на комплексное число, сопряженное знаменателю, и отделяя вещественную и мнимую части, получим уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик:

(8)

Задаваясь значениями w от 0 до ? вычислим и (см. табл. 1.).

Таблица 1.

w00,514,551090,00090,67892,74429,8290,000-27,0000,000-4,580-9,661-182,628-180,000-0,046w501002003001000?-0,907-0,225-0,056-0,025-0,0020-0,006-0,0010000

Согласно (3), запишем выражение обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком:

Функция представляется в виде:

(9)

Подставив в (9) выражения для и и преобразовав получим:

Для заданных численных значений b и с составим таблицу 2. значений и при изменении а от 0 до ?.

b = 2, с = 20? (по условию)

Таблица 2.

а2510501000,000-0,057-0,122-0,624-1,250-0,025-0,025-0,025-0,025-0,025а5001000500010000?-6,250-12,500-62,500-125,000-?-0,025-0,025-0,025-0,025-0,025

Рис.1.

Для оценки возможности автоколебаний в системе и их устойчивости строим с помощью пакета Maple 7 графики амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части системы и обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком, в координатах Р и Q (рис.1.).

Рассмотрим график возле нуля, для этого изменим масштаб, как показано на рис. 2.

Рис. 2.

Рассмотрим взаимное положение годографов и :

. Если годографы не пересекаются, то в системе возникновение колебаний невозможно.

. Если годографы пересекаются в одной точке, то в системе возможны незатухающие колебания. Параметры автоколебаний w0 и а0 определяются точкой пересечения годографов: w0 по и а0 по .

. Если годографы пересекаются в двух точках, то это свидетельствует о наличие двух режимов автоколебаний: с большей и меньшей амплитудой. Режим с большей амплитудой соответствует предельному циклу устойчивых колебаний, режим с меньшей амплитудой существовать не может и потому называется неустойчивым.

Из нашего графика мы видим, что годографы пересекаются в одной точке, т.е. в системе возможны незатухающие колебания. С помощью пакета Maple 7 вычислим параметры периодических решений в нелинейной САР.

По методу Гольдфарба, если двигаться по линии в направлении возрастания амплитуды а, то точке выхода из контура, т.е. точке пересечения годографов, соответствует устойчивое периодическое решение.

Использованная литература

1. Воронов А.А. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления. Учеб. пособие для вузов. М., «Высшая школа», 1977

. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. - СПб, Изд-во «Профессия», 2003

. Федоренко А.А., Иванчура В.И. Теория автоматического управления: учеб. пособие. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004

Федеральное агентство по образованию Московский государственный открытый университет Чебоксарский политехнический институт Кафедра Управлени

Больше работ по теме: