Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

Белорусский государственный университет

Факультет прикладной математики и информатики

Кафедра вычислительной математики

Лабораторная работа №1

Тема: «Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений»

Подготовил: студент 2 курса 2 группы

Зинькович И.А.

Преподаватель: Самусенко А.В.

Минск

Теоретический материал

Пусть есть система:

Прямой ход состоит из n - 1 шагов исключения.

-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n. Предположим, что коэффициент a11 ¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага.

Найдем величины qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, …, n), называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, …, qn1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1,22(1)x2 + a23(1)x3 + … + a2n(1)xn = b2(1),32(1)x2 + a33(1)x3 + … + a3n(1)xn = b3(1),n2(1)x2 + an3(1)x3 + … + ann(1)xn = bn(1).

в которой aij(1) и bij(1) вычисляются по формулам

ij(1) = aij ? qi1a1j, bi(1) = bi ? qi1b1.

2-й шаг. Целью этого шага является ислючение неизвестного x2 из уравнений с номерами i = 3, 4, …, n. Пусть a22(1) ? 0, где a22(1) - коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага

i2 = ai2(1) / a22(1) (i = 3, 4, …, n)

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n-го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q32, q42, …, qm2. В результате получим систему

11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1,22(1)x2 + a23(1)x3 +… + a2n(1) xn = b2(1),33(2)x3 +… + a3n(2)xn = b3(2),n3(2)x3 +… + ann(2)xn = bn(2).

Здесь коэффициенты aij(2) и bij(2) вычисляются по формулам: aij(2) = aij(1) - qi2a2j(1), bi(2) = bi(1) - qi2b2(1).

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг.й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага akk(k-1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага qik = aik(k-1) / akk(k-1) (i = k + 1, …, n) и вычтем последовательно из (k + 1)-го, …, n-го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на qk+1,k, qk+2,k, …, qnk.

После (n - 1)-го шага исключения получим систему уравнений

11x1 +a12x2 +a13x3 +… +a1nxn =b1,22(1)x2 +a23(1)x3 +… +a2n(1)xn =b2(1),33(2)x3 +… +a3n(2)xn =b3(2),nn(n-1)xn =bn(n-1).

матрица A(n-1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим xn. Подставляя найденное значение xn в предпоследнее уравнение, получим xn-1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим xn-1, xn-2, …, x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам

n = bn(n-1) / ann(n-1),k = (bn(k-1) - ak,k+1(k-1)xk+1 - … - akn(k-1)xn) / akk(k-1), (k = n - 1, …, 1).

Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akk(k-1). Поэтому если один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.

линейный алгебраический уравнение гаусс

Условие задания

Решить методом Гаусса систему линейных уравнений Ax = b, где A = D + C*k. Матрицы D, C, b взяты из №41, k = 0,2.

Код программы (main.cpp)

#include <fstream>

#include <cmath>namespace std;round(double x) {(x < 0) ? ceil(x-0.5): floor(x+0.5);

}main(){SIZE;** A;** copy;* b;* result;* delta;k = 0.2;in("in.txt");>> SIZE;= new double*[SIZE];= new double*[SIZE];(int i = 0; i < SIZE; i++){[i] = new double[SIZE];[i] = new double[SIZE];

}** D = new double*[SIZE];(int i = 0; i < SIZE; i++)[i] = new double[SIZE];(int i = 0; i < SIZE; i++)(int j = 0; j < SIZE; j++)>> D[i][j];** C = new double*[SIZE];(int i = 0; i < SIZE; i++)[i] = new double[SIZE];(int i = 0; i < SIZE; i++)(int j = 0; j < SIZE; j++)>> C[i][j];(int i = 0; i < SIZE; i++)(int j = 0; j < SIZE; j++){[i][j] = D[i][j] + C[i][j] * k;[i][j] = A[i][j];

}= new double[SIZE];= new double[SIZE];= new double[SIZE];(int i = 0; i < SIZE; i++){>> b[i];[i] = b[i];

}(int i = 0; i < SIZE; ++i) {(A[i][i]!= 0) {[i] /= A[i][i];(int j = SIZE - 1; j >= i; --j) {[i][j] /= A[i][i];

}

} {0;

}(int j = i + 1; j < SIZE; ++j) {(int k = i; k < SIZE; k++) {(i == k);[j][k] -= A[j][i] * A[i][k];

}[j] -= result[i] * A[j][i];[j][i] = 0;

}

}(int j = SIZE - 1; j >= 0; j--){(int i = 0; i < j; i++){[i] -= A[i][j] * result[j];[i][j] = 0;

}

}out("out.txt");* f = fopen("out.txt", "w");(int i = 0; i < SIZE; i++){[i] = round(result[i] * 100000) / 100000;

}(int i = 0; i < SIZE; i++)(f, "%.5lf\n", result[i]);(int i = 0; i < SIZE; i++) (int j = 0; j < SIZE; j++) {sum = 0; (int k = 0; k < SIZE; k++) += copy[i][k] * result[k];[i] = abs(b[i] - sum);

}(int i = 0; i < SIZE; i++)(f, "\n%.10lf", delta[i]);(f);

}

В результате получили X:

.9169573287

.2508817999

.1237128647

.0277923094

.0872656987

.2322239583

Округляя до пяти знаков после запятой:

.91696

.25088

.12371

.02779

.08727

.23222

При вычислении AX - B, где X - округлённые данные, получим:

.0000061000

.0000061000

.0000057000

.0000022000

.0000035000

.0000031000

Больше работ по теме: