Матричный метод решения линейных уравнений. Аналитическая геометрия

 

Содержание

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 1

Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);

в) методом Гаусса.

.

Решение

1)Вычислим:

- система совместна;

Найдем x, y, z по формулам Крамера:

.

Иак, получаем ответ (3;-2;1).

2)Составляем матричное уравнение ,

где , , .

Найдем все алгебраические дополнения матрицы A:

Составляем матрицу и транспонируем ее:

.

Запишем обратную матрицу:

.

Следовательно,

.

Итак, получаем ответ (3;-2;1)

3)Решим систему методом Гаусса:

.

Тогда

Ответ: (3;-2;1).

Задание 2

По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти:

а) модуль вектора ; б) скалярное произведение векторов и ; в) проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении : , и , , , , , , .

Решение

Найдем векторы

,

,

1).

2).

3)Проекция вектора на вектор равна:

.

Тогда .

4)Координаты точки М, делящей отрезок l в отношении , находятся по формулам:

,

,

.

Значит, M(;;).

Задание 3

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, найти координаты вектора в этом базисе: (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0), (33;-4;23;3).

Решение

Векторы (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0) образуют базис, так как:

.

Обозначим координаты вектора в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:

.

,

получим систему уравнений:

.

Вычислим:

- система совместна;

Найдем x, y, z, q по формулам Крамера:

;

.

Итак, получаем ответ .

Задание 4

Даны вершины , и треугольника.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж.

Решение

Рисунок 1

1);

2); .

По теореме косинусов:

.

Тогда угол A равен 29,5.

3)Уравнение стороны АВ запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки А(), В():

.

Тогда .

Уравнение прямой АВ примет вид: .

Так как СН перпендикулярна АВ, то .

Тогда .

4)Так как CM - медиана, то точка M - середина AB. Значит,

, или .

Уравнение прямой CM примет вид: .

5)Уравнение стороны АС запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки А(), С():

.

Тогда .

Уравнение прямой АС примет вид:

.

Так как BK перпендикулярна АC, то

.

Тогда .

уравнение матрица предел производный

Прямые BK и CH пересекаются в точке O, найдем ее координаты. Для этого решим систему:

.

Тогда O(0;5) - точка пересечения высот исходного треугольника.

6)Прямые AB и CH пересекаются в точке H, найдем ее координаты. Для этого решим систему:

.

Тогда H().

Значит, .

7)Уравнение стороны BС запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки B(), С():

.

Тогда .

Уравнение прямой BС примет вид:

.

Cистемa линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС, примет вид:

.

Задание 5

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к этому отрезку, если , .

б) Найти координаты точки пересечения прямой

с плоскостью .

Решение

а) ;

;

уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно вектору (отрезку ).

б) ;

t=-2

Отсюда координаты точки пересечения прямой и плоскости (-3;-4;0).

Задание 6

Найти пределы:

а) ;

б)

;

в) ;

г) .

Задание 7

а) Найти производные указанных функций:

;

б) Найти производную неявно заданной функции:

;

;

;

;

в) Найти производные функций, используя логарифмическую производную:

;

.

Задание 8

Исследовать функцию и построить ее график: .

Решение

1.Область определения функции .

2.Функция ни четная, ни нечетная; непериодическая.

.График функции пересекает ось Oy в точке , точки пересечения с Oх - ; .

.Производная функции равна . Точки, подозрительные на экстремум: ; x=0, х=2.

При , тогда функция возрастает;

при - функция убывает;

при , тогда функция возрастает.

Следовательно, в точке функция достигает своего максимума ; в точке функция достигает своего минимума .

5.. Вторая производная существует всюду и всюду конечна: она обращается в нуль при .

При - функция выпуклая, при - функция вогнутая. При переходе через точку вторая производная меняет знак, значит, в соответствующей точке имеется перегиб.

6.Функция не имеет асимптот.

7.Инструментами программы MathCad построим график заданной функции:

Задание 9

Мотком проволоки длиною 20 м требуется огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. При каком радиусе круга площадь клумбы будет наибольшей?

Решение

Площадь клумбы (кругового сектора) равна

,

где .

Длина дуги, ограничивающей сектор, равна .

Тогда .

Отсюда .

Получаем функцию

.

Вычислим производную первого порядка:

.

Найдем R из уравнения

: .

При ,

тогда функция возрастает;

при - функция убывает. Следовательно, в точке функция достигает своего максимума .

Таким образом, радиус круга должен быть равен 5 м, чтобы площадь клумбы была наибольшей.

Ответ: 5 м.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. - М., 1977, 872 с. с илл.

2.Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. - М.: Издательство «Наука» (Главная редакция физико-математической литературы), 1966. - 576 с. с илл.

3.Гусак, А.А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. - Мн.: ТетраСистемс, 1998.

.Гусак, А.А. Справочное пособие по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова - 4-е изд. Стереотип. - Мн.: ТетраСистемс, 2002.

5.Кузнецов, А.В., Кузнецова, Д.С., Шилкина. Е.И. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Общий курс. Учебное пособие. Мн., Выш. шк., 1994 г. 284 с.

.Руководство к решению задач по высшей математике: Учеб. пособие . В 2ч. Ч.1,2 / Г.И. Гурский, В.П. Домашов, В.К. Кравцов, А.П. Сильванович; Под общ.ред. Г.И. Гурского - Мн.: Высш.шк., 1990.

Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7 Задание 8 Задание 9 Задание 1

Больше работ по теме: