Верховная математика к/р

Содержание

Контрольная служба,задания из методички № 244, 254, 264, 274, 294, 304, 314, 324, 334, 344, 354,

Выдержка

244. Отыскать неопределенные интегралы. Итоги испытать дифференцированием.
а); б).
Заключение:
а).
б)применяем формулы: - для преображения подынтегральной функции и дальше производим интегрирование сообразно долям:

.

254. Отыскать неопределенные интегралы.
а); б); в).
Заключение:
а)
Разложим подынтегральную функцию на простые дроби с поддержкой способа неопределенных коэффициентов:


приравнивая коэффициенты при переменной х с схожими степенными показателями в числителях первой дроби и крайней дроби равенства, получим:

итак, , тогда:

.

б)Тут станем применять всепригодную тригонометрическую подстановку:

.

в)



264. Вычислить площадь фигуры, ограниченной последующими чертами:
, .
Заключение:
найдем точки пересечения данных рядов:

, тогда .

Тогда разыскиваемая площадь: беря во внимание, что сверху фигуру ограничивает линия , а конкретно , т. к. в главном квадранте, а исподнизу фигуру ограничивает линия , т. е. , при этом переменная :


274. Вычислить длину дуги полукубической параболы расположенной во другом квадранте.

Заключение: найдем точки пересечения с осью Ох, учтем, что для другого квадранта


С осью Ох: =0, следственно, , следственно, для предоставленной косой во другом квадранте .
Длина косой располагаться сообразно формуле:

Обретаем: , тогда:



294. Вычислить несобственный интеграл либо обосновать его расходимость.
.
Заключение:


304. а)Постановить задачку Коши для дифференциального уравнения главного распорядка. б)отыскать сплошное заключение дифференциального уравнения другого распорядка.

а); б).

Заключение:
а)
рассмотрим дифференциальное уравнение

разделим обе доли уравнения на х:

сделаем подстановку , тогда
Получим:

- крайнее уравнение с разделяющимися переменными.
Деля переменные, получим:

Интегрируем крайнее сходство:


Тогда, т. к. , приобретаем сплошное заключение предоставленного дифференциального уравнения главного распорядка:
, в каком месте С-const.
Дальше, сообразно условию задачки Коши: , тогда:

Следственно, искоое заключение задачки Коши:
либо .

б)
сделаем подстановку , получим:

Осмотрим однородное уравнение: - оно с разделяющимися переменными:

Интегрируем:

- сплошное заключение однородного уравнения. Для такого чтоб отыскать сплошное заключение уравнения исходного положим , тогда , подставляя в уравнение:


тогда , в каком месте . Итак, сплошное заключение уравнения :
=.
Дальше, т. к. , то:

следовательно:
.
Разыскиваемое заключение: , в каком месте .


314. Отыскать личное заключение дифференциального уравнения другого распорядка, удовлетворяющее этим начальным условиям.
, .

Заключение:
Найдем сплошное заключение данного дифференциального уравнения, станем его находить в облике:
, в каком месте - сплошное заключение соответственного однородного уравнения, - хоть какое личное заключение.
Осмотрим поначалу соответственное однородное дифференциальное уравнение:

характеристическим уравнением для него станет:
Тогда сплошное заключение однородного уравнения соответственное отысканным корням характеристического уравнения:
.
Личное заключение станем находить в облике: , тогда и , подставляя в уравнение получим:

, поделим обе доли уравнения на , т. к.

следовательно, личное заключение владеет разряд: .
Итак, сплошное заключение дифференциального уравнения :
.
Дальше, сообразно условию , потому получим:
.
Обретаем :
, тогда:
.
Следственно, разыскиваемое заключение:
.


324. Понятно, что базарный спрос Q и предписание S на некий продукт линейно зависят от цены p:
, , в каком месте a, b, c, d некие позитивные неизменные. Изучение базара показало, что прыть конфигурации цены пропорциональна превышению спроса над предписанием с коэффициентом пропорциональности .
1. Напишите дифференциальное уравнение, описывающее подневольность цены p от времени t, и решите его при условии, что начальная стоимость продукта имела смысл .
2. Покажите, что стоимость с течением времени жаждет к равновесному значению . Отыщите и постройте график процесса установления равновесия.



Заключение:
итак, сообразно условию задачки:

1. Т. к. изучение базара показало, что прыть конфигурации цены пропорциональна превышению спроса над предписанием с коэффициентом пропорциональности , то:
=
т. е. :

Решим приобретенное дифференциальное уравнение при условии, что :
- уравнение с разделяющимися переменными, тогда



при условии, что получим: , итак:
.

2. Покажем, что стоимость с течением времени жаждет к равновесному значению :

Равновесная стоимость определяется из уравнения:
, т. е.

Вправду,
Построим график процесса установления равновесия во времени: для этого строим кривые
и

График же развития равновесия при изменении цены p:



334. Изучить сходимость числового ряда.
а); б).

Заключение:
а)
Совместный член ряда:
по признаку сходимости Даламбера:
, следственно, разряд сходится.

б) - знакопеременный разряд. Совместный член ряда
Сообразно признаку Лейбница:
1)(модули членов ряда однообразно убывают)
2)(граница модуля всеобщего члена равен нулю).
оба условия выполняются, следственно, разряд сходится. Определим сейчас нрав сходимости:
рассмотрим модуль-ряд: - разряд расползается, т. к. сообразно другому признаку сопоставления, применяя правильный разряд , который расползается, получим:

- хороший от нуля окончательный граница.
Потому разряд сходится условно.


344. Отыскать область сходимости степенного ряда.
.

Заключение:
по признаку Даламбера получим:

ряд сходится, ежели :

Т. о. область сходимости ряда . Исследуем разряд на концах промежутка сходимости:
1)при получим разряд: - знакочередующийся разряд. .
Сообразно признаку Лейбница:
модули членов ряда однообразно убывают: и граница модуля всеобщего члена ряда: . Следственно, разряд сходится. Определим нрав сходимости. Исследуем соответственный часть - разряд на сходимость с поддержкой интегрального признака:
т. к. , тогда и разряд сходится и потому разряд сходится полностью.
2)при получим разряд - разряд сходится.
Итак, степенной разряд сходится при , а при сходится полностью.


354. Вычислить установленный интеграл с точностью по 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной разряд и потом проинтегрировав его почленно.

.

Заключение:
воспользуемся разложением функции

тогда

и следственно деление подынтегральной функции владеет разряд:
=
Тогда интеграл:

Литература

недостает

Больше работ по теме: