Математические основы финансов
Математические основы финансов
План
I. Понятие временной стоимости денег
II. Базовые понятия финансовой математики
2.1 Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок
2.2 Эквивалентность процентных ставок
2.3 Учет инфляционного обесценения денег
2.4 Аннуитеты
2.5 Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по операциям с ценными бумагами
Литература
I. Понятие временной стоимости денег
стоимость процентный ставка доходность
Временная стоимость денег (англ. time value of money) - одно из самых важнейших понятий в финансах. Отцом понятия является Леонардо Фибоначчи; разработал он его в 1202 году. Временная стоимость денег гласит, что деньги должны приносить прибыль; таким образом сумма сейчас стоит больше, чем эта же сумма потом, т.к. вложенная сейчас сумма принесет прибыль потом.
Для того чтобы лучше понять временную стоимость проведем несложные расчеты:
Возьмем к примеру два человека: Серик и Берик. Исходная сумма (англ. present value) составит 5 000 $. Серик решил взять эти деньги потом, через пять лет, А Берик сейчас и положил их допустим на депозит под 12% годовых, допустим, под простую ставку. Посчитаем реальную стоимость денег Серика на данный момент с учетом того, что он решил взять деньги через пять лет. Конечно, в нашем примере, мы можем посчитать лишь виртуальную исходную сумму Серика, т.к. сейчас он ничего не получал. Но вычисление исходной суммы (пусть и виртуальной) позволит нам понять, сколько Серик получил бы сейчас, если бы он был мудрым, как Берик, чтобы получить в конце периода наращенную сумму в 5000. Иными словами, сколько надо иметь сейчас, чтобы вложить и через пять лет получить 5000? Годовая процентная ставка в нашем примере неизменна и составляет 12%.
= 5000/(1+0,12·5) = 5000/1,6 = 3125
Таким образом, получается, что выбор второго варианта (сумма потом) просто равен получению 3125 сейчас. Теперь главный вопрос: что лучше, 3125 сейчас или 5000 потом? То есть взять 5000 потом, это то же самое, что взять 3125 сейчас. И это даже с учетом того, что мы не учитываем инфляцию.. Базовые понятия финансовой математики
Проценты - доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты), либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Процентная ставка - величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Наращение первоначальной суммы долга - это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).
Множитель (коэффициент) наращения - величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления - промежуток времени, за который начисляют проценты (получается доход).
Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Декурсивный метод начисления (ссудный процент) - проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Ссудный процент представляет собой отношение начисленной суммы за определенный интервал к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный способ начисления (учетная ставка) - проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Учетная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал начисления к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
Простая процентная ставка - процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления.
Сложная процентная ставка - по прошествии каждого интервала начисления в следующем интервале проценты начисляются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов.
Возьмем для понимания декурсивный метод начисления по простой ставке. Допустим, взят кредит на сумму 10 000 $, на срок 36 месяцев, при простой годовой ссудной ставке 10%.
То есть S= 10000*(1+3*0,1) = 10000* 1,3=13000
Проценты это разница между вложенным капиталом и наращенной суммой - 3000
Процентная ставка - 10%
Наращение первоначальной суммы 13 000
Коэффициент наращения 1,3
Период - 36 месяцев
Интервал начисления - 1 год
2.1 Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок
ПРОСТАЯ СЛОЖНАЯ Наращенная сумма ДЕКУРСИВНАЯ
В случае если на разных интервалах начисления применяются различные процентные ставки, то используется следующая формула:
В конце первого интервала:
В конце первого интервала:
и т.д.,
следовательно, общая сумма процентного дохода будет равна:
И наращенная сумма будет составлять:
При начислении сложной ссудной ставки используется принцип начисления на сумму долга+проценты начисленные в предыдущих интервалах, или иными словами начисления «процентов на проценты»:
(в первый год)
(во второй год)
(в третий год)
и т.д.
В конце периода начисления наращенная сумма составит:
Или при интервале начисления отличным от года(квартал, месяц, день):
При непрерывном наращивании процентов, то есть когда m стремится к бесконечности (срок неограничен), а продолжительность интервала начисления стремится к нулю, т.е. интервал начисления неограничен:
В случае если процентные ставки разные в различные интервалы начисления, то:
на первом интервале начисления;
на втором интервале; и т.д.
тогда наращенная сумма на конец периода составит::
Операция дисконтирования
Коэффициент наращения Определение срока (периода )
Для нахождения неизвестной данной находящейся в степени находим натуральные логарифмы:
или в случае сложной ставки с интервалом начисления отличным от года:
Определение процентной ставки
в случае сложной ставки с интервалом начисления отличным от года:
Правило 69/72 Наращенная сумма ;
где «» фактически получаемая сумма, а «» дисконт взимаемый в самом начале интервала, тогда:
При начислении сложной учетной ставки так же используется принцип начисления на сумму долга+проценты, начисленные в предыдущих интервалах, или иными словами, начисления «процентов на проценты»:
по прошествии первого интервала;
по прошествии второго интервала;
и т.д.
аналогично случаю сложных ссудных процентов наращенная сумма на конец периода составит:
И в случае интервала начисления отличного от года:
Сумма дисконта Операция дисконтирования Коэффициент наращения
-коэффициент дисконтирования;
в случае если число интервалов начисления не представляет собой точное число:
Определение срока (периода )
Для нахождения неизвестной данной находящейся в степени находим натуральные логарифмы:
В случае интервала начисления отличным от года:
Определение процентной ставки
Избавляемся от степени путем возведения обеих частей в ;
Или в случае интервала начисления отличным от года аналогично:
- относительная величина ссудной ставки %
- относительная величина учетной ставки %
- период начисления
- интервал начисления
- общая сумма процентных денег на период начисления
- первоначальный капитал/денежная сумма
- наращенная сумма
- коэффициент наращения
- номинальная годовая ставка
.2 Эквивалентность процентных ставок
Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, использование которых дают одинаковые финансовые результаты при одинаковых начальных условиях.
) Эквивалентность простых учетных и ссудных ставок
При условии одинаковых условий, т.е. срока, первоначальной суммы, эквивалентная процентная ставка определяется:
В случае определения эквивалентной учетной ставки:
) Эквивалентность простых и сложных ссудных ставок
Составим уравнение эквивалентности для определения эквивалентной простой ссудной ставки при данной сложной учетной ставке:
В случае если дана простая ссудная ставка, а необходимо определить эквивалентную ей сложную учетную ставку, то:
В том случае, если интервал начисления по сложной ссудной ставке отличен от года, то простая ссудная ставка определяется следующим образом:
В случае противоположном этому, когда дана простая ссудная ставка процентов, а необходимо определить эквивалентную ей сложную ссудную ставку с интервалом начисления отличным от года, то используется следующее уравнение эквивалентности:
3) Если необходимо определить сложную ссудную ставка с интервалом начисления в 1 год, эквивалентную сложной ссудной ставке, но с иным интервалом начисления, отличным от года, то используется следующее уравнение эквивалентности:
Данная ставка именуется эффективной ставкой сложных процентов.
) Эквивалентность сложных учетной и ссудной ставки
При определении данной сложной учетной ставки эквивалентная сложная ссудная ставка будет определяться как:
Возводим обе части уравнения в :
В ином случае, когда дана сложная ссудная ставка процентов, а необходимо определить эквивалентную ей сложную учетную ставку процентов, то используется следующая формула:
5) Уравнивающая ставка. Рассмотрим случай, когда нам нужно определить что выгодней заплатить большую сумму, но позже, или меньшую сумму, но раньше. Т.е. при условии, что и , необходимо узнать что выгодней нам, заплатить через , или заплатить меньшую сумму , но раньше, через . Т.е. для принятия такого решения, нужно определить современные величины этих значений. И в таких случаях определяется уравнивающая ставка, которая выражает тот случай, когда современные величины обоих значений совпадут т.е. :
;
Тогда определим уравнивающую ставку, удовлетворяющую условию :
т.е. при всех , или сложной ставке меньшей, чем уравнивающая, будет выгодней взять меньшую сумму на меньший срок, а в случае следует использовать вариант с большей суммой и на больший срок.
2.3 Учет инфляционного обесценения денег
Темп инфляции
Наращенная сумма с учетом инфляции будет равна:
Индекс инфляции
в случае, если период начисления нецелое число;
в случае, если задан уровень инфляции за интервал меньше года.
Формула Фишера:
Значение является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь.
Ссудные ставки с учетом инфляции
Простая ссудная ставка с учетом инфляции:
Сложная ссудная ставка процентов с погодичным интервалом начисления с учетом инфляции:
Сложная ссудная ставка процентов с интервалом начисления, отличным от года, с учетом инфляции:
Учетные ставки с учетом инфляции
Простая учетная ставка с учетом инфляции:
Сложная учетная ставка процентов с погодичным интервалом начисления с учетом инфляции:
Сложная учетная ставка процентов с интервалом начисления, отличным от года, с учетом инфляции:
.4 Аннуитеты
Аннуитет (финансовая рента) - поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет.
Аннуитет постнумерандо (обыкновенный) - платежи осуществляются в конце интервалов
Наращенная сумма всего аннуитета:
Сумма первого платежа, на который будут начисляться проценты, составит:
;
Для второго платежа проценты будут начисляться на один год меньше:
; и т.д.
На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются:
; тогда общая наращенная сумма будет составлять сумму всех платежей :
т.е.:
Используем математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:
Где сумма членов геометрической прогрессии или общее количество платежей, первый член прогрессии , а , тогда:
Т.е. коэффициент наращения для аннуитета постнумерандо составляет:
Современное значение каждого платежа
Следовательно, современная величина всего аннуитета:
Снова используем формулу определения суммы членов геометрической прогрессии:
;
Где опять же сумма членов прогрессии или сумма современных значений каждых из платежей, а . Тогда для получаем выражение:
То есть современная величина всего аннуитета составит
Определим взаимосвязь наращенной и современной сумм аннуитета:
Определение размера очередного платежа:
Срок аннуитета:
Для определения аннуитета пренумерандо нужно формулы наращенной суммы или современной стоимости аннуитета постнумерандо умножать на :
Коэффициент наращения для аннуитета пренумерандо составит:
И соответственно коэффициент приведения для аннуитета пренумерандо:
Каждая современная величина аннуитета пренумерандо будет больше на , т.к. дисконтирование аннуитета постнумерандо по заданной ставке проводиться на один раз меньше, чем у аннуитета пренумерандо. Т.е. современная величина всего аннуитета пренумерандо составит:
Вечные аннуитеты (когда срок аннуитета не ограничен):
Постнумерандо:
Пренумерандо:
При увеличении аннуитета с каждым интервалом на определенную величину ,
т.е. платежи представят собой следующий ряд:
Наращенная сумма всего аннуитета тогда составит:
Умножим обе части на
Видно, что часть равенства представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где отсюда мы получаем:
Найдем современное значение аннуитета А:
,
Умножим обе части на , тогда получим:
Т.е. верна формула взаимосвязи наращенной и современной сумм аннуитета:
, откуда:
Конверсия аннуитетов, т.е. изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному, то есть их современные величины равны к одному и тому же моменту времени:
, тогда:
.5 Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по операциям с ценными бумагами
Долговые ценные бумаги обычно имеют фиксированную процентную ставку и являются обязательством выполнить полную сумму долга с процентами на определенную дату в будущем. По дисконтным долговым ценным бумагам доход представляет собой скидку с номинала.
Долевые ценные бумаги представляют собой непосредственную долю держателя в реальной собственности и обеспечивают получение дивиденда в неограниченное время
Расчет доходности по облигациям:
Курс облигаций:
Доход по облигации
Ссудная ставка, эквивалентная доходу по облигациям:
Расчет доходности по акциям
Валовый доход от покупки акций
который состоит из:
Доход от дивидендов: (срок * величина дивидендов * номинал)
-разница между покупной и продажной ценами акции
Ссудная ставка, эквивалентная доходу от акции
Литература
1.Андрюшин С., Кузнецова В. Приоритеты денежно-кредитной политики центральных банков в новых условиях // Вопросы экономики. - 2011. - № 6. - С. 57 - 59.
.Ануреев С.В. Денежно-кредитная политика, диспропорции и кризисы. - М.: Кнорус, 2009. - 448 с.
.Баликоев В.З. Общая экономическая теория. - М.: Омега-Л, 2011. - 688 с.
.Гусейнов Р.М., Семенихина В.А. Экономическая теория. - М.: Омега-Л, 2009. - 448 с.
.Жученко О.А. Инструменты денежно-кредитной политики и их использование // Вестник государственного гуманитарного университета. - 2009. - № 3. - С. 65 - 73.
.Коршунов Д.А. О построении модели общего равновесия для экономики России // Деньги и кредит. - 2011. - № 2. - С. 56 - 67.
.Криворотова Н.Ф., Урядова Т.Н. Актуальные проблемы денежно-кредитной политики России // Terra Economicus. - 2012. - № 3. - С. 24 - 26.
.Лукша Н. Инфляция и денежно-кредитная политика // Экономико-политическая ситуация в России. - 2012. - № 12. - С. 9 - 11.
.Малхасян А.М. Направления совершенствования денежно-кредитной политики Российской Федерации // Финансы и кредит. - 2012. - № 43. - С. 51 - 62.
.Матовников М.Ю. К вопросу об инструментах денежно-кредитной политики // Деньги и кредит. - 2012. - № 1. - С. 32 - 34.
.Милюков А.И., Пенкин С.А. Денежно-кредитная политика как фактор роста российской экономики // Банковское дело. - 2011. - № 9. - С. 21 - 24.
.Улюкаев А.В. Новые вызовы денежно-кредитной политики // Деньги и кредит. - 2012. - № 11. - С. 3 - 5.
.Челноков В.А. К вопросу о сущности, функциях и роли современных денег // Деньги и кредит. - 2010. - № 5. - С. 68 - 70.
.Экономическая теория / Под ред. В.Д. Камаева. - М.: Владос, 2007. - 592 с.
.Экономическая теория / Под ред. Е.Н. Лобачевой. - М.: Юрайт, 2011. - 522 с.
Больше работ по теме:
Предмет: Эктеория
Тип работы: Курсовая работа (т)
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ