Математические финансовые вычисления

 

Финансовая математика

Финансовая эквивалентность обязательств

Существует обязательство произвести платежи через 6 лет; первоначальная сумма долга 2 млн. руб. Проценты начисляются ежегодно по ставке 4%. Стороны согласились пересмотреть соглашение. Обязательство будет погашено следующим образом: через 2 года производится выплата 500 тыс. руб., через следующие три года выплата 800 тыс.руб.; остальной долг гасится через 8 лет после начала обязательства.

Необходимо определить сумму окончательного платежа.

Для решения задачи при составлении уравнения эквивалентности использовать момент выплаты 500 тыс. руб.

Решение. Расчёт суммы нового платежа определяется на основе уравнения эквивалентности:

, где

- ряд заменяемых платежей со сроками nj;

Sq - платежи со сроками nk, предусматриваемые новыми условиями;

V - дисконтный множитель.

Для решения задачи при составлении уравнения эквивалентности используем момент выплаты 500 тыс. руб.(конец второго года):

, где

S - искомая сумма окончательного платежа.

По данным задачи тыс. руб., тыс. руб., тыс. руб.,

i = 4% = 0,04, , получим следующее уравнение:

, откуда

тыс.руб.

Ответ: сумма окончательного платежа 1 204,587 тыс.руб.

Оценка денежных потоков

Три ренты постнумерадно - немедленные, годовые - заменяются одной отложенной на 2 года рентой постнумерандо. Согласно договорённости заменяющая рента имеет срок 7 лет, включая отсрочку. Характеристика заменяемых рент: R = 150, 200, 250 тыс. руб., сроки этих рент: 5, 7, 9 лет. Ставка сложных процентов 8%.

Определить размер члена заменяющей ренты.

Решение. При консолидации постоянных дискретных аннутиентов уравнение эквивалентности имеет вид:

, где

- современная стоимость заменяющей ренты;

Aq - современная стоимость q-й заменяемой ренты.

Найдём современные стоимости заменяемых рент по формуле:

, где

- член ренты;

- коэффициент приведения ренты;

- ставка начисляемых процентов;

n - срок ренты.

По данным задачи тыс. руб., тыс. руб., тыс. руб., i = 8% = 0,08, лет, лет, лет, получим

тыс. руб.;

тыс. руб.;

тыс. руб.

Современную стоимость заменяющей ренты найдём по формуле:

, где

- современная стоимость ренты на начало выплат;

i - ставка начисляемых процентов;

n - срок ренты;

V - дисконтный множитель по ставке i;

t - срок, на который откладывается рента.

Подставив данные i = 0,08, t = 2 года, n = 7 лет, получим уравнение эквивалентности

, откуда

тыс. руб.

Ответ: член заменяющей ренты равен 717,333 тыс.руб.

Измерение доходности финансовых операций

Сертификат с номиналом 200 тыс. руб. с объявленной доходностью 10% годовых (простые проценты) сроком 540 дней. Куплен за 210 тыс. руб. за 210 дней до его оплаты. Какова доходность операции в виде сложной ставки процентов?

Решение. Эффективность финансового инструмента, приносящего простые проценты, в случае, если он покупается после выпуска и погашается в конце срока, в виде сложной процентной ставки вычисляется по формуле:

, где

Р1 - номинал;

P2 - цена продажи;

- сроки до погашения;

k - временная база (количество дней в году).

По данным задачи тыс. руб., тыс. руб., i = 10% = 0,1, дней, дней, временную базу возьмём k = 365 дней, тогда

= 1,1677 - 1 = 0,1677 = 16,77%

Ответ: доходность операции в виде сложной процентной ставки равна 16,77%.

Полная доходность различных видов облигаций

Доходность облигаций характеризуется несколькими показателями. Различают купонную (coupon rate), текущую (current, running yield) и полную доходность (yield to maturity, redemption yield, yield).

Купонная доходность определена при выпуске облигации, и, следовательно, нет необходимости ее рассчитывать. Текущая доходность характеризует отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации. Этот параметр не учитывает второй источник дохода - получение номинала или выкупной цены в конце срока. Поэтому он непригоден при сравнении доходности разных видов облигаций. Достаточно отметить, что у облигаций с нулевым купоном текущая доходность равна нулю. В то же время они могут быть весьма доходными, если учитывать весь срок их "жизни".

Наиболее информативным является показатель полной доходности, который учитывает оба источника дохода. Именно этот показатель пригоден для сравнения доходности инвестиций в облигации и другие ценные бумаги. Итак, полная доходность, или, если применить старую коммерческую терминологию, ставка помещения, измеряет реальную эффективность инвестиций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов. Иначе говоря, начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения облигации полностью обеспечивает выплату купонного дохода и сумму для погашения облигации в конце срока.

Рассмотрим методику определения показателей доходности различных видов облигаций.

Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов. При анализе данного вида облигаций выплату номинала в необозримом будущем во внимание не принимаем.

Введем следующие обозначения:

g - объявленная норма годового дохода (купонная ставка процента);

it - текущая доходность;

i - полная доходность (ставка помещения).

Текущая доходность находится следующим образом:

. (1)

Если по купонам выплата производится р раз в году (каждый раз по ставке g/p), то и в этом случае на практике применяется формула (1), хотя суммирование доходов, выплачиваемых в разные моменты времени, строго говоря, некорректно.

Поскольку купонный доход постоянен, то текущая доходность продаваемых облигаций изменяется вместе с изменением их рыночной цены. Для владельца облигации, который уже инвестировал некоторые средства, эта величина постоянна.

Перейдем к полной доходности. Поскольку доход по купонам является единственным источником текущих поступлений, то очевидно, что полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда выплаты по купонам - ежегодные: i = it. Если же проценты выплачиваются р раз в году (каждый раз по норме g/p), то получим

(2)

Пример 1. Вечная рента, приносящая 4,5% дохода, куплена по курсу 90. Какова финансовая эффективность инвестиции при условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально (p = 4)?

.

Облигации без выплаты процентов. Данный вид облигации обеспечивает ее владельцу в качестве дохода разность между номиналом и ценой приобретения. Курс такой облигации всегда меньше 100. Для определения ставки помещения приравняем современную стоимость номинала цене приобретения:

, или ,

где n - срок до выкупа облигации. После чего получим

. (3)

Пример 2. Корпорация X выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через пять лет. Курс реализации - 45. Доходность облигации на дату погашения

финансовый доходность облигация денежный

,

т.е. облигация обеспечивает инвестору 17,316% годового дохода.

Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока. Проценты здесь начисляются за весь срок и выплачиваются одной суммой (lump sum) вместе с номиналом. Купонного дохода нет. Поэтому текущую доходность условно можно считать нулевой, поскольку соответствующие проценты получают в конце срока.

Найдем полную доходность, приравняв современную стоимость дохода цене облигации:

, или .

Из последней формулы следует, что

. (4)

Если курс облигации меньше 100, то i > g.

Пример 3. Облигация, приносящая 10% годовых относительно номинала, куплена по курсу 65, срок до погашения - три года. Если номинал и проценты выплачиваются в конце срока, то полная доходность для инвестора составит

, или 26,956%.

Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Этот вид облигаций получил наибольшее распространение в современной практике. Для такой облигации можно получить все три показателя доходности - купонную, текущую и полную. Текущая доходность рассчитывается по полученной выше формуле (2). Что касается полной доходности, то для ее определения необходимо современную стоимость всех поступлений приравнять цене облигации. Дисконтированная величина номинала равна Nvn. Поскольку поступления по купонам представляют собой постоянную ренту постнумерандо, то член такой ренты равен gN, а современная ее стоимость составит gNan;i (если купоны оплачиваются ежегодно) и , если эти выплаты производятся р раз в году (каждый раз по ставке g/p). В итоге получим следующие равенства:

- для облигации с годовыми купонами

(5)

Разделив на N, находим

(6)

- для облигации с погашением купонов по полугодиям и поквартально получим

(7)

где - коэффициент приведения p-срочной ренты (р = 2, р = 4).

Во всех приведенных формулах vn означает дисконтный множитель по неизвестной годовой ставке помещения i.

В зарубежной практике, однако, для облигаций с полугодовыми и квартальными выплатами текущего дохода для дисконтирования применяется годовая номинальная ставка помещения, причем число раз дисконтирования в году обычно принимается равным числу выплат купонного дохода. Таким образом, исходное для расчета ставки помещения равенство имеет вид

(8)

где i - номинальная годовая ставка;

рп - общее количество купонных выплат; g - годовой процент выплат по купонам.

При решении приведенных выше равенств относительно неизвестной величины i сталкиваются с такими же проблемами, что и при расчете i по заданной величине коэффициента приведения ренты. Искомые значения ставки помещения рассчитываются или с помощью интерполяции, или каким-либо итерационным методом.

Оценим i с помощью линейной интерполяции:

(9)

где i' и i" - нижнее и верхнее значения ставки помещения, ограничивающие интервал, в пределах которого, как ожидается, находится неизвестное значение ставки;

K', K" - расчетные значения курса соответственно для ставок i', i". Интервал ставок для интерполяции определяется с учетом того, что i > g при K < 100.

Можно применить и метод приближенной оценки, согласно которому

. (10)

В этой формуле средний годовой доход от облигации соотносится со средней ее ценой. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерей точности оценки.

Пример 4. Облигация со сроком пять лет, проценты по которой выплачиваются один раз в году по норме 8%, куплена по курсу 97.

Текущая доходность по облигации 8/97 = 0,08247.

Для оценки полной доходности запишем исходное равенство (6):

,97 = (1 + i)-5 + 0,08a5; i.

Для интерполяции примем следующие значения ставок: i' = 0,085, i" = 0,095. Согласно (6) находим

;

.

Отсюда

.

Для проверки рассчитаем курс для ставки помещения 8,77%. Получим

.

Как видим, расчетный курс весьма близок к рыночному - 97. Приближенное решение по (10) дает

,

что соответствует рыночному курсу 97,2. Погрешность выше, чем при использовании линейной интерполяции.

Облигации с выкупной ценой, отличающейся от номинала. В этом случае проценты начисляются на сумму номинала, а прирост капитала равен С - Р, где С - выкупная цена. Соответственно при оценке ставки помещения необходимо внести соответствующие коррективы в приведенные выше формулы. Например, внеся коррективы в (5) и (6), получим

; (11)

, (12)

а вместо (10)

. (13)

Пример 5. Сравним по доходности две облигации с ежегодными выплатами процентов (табл. 1). Параметры облигации A взяты из предыдущего примера.

Таблица 1

ОблигацияНоминал/ выкупная ценаСрок, летКупонный доход, %КурсА100/1005897В100/110611120

Показатели доходности для этих облигаций приведены в табл. 2.

Таблица 2

Показатели доходностиОблигацияКупоннаяТекущаяПолнаяА88,258,77 (8,73)Б119,178,04 (8,12)

Как видим, в отношении полной доходности преимущество на стороне облигации A, хотя текущая доходность у нее ниже, чём у второй. Приближенный метод расчета по (10) - соответствующие показатели приведены в скобках - заметно завысил оценку показателя полной доходности у облигации Б.

Все рассмотренные выше формулы для расчета полной доходности предполагают, что оценка производится на начало срока облигации или на дату выплаты процентов. Для случая, когда оценка производится на момент между двумя датами выплат процентов, приведенные формулы дадут смещенные оценки.

Ставка помещения, серийные облигации. Общий принцип определения полной доходности и в этом случае не изменяется: рыночная цена приравнивается сумме дисконтированных по неизвестной ставке помещения членов потока платежей. Однако число этих членов меняется от серии к серии. В связи со сказанным в расчет обычно берется то число членов потока, которое находится в интервале от начала до среднего ее срока.

Простая ставка помещения. В качестве измерителя полной доходности иногда (например, в Японии) применяют простую ставку помещения, обозначим ее как i*. В этом случае при выкупе по номиналу

(14)

Пример 6. Для данных примера 11.5 получим: облигация Ai* = 0,0887, Вi* = 0,0778.

Сравнение показателей доходности облигаций. Нетрудно установить, что соотношения между характеристиками доходности зависят от курса облигации. Так, для облигаций, у которых K < 100, находим g < it < i < i*, и, наоборот, если K > 100, то g > it > i > i* (иллюстрация приведена в табл. 2 и в примере 5). Наконец, если курс равен 100, то все показатели доходности равны купонному доходу при ежегодной его выплате.

Динамика показателей доходности в зависимости от курса показана на рис. 1.

Рис.1.

Доходность облигаций с учетом налогов.

До сих пор мы не принимали во внимание налоги на доходы, которые приносят облигации.

Во многих странах ставки налога на доход дифференцированы по видам ценных бумаг и по источнику дохода. Обычно предусматривается наименьший налог на доходы от государственных или муниципальных ценных бумаг. Что касается облигаций, то налогом в большинстве случаев облагается только купонный доход. Если предусматривается налог на прирост капитала, то он часто устанавливается по другой ставке. Уровень налоговых ставок во многих странах зависит и от категории инвестора. Например, пенсионные фонды, которые обычно являются крупными инвесторами в облигации, облагаются минимальным налогом, если вообще облагаются.

Оценка полной доходности облигаций с учетом выплачиваемого налога осуществляется так же, как и без учета этого фактора. Отличие заключается в том, что поток платежей теперь состоит не из показателей брутто-поступлений, а из сумм чистого дохода. Если прирост капитала облагается налогом, то инвестор получит в конце срока N - (N - P)m, где т - ставка налога на прирост капитала. В свою очередь размер получаемых процентов сократится до

gN(l - l), где l - ставка налога на проценты. В итоге вместо исходного равенства (5) получим

= [N - (N - P)m]vn + gN(l - l)an;y, (15)

где vn - дисконтный множитель по ставке у.

Найденное на основе данного равенства значение у характеризует ставку помещения с учетом выплаченных налогов. На основе (15) нетрудно получить

(16)

Пример 7. Вернемся к примеру 4, и рассчитаем ставку помещения при условии, что ставка налога на купонный доход составляет 20%, а на прирост капитала - 28%. Искомую величину найдем, решив равенство

относительно у. Получим у = 6,98% (без налога 8,77%).

Для проверки и попутно иллюстрации влияния налогообложения найдем сумму дисконтированных членов потока платежей (см. табл. 3).

Таблица 3

ГодДоходНалог на доходЧистый доходДисконтированный чистый доход181,66,45,98281,66,45,59381,66,45,23481,66,44,8851082,44105,5675,32Итого:97,00Существует метод, который позволяет приближенно оценить полную доходность с учетом налоговых выплат, если известна ставка помещения без учета налогов.

. (17)

Что касается текущей доходности, то с учетом налога на проценты она равна it (1 - l).

Пример 8. Для данных примера 4 получим по приближенной формуле (17)

у » 8(1 - 0,2) + (8,77 - 8)(1 - 0,28) = 6,95%.

Напомним, что точное значение равно 6,98%.

Все приведенные расчеты предполагали, что уплата налогов по времени совпадает с получением доходов по облигации. Отсрочка в выплате налогов, естественно, увеличивает ставку помещения.

Литература

1.Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997;

2.Капитоненко В.В. Финансовая математика и её приложения. М: Изд-во «Приор», 2000;

.Кирилица В.П. Финансовая математика: рук. к решению задач. - Мн.: ТетраСистемс, 2005;

.Ковалёв В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. - М.: Финансы и статистика, 1999;

.Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб.пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003;

.Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления. Теория и практика. - М.: ИНФРА-М, 2002;

.Фрезе В.Д. Финансовая математика: Методическое пособие к практическим занятиям/В.Д.Фрезе; ФГБОУ ВПО Пермская ГСХА. - Пермь: Изд-во ФГБОУ ВПО Пермская ГСХА, 2011;

.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчётов. М.: Дело ЛТД, 1998;

.Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.:Дело, 2002;

.Ширшов Е.Е. Финансовая математика. - М.: «Кинорус», 2007.

Финансовая математика Финансовая эквивалентность обязательств Существует обязательство произве

Больше работ по теме: