Нелинейные уравнения

"Нелинейные уравнения"

вычислительный программа нелинейный алгебраический

Введение

Цель работы

Приобретение навыков решения нелинейных уравнений, используя итерационные методы (метод половинного деления, метод простых итераций, метод Ньютона). Задание. Для алгебраического уравнения :

выбрать отрезок, на котором имеется хотя бы один корень;

проверить условия применимости для каждого метода;

разработать вычислительную программу, реализующую каждый метод решения;

вычислить корень уравнения с погрешностью не более 10-6.

Краткие теоретические сведения

Пусть известна некоторая нелинейная зависимость вида y=f(x). Требуется определить все те значения аргумента , k=1,2,…, которые обращают функцию в нуль, то есть Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило, используются итерационные методы.

Метод половинного деления

Метод половинного деления основан на теореме Коши: функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длины отрезка для локализации корня уравнения.

Метод простых итераций

Для решения нелинейного алгебраического уравнения f(x)=0 метод простых итераций исходное уравнение заменяется эквивалентным ему выражением вида x=?(x). На основе этого соотношения строится итерационный процесс метода простых итераций , при некотором заданном начальном значении x(0).

Метод Ньютона

Для поиска корня уравнения f(x)=0 в окрестности решения выбирается точка x, возле которой функция f(x) раскладывается в ряд Тейлора:

Отсюда следует приближенное равенство , которое с учетом позволяет получить выражение , приводящее к итерационной формуле метода Ньютона:

1. Выбор отрезка

Представим уравнение в виде функции, т.е. f(x)= . Построим график этой функции (Рисунок 1).

Рисунок 1 - График функции . f(x)=

На основании графика, выбираем отрезок X Є [-1; 0] на котором имеется корень уравнения, т.е. значение функции обращается в нуль.

2. Выполнение расчетов

.1 Метод половинного деления

Значения функции на концах отрезка составляют

Т.к. функция непрерывна на участке [-1 ; 0] и на концах имеет разные знаки, то можно применить метод половинного деления.

Таблица 1 - Решение уравнения методом половинного деления

№ итерации (k)xf(x)|?x(k)|10-10,52-0,25-0,25260,253-0,375-0,021360,1254-0,43750,0851140,06255-0,406250,0325450,031256-0,390630,0057660,0156257-0,38281-0,007750,0078138-0,38672-0,000980,0039069-0,388670,0023950,00195310-0,38770,0007080,00097711-0,38721-0,000140,00048812-0,387450,0002860,00024413-0,387337,44E-050,00012214-0,38727-3,1E-056,1E-0515-0,38732,16E-053,05E-0516-0,38728-4,7E-061,53E-0517-0,387298,45E-067,63E-0618-0,387291,85E-063,81E-0619-0,38729-1,4E-061,91E-0620-0,387292,04E-079,54E-07

После двадцати итераций получен отрезок [-0,387285233; -0,387286186] длина которого 9,53×107, что значительно меньше заданной погрешности ?x=10-6. В качестве искомого результата выбирается среднее значение полученного отрезка -0,387286663. Подстановка в уравнение позволяет выполнить проверку второго критерия окончания итерационной процедуры: f()=1,02872*10-6, что также меньше заданной погрешности ?y=10-6.

Рисунок 2 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом половинного деления в зависимости от номера итерации k

2.2 Метод простых итераций

Уравнение преобразуется к требуемому виду: , т.е. . Для проверки условий сходимости последовательности получаемых решений необходимо определить производную этой функции: . В этой функции применив отрезок [2,5, 3,5], можно определить константу Липшица в виде . В данном случае функция на отрезке [2,5, 3,5] (Рисунок 3) принимает максимальное значение при x=2,5, соответственно. Очевидно, что С<1. Кроме того, откуда следует, что . Таким образом, условия теоремы выполнены, то есть последовательность x(k) метода простых итераций должна сходиться к точному решению уравнения.

Рисунок 3 - Функция на отрезке [2,5, 3,5]

Таблица 2 -Решение уравнения методом простых итераций

№ итерации (k)x?x(k)12,9734721441039600,47347223,0110670767832600,03759533,0111116726402304,46E-0543,0111116059013706,67E-0853,0111116060014401E-1063,0111116060012901,5E-13

С помощью вычислительной программы, при начальном приближении x(0)=2,5 получено решение заданного уравнения с погрешностью значительно меньше заданной ?x=10-6. Подстановка этой величины в уравнение дает значение модуля функции , не превышающее заданную погрешность ?y=10-6.

Рисунок 4 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом простых итераций в зависимости от номера итерации k

2.3 Метод ньютона

Для проверки условий сходимости последовательности решений, получаемых методом Ньютона, определяются первая и вторая производные функции f(x):

, .

Основываясь на графиках функций и (Рисунок 5) видно, что они непрерывны и на отрезке . Тогда и . Поскольку разность при и , то , т.е. . Таким образом, условия теоремы выполнены и последовательность x(k) метода Ньютона должна сходиться к точному решению заданного уравнения.

Решение уравнения с помощью программы, при начальном приближении дает результат уже на 3-ей и последующих итерациях, соответственно не превышает заданной погрешности ?x=10-6. Подстановка этой величины в исходное уравнение дает значение модуля функции , т.е. не превышает заданное значение погрешности ?y=10-6.

Рисунок 5 - Вид функций f(x), f(x)

Рисунок 6 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом Ньютона в зависимости от номера итерации k

Вывод

Для каждого итерационного метода на выбранном отрезке проверены условия применимости. Разработана программа, реализующая каждый метод решения. Найден корень уравнения с погрешностью не превышающей 10-6:

- методом половинного деления: ;

методом простых итераций: ;

методом Ньютона: .

Уменьшение погрешности с ростом числа итераций свидетельствует о сходимости решений заданного нелинейного уравнения, получаемых каждым рассмотренным методом.

Больше работ по теме: