Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Вычислить определители матриц:
А. По определению.
Б. Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
В. Разложение определителя по элементам 3-го столбца.
Г. Разложение определителя по элементам строки (столбца) с общим не нулевым элементом.
Д. Метод приведения к треугольному виду.
Решение:.По определению:
,
33.
Ответ:
,
Ответ:
Б. Разложение определителя по элементам 1-ой строки:
,
,
Ответ:
,
,
Ответ:
В. Разложение определителя по элементам 3-го столбца:
,
,
Ответ:
,
,
Ответ:
Г. Разложение определителя по элементам строки (столбца) с общим не нулевым элементом:
,
= 1
Ответ:
,
Ответ:
Д. Метод приведения к треугольному виду:
,
Ответ:
,
Ответ:
Задание 17.1.
Решить систему уравнений:
А. Методом Крамера.
Б. Методом Жордана-Гауса.
В. Матричным методом.
Решение:
А. Метод Крамера:
Ответ: (x = 2, y = 1, z = 3);
Б. Метод Жордана-Гауса:
Ответ: (x = 2, y = 1, z = 3);
В. Матричный метод:
По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений имела решение, необходимо, что бы ранг основной матрицы
и ранг расширенной матрицы
были равны.
Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение. Если ввести матричные обозначения
Найдем обратную матрицу A-1. Для этого допишем справа единичную матрицу и при помощи элементарных преобразований приведем основную матрицу к единичному виду:
?
??
Обратная матрица имеет вид:
Для нахождения матрицы X умножим обратную матрицу А-1 на матрицу С
Ответ: (x = 2, y = 1, z = 3);
Задание №13.1
Вариант №1.
Пирамида ABCD задана координатами своих вершин:(-1;-2;0), B(-4;3;-1), C(4;-4;0), D(1;-2;4).
Найти:
А. Координати векторов AB, AC, AD;
Б. Длины ребер AB, AC, AD;
В. Координати ?.I, ?=AI:IB=1:5;
Г. Угол между ребрами AC, AD;
Д. Площадь грани ABC;
Е. Объем пирамиды;
Решение:
А. Координаты векторов AB, AC, AD
Положим, что А=А1, В=А2, С=А3 и D=A4. Тогда координаты векторов находим по формуле:
X = xj- xi; Y = yj- yi; Z = zj- zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi- координаты точки Аi; xj, yj, zj- координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -4-(-1); Y = 3-(-2); Z = -1-01A2(-3;5;-1)1A3(5;-2;0);1A4(2;0;4) .
Ответ: AB(-3;5;-1), AC(5;-2;0), AD(2;0;4).
Б. Длины ребер AB, AC, AD:
Положим: A(xA,yA,zA)=A(-1;-2;0), B(xB,yB,zB)=B(-4;3;-1), C(xC,yC,zC)=C(4;-4;0), D(xD,yD,zD)=D(1;-2;4)
Вычислим длины ребер:
;
Ответ: 5,916, 5,385.
Г. Угол между ребрами AC, AD:
=
Ответ:
Д. Площадь грани ABC:
Ответ: .
Е. Объем пирамиды:
Ответ:
Задание №18.1
Вариант №1.
Даны координаты точек А(4;-5), В(9;1), С(5;-1).
Найти:
А) Уравнение прямой AB, AC;
Б) Уравнение высоты CD;
В) Уравнение прямой, которая проходит через точку В паралельно прямой АС;
Г) Угол CAB;
Д) Координати середин сторон треугольника;
Е) Уравнение биссектрисы внутреннего угла А;
Ж) Уравнение медианы, которая проходит через вершину А.
Решение:
А) Уравнение прямой AB, AC:
;
;
В) Уравнение прямой, которая проходит через точку В паралельно прямой АС AC:
Находим угловой коэффициент:
Г) Угол CAB:
Д) Координати середин сторон треугольника:
Найдем точки пересечения медиан со сторонами. Пусть A1, B1, C1 - точки пересечения медиан проведенных из вершин А, В и С соответственно, со сторонами ВС, АС и АВ соответственно. Тогда:
Е) Уравнение биссектрисы внутреннего угла А:
Ж) Уравнение медианы, которая проходит через вершину А:
Задание №55.1
Вариант №1.
Задано уравнение эллипса .
Найти:
А) Центр;
Б) Вершини;
В) Полуоси;
Г) Фокусы;
Д) Эксцентриситет;
Е) Уравнение директрис.
Решение:
А) Центр:
Так как уравнение эллипса является каноническим, то координаты центра эллипса совпадают с началом координат.
Ответ: (0, 0);
Б) вершины:
Так как a2=144, а b2=25, то a=12, b=5. Следовательно вершины эллипса А(-12, 0), В(12, 0), С(0, -5), D(0, 5).
В) Полуоси:
Ответ: а=12, b=5.
Г) Фокусы:
Так как фокусы F1 и F2 это точки лежащие по обе стороны от центра на расстоянии , то координаты фокусов будут иметь вид F1(-c, 0), F2(c, 0), имеем:
определитель матрица уравнение эллипс
, отсюда1(-10.9087, 0), F2(10.9087, 0).
Д) Эксцентриситет:
Е) Уравнение директрис: Если взята каноническая для данной крий прямоугольная система координат, то уравнение директрис d1, d2 (соответствующих фокусам F1, F2) будет соответственно
Ответ: (13,2004, - 13,2004).
Література
1. Бубняк Т.И. Высшая математика : Учебное пособие. - М.: " Новый мир -2000 ", 2006
. Валеев К.Г. , Джалладова И.А. Высшая математика : Учеб. пособие: В двух ч. - М. КНЭУ 2002 .
. Высшая математика : Сборник задач В 2 ч. / Под общ . ред П.П. Овчинников - 2 - е изд . - К. : Техника , 2004 .
. Высшая математика : Сборник задач : Учеб. пособие / Под ред . В.П. Дубовика , И.И. Юрика . - М. , 2003 .
. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / Руданский Ю.К. , Костобий П.П. и др.- г Львов : " Бескет Бит ", 2002.
. Компьютерная дискретная математика : Учебник / М.Ф. Бондаренко , Н.В. Белоус , А.Г.Руткас . - Харьков : "Компания СМ ИТ ", 2004.
. Лейфура В.М. Математика . Учебник . - К. : Техника , 2003 .
. Овчинников П.П. , Михайленко В.М. . Высшая математика : Учебник . В 2 ч. - 3 - е изд. - К. :Техника , 2004 .
. Руданский Ю.К. , Костобий П.П. и др. . Линейная алгебра и аналитическая геометрия : Учеб. учебник - М.: " Бескет Бит ", 2002. - 262 с
10 . Шкиль Н.И. Математический анализ: Учебник : В 2 ч. Ч. 1 . - 3 - е изд. - М.: Высшая школа .. , 2005 .
. Шкиль М . И. М атематические анализ: Учебник : В 2 ч. Ч. 2 . - 3 - е изд. - М.: Высшая школа .. , 2005 . - 510 с .
Больше работ по теме:
Предмет: Математика
Тип работы: Контрольная работа
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ