Корпоративные финансы

 

КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ

(опорный конспект)

Раздел «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА»


Аппарат финансовых вычислений широко используется в финансовой практике и составляет основу механизма расчетов при свершении кредитных операций, операций на фондовом рынке, при выборе вариантов инвестиционных проектов, разработке планов погашения долгосрочных кредитов и др. Все перечисленные финансовые операции связаны с конкретным периодом времени.

Фактор времени занимает важнейшее место в финансовых вычислениях; деньги имеют такую объективно существующую характеристику, как временную ценность:

- получение денег сегодня дает нам возможность заработать проценты на эти деньги завтра, поэтому сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра;

-денежная наличность обесценивается за определенный период времени в связи с инфляцией.

Отсюда вытекают два важных следствия:

· необходимость учета фактора времени при проведении долгосрочных финансовых операций;

· некорректность с точки зрения долгосрочных финансовых операций суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы «PV» с условием, что через некоторое время «t» будет возвращена большая сумма FV.

PV

 
 







 


t                t                …               t


Где: PV     - Текущая, современная стоимость капитала, величина первоначальной денежной суммы; первоначальный вклад

FV        - Будущая стоимость капитала, наращенная сумма или сумма погашения долга;

t1, t2…tn   - Интервал начисления, минимальный период времени, по прошествии которого происходит начисление процентов;

t1 - tn    - Период начисления процентов, промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход);

n           - Количество интервалов.

Результативность этой сделки может быть охарактеризована двояко:

· с помощью абсолютного показателя (FV-PV) = I.Проценты - это доход от инвестиций производственного или финансового характера, либо от предоставления капитала в долг в различных формах.

· Относительного показателя. Процентная ставка - величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Процентная ставка может быть рассчитана отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV либо FV.

Существуют два способа определения и начисления процентов:

· декурсивный способ, когда проценты начисляются в конце каждого интервала начисления и их величина определяется исходя из величины первоначальной суммы долга. Декурсивная процентная ставка или ссудный процент "r (%)"(требуемая норма доходности) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала;

r =

· антисипативный способ, когда проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Антисипативной процентной ставкой или учетной ставкой "d (%)" будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, начисленного за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. На практике учетные ставки (d) используются при учете векселей и других денежных обязательств.

d =

Проценты, выплаченные или заработанные на деньги, которые взяты или предоставлены в долг, могут быть либо простыми, либо сложными.

Простые процентные ставки применяются к одной и той же первоначальной сумме в течение всего периода начислений. Применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления, или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Сложные процентные ставки применяются по прошествии каждого интервала начисления к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов. Сложные процентные ставки наиболее распространены в финансовых операциях.

Проблема "деньги - время" не нова, поэтому разработаны удобные модели и алгоритмы финансовой математики, применяются табличные значения коэффициентов наращения и дисконтирования (см. Приложение, Таблицы 1,2,3 и 4), финансовые функции в Excel.

Фактор времени учитывается с помощью методов наращения (аккумулирования) и дисконтирования.

Большинство практических задач использования аппарата финансовых вычислений решается в рамках следующих четырех схем, первые две из которых предусматривают разовые, отдельные платежи, а две последние - ряд распределенных во времени выплат и поступлений, называемых потоком платежей:


1-ая схема: ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУДУЩЕЙ, НАРАЩЕННОЙ СТОИМОСТИ.


Одноразовый платеж в данный момент "PV" преобразуется с учетом процентной ставки в одноразовый платеж через "n" интервалов "FV".

FV=?

 
 








 


t                t                …               t


Рисунок – Определение будущей наращенной стоимости разового платежа


Для решения этой задачи используются специальные формулы наращения (см. таблицу 1).

Таблица 1 – Основные формулы наращения с применением различных типов ставок


Область применения

Ссудный процент

Учетная ставка

Простые проценты

Определение будущей стоимости при целом числе лет «n»


 (1.1)

 (1.1.1)

Определение будущей стоимости при продолжительности периода в днях

 (1.2)


 (1.2.1)

Сложные проценты

Определение будущей стоимости при целом числе лет, «n»


(1.3)


 (1.3.1)

Определение будущей стоимости, когда начисление процентов производится «m» - раз в году


 (1.4)


 (1.4.1)


где

n – период начисления, количество лет;

t – продолжительность периода начисления в днях;

T – продолжительность года в днях;

m - число начисления процентов в году;

FM1 (r,n) = (1+r)n – фактор будущей стоимости текущего капитала, множитель наращения сложных процентов или мультиплицирующий множитель. Табличные значения множителя наращения FM1 (r,n) приведены в Таблице 1 Приложения.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды считаются за один день. При этом возможны два варианта:

- используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответсвующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня (см. формулы 1.2 и 1.2.1);

- берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням (см. формулы 1.2 и 1.2.1); этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.

Точный процент получают, когда за временную базу принимают фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.


Пример.

Задача, по сути, являющаяся алгоритмом, позволяющим решать разнообразные инвестиционные проблемы, может быть сформулирована следующим образом:

Какая сумма будет накоплена вкладчиком через три года, если первоначальный взнос составляет 400 тыс. тг., проценты начисляются ежегодно по ставке 10%?

Решение.

1) В Таблице 1 на пересечении строки, соответствующей процентной ставке (10%), и колонке, соответствующей периоду начисления процентов (3 года), найдем фактор FM1 (10%,3) = 1,3310.

2) Рассчитаем сумму накопления: FV= 400 • 1,3310 = 532,4 тыс. тг.


Периодичность начисления процентов оказывает влияние на величину накопления. Начисление процентов может происходить раз в полугодие, квартал, месяц и т.д. При более частом накоплении необходимо скорректировать процентную ставку и число периодов начисления процентов: число лет, на протяжении которых происходит накопление, умножается на частоту накопления в течение года, а номинальная годовая ставка процента делится на частоту накопления.

Правило 72-х. Удвоение вложенной суммы происходит через число лет, определяемое как частное от деления числа 72 на годовую номинальную ставку процента.

При заключении финансовых соглашений часто приходится решать задачу, обратную задаче нахождения наращенной суммы. В этом случае пользуются схемой №2.


2-ая схема. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕКУЩЕЙ, ПРИВЕДЕННОЙ СТОИМОСТИ "PV" БУДУЩЕГО КАПИТАЛА "FV.


FV

 
 






 



 


t                t                …               t

Рисунок – Определение текущей стоимости разового платежа


Текущая стоимость будущего капитала – очень важное (краеугольное) понятие, используемое при оценке стоимости приносящего доход имущества. Оно используется при оценке текущей стоимости будущего единовременного дохода – ценной бумаги или будущей продажи объекта недвижимости при оценке проектов.

Процесс пересчета будущей стоимости капитала в настоящую носит название ДИСКОНТИРОВАНИЯ, а ставка, по которой производится дисконтирование – ставки дисконта. Процессы дисконтирования и наращения (аккумулирования) являются взаимообратными процессами.

Основные формулы операции дисконтирования получаем из выше рассмотренных формул наращения. Например, формулу определения текущей стоимости в применении к ставке сложного ссудного процента определим из формулы (1.3):

                                                   (2.3)

                                              (2.3.1)

где

FM2(r,n) =

- фактор текущей стоимости будущего капитала, коэффициент дисконтирования для сложных ставок ссудного процента, который показывает, во сколько раз текущая (современная) сумма меньше наращенной (будущей) стоимости суммы. Табличные значения приведены в Таблице 2 Приложения.

Пример.

Вам подарили ценную бумагу, в которой написано, что через 10 лет Вы получите 100 000 тенге. Сколько стоит эта бумага сегодня при условии, что справедливая годовая стоимость денег на рынке капитала составляет 10%?

Решение.

Чтобы решить эту задачу необходимо пересчитать будущие 100 000 тенге в сегодняшние деньги по формуле 2.3.1.

1. В Таблице 2 на пересечении строки, соответствующей процентной ставке 10%, и колонки, соответствующей периоду дисконтирования (10 лет), находим фактор текущей стоимости будущего капитала FM2(10%,10) = 0,386

2. Находим текущую стоимость ценной бумаги:

PV = 100 0000,386 = 38 600тг.

Если стоимость денег будет равна 20%, текущая стоимость этой ценной бумаги будет равна 16 200тг.

При учете векселей используется формула (2.2.1), являющаяся обратной по отношению к формуле (1.2.1). В ней t - это число дней, которые остались до конечного срока учета векселя. Определяя продолжительность финансовой операции, принято считать за один день выдачи и день погашения ссуды.

,                                                 (2.2.1)

Эффективная годовая процентная ставка. Различные виды финансовых контрактов могут предопределять различные схемы начисления процентов. Как правило, в контрактах у нас и в США оговаривается номинальная процентная ставка обычно годовая, которая не отражает реальной эффективности сделки и не может быть использована для сопоставлений. Эффективная годовая процентная ставка (re) обеспечивает переход от текущей стоимости к будущей при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов. Эффективная годовая процентная ставка определяется как:

re = (1+)m – 1

где: m – число начислений в год.

Эффективная ставка зависит от номинальных и количественных внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается

Пример.

Предприятие может получать ссуду:

а) на условиях ежемесячных начислений процентов из расчета 26% годовых;

б) на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27% годовых.

Определим эффективную процентную ставку: а) re = (1+)12 – 1 = 0,2933=29,3%

б) re = (1+)2 – 1 = 0,2882=28,8%

Таким образом, вариант (б) является более предпочтительным для предприятия; причем решение не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель – эффективная ставка, которая зависит лишь от номинальной ставки процента и количества начислений в год.


Учет инфляционного обесценивания денег в принятии финансовых решений


Учет инфляционного обесценивания денег возможен двумя вариантами:

- когда корректируется сама процентная ставка на темп инфляции (а), она может быть определена по формуле Фишера:                        ra = r + a + r,

где – r – процентная ставка;

a – темп инфляции.

- когда все вышерассмотренные формулы определения текущей дисконтированной стоимости умножаются на индекс инфляции:         Iu = (1+a)

Рекомендуется индекс инфляции за период в n лет определить по формуле сложных процентов:

Iu = (1+a)na * (1+nb*a),

где na – целое число лет;

nb – оставшаяся не целая часть года.

АНАЛИЗ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОСТОЯННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ (АННУИТЕТОВ)


Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные, разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений денежных средств. Последовательный ряд выплат и поступлений называется потоком платежей:

· серия доходов и расходов предприятия по периодам;

· денежный поток, генерируемый в течение ряда периодов в результате реализации какого-либо проекта;

· взносы в погашение различных видов долгосрочных задолженностей;

Поток платежей, все члены которого однонаправленные равные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Аннуитет может быть исходящим денежным потоком по отношению к инвестору (например, осуществление периодических равных платежей) или входящим денежным потоком (например, поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой).

Представление последовательности платежей в виде финансовой ренты существенно упрощает количественный анализ, в частности при оценке недвижимости, и дает возможность использовать набор стандартных формул и табличные значения ряда коэффициентов, содержащихся в них.

В практике применяются разнообразные по условиям формирования ренты:

Таблица 2.1.1 – Признаки классификации и виды ренты


Признак классификации

Виды ренты

Продолжительность срока ренты

Дискретные, срочные

Непрерывные, бессрочные

Момент выплат членов ренты

Обычные (постнумерандо) – платежи осуществляются в конце соответствующих периодов

Авансовые (пренумерандо) - платежи осуществляются в начале соответствующих периодов

Число начислений процентов

Один раз в год

m раз в год

Непрерывно

Соотношение начала срока ренты и фиксированного момента начала действия контракта, оценки ренты и т.д.

Немедленные, когда указанные моменты совпадают

Отложенные, когда начало срока ренты запаздывает относительно начала действия контракта


Финансовая рента описывается следующими основными параметрами:

· член ренты «PMT» - величина каждого отдельного платежа k-го периода;

· срок ренты – это время, измеренное от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

· период ренты - временной интервал между двумя платежами;

· процентная ставка (r) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, из которых состоит рента, требуемая норма доходности.

В подавляющем большинстве практических случаев количественный анализ потоков платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих эти потоки характеристик:

§   наращенной суммы ренты -FVа, т.е. суммы всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты (3-я схема);

§   современной или текущей величины ренты PVа или суммы всех периодических платежей, дисконтированных на начало срока ренты (4-я схема).

Наряду с определением обобщающих характеристик ренты, возникают обратные задачи определения размера платежа (члена ренты) по наращенной или современной обобщающим характеристикам ренты.


Схема 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУДУЩЕЙ СТОИМОСТИ АННУИТЕТА, т.е. преобразование равномерной серии платежей в одноразовый платеж через n-периодов.

 











PMT          PMT           PMT           PMT           PMT

 





t                t                t                …               t

Рисунок – Определение будущей наращенной стоимости обычного аннуитета


где: FVa - наращенная (будущая) стоимость обычного аннуитета, определяемая по формуле:


FV = = = PMT*FM3 (r; n)                                    (3.1)

Где

FM3(r,n) =           - фактор будущей стоимости обычного аннуитета, коэффициент наращения ренты, который показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия. Табличные значения приведены в Таблице 3 Приложения.


Математическое выражение будущей стоимости авансового аннуитета:


FV = *PMT = PMT*[FM3 (r; n+1) – 1]               (3.1.1)

ПРИМЕР. Для погашения пакета облигаций, выпущенных на 5 лет, создается погасительный фонд при ежегодных платежах по 20 млн. тенге, на которые начисляются проценты по ставке 10%. Определить итоговую наращенную сумму при условии, что проценты начисляются один раз в конце года:

Решение.

1) Определим итоговую сумму погасительного фонда по формуле 3.1

FV =  = 122,1 млн.тенге

Или, в Таблице 3 на пересечении строки, соответствующей процентной ставке 10%, и колонки, соответствующей периоду дисконтирования (5 лет), находим фактор будущей стоимости обычного аннуитета FM3(10%,5) = 6,105 и далее определяем искомую величину погасительного фонда

FV = PMT*FM3 (10%,5 лет) = 206,105 = 122,1 млн.тенге

Используя ту же схему 3, мы можем определить величину члена обычной ренты по ее будущей наращенной стоимости:

PMT =                                                                 (3.2)

1/FM3 – фактор фонда возмещения

ПРИМЕР. При эксплуатации одного горного предприятия следует ожидать ущерб для окружающей среды, для возмещения которого по предварительным оценкам потребуется через 3 года уплата 25 миллионов тенге. Какой ежегодный платеж для создания резерва будущего покрытия ущерба должно осуществлять предприятие при ставке 5 %.

Решение

PMT =  =  = 7 930 000 тенге


Схема 4: Определение ТЕКУЩЕЙ, современной стоимости аннуитета или преобразование будущей равномерной серии платежей в одноразовый платеж в данный момент


PV=?


 
 








PMT           PMT           PMT           PMT           PMT

 





t                t                t                …               t

Рисунок – Определение текущей, современной стоимости обычного аннуитета

Где: PV-текущая, современная стоимость обычного аннуитета

PV = PMT *  = PMT *FM4 (r;n) ,                            (4.1)

где FM4 (r; n) – фактор текущей стоимости аннуитета (фактор Инвуда), коэффициент дисконтирования ренты, который показывает, чему равна с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярным денежным поступлением в размере одной денежной единицы, продолжающегося «n» равных периодов с заданной процентной ставкой «r». Табличные значения приведены в Таблице 4 Приложения.

Функция текущей стоимости аннуитета также имеет особое значение для оценки имущества доходным методом. Связано это с тем, что в процессе выполнения оценки анализируются будущие потоки доходов с точки зрения их сегодняшней стоимости.

Математическое выражение для расчета текущей стоимости авансового аннуитета имеет следующий вид:

PV = PMT * = PMT *[FM4(r;n-1) + 1]             (4.1.1)

Пример. Компания должна принять решение: сдавать ли в аренду имущество сроком на 5 лет, при условии, что арендная плата составляет 50 000 тенге в год с условием выкупа, если сегодня за данное имущество предлагают 160 000 тенге. Платеж осуществляется в конце года. Коэффициент рентабельности ( r ) равен 20% - справедливая норма прибыли по аналогичным сделкам.

Решение

Определим текущую стоимость арендной платы, используя формулу 4.1 и Таблицу 4:

PV = 50*FM4(20%, 5 лет) = 502,991 = 149,55 (тыс. тенге)

Таким образом, получили, что текущая стоимость арендной платы составляет 149,55 тыс. тенге, а нам предложили больше – 160 тыс. тенге, значит, стоит продавать имущество.

Используя схему 4 и формулу (4.1) можно определить величину члена ренты по ее текущей стоимости:

PMT =                                                        (4.2)

1/FM4 – фактор амортизации капитала, определяет размер стабильного равновеликого периодического платежа, погашающего за определенный период при установленной ставке процента основную сумму кредита и процент за не возмещенную сумму кредита (см. пример поэтапного погашения долга равными срочными уплатами).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ БЕССРОЧНОГО АННУИТЕТА

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются долгое время. Определение в этом случае будущей стоимости аннуитета не имеет смысла, а приведенная текущая стоимость аннуитета постнумерандо может быть получена по следующей формуле:

PVа =                                       (4.3)


Планирование погашения ДОЛГОСРОЧНОЙ задолженности


Важным практическим приложением теории аннуитетов является составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана погашения задолженности интерес представляют размеры периодических платежей заемщика, так называемые срочные уплаты или суммы по обслуживанию долга, которые представляют собой сумму:

Iг + Pг,

где - срочная уплата;

Iг – годовая сумма процентов;

Pг – годовые выплаты по погашению основного долга.

Методы определения размера срочных уплат зависят от условий контракта которые предусматривают:

¨   срок займа;

¨   продолжительность льготного периода, в течение которого основная сумма долга не погашается, проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа, но иногда начисляются и присоединяются к основной сумме долга;

¨   уровень процентной ставки;

¨   метод погашения и уплаты процентов и основной суммы долга.

На практике существуют различные варианты погашения долгосрочной задолженности. Рассмотрим основные из них:

Введем обозначения:

Д - основная сумма долга;

Дt – остаток задолженности на начало t-ого года;

r– ставка процента по займу;

g – процентная ставка, по которой начисляются проценты на взносы в погасительный фонд;

R – размер взноса в погасительный фонд;

n – срок предоставления займа.

I - годовые проценты по займу;

Р - годовая сумма погашения основного долга.

Вариант 1 Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты (вечный аннуитет)

Y = Д

Вариант 2. Погашение суммы долга единовременным платежом:

2.1   без создания погасительного фонда, тогда в конце срока займа заемщик должен вернуть сумму долга, равную:

· либо основной сумме долга Д, если проценты начисляются и выплачиваются по годам;

· либо наращенной основной сумме долга Д, если проценты начисляются, но не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга

Д = Д0 FМ(r; n)

2.2 при условии создания погасительного фонда. Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, то в контракте для снижения риска невозврата долга может быть оговорена необходимость создания погасительного фонда. На периодические взносы в этот фонд начисляются проценты по ставке g. Создание погасительного фонда для заемщика выгодно только при условии g>r, в противном случае выгоднее сразу расплачиваться этими суммами с кредитором.

При этом возможны следующие ситуации:

· проценты начисляются и выплачиваются, тогда на конец срока займа должен быть создан погасительный фонд, равный основной сумме долга Д. Для определения в этом случае ежегодных взносов в погасительный фонд R воспользуемся схемой 3 и формулой 3.2:

R =

В этом случае Iг + R,

- когда проценты начисляются, но не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга, тогда в конце срока займа заемщик должен создать погасительный фонд, равный наращенной сумме основного долга Дn, ежегодно внося в погасительный фонд сумму:

R =  =

В этом случае  R

Вариант 3. Поэтапное погашение долга равными суммами основного долга. Годовые проценты и срочная уплата в этом случае всегда уменьшаются во времени. Если платежи производятся раз в конце года, тогда срочная уплата равна

Iг + Pг = Д,

Pг – const; , Iг – постоянно уменьшаются.


ПРИМЕР Пусть долг, равный 100 тыс. тг. необходимо погасить равными суммами основного долга за 5 лет. Платежи осуществляются в конце года. За заем выплачиваются проценты 9%.

Решение: Ежегодная сумма погашения долга составит Pг = 100 / 5 = 20 тыс. тг. Процентные выплаты по годам составят: I= 100= 9 тыс. тг.; I= 80 = 7,2 тыс. тг. и т.д.

План погашения долга можно представить в таблице:

Тыс. тенге



Номер года

Остаток долга на начало года, Д

Сумма погашения основного долга, Pг

Годовые проценты, Iг

Срочная уплата

1

2

3

4

5

100

80

60

40

20

20

20

20

20

20

9,00

7,20

5,40

3,60

1,8

29,00

27,20

25,40

23,60

21,80


Заем может предусматривать льготный период с выплатой процентов или с соответствующим наращением основной суммы долга. Тогда сумма долга на конец льготного периода наращивается до величины: Д, где L – продолжительность льготного периода.

Вариант 4. Поэтапное погашение долга равными срочными уплатами ( = const) широко применяется в международных сделках, при ссудах под производство и недвижимость. Для кредитора эта операция представляет собой аннуитет – отток денег в начальный момент, а потом ежегодный равномерный приток в сумме  = Iг + Pг , причем, со временем составляющая Iг будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности, а составляющая Pг будет увеличиваться.

Величину срочной уплаты определим по схеме 4, по формуле 4.2.

=

План погашения долга равными срочными уплатами, исходя из условия предыдущего примера, можно представить в таблице:

Тыс. тенге



Номер года

Остаток долга на начало года, Д

Срочная уплата

Годовые проценты, Iг

Сумма погашения основного долга, Pг

1

2

3

4

5

100

83,29306

65,08249

45,23297

23,597

25,70694

25,70694

25,70694

25,70694

25,70694

9,00

7,496375

5,857425

4,070968

2,12373

16,70694

18,210565

19,849515

21,635972

23,597


МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ

(облигаций, акций и других производных ценных бумаг)


Оценка активов является одним из фундаментальных понятий и занимает ключевое место в финансовом менеджменте. Менеджеру необходимо уметь оценивать финансовые активы, чтобы:

1. понять степень целесообразности их приобретения;

2. знать, каким образом инвесторы оценивают ценные бумаги фирмы, для того, чтобы с помощью альтернативных вариантов деятельности обеспечить благоприятную динамику цен на ценные бумаги.

Финансовый актив, выступающий товаром на рынке капитала, может быть охарактеризован по четырем признакам:

1. Цена Pm , т.е. объявленная текущая рыночная цена;

2. Стоимость Vo , внутренняя теоретическая стоимость актива;

3. Доходность «k»;

4. Риск.

Любой инвестор, принимая решения о целесообразности приобретения того или иного финансового актива, пытается оценить экономическую эффективность планируемой операции, ориентируясь либо на абсолютные (1, 2), либо на относительные (3) показатели.

По сравнению с ценой, которая реально существует и объективна (объявлена и товар по ней равнодоступен любому участнику рынка капитала), внутренняя стоимость гораздо более неопределенна и субъективна. Каждый инвестор имеет свой взгляд на внутреннюю стоимость актива, полагаясь в ее оценке на результаты собственного субъективного анализа.

Возможны три ситуации:

Pm > Vo, то с позиции конкретного инвестора данный актив продается в настоящий момент по завышенной цене и нет смысла в его приобретении.

Pm < Vo, то цена занижена есть интерес в его покупке.

Pm = Vo, то смысл в проведении спекулятивных операций на рынке отсутствует, поскольку цена полностью отражает внутреннюю стоимость финансового актива.

Вследствие этого, целесообразно провести различия между ценой и стоимостью финансового актива.

Стоимость - это расчетный показатель, а цена - это декларированный или объявленный в прейскурантах, котировках показатель.

В любой конкретный момент цена однозначна, а стоимость многозначна. Число оценок стоимости зависит от числа профессиональных участников рынка.

С известной долей условности можно утверждать, что стоимость первична, а цена вторична, поскольку в условиях равновесного рынка цена количественно выражает внутреннюю стоимость актива и устанавливается стихийно, как средняя из оценок стоимостей, рассчитываемых инвесторами.

Существуют три основные теории оценки внутренней стоимости финансового актива:

1   Фундаменталистская теория является наиболее распространенной, согласно ей внутренняя стоимость любой ценной бумаги может быть оценена как дисконтированная стоимость будущих поступлений, генерируемых этой бумагой.

V0 =                                (Б)

где Vo – текущая или приведенная стоимость активов;

CFt- ожидаемый денежный поток в периоде t;

r- приемлемая (ожидаемая или требуемая) доходность в периоде «t»

n- число периодов, в течении которых ожидается поступление денежных средств.

Как видно из формулы, теоретическая стоимость зависит от трех параметров:

Первые два параметра привязаны к базовому активу и поэтому более объективны. Последний параметр наиболее существенный, т.к. отражает доходность альтернативных вариантов вложения капитала, доступных данному инвестору, что предопределяет вариабельность этого параметра. Приемлемая норма доходности может устанавливаться инвестором следующим образом:

· в размере процентной ставки по банковским депозитам;

· исходя из процентной ставки по депозитам и надбавки за риск инвестирования в данный финансовый актив;

· исходя из процентов, уплачиваемых по государственным облигациям и надбавки за риск.

Базовую модель оценки финансовых активов (DCF-модель) можно представить в виде следующей схемы:

Текущую приведенную стоимость актива (PV0) можно определить как:

PV0 =  +  + . . .  + . . . + = ,

где CFt - ожидаемые денежные поступления в момент t;

rt - требуемая доходность в момент t;

n - число периодов, в течение которых ожидается поступление денежных средств.

2   Технократическая. Предполагает определение текущей внутренней стоимости ценной бумаги на основании анализа динамики ее цены в прошлом, базируясь на статистике цен, данных о котировках и т.п.

3   Теория «Ходьбы наугад». В ее основе лежит гипотеза эффективных рынков, предполагающая, что текущие цены финансовых активов гибко отражают всю релевантную информацию, в том числе и относительно будущего ценной бумаги.


Оценка долговых ценных бумаг


Облигации могут выпускаться в обращение государством или корпорациями. Облигации приносят их вкладчикам доход в виде фиксированного процента к номинальной стоимости, но бывают и облигации с плавающей ставкой, меняющейся по некоторому алгоритму. Они могут быть охарактеризованы различными стоимостными показателями:

♦ Нарицательная стоимость;

♦ Конверсионная стоимость;

♦ Выкупная цена - отзывная цена, по которой производится выкуп облигаций эмитента до момента погашения;

♦ Рыночная (курсовая) цена облигации определяется конъюнктурой рынка; значение рыночной цены в процентах к номиналу называется курсом облигации.

1. Оценка облигации с нулевым купоном.

         Поскольку денежные поступления по годам, кроме последнего, равны нулю, стоимость облигации с позиции инвестора равна:

V= Рн*FM(r,n),                            (Б.1)

где Рн - номинальная стоимость, выплачиваемая при погашении;

 n - число лет, через которое происходит погашение облигаций;

 r - ожидаемая или требуемая доходность.

2. Оценка бессрочных облигаций представляет собой неопределенно долгую выплату дохода в установленном размере. Воспользуюсь формулой вечного аннуитета, найдем теоретическую бессрочной облигации:

V=                         (Б.2)

3. Оценка безотзывных облигаций с постоянным доходом. Денежный поток в этом случае складывается из одинаковых по годам денежных поступлений «С» и нарицательной стоимости облигации «Р», выплачиваемой в момент погашения.

V= С*FM(r,n) + Р*FM(r,n)                         (Б.3)

В экономически развитых странах распространенными являются облигации с полугодовой выплатой процентов. Они более привлекательны, так как инвесторы при этом более защищены от инфляции, имеют возможность получения дополнительного дохода от реинвестирования получаемых процентов. Внутренняя стоимость облигации с выплатой процентов каждые полгода:

V = *FM(,2n) + Р*FM(,2n)               (Б.4)

Выводы относительно поведения цены облигации на рынке ценных бумаг:

♦ Если рыночная норма доходности превосходит фиксированную купонную ставку, облигация продается со скидкой (дисконтом) , т.е. по цене ниже номинала;

♦ Если рыночная норма доходности меньше фиксированной купонной ставки, то облигация продается с премией, т.е. по цене выше номинала;

♦ Если рыночная норма доходности совпадает с фиксированной купонной ставкой, облигация продается по нарицательной стоимости;

♦ Рыночная норма доходности и текущая цена облигации с фиксированным купоном находятся в пропорциональной зависимости.

4. Оценка отзывных облигаций с постоянным купоном

Любое привлечение заемных средств сопряжено с затратами по обслуживанию долга – в виде уплачиваемых процентов. Если в результате изменения экономической ситуации рыночная норма доходности значительно упала и ее повышение в обозримом будущем не предвидится, то компания-эмитент несет относительно большие расходы, чем могла бы и ей выгодно досрочно погасить старый заем и затем разместить новый с более низкой процентной ставкой. Поэтому некоторые займы могут выпускаться с условием их досрочного погашения. Для облигаций таких займов в условиях эмиссии устанавливается выкупная цена (P), по которым облигации могут быть отозваны с рынка и, как правило, равная сумме нарицательной стоимости и годовых процентов:

P = Р + годовые проценты

         Инвесторы тоже хотят подстраховаться, чтобы долгосрочный заем не превратился в краткосрочный. Поэтому условия досрочного погашения облигаций включают:

· продолжительность периода защиты, в течение которого отзыв запрещен;

· объем отзываемых облигаций;

· график погашения и т.д.

         Оценка отзывных облигаций также может осуществляться по формулам (Б.3, Б.4), в которых нарицательная стоимость может быть заменена выкупной ценой.


Оценка долевых ценных бумаг


Как и для облигаций, различают несколько количественных характеристик, используемых для оценки акций:

♦ Внутренняя стоимость (расчетный показатель по формуле Б);

♦ Номинальная цена (указана на бланке акции);

♦ Балансовая стоимость может быть рассчитана по балансу как отношение стоимости акционерного капитала (АК) к общему числу выпущенных акций;

♦ Конверсионная стоимость определяется для привилегированных акций, в условиях эмиссии которых предусмотрена возможность их конвертации;

♦ Ликвидационная стоимость определяется в момент ликвидации общества;

♦ Эмиссионная стоимость, по которой акции продаются на первичном рынке;

♦ Курсовая цена - рыночная текущая цена, имеющая для учета и анализа наибольшее значение, т.к. по ней акции котируются на вторичном рынке.

Оценка целесообразности приобретения акций также предполагает расчет теоретической стоимости акций и сравнение ее с текущей рыночной ценой. Теоретическая стоимость акций может быть рассчитана по формуле Б, исходя из оценки будущих поступлений. В зависимости от предполагаемой динамики дивидендов конкретное представление формулы может меняться:

1. Дивиденды не меняются, тогда теоретическая стоимость определяется аналогично бессрочным облигациям (Б.2):

Vt =

2. Дивиденды возрастают с постоянным темпом прироста, тогда теоретическую стоимость акции можно определить по модели Гордона:

Vt = ,                       (Б.5)

где D –базовая величина дивиденда;

g – ежегодный темп прироста дивиденда;

r – требуемая (ожидаемая) норма доходности.

Дивиденды возрастают с изменяющимся темпом прироста, тогда в расчете теоретической стоимости пытаются разбить интервал прогнозирования на подинтервалы, каждый из которых характеризуется собственным темпом прироста.

В теории и практики оценки акций описана и получила широкое распространение ситуация, когда темпы прироста дивидендов в течение нескольких лет прогнозного периода меняются бессистемно, а начиная с k+1 темп прироста дивидендов становится постоянным. Считается, что такое развитие событий характерно для компаний, находящихся в стадии становления, либо уже зрелых компаний, осваивающих новые виды продукции или рынки сбыта. Наиболее общая постановка задачи в этом случае такова:

 


                   D     D… D   D     D   D   D   …      D

 




 


         0        1        2 … k-1      k        k+1    k+2    k+3    …      


         Продолжительность фазы непостоянного роста составляет «k» лет. Дивиденды в этот период по годам равны D,D…D,D.

D- первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста с темпом «g»

r – приемлемая норма доходности.

Значит, в первые «k» лет прогнозируется бессистемное изменение величины годового дивиденда, а начиная с момента k+1, его величина равномерно увеличивается:

Dk+1 = Dk(1+g), Dk+2 = D(1+g) = D (1+g)2. . .

Тогда на основании формулы Гордона можно определить второе слагаемое формулы (Б.6), т.е. текущую стоимость акции на конец периода «k»:

Vtk =  =

Поскольку мы пытаемся сделать оценку на начало первого года, то значение Vtk нужно дисконтировать и тогда формула (Б.6), позволяющая рассчитать теоретическую стоимость акций на коней нулевого года может быть представлена:

Vt =  +                 (Б.6)

Пример. В течение последующих четырех лет компания планирует выплачивать дивиденды соответственно 1,5 д.е., 2 д.е., 2,2 д.е и 2,6 д.е. на акцию. Ожидается, что в дальнейшем дивиденд будет увеличиваться равномерно темпом 4% в год. Рассчитать теоретическую стоимость акции, если рыночная норма доходности равна 12%.

Vt =  +  +  +  +  *  = 27,6 д.е.

Таким образом, в условиях эффективного равновесного рынка ценных бумаг акции данной компании должны продаваться приблизительно по цене 27,6 д.е.


Доходность финансовых активов: виды и оценка


При принятии решения о целесообразности приобретения акций или облигаций важными критериями наряду с абсолютными показателями (), являются показатели доходности, которые входят в число показателей эффективности. Доходностью является относительный показатель, рассчитываемый соотношением дохода (Д), генерируемого данным финансовым активом, и величины инвестиций в этот актив (CI); в общем виде может быть рассчитан следующим образом:

kt=

В зависимости от вида финансового актива в качестве дохода выступают:

- дивиденды; проценты;

- прирост капитальной стоимости.

В анализе речь может идти о двух видах доходности: фактической и ожидаемой, причем последняя представляет больший интерес для принятия решения о целесообразности приобретения тех или иных финансовых активов..

Приобретая финансовый актив (облигации или акции), инвестор рассчитывает на два вида потенциальных доходов:

- дивиденд;

- доход от прироста капитала.

Оба поступления не являются безусловными и могут состояться, как правило, в случае эффективной работы компании, чьи акции приобретены, хотя дивиденды предпочитают выплачивать и в неблагоприятные годы (финансовое сигнализирование).


P0 P1

D0 D1

t0 t1

где D0 – известный дивиденд;

 D1 – ожидаемый дивиденд;

P0 – известная цена;

P1 – ожидаемая цена актива – целевой расчетный показатель.

Тогда общий доход, , генерируемый ценой бумагой за период t0 - t1, складывается из дохода от прироста капитала (доход от капитализации (P1 - P0) и дивидендов, а общая доходность kt определяется по формуле:

kt =  = kd + k

где kd – текущая доходность или дивидендная;

kc- капитализированная доходность.

В зависимости от вида финансового актива и абсолютных показателей, выбранных для его характеристики, можно исчислить несколько характеристик доходности. Поскольку их значения могут существенно различаться, нельзя говорить о некой абстрактной доходности, необходимо обязательно уточнять о чем идет речь и какой алгоритм используется для расчета.

1 Доходность облигации без права досрочного погашения (доходность к погашению YTM) определяется по формуле:

YTM = ,

где P – номинальная цена облигации;

P – текущая цена на момент оценки;

D – купонный доход;

m – число лет до погашения облигации.

Достоинством показателя доходности к погашению YTM , как и любого другого показателя эффективности, является возможность использования его в сравнительном анализе при выборе вариантов инвестирования в те или иные облигации.

Пример: Рассчитать доходность облигации номинальной стоимостью 1000 д.ед. с годовой купонной ставкой 9%, имеющей текущую рыночную цену 840 д.ед. Облигация будет приниматься к погашению через 8 лет.

YTM = , или 12%

2 Доходность бессрочной привилегированной акции, а также обыкновенной с неизменным дивидендом, если инвестор не предполагает продавать ее в будущем, поэтому общая доходность совпадает с текущей дивидендной доходностью и определяется по формуле:

kt = ,

где D – ожидаемый дивиденд.

P- текущая рыночная цена акции.

3 Если инвестор приобретает акцию в спекулятивных целях, намереваясь продавать ее через некоторое время, то он может определить общую доходность (дивидендную + капитализированную), воспользовавшись следующей формулой:

kt =  + ,

где P1 – ожидаемая цена акции на момент предполагаемой ее продажи;

P0 - рыночная цена акции на момент принятия решения о ее покупке;

n – ожидаемое число лет владения акцией.

Для оценки значений ожидаемой общей доходности простых акций с равномерно возрастающими дивидендами можно воспользоваться формулой модели Гордона, тогда общая доходность будет равна:

kt =  + g = k + kc,

где: D1 – ожидаемый дивиденд;

P0 – цена акции на момент оценки;

g – темп прироста дивиденда.

Отсюда видно, что ожидаемая капитализированная доходность обыкновенных акций с равномерно возрастающим дивидендом совпадают с темпом прироста дивиденда g или с темпом прироста цены акции, т.е. показатель g имеет несколько интерпретаций:

- капитализированная доходность;

- темп прироста дивидендов;

- темп прироста цены акции.

ПРИЛОЖЕНИЕ


Таблица 1: Функция накопления капитала



годы














%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

1,010

1,020

1,030

1,041

1,051

1,062

1,072

1,083

1,094

1,105

1,116

1,127

1,138

1,149

2

1,020

1,040

1,061

1,082

1,104

1,126

1,149

1,172

1,195

1,219

1,243

1,268

1,294

1,319

3

1,030

1,061

1,093

1,126

1,159

1,194

1,230

1,267

1,305

1,344

1,384

1,426

1,469

1,513

4

1,040

1,082

1,125

1,170

1,217

1,265

1,316

1,369

1,423

1,480

1,539

1,601

1,665

1,732

5

1,050

1,103

1,158

1,216

1,276

1,340

1,407

1,477

1,551

1,629

1,710

1,796

1,886

1,980

6

1,060

1,124

1,191

1,262

1,338

1,419

1,504

1,594

1,689

1,791

1,898

2,012

2,133

2,261

7

1,070

1,145

1,225

1,311

1,403

1,501

1,606

1,718

1,838

1,967

2,105

2,252

2,410

2,579

8

1,080

1,166

1,260

1,360

1,469

1,587

1,714

1,851

1,999

2,159

2,332

2,518

2,720

2,937

9

1,090

1,188

1,295

1,412

1,539

1,677

1,828

1,993

2,172

2,367

2,580

2,813

3,066

3,342

10

1,100

1,210

1,331

1,464

1,611

1,772

1,949

2,144

2,358

2,594

2,853

3,138

3,452

3,797

11

1,110

1,232

1,368

1,518

1,685

1,870

2,076

2,305

2,558

2,839

3,152

3,498

3,883

4,310

12

1,120

1,254

1,405

1,574

1,762

1,974

2,211

2,476

2,773

3,106

3,479

3,896

4,363

4,887

13

1,130

1,277

1,443

1,630

1,842

2,082

2,353

2,658

3,004

3,395

3,836

4,335

4,898

5,535

14

1,140

1,300

1,482

1,689

1,925

2,195

2,502

2,853

3,252

3,707

4,226

4,818

5,492

6,261

15

1,150

1,323

1,521

1,749

2,011

2,313

2,660

3,059

3,518

4,046

4,652

5,350

6,153

7,076

16

1,160

1,346

1,561

1,811

2,100

2,436

2,826

3,278

3,803

4,411

5,117

5,936

6,886

7,988

17

1,170

1,369

1,602

1,874

2,192

2,565

3,001

3,511

4,108

4,807

5,624

6,580

7,699

9,007

18

1,180

1,392

1,643

1,939

2,288

2,700

3,185

3,759

4,435

5,234

6,176

7,288

8,599

10,147

19

1,190

1,416

1,685

2,005

2,386

2,840

3,379

4,021

4,785

5,695

6,777

8,064

9,596

11,420

20

1,200

1,440

1,728

2,074

2,488

2,986

3,583

4,300

5,160

6,192

7,430

8,916

10,699

12,839

21

1,210

1,464

1,772

2,144

2,594

3,138

3,797

4,595

5,560

6,727

8,140

9,850

11,918

14,421

22

1,220

1,488

1,816

2,215

2,703

3,297

4,023

4,908

5,987

7,305

8,912

10,872

13,264

16,182

23

1,230

1,513

1,861

2,289

2,815

3,463

4,259

5,239

6,444

7,926

9,749

11,991

14,749

18,141

24

1,240

1,538

1,907

2,364

2,932

3,635

4,508

5,590

6,931

8,594

10,657

13,215

16,386

20,319

25

1,250

1,563

1,953

2,441

3,052

3,815

4,768

5,960

7,451

9,313

11,642

14,552

18,190

22,737

26

1,260

1,588

2,000

2,520

3,176

4,002

5,042

6,353

8,005

10,086

12,708

16,012

20,175

25,421

27

1,270

1,613

2,048

2,601

3,304

4,196

5,329

6,768

8,595

10,915

13,862

17,605

22,359

28,396

28

1,280

1,638

2,097

2,684

3,436

4,398

5,629

7,206

9,223

11,806

15,112

19,343

24,759

31,691

29

1,290

1,664

2,147

2,769

3,572

4,608

5,945

7,669

9,893

12,761

16,462

21,236

27,395

35,339

30

1,300

1,690

2,197

2,856

3,713

4,827

6,275

8,157

10,604

13,786

17,922

23,298

30,288

39,374

31

1,310

1,716

2,248

2,945

3,858

5,054

6,621

8,673

11,362

14,884

19,498

25,542

33,460

43,833

32

1,320

1,742

2,300

3,036

4,007

5,290

6,983

9,217

12,166

16,060

21,199

27,983

36,937

48,757

33

1,330

1,769

2,353

3,129

4,162

5,535

7,361

9,791

13,022

17,319

23,034

30,635

40,745

54,190

34

1,340

1,796

2,406

3,224

4,320

5,789

7,758

10,395

13,930

18,666

25,012

33,516

44,912

60,182

35

1,350

1,823

2,460

3,322

4,484

6,053

8,172

11,032

14,894

20,107

27,144

36,644

49,470

66,784

36

1,360

1,850

2,515

3,421

4,653

6,328

8,605

11,703

15,917

21,647

29,439

40,037

54,451

74,053

37

1,370

1,877

2,571

3,523

4,826

6,612

9,058

12,410

17,001

23,292

31,910

43,717

59,892

82,052

38

1,380

1,904

2,628

3,627

5,005

6,907

9,531

13,153

18,151

25,049

34,568

47,703

65,831

90,846

39

1,390

1,932

2,686

3,733

5,189

7,213

10,025

13,935

19,370

26,925

37,425

52,021

72,309

100,510

40

1,400

1,960

2,744

3,842

5,378

7,530

10,541

14,758

20,661

28,925

40,496

56,694

79,371

111,120

41

1,410

1,988

2,803

3,953

5,573

7,858

11,080

15,623

22,028

31,059

43,794

61,749

87,066

122,763

42

1,420

2,016

2,863

4,066

5,774

8,198

11,642

16,531

23,474

33,334

47,334

67,214

95,444

135,530

43

1,430

2,045

2,924

4,182

5,980

8,551

12,228

17,486

25,005

35,757

51,132

73,119

104,561

149,522

44

1,440

2,074

2,986

4,300

6,192

8,916

12,839

18,488

26,623

38,338

55,206

79,497

114,475

164,845

45

1,450

2,103

3,049

4,421

6,410

9,294

13,476

19,541

28,334

41,085

59,573

86,381

125,252

181,615

46

1,460

2,132

3,112

4,544

6,634

9,685

14,141

20,645

30,142

44,008

64,251

93,807

136,958

199,959

47

1,470

2,161

3,177

4,669

6,864

10,090

14,833

21,804

32,052

47,117

69,261

101,814

149,667

220,010

48

1,480

2,190

3,242

4,798

7,101

10,509

15,554

23,019

34,069

50,422

74,624

110,444

163,457

241,916

49

1,490

2,220

3,308

4,929

7,344

10,943

16,304

24,294

36,197

53,934

80,362

119,739

178,411

265,832

50

1,500

2,250

3,375

5,063

7,594

11,391

17,086

25,629

38,443

57,665

86,498

129,746

194,620

291,929


Таблица 2: Коэффициент дисконтирования



годы

















%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

0,990

0,980

0,971

0,961

0,951

0,942

0,933

0,923

0,914

0,905

0,896

0,887

0,879

0,870

0,861

0,853

0,844

2

0,980

0,961

0,942

0,924

0,906

0,888

0,871

0,853

0,837

0,820

0,804

0,788

0,773

0,758

0,743

0,728

0,714

3

0,971

0,943

0,915

0,888

0,863

0,837

0,813

0,789

0,766

0,744

0,722

0,701

0,681

0,661

0,642

0,623

0,605

4

0,962

0,925

0,889

0,855

0,822

0,790

0,760

0,731

0,703

0,676

0,650

0,625

0,601

0,577

0,555

0,534

0,513

5

0,952

0,907

0,864

0,823

0,784

0,746

0,711

0,677

0,645

0,614

0,585

0,557

0,530

0,505

0,481

0,458

0,436

6

0,943

0,890

0,840

0,792

0,747

0,705

0,665

0,627

0,592

0,558

0,527

0,497

0,469

0,442

0,417

0,394

0,371

7

0,935

0,873

0,816

0,763

0,713

0,666

0,623

0,582

0,544

0,508

0,475

0,444

0,415

0,388

0,362

0,339

0,317

8

0,926

0,857

0,794

0,735

0,681

0,630

0,583

0,540

0,500

0,463

0,429

0,397

0,368

0,340

0,315

0,292

0,270

9

0,917

0,842

0,772

0,708

0,650

0,596

0,547

0,502

0,460

0,422

0,388

0,356

0,326

0,299

0,275

0,252

0,231

10

0,909

0,826

0,751

0,683

0,621

0,564

0,513

0,467

0,424

0,386

0,350

0,319

0,290

0,263

0,239

0,218

0,198

11

0,901

0,812

0,731

0,659

0,593

0,535

0,482

0,434

0,391

0,352

0,317

0,286

0,258

0,232

0,209

0,188

0,170

12

0,893

0,797

0,712

0,636

0,567

0,507

0,452

0,404

0,361

0,322

0,287

0,257

0,229

0,205

0,183

0,163

0,146

13

0,885

0,783

0,693

0,613

0,543

0,480

0,425

0,376

0,333

0,295

0,261

0,231

0,204

0,181

0,160

0,141

0,125

14

0,877

0,769

0,675

0,592

0,519

0,456

0,400

0,351

0,308

0,270

0,237

0,208

0,182

0,160

0,140

0,123

0,108

15

0,870

0,756

0,658

0,572

0,497

0,432

0,376

0,327

0,284

0,247

0,215

0,187

0,163

0,141

0,123

0,107

0,093

16

0,862

0,743

0,641

0,552

0,476

0,410

0,354

0,305

0,263

0,227

0,195

0,168

0,145

0,125

0,108

0,093

0,080

17

0,855

0,731

0,624

0,534

0,456

0,390

0,333

0,285

0,243

0,208

0,178

0,152

0,130

0,111

0,095

0,081

0,069

18

0,847

0,718

0,609

0,516

0,437

0,370

0,314

0,266

0,225

0,191

0,162

0,137

0,116

0,099

0,084

0,071

0,060

19

0,840

0,706

0,593

0,499

0,419

0,352

0,296

0,249

0,209

0,176

0,148

0,124

0,104

0,088

0,074

0,062

0,052

20

0,833

0,694

0,579

0,482

0,402

0,335

0,279

0,233

0,194

0,162

0,135

0,112

0,093

0,078

0,065

0,054

0,045

21

0,826

0,683

0,564

0,467

0,386

0,319

0,263

0,218

0,180

0,149

0,123

0,102

0,084

0,069

0,057

0,047

0,039

22

0,820

0,672

0,551

0,451

0,370

0,303

0,249

0,204

0,167

0,137

0,112

0,092

0,075

0,062

0,051

0,042

0,034

23

0,813

0,661

0,537

0,437

0,355

0,289

0,235

0,191

0,155

0,126

0,103

0,083

0,068

0,055

0,045

0,036

0,030

24

0,806

0,650

0,524

0,423

0,341

0,275

0,222

0,179

0,144

0,116

0,094

0,076

0,061

0,049

0,040

0,032

0,026

25

0,800

0,640

0,512

0,410

0,328

0,262

0,210

0,168

0,134

0,107

0,086

0,069

0,055

0,044

0,035

0,028

0,023

26

0,794

0,630

0,500

0,397

0,315

0,250

0,198

0,157

0,125

0,099

0,079

0,062

0,050

0,039

0,031

0,025

0,020

27

0,787

0,620

0,488

0,384

0,303

0,238

0,188

0,148

0,116

0,092

0,072

0,057

0,045

0,035

0,028

0,022

0,017

28

0,781

0,610

0,477

0,373

0,291

0,227

0,178

0,139

0,108

0,085

0,066

0,052

0,040

0,032

0,025

0,019

0,015

29

0,775

0,601

0,466

0,361

0,280

0,217

0,168

0,130

0,101

0,078

0,061

0,047

0,037

0,028

0,022

0,017

0,013

30

0,769

0,592

0,455

0,350

0,269

0,207

0,159

0,123

0,094

0,073

0,056

0,043

0,033

0,025

0,020

0,015

0,012

31

0,763

0,583

0,445

0,340

0,259

0,198

0,151

0,115

0,088

0,067

0,051

0,039

0,030

0,023

0,017

0,013

0,010

32

0,758

0,574

0,435

0,329

0,250

0,189

0,143

0,108

0,082

0,062

0,047

0,036

0,027

0,021

0,016

0,012

0,009

33

0,752

0,565

0,425

0,320

0,240

0,181

0,136

0,102

0,077

0,058

0,043

0,033

0,025

0,018

0,014

0,010

0,008

34

0,746

0,557

0,416

0,310

0,231

0,173

0,129

0,096

0,072

0,054

0,040

0,030

0,022

0,017

0,012

0,009

0,007

35

0,741

0,549

0,406

0,301

0,223

0,165

0,122

0,091

0,067

0,050

0,037

0,027

0,020

0,015

0,011

0,008

0,006

36

0,735

0,541

0,398

0,292

0,215

0,158

0,116

0,085

0,063

0,046

0,034

0,025

0,018

0,014

0,010

0,007

0,005

37

0,730

0,533

0,389

0,284

0,207

0,151

0,110

0,081

0,059

0,043

0,031

0,023

0,017

0,012

0,009

0,006

0,005

38

0,725

0,525

0,381

0,276

0,200

0,145

0,105

0,076

0,055

0,040

0,029

0,021

0,015

0,011

0,008

0,006

0,004

39

0,719

0,518

0,372

0,268

0,193

0,139

0,100

0,072

0,052

0,037

0,027

0,019

0,014

0,010

0,007

0,005

0,004

40

0,714

0,510

0,364

0,260

0,186

0,133

0,095

0,068

0,048

0,035

0,025

0,018

0,013

0,009

0,006

0,005

0,003

41

0,709

0,503

0,357

0,253

0,179

0,127

0,090

0,064

0,045

0,032

0,023

0,016

0,011

0,008

0,006

0,004

0,003

42

0,704

0,496

0,349

0,246

0,173

0,122

0,086

0,060

0,043

0,030

0,021

0,015

0,010

0,007

0,005

0,004

0,003

43

0,699

0,489

0,342

0,239

0,167

0,117

0,082

0,057

0,040

0,028

0,020

0,014

0,010

0,007

0,005

0,003

0,002

44

0,694

0,482

0,335

0,233

0,162

0,112

0,078

0,054

0,038

0,026

0,018

0,013

0,009

0,006

0,004

0,003

0,002

45

0,690

0,476

0,328

0,226

0,156

0,108

0,074

0,051

0,035

0,024

0,017

0,012

0,008

0,006

0,004

0,003

0,002

46

0,685

0,469

0,321

0,220

0,151

0,103

0,071

0,048

0,033

0,023

0,016

0,011

0,007

0,005

0,003

0,002

0,002

47

0,680

0,463

0,315

0,214

0,146

0,099

0,067

0,046

0,031

0,021

0,014

0,010

0,007

0,005

0,003

0,002

0,001

48

0,676

0,457

0,308

0,208

0,141

0,095

0,064

0,043

0,029

0,020

0,013

0,009

0,006

0,004

0,003

0,002

0,001

49

0,671

0,450

0,302

0,203

0,136

0,091

0,061

0,041

0,028

0,019

0,012

0,008

0,006

0,004

0,003

0,002

0,001

50

0,667

0,444

0,296

0,198

0,132

0,088

0,059

0,039

0,026

0,017

0,012

0,008

0,005

0,003

0,002

0,002

0,001



Таблица 3: Функция будущей стоимости аннуитета



годы













%

1,0

2,00

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

1,0

2,01

3,030

4,060

5,101

6,152

7,214

8,286

9,369

10,462

11,567

12,683

13,809

2

1,0

2,02

3,060

4,122

5,204

6,308

7,434

8,583

9,755

10,950

12,169

13,412

14,680

3

1,0

2,03

3,091

4,184

5,309

6,468

7,662

8,892

10,159

11,464

12,808

14,192

15,618

4

1,0

2,04

3,122

4,246

5,416

6,633

7,898

9,214

10,583

12,006

13,486

15,026

16,627

5

1,0

2,05

3,153

4,310

5,526

6,802

8,142

9,549

11,027

12,578

14,207

15,917

17,713

6

1,0

2,06

3,184

4,375

5,637

6,975

8,394

9,897

11,491

13,181

14,972

16,870

18,882

7

1,0

2,07

3,215

4,440

5,751

7,153

8,654

10,260

11,978

13,816

15,784

17,888

20,141

8

1,0

2,08

3,246

4,506

5,867

7,336

8,923

10,637

12,488

14,487

16,645

18,977

21,495

9

1,0

2,09

3,278

4,573

5,985

7,523

9,200

11,028

13,021

15,193

17,560

20,141

22,953

10

1,0

2,10

3,310

4,641

6,105

7,716

9,487

11,436

13,579

15,937

18,531

21,384

24,523

11

1,0

2,11

3,342

4,710

6,228

7,913

9,783

11,859

14,164

16,722

19,561

22,713

26,212

12

1,0

2,12

3,374

4,779

6,353

8,115

10,089

12,300

14,776

17,549

20,655

24,133

28,029

13

1,0

2,13

3,407

4,850

6,480

8,323

10,405

12,757

15,416

18,420

21,814

25,650

29,985

14

1,0

2,14

3,440

4,921

6,610

8,536

10,730

13,233

16,085

19,337

23,045

27,271

32,089

15

1,0

2,15

3,473

4,993

6,742

8,754

11,067

13,727

16,786

20,304

24,349

29,002

34,352

16

1,0

2,16

3,506

5,066

6,877

8,977

11,414

14,240

17,519

21,321

25,733

30,850

36,786

17

1,0

2,17

3,539

5,141

7,014

9,207

11,772

14,773

18,285

22,393

27,200

32,824

39,404

18

1,0

2,18

3,572

5,215

7,154

9,442

12,142

15,327

19,086

23,521

28,755

34,931

42,219

19

1,0

2,19

3,606

5,291

7,297

9,683

12,523

15,902

19,923

24,709

30,404

37,180

45,244

20

1,0

2,20

3,640

5,368

7,442

9,930

12,916

16,499

20,799

25,959

32,150

39,581

48,497

21

1,0

2,21

3,674

5,446

7,589

10,183

13,321

17,119

21,714

27,274

34,001

42,142

51,991

22

1,0

2,22

3,708

5,524

7,740

10,442

13,740

17,762

22,670

28,657

35,962

44,874

55,746

23

1,0

2,23

3,743

5,604

7,893

10,708

14,171

18,430

23,669

30,113

38,039

47,788

59,779

24

1,0

2,24

3,778

5,684

8,048

10,980

14,615

19,123

24,712

31,643

40,238

50,895

64,110

25

1,0

2,25

3,813

5,766

8,207

11,259

15,073

19,842

25,802

33,253

42,566

54,208

68,760

26

1,0

2,26

3,848

5,848

8,368

11,544

15,546

20,588

26,940

34,945

45,031

57,739

73,751

27

1,0

2,27

3,883

5,931

8,533

11,837

16,032

21,361

28,129

36,723

47,639

61,501

79,107

28

1,0

2,28

3,918

6,016

8,700

12,136

16,534

22,163

29,369

38,593

50,398

65,510

84,853

29

1,0

2,29

3,954

6,101

8,870

12,442

17,051

22,995

30,664

40,556

53,318

69,780

91,016

30

1,0

2,30

3,990

6,187

9,043

12,756

17,583

23,858

32,015

42,619

56,405

74,327

97,625

31

1,0

2,31

4,026

6,274

9,219

13,077

18,131

24,752

33,425

44,786

59,670

79,168

104,710

32

1,0

2,32

4,062

6,362

9,398

13,406

18,696

25,678

34,895

47,062

63,122

84,320

112,303

33

1,0

2,33

4,099

6,452

9,581

13,742

19,277

26,638

36,429

49,451

66,769

89,803

120,439

34

1,0

2,34

4,136

6,542

9,766

14,086

19,876

27,633

38,029

51,958

70,624

95,637

129,153

35

1,0

2,35

4,173

6,633

9,954

14,438

20,492

28,664

39,696

54,590

74,697

101,841

138,485

36

1,0

2,36

4,210

6,725

10,146

14,799

21,126

29,732

41,435

57,352

78,998

108,437

148,475

37

1,0

2,37

4,247

6,818

10,341

15,167

21,779

30,837

43,247

60,248

83,540

115,450

159,167

38

1,0

2,38

4,284

6,912

10,539

15,544

22,451

31,982

45,135

63,287

88,336

122,904

170,607

39

1,0

2,39

4,322

7,008

10,741

15,930

23,142

33,168

47,103

66,473

93,398

130,823

182,844

40

1,0

2,40

4,360

7,104

10,946

16,324

23,853

34,395

49,153

69,814

98,739

139,235

195,929

41

1,0

2,41

4,398

7,201

11,154

16,727

24,585

35,665

51,287

73,315

104,375

148,168

209,917

42

1,0

2,42

4,436

7,300

11,366

17,139

25,338

36,979

53,511

76,985

110,319

157,653

224,867

43

1,0

2,43

4,475

7,399

11,581

17,560

26,111

38,339

55,825

80,830

116,587

167,719

240,839

44

1,0

2,44

4,514

7,500

11,799

17,991

26,907

39,746

58,235

84,858

123,196

178,402

257,899

45

1,0

2,45

4,553

7,601

12,022

18,431

27,725

41,202

60,743

89,077

130,162

189,735

276,115

46

1,0

2,46

4,592

7,704

12,247

18,881

28,567

42,707

63,353

93,495

137,503

201,754

295,561

47

1,0

2,47

4,631

7,807

12,477

19,341

29,431

44,264

66,068

98,120

145,237

214,498

316,312

48

1,0

2,48

4,670

7,912

12,710

19,811

30,320

45,874

68,893

102,962

153,383

228,008

338,451

49

1,0

2,49

4,710

8,018

12,947

20,291

31,233

47,538

71,831

108,029

161,963

242,324

362,063

50

1,0

2,50

4,750

8,125

13,188

20,781

32,172

49,258

74,887

113,330

170,995

257,493

387,239

51

1,0

2,51

4,790

8,233

13,432

21,282

33,136

51,035

78,064

118,876

180,503

273,559

414,074

52

1,0

2,52

4,830

8,342

13,680

21,794

34,127

52,872

81,366

124,677

190,508

290,573

442,671

53

1,0

2,53

4,871

8,452

13,932

22,316

35,144

54,770

84,799

130,742

201,036

308,584

473,134


Таблица 4: Функция текущей стоимости аннуитета



годы













%

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

12,0

13,0

1

0,990

1,970

2,941

3,902

4,853

5,795

6,728

7,652

8,566

9,471

10,368

11,255

12,134

2

0,980

1,942

2,884

3,808

4,713

5,601

6,472

7,325

8,162

8,983

9,787

10,575

11,348

3

0,971

1,913

2,829

3,717

4,580

5,417

6,230

7,020

7,786

8,530

9,253

9,954

10,635

4

0,962

1,886

2,775

3,630

4,452

5,242

6,002

6,733

7,435

8,111

8,760

9,385

9,986

5

0,952

1,859

2,723

3,546

4,329

5,076

5,786

6,463

7,108

7,722

8,306

8,863

9,394

6

0,943

1,833

2,673

3,465

4,212

4,917

5,582

6,210

6,802

7,360

7,887

8,384

8,853

7

0,935

1,808

2,624

3,387

4,100

4,767

5,389

5,971

6,515

7,024

7,499

7,943

8,358

8

0,926

1,783

2,577

3,312

3,993

4,623

5,206

5,747

6,247

6,710

7,139

7,536

7,904

9

0,917

1,759

2,531

3,240

3,890

4,486

5,033

5,535

5,995

6,418

6,805

7,161

7,487

10

0,909

1,736

2,487

3,170

3,791

4,355

4,868

5,335

5,759

6,145

6,495

6,814

7,103

11

0,901

1,713

2,444

3,102

3,696

4,231

4,712

5,146

5,537

5,889

6,207

6,492

6,750

12

0,893

1,690

2,402

3,037

3,605

4,111

4,564

4,968

5,328

5,650

5,938

6,194

6,424

13

0,885

1,668

2,361

2,974

3,517

3,998

4,423

4,799

5,132

5,426

5,687

5,918

6,122

14

0,877

1,647

2,322

2,914

3,433

3,889

4,288

4,639

4,946

5,216

5,453

5,660

5,842

15

0,870

1,626

2,283

2,855

3,352

3,784

4,160

4,487

4,772

5,019

5,234

5,421

5,583

16

0,862

1,605

2,246

2,798

3,274

3,685

4,039

4,344

4,607

4,833

5,029

5,197

5,342

17

0,855

1,585

2,210

2,743

3,199

3,589

3,922

4,207

4,451

4,659

4,836

4,988

5,118

18

0,847

1,566

2,174

2,690

3,127

3,498

3,812

4,078

4,303

4,494

4,656

4,793

4,910

19

0,840

1,547

2,140

2,639

3,058

3,410

3,706

3,954

4,163

4,339

4,486

4,611

4,715

20

0,833

1,528

2,106

2,589

2,991

3,326

3,605

3,837

4,031

4,192

4,327

4,439

4,533

21

0,826

1,509

2,074

2,540

2,926

3,245

3,508

3,726

3,905

4,054

4,177

4,278

4,362

22

0,820

1,492

2,042

2,494

2,864

3,167

3,416

3,619

3,786

3,923

4,035

4,127

4,203

23

0,813

1,474

2,011

2,448

2,803

3,092

3,327

3,518

3,673

3,799

3,902

3,985

4,053

24

0,806

1,457

1,981

2,404

2,745

3,020

3,242

3,421

3,566

3,682

3,776

3,851

3,912

25

0,800

1,440

1,952

2,362

2,689

2,951

3,161

3,329

3,463

3,571

3,656

3,725

3,780

26

0,794

1,424

1,923

2,320

2,635

2,885

3,083

3,241

3,366

3,465

3,543

3,606

3,656

27

0,787

1,407

1,896

2,280

2,583

2,821

3,009

3,156

3,273

3,364

3,437

3,493

3,538

28

0,781

1,392

1,868

2,241

2,532

2,759

2,937

3,076

3,184

3,269

3,335

3,387

3,427

29

0,775

1,376

1,842

2,203

2,483

2,700

2,868

2,999

3,100

3,178

3,239

3,286

3,322

30

0,769

1,361

1,816

2,166

2,436

2,643

2,802

2,925

3,019

3,092

3,147

3,190

3,223

31

0,763

1,346

1,791

2,130

2,390

2,588

2,739

2,854

2,942

3,009

3,060

3,100

3,129

32

0,758

1,331

1,766

2,096

2,345

2,534

2,677

2,786

2,868

2,930

2,978

3,013

3,040

33

0,752

1,317

1,742

2,062

2,302

2,483

2,619

2,721

2,798

2,855

2,899

2,931

2,956

34

0,746

1,303

1,719

2,029

2,260

2,433

2,562

2,658

2,730

2,784

2,824

2,853

2,876

35

0,741

1,289

1,696

1,997

2,220

2,385

2,508

2,598

2,665

2,715

2,752

2,779

2,799

36

0,735

1,276

1,673

1,966

2,181

2,339

2,455

2,540

2,603

2,649

2,683

2,708

2,727

37

0,730

1,263

1,652

1,935

2,143

2,294

2,404

2,485

2,544

2,587

2,618

2,641

2,658

38

0,725

1,250

1,630

1,906

2,106

2,251

2,355

2,432

2,487

2,527

2,555

2,576

2,592

39

0,719

1,237

1,609

1,877

2,070

2,209

2,308

2,380

2,432

2,469

2,496

2,515

2,529

40

0,714

1,224

1,589

1,849

2,035

2,168

2,263

2,331

2,379

2,414

2,438

2,456

2,469

41

0,709

1,212

1,569

1,822

2,001

2,129

2,219

2,283

2,328

2,360

2,383

2,400

2,411

42

0,704

1,200

1,549

1,795

1,969

2,091

2,176

2,237

2,280

2,310

2,331

2,346

2,356

43

0,699

1,188

1,530

1,769

1,937

2,054

2,135

2,193

2,233

2,261

2,280

2,294

2,303

44

0,694

1,177

1,512

1,744

1,906

2,018

2,096

2,150

2,187

2,213

2,232

2,244

2,253

45

0,690

1,165

1,493

1,720

1,876

1,983

2,057

2,109

2,144

2,168

2,185

2,196

2,204

46

0,685

1,154

1,475

1,695

1,846

1,949

2,020

2,069

2,102

2,125

2,140

2,151

2,158

47

0,680

1,143

1,458

1,672

1,818

1,917

1,984

2,030

2,061

2,083

2,097

2,107

2,113

48

0,676

1,132

1,441

1,649

1,790

1,885

1,949

1,993

2,022

2,042

2,055

2,064

2,071

49

0,671

1,122

1,424

1,627

1,763

1,854

1,916

1,957

1,984

2,003

2,015

2,024

2,029



КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ (опорный конспект) Раздел «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА» Аппарат финансовых вычислений широко используе

Больше работ по теме:

Предмет: Финансы, деньги, кредит

Тип работы: Доклад

Новости образования

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: MAIL@SKACHAT-REFERATY.RU

Скачать реферат © 2021 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ