Контрольная сообразно математическому разбору. Двоякий интеграл: определение, главные характеристики, геометрический значение. Вычисление двойного интеграла в декартовых

Содержание

1. Двоякий интеграл: определение, главные характеристики, геометрический значение.

2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Вычисление площади плоской фигуры с поддержкой двойного интеграла.

3. Двоякий интеграл в полярных координатах. Вычисление площади сектора с поддержкой двойного интеграла

4. Вычисление размеров геометрических тел с поддержкой двойных и тройных интегралов.

5. Троичный интеграл: определение, главные характеристики.

6. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

7. Тройные интегралы в цилиндрических и сферических координатах.

8. Криволинейные интегралы сообразно длине дуги: определение, характеристики и вычисление интегралов.

9. Криволинейные интегралы сообразно координатам: определение, характеристики и вычисление интегралов.

10. Формула Грина.

11. Ограничение независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Выдержка

Абстрактные вопросы



1. Двоякий интеграл: определение, главные характеристики, геометрический значение.

Определение двойного интеграла. Аксиома существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f( x, y).

Разобьём область D произвольным образом на n подобластей D1, D2, D3, …, Dn,(не имеющих общих внутренних точек). Эмблемой s( Di)станем означать площадь области Di; эмблемой diam( D)тут и далее станет отмечаться величайшее отдаление меж 2-мя точками, принадлежащими области D:

;

символом d обозначим больший из поперечников областей Di: .

В всякой из подобластей Di(i = 1,2, …, n)выберем произвольную точку Pi =(xi, yi), вычислим в данной точке смысл функции f( Pi)= f(xi, yi), и составим интегральную сумму .

Ежели есть граница последовательности интегральных сумм при , не подходящий ни от метода разбиения области D на подобласти Di, ни от выбора точек Pi, то функция f( x, y)именуется интегрируемой сообразно области D, а смысл этого предела именуется двойным интегралом от функции f( x, y)сообразно области D и обозначается .

Ежели разрисовать смысл f( P)чрез координаты точки P, и доставить ds как ds = dx dy, получим иное обозначение двойного интеграла: . Итак, коротко, .

Характеристики двойного интеграла.

Линейность. Ежели функции f( x, y), g( x, y)интегрируемы сообразно области D, то их линейная композиция также интегрируема сообразно области D, и .

Док-во. Для интегральных сумм верно сходство . Переходя к лимиту при и воспользовавшись качествами границ, осмотренными в разделе Арифметические деяния с пределами.

Аддитивность. Ежели область D является соединением 2-ух областей D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, то .

Док-во. Пусть область D1 разбита на подобласти D1,1, D1,2, …, D1, n1; область D2 разбита на подобласти D2,1, D2,2, …, D2, n2. Тогда соединение данных разбиений даст разбиение области D: на n1 n2 подобластей. Интегральная сумма сообразно области D одинакова сумме сумм сообразно областям D1 и D2: . Как и в прошлом случае, переходя к лимиту при , получим требуемое сходство.

Интеграл от единичной функции сообразно области D равен площади данной области: .

Док-во: Для хоть какого разбиения , т. е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек Pi. Граница неизменной равен данной неизменной, потому .

Геометрический значение двойного интеграла. Геометрический значение всякого слагаемого интегральной суммы: ежели , то - объём прямого цилиндра с базой Di вышины f( Pi); вся интегральная сумма - сумма объёмов таковых цилиндров, т. е. объём некого ступенчатого тела(вышина ступени, расположенной над подобластью Di, одинакова f( Pi)). Когда , это ступенчатое тело делается всё поближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному исподнизу областью D, сверху - поверхностью z = f( x, y), с цилиндрической побочный поверхностью, обращающей которой является грань области D, а образующие параллельны оси Oz. Двоякий интеграл равен объёму этого тела.



2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Вычисление площади плоской фигуры с поддержкой двойного интеграла.

Пусть D - область, обычная в направленности оси Oy. Осмотрим представление . Данная конструкция определяется чрез 2 обыденных определённых интеграла. Опосля интегрирования сообразно у во внутреннем интеграле(переменная х при этом рассматривается как неизменная)и подстановки сообразно у в пределах от по выходит функция, зависящая лишь от х, которая интегрируется в пределах от a по b. В предстоящем мы станем традиционно вписывать этот предмет без внутренних скобок:

.

Литература

-

Больше работ по теме: