Колебания линейной системы с одной степенью свободы
Введение
Цель работы
- закрепить знания студентов, получаемые при изучении раздела "Теория колебаний" курса "Механика сплошной среды" и привить навыки самостоятельного исследования колебательных процессов в механических системах.
Содержание задания:
1.Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы.
2.Получить решение этого уравнения и, используя заданные начальные условия, определить постоянные интегрирования и .
.Определить период установившихся вынужденных колебаний и добротность системы Д, а для вариантов с малым линейно-вязким сопротивлением (n<k) дополнительно: - условный период затухающих колебаний, - логарифмический декремент колебаний, - постоянную времени затухающих колебаний.
.Исследовать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы.
.Оценить процесс перехода от начального возмущенного движения системы к установившимся вынужденным колебаниям, построив графики и .
В курсовой работе рассматриваются малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. Требуется составить дифференциальное уравнение движения и найти его решение при заданных начальных условиях. Для вынужденных колебаний провести исследование процесса перехода от начального возмущенного движения к установившимся вынужденным колебаниям и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы.
Механические системы, рассматриваемые в курсовой работе - плоские механизмы, расположенные в вертикальной плоскости и состоящие из твердых тел, нитей, демпферов и упругих элементов.
Линейно-вязкое сопротивление при движении системы возникает в демпфере, сила сопротивления которого пропорциональна скорости движения поршня , - коэффициент сопротивления демпфера; массой демпфера можно пренебречь.
Силы и моменты сил воздействия упругих элементов на тела пропорциональны удлинению пружин или углу закручивания спиральных пружин.
Выполненная курсовая работа оформляется по ГОСТ 7.32-2001 и представляется на защиту комиссии в форме доклада с использованием средств мультимедийной аудитории.
колебание механический равновесие фазочастотный
1. Условие
Рис.1
Сила с моментом (М0=1 Н·м, p=15 рад/с) действует на однородный сплошной цилиндр 2 массой m2=4кг и радиусом r=0,1м, вращению которого препятствует спиральная пружина 3 со статической деформацией =0,25 рад.
Движению стержня 1 массой m1=2 кг вниз вдоль вертикальной оси препятствует демпфер 4 с коэффициентом сопротивления =67,2.
В момент времени t=0 цилиндру 2 в положении равновесия была сообщена начальная скорость = -0,5 рад/с.
2. Решение
.1 Составление дифференциального уравнения движения
Составим дифференциальное уравнение движения системы, используя уравнения Лагранжа II рода, выбрав в качестве обобщенной координаты q(t) угол поворота стержня 3 вокруг оси B(z) (рис.2) с положительным направлением отсчета против хода часовой стрелки.
Кинетическая энергия системы:
Т = Т1 + Т2 , (1)
(2)
(3)
Тогда
(4)
, где (5)
Обобщенную силу Q представим в виде
= QП + QФ + QВ (t) . (6)
Из условия равновесия системы
(7)
Запишем выражение, определяющее изменение потенциальной энергии системы при повороте цилиндра на угол от положения статического равновесия
(8)
, , (9)
Диссипативная функция Рэлея
(10)
Откуда
, . (11)
И, наконец, определим
(12)
(13)
Дифференциальное уравнение движения системы с учетом (5), (9), (11) и (13) имеет вид
(14)
или в канонической форме
, (15)
2.2 Решение и исследование уравнения
,
где
(16)
(17)
(18)
Имеем случай большого линейно-вязкого сопротивления n > k, поэтому общее решение однородного уравнения qо.о (t) запишем
(19)
(20)
Частное решение уравнения
, (21)
(22)
(23)
поскольку ? меняется в пределах от 0 до x,
(24)
Общее решение уравнения (19) имеет вид
(25)
Найдем постоянные и :
(26)
(27)
Отсюда следует,
(28)
Окончательный вид решения:
Вычислим добротность системы Д и период вынужденных колебаний :
, (29)
Рис. 2
Для оценки перехода от движения системы, возникшего в начальный момент t=0 в результате начального возмущения (q0= -0,02,рад/с), к установившимся вынужденным колебаниям построим графики и q(t) на интервале времени , достаточном для этого перехода:
(30)
На рис.2 представлены графики и q(t). Видно, что на выбранном интервале времени при , а q(t) переходит в установившиеся вынужденные колебания.
2.3 Характеристики системы
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики системы, построенные по значениям, приведенным в табл.1, даны на рис.3 и рис.4.
Таблица 1
z??0100,50,51,21,00,271,571,50,181,792,00,121,95
Рис. 3 Амплитудно-частотная характеристика
Рис. 4Фазочастотная характеристика
Поскольку, максимальное значение и соответствует z=0.
Заключение
1.При выполнении курсовой работы проанализирована колебательная система, составленная из однородного сплошного цилиндра, стержня, спиральной пружины и демпфера.
2.Составлено дифференциальное уравнение малых колебаний линейной системы с одной степенью свободы, получены его решения. В результате решений определено, что заданная система обладает большим линейно-вязким сопротивлением (). На выбранном интервале времени при , а переходит в установившиеся вынужденные колебания.
.Для систем с большим линейно-вязким сопротивлением движение без вынужденной силы (общее однородное решение) имеет не колебательный, затухающий характер, что представлено на рис. 2, потому что коэффициент затухания n=8,4 рад/с больше круговой частоты собственных колебаний системы k=4,42945 рад/с. В момент начала движения (при с) величина=-0,02 рад/с.
.График окончательного решения (величина) представлен также на рис. 2. По графику q(t) можно сказать, что возбужденные колебания системы не будут затухающими, т.е. амплитуда D=0,00769 рад. постоянна как при отсутствии резонанса, так и при резонансе. Линейное сопротивление не влияет на частоту вынужденных колебаний, которая совпадает с частотой возмущающей силы p=15 рад/с.
.Определены период установившихся вынужденных колебаний и добротность системы Д= 0,26366.
.На рис. 3 представлена амплитудно-частотная, а на рис. 4 - фазочастотная характеристики системы. Можно судить о том, что амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю, и не будет превышать величины статического смещения при увеличении частоты возмущающей силы.
.Фазочастотная характеристика показывает нам то, как система, с начальным фазовым сдвигом =1,65393 рад. будет откликаться на изменение частоты возмущающей силы.
Список литературы
1.Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1974, 1983, 1989. -575 с.
2.Методические указания по выполнению курсовой работы по теме "Колебания линейной системы с одной степенью свободы" по курсу "Механика сплошной среды" Москва,2008.
Больше работ по теме:
Предмет: Физика
Тип работы: Диплом
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2018 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ