Исследование точности оценки параметра экспоненциального распределения методом максимального правдоподобия

 

1.Введение

Цели работы:

)Изучить метод максимального правдоподобия;

)Рассмотреть методы вычисления 95% доверительного интервала;

)Создать программу-функцию на Matlab для исследования точности оценки параметра экспоненциального распределения методом максимального правдоподобия.

2. Теоретическая часть

.1Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение определяется следующим образом:

(x) = ? * e- ? x

? x <? , ? > 0

Где ? (лямбда) - параметр экспоненциальной функции (альтернативной параметризацией является параметр масштаба b=1/ ?)- основание натуральных логарифмов

Для экспоненциального распределения:

Функция дожития: s(t)=e- ?t ;

Плотность: f(x) = ? * e- ? x

Интенсивность: µ=? (нет старения);

Кумулятивный риск: H=?t

В данной работе задача в оценке параметра ? методом максимального правдоподобия и вычислении 95% доверительного интервала.

.2Метод максимального правдоподобия

Оценкой максимального правдоподобия ? неизвестного параметра ? называют значение ?, при котором функция f(T, ?) достигает максимума (как функция от ? при фиксированных t1, t2, … tn).

?(t1, t2, … tn) - плотность вероятности наблюдать выборку t1, t2, … tn

при значении параметра ?.

L ? - правдоподобие

L ?(t1, t2, … tn) ? max

?=arg max L ?(t1, t2, … tn) - оценка максимального правдоподобия.

Независимая выборка.

L ?(t1, t2, … tn)

?=arg max ln L ?

?

ln L ?(t1, t2, … tn) ln L ? (ti)

Оценка параметра ?:

{T>ti}=e-?t

f(ti)=?*e-?ti

L ?(t)=?*e-?ti

ln L ?(t)= ln L ?(t1, t2, … tn) ln ?-? * ti ? max

ln L ?(ti)= ln ? - ?*ti

?= - оценка максимального правдоподобия параметра ?

проверка того, что ? - максимум:

<0 => максимум функции

2.3Доверительный интервал

Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

.95 - доверительная вероятность ?

Доверительный интервал - интервал, на который попадает случайная величина с доверительной вероятностью ?. На рисунках 1 и 2 представлена функция нормального распределения.

рис. 1. Функция нормального распределения

рис. 2. Нормальное распределение, связь между вероятностью и дисперсией.

При вероятности ?=0.95 случайная величина X будет лежать в интервале xср-1,96?x? xср+1,96

2.4 Методы вычисления доверительного интервала

А. Через асимптотическую нормальность производной логарифма правдоподобия.

Асимптотически нормальная оценка - в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному, при увеличении размера выборки.

;

;

.96* ? ? 1.96*

решаем неравенство относительно

B.Через асимптотическую нормальность оценки максимального правдоподобия.

;

;

C.Через профиль функции правдоподобия.

максимальный правдоподобие программа экспотенциальный

;

вероятностью 0.95

;

;

;

[2].

Очень часто все три метода (A-C) дают практически совпадающие результаты. Преимущество метода В) - через асимптотическую нормальность оценки максимального правдоподобия - состоит в простом представлении выводов. К недостаткам можно отнести неинвариантность процедуры B) относительно перепараметризации. Метод А) более удобен с вычислительной точки зрения. Метод C) - через профиль функции правдоподобия рекомендуется использовать в сомнительных случаях. Он инвариантен относительно перепараметризации, и форма полученной доверительной области определяется самими данными [1].

3. Практическая часть

В качестве практического задания, требуется написать программу-функцию на Matlab, предусмотрев ввод параметров ? и n через список формальных параметров функции, генерирование независимой случайной выборки объёма n длительностей, имеющих экспоненциальное распределение с параметром ?, расчёт и вывод на экран оценки максимального правдоподобия и её 95% доверительного интервала, рассчитанного методом:

)через асимптотическую нормальность производной логарифма правдоподобия;

)через профиль функции правдоподобия.

Провести результаты и составить таблицу результатов (Таблица 1, стр. 13) для значений параметров.

На странице 10 представлен алгоритм программы (рис. 3).

Алгоритм программы.

Код программы.

function Lab3 (lambda, n);

T=exprnd (ones (1, n)/lambda);=n/sum(T);=(1-1.96/sqrt(n))*lambdah;=(1+1.96/sqrt(n))*lambdah;=a/2:0.01:2*b;=n*log(x)-x*sum(T);=n*log(lambdah)-lambdah*sum(T);(x, L, [a/2, 2*b], [Lmax-1.92]);([a, b, Lmax]);=lambdah;(n*log(x)-x*sum(T)>Lmax-1.92);=x+0.01;;=x;=lambdah;(n*log(x)-x*sum(T)>Lmax-1.92);=x-0.01;;=x;([a2, b2]);('lambda');('L');

Код программы.pravdopodobie (lambda, n);

%Крупеня Дарья, КББ-1-11

%Задаём функцию, lambda - параметр экспоненциального распределения;

%n - число данных=exprnd (ones (1, n)/lambda); % генерирование выборки=n/sum(T); % оценка максимального правдоподобия([lambdah]);=(1-1.96/sqrt(n))*lambdah; % левый предел доверительного интервала=(1+1.96/sqrt(n))*lambdah; % правый предел доверительного интервала=a/2:0.01:2*b;=n*log(x)-x*sum(T); % логарифм правдоподобия=n*log(lambdah)-lambdah*sum(T); % максимальное значение логарифма правдоподобия

plot (x, L, [a/2, 2*b], [Lmax-1.92]); % рисует график([a, b, Lmax]);

% выводит на экран значения концов доверительного интервала и Lmax=lambdah;(n*log(x)-x*sum(T)>Lmax-1.92); % ищет правый предел доверительного интервала

% через профиль функции правдоподобия=x+0.01; end;

b2=x;

x=lambdah;

while (n*log(x)-x*sum(T)>Lmax-1.92); % левый предел=x-0.01; end;=x;([ a2, b2]); % выводит на экран пределы доверительного интервала

xlabel ('lambda');

ylabel ('L');

Таблица результатов:

Таблица 1. Подсчёт оценки максимального правдоподобия и 95 % доверительного интервала 1 способ - через асимптотическую нормальность производной логарифма правдоподобия, 2 способом - через профиль функции правдоподобия.

?0.10.10.10.010.010.01n10501501050150OМП ?0.1020.08420.09690.02040.01180.011495% доверительный интервал, 1 способ [0.0388; 0.1654] [0.0609; 0.1076] [0.0814; 0.1124] [0.0078; 0.0331] [0.0085; 0.0150] [0.0096; 0.0133]95% доверительный интервал, 2 способ [0.0421; 0.1821] [0.0542; 0.1142] [0.0769; 0.1169] [0.0004; 0.0404] [0.0018; 0.0218] [0.0014; 0.0214]?0.50.50.510.51n1050150101000500OМП ?0.57330.41550.48431.28660.00050.970195% доверительный интервал, 1 способ [0.2179; 0.9286] [0.3003; 0.5307] [0.4068; 0.5618] [0.4892; 2.0841] [0.0005; 0.0005] [0.8850; 1.0551]95% доверительный интервал, 2 способ [0.2833; 1.0133] [0.3055; 0.5455] [0.4043; 0.5743] [0.6366; 2.2566] [0.4597; 0.5397] [0.8801; 1.0601]

Заключение

В данной работе теоретически описаны: экспоненциальное распределение, метод максимального правдоподобия и методы вычисления 95% доверительного интервала. На основе изученных методов написана программа на Matlab.

Составлена таблица результатов. По которой можно судить о том, что

при конкретных значениях ? и достаточно небольшом разбиении (n) - лучше использовать 1 метод - через асимптотическую нормальность производной логарифма правдоподобия. Так как интервал получается более точный.

При большем значении n пределы интервала 2 методами становятся более точными и их значения между собой приближаются, но всё равно в конкретной ситуации лучше использовать 1 метод.

В приложении, на рис. 5 и рис. 6, представлены изображения работающей программы.

Использованные источники

1.Д. Р. Кокс, Д. Оукс. Анализ данных типа времени жизни. Москва, Финансы и Статистика, 1988

.Михальский А.И. Лекционные материалы по курсу КТ в МБС,2013

.Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. - СПб.: БЧВ-Петербург, 2005. - 320 с.;

4.<#"justify">Приложение

)Параметры ввода: ?=0.1; n=10

Вывод: a=0.0439; b= 0.1870 Lmax = -31.5892=0.0555; b2=0.2055

2)Параметры ввода: ?=0.5; n=100

Вывод: a=0.3350; b=0.4984; Lmax=-187.5405; a2=0.3367; b2=0.5067

1.Введение Цели работы: )Изучить метод максимального правдоподобия; )Рассмотреть методы вычисления 95% доверительного интервала; )Создать програ

Больше работ по теме: