Интерполирование алгебраическими многочленами

 

Оглавление

Введение

1. Задача интерполирования алгебраическими многочленами

2. Интерполяционная формула Лагранжа

3. Интерполяционная формула Ньютона

4. Применение интерполяционных формул к данному примеру

Заключение

Использованная литература

Приложение

алгебраический интерполяционный лагранж программа

Введение

Интерполированием является одним из способов приближения функций и применяется в тех случаях, когда функция задается таблицей своих значений в некоторых точках.

Задачей интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках данного отрезка. Разумеется, такая постановка задачи допускает сколь угодно много решений.

Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерений yk = f(xk) некоторой физической величины f(x) в точках xk, k = 0, 1,…, n и требуется определить ее значение в других точках. Интерполирование используется также при необходимости сгущения таблиц, когда вычисление значений f(x) по точным формулам трудоемко.

1. Задача интерполирования алгебраическими многочленами

Пусть функциональная зависимость задана таблицей y0 = f(x0);…, y1= f(x1);…,yn = f(xn). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P(x) = Pn(x) степени не выше n, значения которого в точках xi (i = 0, 1 2,…, n)совпадают со значениями данной функции, то есть P(xi) = yi.

Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида

проходящую через заданную систему точек Мi(xi,yi) (рис. 1). Многочлен Р(х) называется интерполяционным многочленом. Точки xi (i = 0, 1, 2,…, n) называются узлами интерполяции

Рис. 1. Интерполирование алгебраическим многочленом

Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов а0, а1, а2 ,…, аn получаем систему линейных уравнений

(1)

определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек xi (i = 0, 1, 2,…, n) нет совпадающих.

Решение системы (1) можно записать различным образом. Однако наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.

2. Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть и заданы точки , (узлы интерполирования), в которых известны значения функции . Задача интерполирования состоит в том, чтобы построить многочлен:

степени n, значения которого в заданных точках , совпадают со значениями функции в этих точках. Такой полином существует и единственен.

Интерполяционный многочлен степени не выше n по системе алгебраических многочленов 1, х, х²,…,x? можно задать по формуле Лагранжа:

,где ,

.

Обозначая

получим "барицентрический" вид многочлена Лагранжа:

3. Интерполяционная формула Ньютона

Интерполяционная формула Ньютона является разностным аналогом формулы Тейлора и имеет вид:

где , i,j=0,1,…,n,

i ? j - разделенные разности первого порядка,

, i,j,k=0,1,…,n,

I ? j ? k - разделенные разности второго порядка,

разделенные разности k-го порядка.

При выводе формулы Ньютона не накладывается ограничений на порядок узлов x0,x1,…,xn , поэтому множество интерполяционных формул можно получить из перенумерацией узлов.

Также есть первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования в начале таблицы, т.е. точка x близка к x0), по которой будет считаться данная формула:

n(x) = f0 + t? f0 + ?2f0 + … + ?n f0, где t =

n fn ?fn ?2fn ?3fn ?4fn 0 f0 ?f0 ?2f0 ?3f0 ?4f0 1 f1 ?f1 ?2f1 ?3f1 … 2 f2 ?f2 ?2f2 … … 3 f3 ?f3 … … … 4 f4 … … … …

. Применение интерполяционных формул к данному примеру

Дана таблица значений функции y = Sh(x):

x Sh(x) 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,17520 1,33565 1,50946 1,69838 1,90430

Нужно найти приближенное значение Sh(x) по интерполяционной формуле Лагранжа и Ньютона для значения аргумента 0,03.

Исходя из данной формулы Лагранжа найдем значение.

,

в нашем случае L5(1,03).

Найдем:

?(1,03) = (1,03-1)*(1,03-2)*(1,03-3)*(1,03-4) = 0,0000356643

(?'(x0) = (1-1,1)*(1-1,2)*(1-1,3)*(1-1,4) = 0,0024

(?'(x1) = (1,1-1)*(1,1-1,2)*(1,1-1,3)*(1,1-1,4) = -0,0006

(?'(x2) = (1,2-1)*(1,2-1,1)*(1,2-1,3)*(1,2-1,4) = 0,0004

(?'(x3) = (1,3-1)*(1,3-1,1)*(1,3-1,2)*(1,3-1,4) = -0,0006

(?'(x4) = (1,4-1)*(1,4-1,1)*(1,4-1,2)*(1,4-1,3) = 0,0024- x0 = 0,03- x1 = - 0,07 - x2 = - 0,17

x - x3 = - 0,27

x - x4 = - 0,37

После того, как нашли ?(x) и ?' (xk), найдем L5(1,03).

L5(1,03) = + +

+ + + =

= 0,58212063 + 1,1341671975 - 0,7916740335 + 0,373898357 - 0,07648144875 = 1,22203070225.

Найдем значение в точке 1,03 по интерполяционной формуле Ньютона.

?f0 = f1 - f0 = 0,16045

?f1 = f2 - f1 = 0,17381

?f2 = f3 - f2 = 0,18893

?f3 = f4 - f3 = 0,20592

Аналогично находим остальные значения ?f и подставим их в таблицу.

n fn ?fn ?2fn ?3fn ?4fn 0 1,1752 0,16045 0,01336 0,00175 0,00014 1 1,33565 0,17381 0,01511 0,00189 … 2 1,50946 0,18892 0,017 … … 3 1,69838 0,20592 … … … 4 1,9043 … … … …= = 0,3

P5(1,03) = 1,1752 + 0,3*0,16045 + *0,01336 + *

*0,00175 + *0,00014 = 1,1752 + 0,048135 - 0,0014028 + 0,000104125 - 0,00000562275 = 1,22203070225.

Теперь посчитаем значение в точке 1,03 по формуле гиперболического синуса:

Sh(x) = => Sh(1,03) = = 1,22202943707.

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены интерполирования алгебраическими многочленами методами Лагранжа и Ньютона, пути решения которых совершенно разные, но результаты работы были одинаковыми, и также был рассчитан гиперболический синус по данной точке, результат которой меньше, но весьма близок к результатам методов.

Мною было рассчитано значение в точке по интерполяционным формулам Лагранжа и Ньютона и была создана демонстративная программа на Delphi 7, которая наглядно показывает достоверность решения методов.

Использованная литература

1) Монастырский П.И. Сборник задач по методам вычислений 1-е издание.

2) Монастырский П.И. Сборник задач по методам вычислений 2-е издание.

3) Тынкевич М. А.. Глава 7.6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Численные методы анализа.

Приложение

Используя все выше перечисленные интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона, внесем их в программу Delphi 7 через язык программирования Паскаль.

Результат по интерполяционной формуле Лагранжа:

Результат по интерполяционной формуле Ньютона:

Вывод: все значения в программе Delphi 7 совпадают со значениями из пункта 5.

Код программы Паскаль по интерполяционной формуле Ньютона:

Unit1;

interface

uses, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,, Grids, StdCtrls, XPMan, unit2, Buttons, TeEngine, Series,, TeeProcs, Chart;

type= class(TForm): TLabel;: TEdit;: TButton;: TStringGrid;: TXPManifest;: TButton;: TMemo;: TChart;: TLineSeries;: TBitBtn;: TLabel;: TRadioGroup;: TLabel;: TEdit;: TButton;: TEdit;: TMemo;: TLabeledEdit;: TLabel;: TEdit;: TEdit;FormCreate(Sender: TObject);Button1Click(Sender: TObject);Button2Click(Sender: TObject);Button3Click(Sender: TObject);

{ Private declarations }

{ Public declarations };

var: TForm1;:Methods;:bool;

{$R *.dfm}TForm1.FormCreate(Sender: TObject);:=Methods.Create;.ItemIndex:=0;.Cells[0,0]:='№ узла';.Cells[0,1]:='x[i]';.Cells[0,2]:='y[i]';.Cells[1,0]:=IntToStr(1);;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);:integer;.N:=StrToInt(Edit1.Text);.ColCount:=Meth.N+1;i:=1 to Meth.N do.Cells[i,0]:=IntToStr(i);;

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);: integer;.Clear;.Clear;.Clear;.Step:=StrToFloat(LabeledEdit1.Text);i:=1 to Meth.N do.x[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i,1]);.y[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i,2]);;i:=0 to Meth.N-1 do.x1[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i+1,1]);.y1[i]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[i+1,2]);;RadioGroup1.ItemIndex = 0 then.Graf;RadioGroup1.ItemIndex = 1 then.Newton;;

procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);RadioGroup1.ItemIndex = 0 then.Text:=FloatToStr(Meth.PointLag(StrToFloat(Edit2.Text))).Text:=FloatToStr(Meth.PointNew(StrToFloat(Edit2.Text)));

end;.

Код программы Паскаль по интерполяционной формуле Лагранжа:

unit Unit2;

interface, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,, Grids, StdCtrls,Math;= array [1..10] of real;= array [0..9] of real;= array [1..10] of array[1..10] of real;= class:integer;,y,a:Tvector;,x1:Tvector1;:TMatr;:real;: string;

// function Lagrange(q:real):real;Graf;PointLag(point:real):real;Razn();RealD(xk:real;x0:real):real;Factorial(Number:integer): integer;Newton();PointNew(point:real):real;;

implementationUnit1;

{function Methods.Lagrange(q:real):real;,j:integer;,s:real;:=0;i:=1 to n do:=1;j:=1 to N doj<>i then:=s*(q-x[j])/(x[i]-x[j]);:=L+y[i]*s;;.Memo1.Lines.Add('x= '+FloatToStr(q)+' y= '+FloatToStr(L));

//Form1.Series1.AddXY(q,l);:=l; }

procedure Methods.Graf();: array [1..10]of array [1..10]of real;: array[1..10] of real;: array[1..10] of real;,j,k:byte;, step, count:real;,My:real;i:=1 to N do[i]:=y[i];j:=1 to N do[j,i]:=Power(x[j],i-1);

end;

{Прямой ход - исключение переменных}

for k:=1 to n-1 doi:=k+1 to n do[i,k]:=-MassivA[i,k]/MassivA[k,k];j:=k+1 to n do[i,j]:=MassivA[i,j]+MassivA[i,k]*MassivA[k,j];;[i]:=MassivB[i]+MassivA[i,k]*MassivB[k];;[n]:=MassivB[n]/MassivA[n,n];

{Обратный ход - нахождение корней}k:=n-1 downto 1 do

begin:=MassivB[k];j:=k+1 to n do:=h-MassivX[j]*MassivA[k,j];[k]:=h/MassivA[k,k];;i:=1 to n do[i]:=MassivX[i];:='';

// построение многочленаi:=0 to N-1 do((i=N-1) or (i=0)) then(i=N-1) then(a[N-i]<0) then:=Polinom+FloatToStr(a[N-i]):=Polinom+ '+'+FloatToStr(a[N-i]);:=Polinom+FloatToStr(a[N-i])+'x^'+IntToStr(N-i-1);(a[N-i]<0) then:=Polinom+FloatToStr(a[N-i])+'x^'+IntToStr(N-i-1):=Polinom + '+'+FloatToStr(a[N-i])+'x^'+IntToStr(N-i-1);;;.Memo2.Lines.Add(Polinom);

// построение графика:=x[1];step<=x[N] do:=step;:=0;i:=1 to N do:=My+a[i]*Power(Mx,i-1);;.Series1.AddXY(Mx,My);:=step + 0.001;;

//уплотнение таблицы:=x[1];:= StrToFloat(Form1.LabeledEdit1.Text);step<=x[N] do:=step;:=0;i:=1 to N do:=My+a[i]*Power(Mx,i-1);;.Memo1.Lines.Add('x= '+Format('%.3f',[Mx])+' y= '+Format('%.4f',[My]));:=step + count;;;

function Methods.PointLag(point:real):real;:byte;i:=1 to N do:=result+a[i]*Power(point,i-1);;

// конечнее разностиMethods.Razn();, j: byte;j:=1 to N-1 do[j,1]:= y[j+1]-y[j];i:=2 to N doj:=1 to N-i+1 do[j,i]:= mas[j+1,i-1]-mas[j,i-1];;

// вывод DMethods.RealD(xk:real;x0:real):real;:=(xk-x0)/(x[2]-x[1]);;

function Methods.Factorial(Number:integer):integer;:integer;:=1;i:=1 to Number do:= Result*Number;;

procedure Methods.Newton();,j:integer;, Ndop, d:real;, xk, point:real;:= x[1];:= StrToFloat(Form1.Edit5.Text);:= StrToFloat(Form1.Edit4.Text);

// d:= RealD(xk,xn);;(point<=xk) do:=y[1];i:=1 to N-1 do:= RealD(point,xn);:=d*mas[1,i]/Factorial(i);(i>1) thenj:=1 to i-1 do:=Ndop*(d-j);;:=New+Ndop;;.Series1.AddXY(point,New);.Memo1.Lines.Add('x= '+Format('%.3f',[point])+' y= '+Format('%.4f',[New]));:=point+Step;;.Memo2.Lines.Add(Polinom);;

function Methods.PointNew(point:real):real;, Ndop, d:real;, j: byte;:=y[1];i:=1 to N-1 do:= RealD(point,x[1]);:=d*mas[1,i]/Factorial(i);(i>1) thenj:=1 to i-1 do:=Ndop*(d-j);;:=New+Ndop;;;

end.

Оглавление Введение 1. Задача интерполирования алгебраическими многочленами 2. Интерполяционная формула Лагранжа 3. Интерполяционная формула Нью

Больше работ по теме: