Геометрический значение личных производных и уравнение касательной плоскости и нормали
Содержание
Реферат с образцами решений
Выдержка
Введение
Личные производные главного распорядка.
Станем разглядывать функции 3-х независящих переменных. Пусть в некой трехмерной области V задана функция u=f( x,y,z)переменных x, y, z и пусть M0( x0,y0,z0)- некая внутренняя крапинка V.
Дадим независящему переменному x прибавление ”x=x-x0, тогда функция и получит этак именуемое личное прибавление сообразно x:
. ( 1)
Определение 1. Ежели есть окончательный граница дела личного приращения сообразно x функции f( x,y,z)в точке M0( x0,y0,z0)к вызвавшему его приращению ”x при ”x 0, то этот граница именуется личной производной сообразно х функции u=f( x,y,z)в точке М0 и обозначается одним из знаков:
Сообразно определению,
Личные производные сообразно y и сообразно z определяются сходственно:
Производные f\'x, f\'y, f\'z именуются еще и личными производными главного распорядка функции f( x,y,z), либо первыми личными производными.
Этак как личное прибавление ”xf( M0)выходит только за счет приращения независящей переменной x при фиксированных значениях остальных независящих переменных, то личная производная f\'x( M0)может рассматриваться как производная функции f( x,y0,z0)1-го переменного x. Следственно, чтоб отыскать производную сообразно x, необходимо все другие независящие переменные полагать неизменными и исчислять производную сообразно x как от функции 1-го независящего переменного x.
Сходственно рассчитываются личные производные сообразно иным независящим переменным.
Ежели личные производные есть в всякой точке области V, то они будут функциями тех же независящих переменных, что и хозяйка функция.
Образчик 1. Отыскать личные производные функции u=z-xy, z > 0.
Заключение:
Образчик 2. Представить, что функция
удовлетворяет тождеству:
Заключение:
данное сходство верно для всех точек М( х;у;z), не считая точки М0( a;b;c).
Геометрический значение личных производных
Осмотрим функцию z=f( х,у)2-ух независящих переменных и установим геометрический значение личных переменных z\'x=f\'x( х,у)и z\'y=f\'y( х,у).
В этом случае уравнение z=f( х,у)имеется уравнение некой поверхности(рис. 1). Проведем плоскость y = const. В сечении данной плоскостью поверхности z=f( х,у)выйдет некая линия l1 пересечения, вдоль которой меняются только величины х и z.
Рис. 1.
Личная производная z\'x(ее геометрический значение конкретно следует из популярного нам геометрического значения производной функции одной переменной)численно одинакова тангенсу угла ± крена, сообразно отношению к оси Ох, касательной L1 к косой l1, получающейся в сечении поверхности z=f( х,у)плоскостью y = const в точке М( х,у,f( xy)): z\'x= tg±.
В сечении же поверхности z=f( х,у)плоскостью х = const выйдет линия пересечения l2, вдоль которой меняются только величины у и z. Тогда личная производная z\'y численно одинакова тангенсу угла І крена сообразно отношению к оси Оу, касательной L2 к указанной полосы l2 пер
Литература
1. Данко П. Е. Верховная математика в упражнениях и задачках. В 2 ч. Ч. 1: Учеб. вспомоществование для вузов. - М. : «ОНИКС 21 век» «Мир и Образование» 2005
2. Краснов М. Л. , Киселев А. И. , Макаренко Г. И. и др. Верховная математика. М. : УРСС, 2000, Ч. 1-2.
3. Щипачев В. С. Верховная математика: Учебник. М. : Верховная школа, 2000.
4. www. vm. psati. ru
Введение
Частные производные первого порядка.
Будем рассматривать функции трех независимых переменных. Пусть в некоторой трехмерной области V задана функция u=f