Гауссов пучок в свободном пространстве

 

Содержание

Введение

. Гауссов пучок в свободном пространстве

. Прохождение Гауссова пучка через тонкую линзу

. Дифракция Гауссова пучка

.1 Фокусировка Гауссова пучка

.2 Размеры фокальной области линзы

Список литературы

Введение

лазер гауссовый пучок дифракция

История изобретения лазера началась с предположения. А именно: в 1916 году Альберт Энштейн создал теорию взаимодействия излучения с веществом, из которой вытекала принципиальная возможность создания квантовых усилителей и генераторов электромагнитных волн, да и Алексей Толстой, в своем знаменитом романе "Гиперболоид инженера Гарина", писал примерно об этом же.

Однако первая попытка экспериментально обнаружить индуцированное излучение была только в 1928 году, когда Ланденбург, изучая отрицательную дисперсию света, сформулировал условия обнаружения индуцированного излучения как преобладание его над поглощением (условие инверсии), отметив, что для этого необходимо специальное избирательное возбуждение квантовой системы.

До 50-х годов были только предпосылки создания лазера, пока в 1955 году ученые Николай Басов и Александр Прохоров не разработали квантовый генератор - усилитель микроволн с помощью индуцированного излучения, активной средой которого является аммиак.

Изобретение лазера, использующего аммиак, позволило американским ученым Чарльзу Таунсу и Артуру Шавлову через два года начать разработку принципов лазера. Работая параллельно в том же направлении, Александр Прохоров в 1958-м использовал для создания лазера резонатор Фабри-Перо, представляющий собой два параллельных зеркала, одно из которых полупрозрачно.

В мае 1960 г. сотрудник исследовательского центра фирмы Hughes, американский физик Теодор Мейман, основываясь на работах Н. Басова, А. Прохорова и Ч. Таунса, сконструировал первый лазер на рубине с длиной волны в 0,69 мкм. Спустя полгода в лабораториях корпорации IBM заработал инфракрасный лазер на фториде кальция с добавкой ионов урана, построенный Питером Сорокиным (Peter Sorokin) и Миреком Стивенсоном (Mirek Stevenson). Это был уникальный прибор, который действовал лишь при температуре жидкого водорода и практического значения не приобрел.

Наконец, в декабре того же года исследователи из Bell Laboratories Али Джаван (Ali Javan), Уильям Беннетт (William Bennett) и Дональд Хэрриот (Donald Herriotte) продемонстрировали первый в мире газовый лазер на смеси гелия и неона, который повсеместно применяется и в наши дни.

1. Гауссов пучок в свободном пространстве

В оптике Гауссовым пучком называется пучок электромагнитного излучения, в котором распределение электрического поля и излучения в поперечном сечении хорошо аппроксимируется функцией Гаусса. Когерентный световой пучок с гауссовым распределением поля имеет фундаментальное значение в теории волновых пучков. Этот пучок называют основной модой в отличие от других мод более высокого порядка.

Гауссовы пучки хорошо описывают моды тех резонаторов, которые образованы квадратичными, или гауссовыми элементами. К таким элементам относятся (в параксиальном приближении) линзы, сферические зеркала при нормальном и наклонном падении на них пучка, диафрагмы с плавно (по гауссову закону) меняющимся поглощением, так называемые квадратичные среды и т.п. Подавляющее большинство резонаторов именно такими элементами и образованы. К негауссовым элементам относятся диафрагмы с резкими краями, диэлектрики (в том числе активные элементы), обладающие сильными аберрациями, т. е. не квадратичной зависимостью показателя преломления от радиуса и др.

Следует отметить огромное разнообразие резонаторов, модой которых является гауссов пучок, при том, что все эти пучки являются разновидностями единственного астигматичного эрмит-гауссова пучка. Если учесть еще и простоту расчета мод, по крайней мере для резонаторов, имеющих плоскость симметрии, (правило ABCD), то становится ясно, что оптика гауссовых пучков есть незаменимое и весьма мощное средство исследования лазерных резонаторов. Даже если в резонаторе имеются негауссовы элементы, первоначальный расчет в пределах гауссовой оптики дает хорошую ориентировку для дальнейшего исследования.

Для того чтобы яснее оттенить свойства гауссова пучка, будем сравнивать его с плоской волной. Волновое движение в плоской волне описывается несколькими параметрами, такими как частота, амплитуда, направление и скорость распространения, фаза. Считается, что плоская волна занимает все пространство, следовательно, плоская волна является идеализацией, реально такие объекты не существуют. Тем не менее представление о плоской волне оказывается очень полезным. Математически плоская волна описывается простым соотношением

(1)

где u(r,t) - величина, характеризующая волновое движение в точке r в момент времени t, например, смещение частиц среды в поверхностной или звуковой волне, одна из компонент напряженности поля в электромагнитной волне и т. п. Частота определяет скорость изменения величины u со временем, волновой вектор k определяет скорость изменения величины u в пространстве. Направление волнового вектора определяет собой направление распространения плоской волны. С частотой и волновым вектором k связаны такие величины, как период колебаний волны Т и длина волны:

;

Отношение

называется фазовой скоростью распространения волны.

По поводу выражения (1) для плоской волны необходимо сделать два замечания. В природе существует много типов волнового движения: волны на поверхности жидкости, упругие волны (в частности, звук), электромагнитные волны (в частности, радиоволны, свет), в соответствии с гипотезой де Бройля можно говорить об электронных волнах и вообще о волнах вещества и т. д. Несмотря на специфику каждого типа волн, все они имеют много общих черт. Например, для всех этих волн можно ввести представление о плоских волнах (1). Правда, некоторые из этих волн могут быть многокомпонентными, т. е. волна в каждой точке описывается не одной, а несколькими величинами. Электромагнитные волны, интересующие нас в данной книге, как раз являются многокомпонентными. Они описываются в каждой точке пространства электрическим вектором (3 компоненты) и магнитным вектором (3 компоненты), всего 6 компонент. Однако электромагнитные поля, которые рассматриваются ниже, как правило, устроены так, что все их компоненты могут быть выражены через одну выделенную компоненту. Тогда достаточно рассмотреть только волну, соответствующую выделенной компоненте. Обычно в качестве выделенной компоненты используется наибольшая поперечная (по отношению к направлению распространения поля) компонента электрического поля. Здесь же отметим, что подобное однокомпонентное приближение (сведение к одной компоненте в общем случае может быть сделано лишь приближенно) является очень эффективным и позволяет описать подавляющую часть свойств лазерных резонаторов.

Второе замечание касается комплексного представления волны (1). Подобное представление или запись волновых величин широко распространено и очень удобно. Возможность такой записи основана на простом обстоятельстве, а именно, если некоторая комплексная величина удовлетворяет тому или иному линейному дифференциальному уравнению (или даже системе таких уравнений) с вещественными коэффициентами, то тому же уравнению удовлетворяют отдельно вещественная и мнимая части этой комплексной величины. Имеет место и обратное положение: если некоторые две величины удовлетворяют упомянутому выше дифференциальному уравнению, то ему же удовлетворяет и комплексная величина, в которой первые две величины являются соответственно вещественной и мнимой частями.

Разумеется, всякая физически наблюдаемая величина является вещественной. Поэтому, выполнив те или иные математические преобразования в удобной комплексной форме, для получения физически наблюдаемых величин следует переходить к вещественным величинам. Так, взяв вещественную часть и, получим

(2)

вещественное выражение, описывающее физически наблюдаемое явление распространения плоской волны. Мнимая часть u также может быть использована в качестве вещественного выражения для волны

это выражение может быть получено и из выражения (2), если в последнем фазе ср придать новое значение, равное

В данной книге мы будем интересоваться почти исключительно монохроматическими волнами, т.е. волнами с фиксированной частотой; описывающие такие волны выражения всегда содержат множитель

Именно из-за того, что этот множитель всегда один и тот же, он может быть опущен во всех выражениях, за исключением тех, где его роль специально подчеркивается.

Так, для плоской волны получается выражение

(3)

Если вещественную часть волны (3) умножить на или то получится

выражение, описывающее стоячую волну.

Таким образом, вычисляя вещественную часть волны (1), получаем вещественное выражение для плоской бегущей волны. Если же вычислить вещественную часть той же волны (1), но с опущенным временным множителем, и умножить эту часть на или, то получится вещественное выражение для стоячей волны. То же правило остается справедливым и для волн более сложной конфигурации, нежели плоская волна.

Иногда амплитуду волны G посредством соотношения

переводят в показатель степени, при этом волна типа (17) принимает вид

(4)

где a и b - некоторые функции аргументов r и t. В этом случае следует понимать, что вещественная часть показателя степени описывает амплитудное распределение волны (4), а мнимая часть того же показателя описывает зависимость фазы от г и t. В некоторых случаях показатель степени может представлять собой выражение, в котором вещественная и мнимая части не разделены, тогда для отыскания амплитудного и фазового распределений достаточно произвести такое разделение известными математическими методами.

Вернемся теперь к описанию гауссова пучка. От плоской волны он отличается прежде всего тем, что занимает не все пространство, а некоторую ограниченную его часть, основная часть гауссова пучка сосредоточена внутри фигурной трубки, образованной вращением гиперболы вокруг той ее оси, которую гипербола не пересекает (выберем эту ось в качестве оси z координатной системы) (рис. 1.1). Вдоль оси z гауссов пучок простирается от до. Поле гауссова пучка отлично от нуля как внутри трубки, так и вне ее, но вне трубки оно быстро убывает при удалении от оси пучка и становится ничтожно малым по сравнению с полем внутри трубки.

Математически гауссов пучок описывается следующими двумя эквивалентными выражениями:

(5)

(6)

где - расстояние от точки наблюдения в пучке до оси z и G - амплитудная константа. Этот пучок приближенно и с учетом других компонент поля удовлетворяет уравнениям Максвелла при зависимости от времени вида (в выражениях (5) и (6) эта зависимость, как условлено, опущена). Обратим внимание, что зависимость показателя экспоненты от поперечных координат квадратична. Как мы увидим далее, эта квадратичность является существенным качеством гауссова пучка. Зависимость от продольной координаты z более сложная, кроме того, от z зависит также и предэкспоненциальный множитель. В выражениях для гауссова пучка фигурирует вещественный параметр b, имеющий размерность длины и называемый параметром гауссова пучка или чаще параметром конфокальности гауссова пучка. Гауссов пучок считается заданным, если известны его параметр b и волновое число

Иногда в качестве основных используют параметры а и к, причем

(7)

Нетрудно видеть, что второе выражение для гауссова пучка (6) отличается от первого (5) тем, что в нем в показателе экспоненты разделены вещественная и мнимая части. Это обстоятельство удобно тем, что позволяет исследовать амплитудное и фазовое распределения в гауссовом пучке и другие его характеристики. Преимущества же первой формы выяснятся позднее. Отметим, что гауссов пучок, поскольку он выражается лишь через, обладает цилиндрической симметрией.

Рассмотрим амплитудное распределение в плоскости z = 0. Из (6), опуская множитель i, получаем

(8)

Подобная зависимость в математике хорошо известна и носит название гауссовой экспоненты. От этой зависимости произошло и название всего пучка - гауссов пучок. Как видим, параметр а характеризует поперечный размер гауссова пучка в плоскости z = 0. В точке г = а зависимость (8) имеет перегиб, т.е.

при r = a. Амплитуда гауссова пучка спадает в е раз на расстоянии от оси пучка. Плотность энергии в пучке пропорциональна квадрату модуля u:

и, следовательно, плотность энергии пучка спадает в е раз при r = а.

Величину а обычно называют полушириной гауссова пучка в перетяжке.

(9)

Как видим, зависимость плотности энергии от радиуса качественно такая же, как и в плоскости z=0, т. е. остается гауссовой экспонентой, однако характерный поперечный размер гауссова пучка изменился. Он стал равным

(10)

т. е. увеличился. Очевидно, он увеличился бы и в том случае, если бы мы положили z -> -z, т.е. пошли бы влево от плоскости z = 0 (рис. 1.1). Следовательно, в плоскости z = 0 поперечный размер гауссова пучка минимален - это место пучка называется перетяжкой. Отметим, что радиус пучка и координата z связаны друг с другом, согласно (10), уравнением

(11)

т.е. кривая представляет собой гиперболу, что и отмечалось выше (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Гиперболические каустики, ограничивающие поле гауссова пучка

Поверхность, образующаяся при вращении этой гиперболы вокруг оси симметрии (т. е. вокруг оси z) - однополостный гиперболоид вращения - называется каустической поверхностью или просто каустикой гауссова пучка. Это название пришло из геометрической оптики.

Отметим, что в продольном направлении гауссов пучок можно разбить на три части. В центральной части, при, поперечные размеры пучка сравнительно мало меняются с изменением z. В двух же периферийных частях,z > b и z < - b, поперечные размеры пучка заметно растут с ростом и при большихпропорциональны .

Зависимость плотности энергии на оси пучка от продольной координаты z определяется предэкспоненциальным множителем в (9). Легко видеть, что эта плотность в центральной части пучка () примерно постоянна, в периферийных же частях при она обратно пропорциональна.

Рассмотрим теперь фазовое распределение в гауссовом пучке, т. е. найдем фазу в различных точках, занимаемых полем гауссова пучка. Фаза как функция г и z определяется частью показателя экспоненты в (6), заключенной в круглые скобки, перед которыми стоит мнимая единица г. Из этого выражения видно, что фаза квадратичным образом зависит от расстояния г до оси z и довольно сложным образом от z. Однако эти сведения не слишком наглядны. Более интересен другой подход, при котором отыскиваются условия постоянства фазы. Приравняв константе выражение в круглых скобках в (6), приходим к уравнению, связывающему z и r, т. е. определяющему некоторую поверхность в области, занимаемой пучком. Такая поверхность называется поверхностью постоянной фазы или волновым фронтом.

Представление о волновом фронте играет важную роль как в теории волн вообще, так и в теории лазерных резонаторов - в этом мы убедимся позднее.

Представим уравнение волнового фронта в виде

(12)

где - то значение z, при котором , т. е. координаты являются координатами точки пересечения волнового фронта с осью z. Придавая те или иные значения, будем получать различные волновые фронты данного гауссова пучка. Правую часть в (12) можно представить в виде

Так как угол всегда меньше своего тангенса, то вычитаемое в этом выражении меньше, чем

Но это последнее выражение значительно меньше, чем, так как (при см, см). Следовательно, вторым слагаемым в (28) всегда можно пренебречь.

Теперь из уравнения (12) видно, что разность по модулю всегда меньше или. Действительно, так как множитель

в левой части (12) всегда меньше или порядка , что следует, например, из уравнения гиперболы (11), то в целом из (12) следует, что . Полагая, вследствие этого в левой части (12), получим для волнового фронта уравнение параболы

(13)

Таким образом, волновой фронт гауссова пучка имеет форму параболоида вращения. С хорошей точностью можно утверждать также, что этот фронт является сферическим, поскольку сфера радиуса

(14)

и параболоид (13) практически совпадают при тех значениях r, где амплитуда пучка еще заметно отлична от нуля.

Следовательно, зависимость радиуса кривизны волнового фронта гауссова пучка от продольной координаты описывается соотношением (14) и показана на рис. 1.2, а. Кривизна волнового фронта - величина обратная радиусу кривизны - равна

и как функция показана на рис. 1.2, б.

Рис. 1.2. Зависимость радиуса кривизны R(а) и кривизны (б) от продольной координаты z

Таким образом, исследование фазового распределения позволяет описать изменение волнового фронта гауссова пучка по мере его распространения вдоль оси z от до. Сначала, по мере продвижения по оси z от волновой фронт все более искривляется вогнутой стороной в направлении распространения волны. Искривленность волнового фронта достигает максимума при после чего фронт начинает выпрямляться и становится плоским при. Далее волновой фронт снова искривляется, теперь уже выпуклостью в направлении распространения волны. Наибольшая искривленность достигается при, затем кривизна постепенно уменьшается (рис. 1.2, б).

Отметим также расположение центра кривизны волнового фронта гауссова пучка. При он находится в центре перетяжки гауссова пучка r = 0, z = 0. Затем при приближении волнового фронта к перетяжке центр кривизны смещается в положительном направлении. Когда волновой фронт находится в точке, центр кривизны находится в симметричной точке. При дальнейшем смещении волнового фронта в сторону перетяжки центр кривизны далее смещается в положительном направлении и при он уходит в.

Далее, при удалении волнового фронта в положительную сторону от перетяжки центр кривизны приходит из и при находится в симметричной точке. При центр кривизны приближается к центру перетяжки. Таким образом, при гауссов пучок представляет собой сферическую волну с центром при и.

Отметим, что как величина, так и направление фазовой скорости зависят от поперечной координаты r поля пучка. В частности, на каустике фазовая скорость поля направлена вдоль каустики и по величине равна скорости света в вакууме.

Зависимость фазы гауссова пучка от продольной координаты также представляет интерес. Напомним, что в плоской волне фаза в направлении распространения волны линейно нарастает:

в гауссовом пучке зависимость фазы от z более сложна. Полагая в выражении (6), получим

Таким образом, если в плоской волне фазовая скорость постоянная и равна скорости света в вакууме, то в гауссовом пучке фазовая скорость равна

Легко видеть, что в периферических частях гауссова пучка фазовая скорость примерно равна скорости света в вакууме, в центральной же части пучка

фазовая скорость несколько больше с (рис. 1.3). Соответственно, в центральной части гауссова пучка, на его оси расстояние между горбами волн несколько больше.

Дадим еще одну важную характеристику пучка - угол расходимости излучения при. Его определяют как угол между асимптотами гиперболы (27)

Обратимся теперь к рассмотрению первой формы гауссова пучка (5). В ней из-за неразделенности мнимой и вещественной частей показателя экспоненты характеристики как амплитудного, так и фазового распределений сосредоточены в одном параметре

(15)

который обычно называют комплексным параметром гауссова пучка.

Рис. 1.3. Фазовая скорость поля гауссова пучка в разных точках оси z

Хотя мы также будем пользоваться этим общепринятым термином, отметим, что он не очень удачен, так как параметр q зависит от z и характеризует не пучок в целом, а лишь некоторое его сечение, правильнее было бы говорить о комплексном параметре того или иного сечения гауссова пучка. Радиус кривизны волнового фронта R и параметр, связанный с радиусом поперечного распределения амплитуды поля гауссова пучка, можно, согласно (10) и (14), выразить через параметр q

(16)

и, следовательно,

(17)

где величины R, являются функциями z, т.е. характеризуют определенное поперечное сечение гауссова пучка с заданным z. Таким образом, один параметр q (правда, комплексный) заменяет собой как характеристика того или иного сечения гауссова пучка два вещественных параметра, R и .

При переходе от одного сечения к другому параметр q изменяется, как это следует из (15), по правилу

где l - расстояние, разделяющее сечения 2 и 1. Можно указать также другое, несколько более сложное, но гораздо более общее правило преобразования q при переходе от одного сечения к другому, а именно:

(18)

где коэффициенты А, В, С и D образуют так называемую лучевую матрицу

(19)

Соотношение (18) выражает собой широко используемое при расчете резонаторов правило (или закон) ABCD.

При распространении гауссова пучка в свободном пространстве переход от одного сечения к другому описывается лучевой матрицей

(20)

которая является частным случаем матрицы М и называется матрицей (или оператором) трансляции и которая в соответствии с (18) приводит к правилу

.

Простота преобразования параметра q при различных трансформациях гауссова пучка оптическими системами является основной причиной его введения в теорию. Как мы увидим далее, на простых правилах преобразования гауссова пучка основан метод расчета лазерных резонаторов - так называемый матричный метод.

В данном случае матрица (20) появилась непосредственно из выражения для гауссова пучка (5). В дальнейшем будут найдены и другие лучевые матрицы, описывающие прохождение гауссова пучка через различные оптические элементы. Наиболее простой вывод лучевых матриц дает геометрическая оптика; тесная связь лучевых матриц с геометрической оптикой и породила их название.

2. Прохождение Гауссова пучка через тонкую линзу

Прежде чем рассматривать прохождение Гауссова пучка через тонкую линзу, познакомимся с важным понятием квадратичного фазового корректора. Это понятие является обобщением и идеализацией понятия тонкой линзы, оно позволяет с единой точки зрения рассматривать линзы, сферические зеркала и некоторые другие оптические элементы.

Вспомним, что падающая на линзу волна проходит в диэлектрике, образующем линзу, вблизи оси больший оптический путь, нежели на краю, и, следовательно, волна в центре линзы имеет больший набег фазы, чем на ее краю. Принимая во внимание симметрию линзы, нетрудно понять, что зависимость набега фазы от расстояния до оси линзы должна быть квадратичной. Это свойство линзы и лежит в основе определения квадратичного фазового корректора. Квадратичным фазовым корректором называется идеальный оптический элемент, который, будучи расположен на пути бегущей волны, вносит в нее дополнительный фазовый набег, квадратично зависящий от поперечных координат. Если волна бежит в положительном направлении оси z, то, проходя через квадратичный фазовый корректор, она приобретает дополнительный набег фазы, равный

(21)

где Р - оптическая сила фазового корректора - величина, обратная его фокусному расстоянию

(22)

как можно видеть, набег фазы в центре корректора (х = 0, у = 0) больше (он равен нулю), чем на периферии (набег фазы - отрицательная величина). Квадратичный корректор по сравнению с линзой идеален в том отношении, что в нем не учитывается толщина линзы - фазовый корректор бесконечно тонок, а также поперечные размеры линзы - фазовый корректор в поперечном направлении не имеет границ. Существенно также, что пренебрегается отражением света от поверхностей линзы; в результате этого фазовый корректор не обладает потерями. В реальных линзах паразитное отражение света от ее поверхностей может быть уменьшено посредством нанесения на них специальных покрытий - просветлением.

Покажем теперь, что плоская волна, проходя через квадратичный корректор, превращается в сферическую волну, собирающуюся в фокусе корректора, т. е. на расстоянии F от корректора. В плоской волне, падающей слева на фазовый корректор, расположенный при z = 0, фаза не зависит от поперечных координат:

Сферическая волна, сходящаяся после фазового корректора в точке, имеет вид

Где

В параксиальном приближении, т. е. при малых r, при z = 0 (т. е. за фазовым корректором) эту волну можно представить в виде

В соответствии с определением квадратичного корректора сумма фазы волны, падающей слева на корректор, и фазы, вносимой корректором (21), должна быть равна фазе волны, уходящей справа от корректора, т. е.

Ясно, что это соотношение может быть выполнено при

И

Но последнее равенство как раз и означает, что сферическая волна соберется в фокусе фазового корректора. Таким образом, квадратичный фазовый корректор действительно ведет себя как линза.

Покажем теперь, что гауссов пучок, проходя через квадратичный фазовый корректор, остается гауссовым пучком, хотя его параметры изменяются. Пусть слева на фазовый корректор, расположенный в сечении z = const, падает Гауссов пучок

где z - координата перетяжки пучка.

Справа же от корректора пусть отходит гауссов пучок

Вспоминая определение комплексного параметра гауссова пучка (15) и соотношение (16), показатели экспонент гауссовых пучков можно представить в виде

В соответствии с определением фазового корректора следует потребовать

(23)

Первое из этих равенств имеет простой физический смысл; согласно (16), его можно представить в виде

(24)

где и - радиусы кривизны волновых фронтов гауссовых пучков в месте расположения фазового корректора. Это соотношение напоминает известную формулу линзы. Правда, в формуле линзы несколько иные знаки, однако это следствие того, что в ней положительные расстояния до предмета и изображения отсчитываются в разные стороны от линзы. Если эту непоследовательность в формуле линзы исправить, то она точно совпадает с соотношением (24).

Второе из равенств (23) также имеет простой смысл - размер перетяжки при прохождении фазового корректора не изменяется, что впрочем ясно и из физических соображений, поскольку толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с ее фокусным расстоянием.

Умножим второе из равенств (23) на r и сложим полученное соотношение с первым из равенств (23), получим соотношение

Или

Это и есть искомый закон преобразования комплексного параметра гауссова пучка при его прохождении через фазовый корректор (линзу). Этот закон можно представить в виде правила ABCD (18), если фазовому корректору (линзе) сопоставить лучевую матрицу

(25)

которую называют оператором или матрицей прохождения гауссова пучка через линзу, и Р определено согласно (22).

Кроме равенств (23) имеет место также равенство амплитуд

(26)

и фаз

(27)

где z - координата квадратичного корректора.

Для того чтобы понять роль равенства (26), введем вместо амплитудного множителя G величину, которая так же, как и G, является константой.

Тогда равенство (26) примет вид

(28)

Как нетрудно видеть, множители при и этом равенстве обратно пропорциональны поперечному радиусу пучка, который согласно второму из равенств (23) не меняется при прохождении пучка через линзу. Поэтому из (28) следует

это равенство является математическим выражением отсутствия потерь в фазовом корректоре (линзе). При отсутствии потерь и на других элементах резонатора его собственные частоты вещественны и затухания колебаний нет.

Равенство (28) говорит о том, что фаза гауссова пучка на оси пучка не изменяется при прохождении через фазовый корректор.

Если бы было необходимо учесть независимый от поперечных координат фазовый добавок, вносимый линзой, учесть, скажем, толщину линзы таким образом, то это можно было бы сделать как раз в равенстве (27).

В этом случае в его правой части появится дополнительное слагаемое. Равенство (27) важно для определения спектра лазерного резонатора.

3. Дифракция Гауссова пучка

Конкретизируем вид комплексной амплитуды пучка в плоскости z = 0. Положим

где (29)

(29')

Здесь функция называется функцией Грина свободного пространства и определяется формулой

(29'')

где. Формулы (29'), (29'') дают общее решение параболического уравнения

- оператор Лапласа по поперечным координатам пучка. Это уравнение называется параболическим уравнением.

Согласно (29) волновой фронт исходного пучка плоский, а распределение интенсивности в поперечном сечении имеет вид гауссовой кривой

(30)

Пучок такого вида называется гауссовым. Гayccoвa модель наиболее удобна для расчетов.

Поперечный размер пучка будем характеризовать радиусом (полушириной) по уровню интенсивности, равному максимальной интенсивности. Таким образом, согласно (30), радиус исходного пучка равен

(31)

Эта запись означает, что равен полуширине (радиусу) пучка по уровню интенсивности относительно максимума, а для сокращения использованы первые буквы английских слов "half width maximum".

Рассмотрим теперь как будет меняться пучок в процессе распространения. Для этого подставим (29'') и (29) в (29') и выполним интегрирование. Получим

. (32)

Формула (32) является основной и позволяет рассчитать характеристики пучка (волновой фронт, профиль интенсивности, радиус) в произвольной точке z. Прежде чем написать соответствующие формулы, обратим внимание на то, что в формуле (32) фигурирует характерная длина, равная . Назовем эту длину дифракционной длиной пучка и обозначим

(33)

По принятой в оптике терминологии величину

(34)

называют волновым параметром, а обратную величину

(35)

называют числом Френеля.

В соответствии с (32) действительные амплитуда а и фазапучка равны

(36)

где обозначено

(37)

Полное электрическое поле

(38)

Интенсивность излучения

. (39)

Формулы (38), (39) выражают основной результат данного пункта. Они описывают электрическое поле и интенсивность гауссова светового пучка в произвольной точке с координатами. Из (38), (39) следует, что в процессе распространения пучок сохраняет гауссову форму профиля интенсивности, т. е. на любых расстояниях остается "гауссовым". Радиус пучкамонотонно увеличивается с ростом z (т. е. пучок расширяется см. рис. 3.1), а интенсивность, наоборот, уменьшается, так что полная мощность пучка остается неизменной:

(40)

Рис. 3.1 Дифракционное расплывание и трансформация волнового фронта гaycсова пучка, распространяющегося в свободном пространстве: - угол дифракционной расходимости пучка в дальней зоне, - дифракционная длина пучка, - начальный радиус пучка, - волновое число, - длина волны

Покажем, что параметр R(z) в формулах (36) -(38) имеет смысл радиуса кривизны волнового фронта гayccoвa пучка в приосевой зоне. Для этого рассмотрим сферическую волну

(41)

в области, где

, (42)

справедливы приближенные формулы:

(43)

Сравнивая формулы (38) и (43) видим, что параметр R(z) в (38) имеет смысл радиуса кривизны волнового фронта. Зависимость кривизны волнового фронта от пройденного гауссовым пучком расстояния z, вычисленная по формуле (37), показана на рис. 3.2.

Рис. 3.2 Изменение кривизны волнового фронта Гayccoвa светового пучка при распространении в свободном пространстве.

3.1 Фокусировка Гауссова пучка

Действие тонкой сферической линзы на световой пучок математически можно описать с помощью комплексного коэффициента передачи , зависящего от поперечной координаты пучка. А именно, можно написать

(44)

где и - распределения комплексных амплитуд световой волны вдоль радиуса пучка соответственно на входной и выходной поверхностях линзы. Так как линза не изменяет распределение интенсивности, а лишь искривляет волновой фронт пучка, положим

, (45)

где - волновое число световой волны,- фокусное расстояние линзы. Формула (45) написана по аналогии с множителем, описывающим кривизну волнового фронта в формуле (38). За радиус кривизны волнового фронта пучка, вносимой линзой, естественно принять ее фокусное расстояние. Знак "+" в показателе экспоненты в (45) соответствует вогну той форме волнового фронта пучка, прошедшего линзу, т. е. описывает действие фокусирующей (выпуклой) линзы.

Пусть слева на линзу, расположенную в плоскости, падает гауссова световой пучок с плоским волновым фронтом и комплексной амплитудой, определяем ой формулой (28). Тогда в соответствии с (44), (45), комплексная амплитуда пучка на выходе из линзы будет равна

(46)

Или

, (47)

Где

(48)

Итак, действие линзы сводится к замене вещественного радиуса пучка на комплексную величину. Поэтому световое поле во всей зоне фокусировки. О можно определить по формулам (32), (36) -(38), сделав в них замену

, (49)

гдеопределяется формулой (48). Так, делая замену (49) в (32), для комплексной амплитуды сфокусированного пучка получаем

(50)

Далее, подставляя (49) в (50), находим

(51)

Где

, (52)

И

(53)

Как и для фундаментального гауссова пучка, электрическое поле и интенсивность излучения можно записать в виде (38), (39), однако для сфокусированного пучка параметры , , выражаются теперь формулами (52), (53). Итак, фокусировка гауссова пучка полностью описана. На практике удобно записывать формулу для радиуса гауссова сфокусированного пучка в виде

. (54)

Обобщение этой формулы на случай пространственно-некогерентного падающего пучка с радиусом и поперечным радиусом когерентности имеет вид

(55)

.2 Размеры фокальной области линзы

Как видно из формулы (52), минимальный радиус сфокусированного пучка (перетяжка) достигается в точке, где

(56)

Таким образом, точка перетяжки пучка расположена немного левее фокуса. Согласно (53), в этой же точке обращается в ноль кривизна волнового фронта пучка. В точке перетяжки радиус пучка равен

(57)

а в точке фокуса

(58)

Обычно в оптике хорошо выполняется условие

(59)

Поэтому с хорошей степенью точности можно считать, что точка перетяжки пучка находится в фокусе. Радиус фокального пятна определяется формулой (58) или, с учетом (52),

(60)

Соответственно площадь фокального пятна

(61)

По мере удаления от фокуса площадь поперечного сечения пучка нарастает и в точках

(62)

становится вдвое больше площади фокального пятна, т. е.

(63)

Величина в формуле (62) определяется выражением

(64)

и называется фокальным параметром. Физический смысл этой величины расстояние между плоскостями, расположенными симметрично относительно фокуса, на которых площадь поперечного сечения сфокусированного пучка вдвое превышает площадь фокальной перетяжки. Общая картина фокусировки гауссова пучка дана на рис. 3.2.1.

Рис.3.2.1 Картина фокусировки гауссова светового пучка

В заключение этого раздела рассмотрим численный пример. Пусть мкм, см, см. Тогда см-1, и по формулам (52), (60), (64) получаем м, см, см.

Список литературы

1.Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика 2 издание. - М.: Наука, 2004. - 656с.

.Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 320с.

.Справочник по лазерам, под редакцией Прохорова А.Д. М.: Советское Радио, 1978.

.Ярив А. Введение в оптическую электронику М.: Высшая Школа, 1983.

.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: ГИФМЛ, 1963.

Содержание Введение . Гауссов пучок в свободном пространстве . Прохождение Гауссова пучка через тонкую линзу . Дифракция Гауссова пучка .1 Фо

Больше работ по теме: