Функциональные модели представления знаний о системе управления заданиями

 

Функциональные модели представления знаний о системе управления заданиями

Управление переключением потока заданий к системе, состоящей из двух серверов, может осуществляться различным образом. Рассмотрим два возможных варианта управления:

·одноуровневое управление;

·гистерезисное управление.

И в том, и в другом случае переключение между режимами связано с изменением уровня загруженности сервера, который определяется длиной очереди запросов.

Предположим, что и в том, и в другом режиме длительность обслуживания имеет экспоненциальное распределение. Обозначим параметр этого распределения как в случае использования первого сервера и как в случае применения второго сервера.

Рис. 1. Взаимосвязь интенсивности потока ответов сервера ? и числа n ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент запросов при одноуровневом управлении

Рис. 2. Граф переходов между состояниями с различной длиной очереди при использовании одноуровневого управления

На рис.2 изображен граф цепи Маркова, соответствующий рассматриваемому процессу рождения и гибели. Вершинам графа соответствуют стационарные вероятности нахождения процесса N(t) в конкретном состоянии, а дугам - интенсивности переходов между состояниями.

В случае одноуровневого управления работа системы определяется параметром L, а также интенсивностью потока запросов и интенсивностями потока ответов сервера для двух различных режимов работы: и . Переход между режимами работы серверной системы происходит, когда количество запросов к серверу, ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент (длина очереди), превышает значение L. Обратный переход в режим работы без кеширования происходит, когда длина очереди вновь уменьшается до значения L.

Число запросов N(t), находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент) в момент времени t, можно описать процессом рождения и гибели с интенсивностью рождения, равной интенсивности входящего потока запросов, и интенсивностью гибели, равной интенсивности потока ответов сервера. Если значения

, принимаемые процессом N(t), назвать его состояниями, то установившиеся (стационарные) вероятности нахождения процесса N(t) в состоянии n вычисляются рекуррентно:

(2)

где и - интенсивности входящего потока запросов и потока ответов сервера соответственно, при ;

(3)

Стационарная вероятность вычисляется из того условия, что

(4)

Введём обозначения и и предположим, что . Из соотношений (2) - (4) следует, что

(5)(6)(7)

Производящая функция от стационарного распределения длины очереди

(8)

Средняя длина очереди, т.е. среднее количество запросов к серверу, находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент)

(9)

Поскольку из всех находящихся в системе запросов в любой момент времени t один и только один запрос находится на обработке, то для любого число ожидающих обработки запросов связано с количеством всех находящихся в системе запросов следующим соотношением:

(10)

Следовательно, производящая функция от стационарного распределения числа запросов, ожидающих обработки связана с найденной ранее производящей функцией соотношением

(11)

Таким образом,

(12)

и среднее число ожидающих обработки запросов

(13)

Связь между средним временем ответа и средним числом находящихся в системе запросов задает одна из формул Литтла: . Аналогичным соотношением связаны между собой среднее время ожидания и среднее число ожидающих обработки запросов: Длительность обслуживания позволяет вычислить следующее соотношение:

Время ответа (T) = время ожидания (W) + длительность обслуживания (S).

Воспользовавшись соотношениями (7), (9), (13) и формулами Литтла, запишем итоговые выражения для искомых параметров.

Среднее время простаивания в очереди при одноуровневом управлении:

(14)

среднее время обслуживания при одноуровневом управлении:

(15)

где , ,

Функциональные модели представления знаний о системе двухуровневого управления заданиями

Рис. 3. Взаимосвязь интенсивности потока ответов сервера ? и числа n ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент запросов при гистерезисном управлении

В случае гистерезисного управления работа системы определяется параметрами и , , а также интенсивностью потока запросов и интенсивностями потока ответов сервера для двух различных режимов работы - и . Переход между режимами работы серверной системы происходит, когда количество запросов к серверу, ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент (длина очереди), достигает значения L2. Обратный переход в режим работы без кеширования происходит, когда длина очереди уменьшается до значения L1. Для простоты положим , , и обозначим , . Состояния системы определяются числом находящихся в системе запросов (длина очереди) и режимом работы (с кешированием или без кеширования). Выполним нумерацию состояний системы следующим образом. Для состояний, соответствующих работе с первым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при , где поставим в соответствие число . Для состояний, соответствующих работе со вторым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при , поставим в соответствие число . На рис. 4 изображен граф цепи Маркова, соответствующий процессу рождения и гибели, описывающему число запросов N(t), находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент) в момент времени t. Вершинам графа соответствуют стационарные вероятности нахождения процесса N(t) в конкретном состоянии, пронумерованные в соответствии с нумерацией состояний системы, а дугам - интенсивности переходов между состояниями.

Рис. 4. Граф переходов между состояниями с различной длиной очереди при использовании гистерезисного управления

Соотношения для стационарных вероятностей введенных состояний можно получить, используя те же рассуждения, что и в случае одноуровневого управления.

Стационарная вероятность вычисляется из условия

(16)

которое после подстановки выражений для можно свести к следующему виду

(17)

Формулы для стационарного распределения числа находящихся в системе запросов (длины очереди) получаются, исходя из соотношений

(18)

и имеют следующий вид:

(19)

Производящая функция от стационарного распределения длины очереди

(20)

Где

(21)

Средняя длина очереди, т.е. среднее количество запросов к серверу, находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент)

(22)

Поскольку из всех находящихся в системе запросов в любой момент времени t один и только один запрос находится на обработке, то для любого число ожидающих обработки запросов связано с количеством всех находящихся в системе запросов следующим соотношением:

(23)

Следовательно, производящая функция стационарного распределения числа запросов, ожидающих обработки связана с найденными ранее производящими функциями и соотношением

(24)

Таким образом,

(25)среднее число ожидающих обработки запросов

(26)

Связь между средним временем ответа и средним числом находящихся в системе запросов задает одна из формул Литтла: . Аналогичным соотношением связаны между собой среднее время ожидания и среднее число ожидающих обработки запросов: Длительность обслуживания позволяет вычислить следующее соотношение:

Время ответа (T) = время ожидания (W) + длительность обслуживания (S).

Воспользовавшись соотношениями (17), (22), (26) и формулами Литтла, запишем итоговые выражения для искомых параметров.

Среднее время простаивания в очереди при гистерезисном управлении:

(27)

среднее время обслуживания при гистерезисном управлении:

(28)

где ,

(29)

Примеры оценки динамических характеристик систем управления

Воспользуемся полученными соотношениями для расчета и сравнительного анализа динамических характеристик систем защиты управления, использующих метод одноуровневого или гистерезисного управления. Параметры исследуемых систем заданы в таблице 1.

управление сервер гистерезисный граф

Таблица 1. Параметры исследуемых систем

System #1System #2System #3Механизм управленияОдноуровневоеОдноуровневоеГистерезисноеПараметры управления

где

- интенсивность потока ответов сервера для режима работы с первым сервером;

- интенсивность потока ответов сервера для режима работы со вторым сервером;

- интенсивность входящего потока запросов, при которой выполняется переключение режима работы при одноуровневом управлении;

- интенсивность входящего потока запросов, при которой выполняется переход на другой сервер при гистерезисном управлении;

- интенсивность входящего потока запросов, при которой выполняется смена режима работы при гистерезисном управлении.

Параметры и для исследуемых систем отличаются между собой на порядок, что отражает увеличение интенсивности потока ответов.

Интенсивность поступления запросов задавать пока нет необходимости, она будет рассматриваться как изменяемый параметр. Параметры для первой и второй системы заданы равными параметрам и третьей системы соответственно. Исходя из этого и учитывая особенности гистерезисного управления, можно сделать предположение о том, что характеристики систем будут соотноситься следующим образом:

(30)

где , , - характеристики i-й системы.

Для оценки динамических характеристик реализуем необходимые функции в среде Matlab. Функция odnourN(lam, m_1, m_2, L) вычисляет значение - среднее количество запросов, находящихся в системе, при одноуровневом управлении:

function N = odnourN(lam, m_1, m_2, L)

%ODNOURN returns average queue length value for one-level control system

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L one-level control parameter_1=lam./m_1;_2=lam./m_2;_0=((1-r_1).*(1-r_2))./(1-r_2-r_1.^L.*(r_1-r_2));=(P_0).*(r_1./(1-r_1).^2-((r_1.^L.*(r_1-r_2))./((1-r_1).*(1-r_2))).*(L+(1-r_1.*r_2)./((1-r_1).*(1-r_2))));

end

Функция odnourQ(lam, m_1, m_2, L) вычисляет значение - среднее количество запросов, ожидающих обработки, при одноуровневом управлении:

function Q = odnourQ(lam, m_1, m_2, L)

%ODNOURQ returns average Q value for one-level control system

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L one-level control parameter_1=lam./m_1;_2=lam./m_2;_0=((1-r_1).*(1-r_2))./(1-r_2-r_1.^L.*(r_1-r_2));=P_0 + P_0.*((r_1.^L.*r_2)./(r_2 - 1).^2 - (r_1.*(r_1.^L - 1))./(r_1 - 1).^2 + (L.*r_1.*r_1.^(L - 1))./(r_1 - 1) - (L.*r_1.*r_1.^(L - 1))./(r_2 - 1)) - P_0.*((r_1.^L - 1)./(r_1 - 1) - r_1.^L./(r_2 - 1));

end

Функция gisterN(lam, m_1, m_2, L_1, L_2) вычисляет значение - среднее количество запросов, находящихся в системе, при гистерезисном управлении:

function N = gisterN(lam, m_1, m_2, L_1, L_2)

%GISTERN returns average queue length value for hysteresis control system

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L_1 hysteresis control 1st parameter

% L_2 hysteresis control 2nd parameter=lam./m_1;_1=lam./m_2;=L_2-L_1-1;_0=(1./(1-r)-((q+1).*r.^(L_1+q).*(r-r_1))./((1-r.^(q+1)).*(1-r_1))).^(-1);=P_0.*(r./(1-r).^2 -((q+1).*r.^(L_1+q).*(r-r_1 ))./((1-r.^(q+1) ).*(1-r_1 ) ).*((2.*L_1+q)./2+(1-r.*r_1)./((1-r).*(1-r_1 ) )) );

end

Функция gisterQ(lam, m_1, m_2, L_1, L_2) вычисляет значение - среднее количество запросов, ожидающих обработки, при гистерезисном управлении:

function Q = gisterQ(lam, m_1, m_2, L_1, L_2)

%GISTERP returns average Q value for hysteresys control system

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L_1 hysteresis control 1st parameter

% L_2 hysteresis control 2nd parameter=lam./m_1;_1=lam./m_2;=L_2-L_1-1;_0=(1./(1-r)-((q+1).*r.^(L_1+q).*(r-r_1))./((1-r.^(q+1)).*(1-r_1))).^(-1);=P_0.*(((r-(L_1+1).*r.^(L_1+1)+L_1.*r.^(L_1+2))./(1-r).^2 -(r-r.^(L_1+1))./(1-r))+(r.^(L_1 ).*(1-r))./(1-r.^(q+1) ).*((L_1-1).*(((r-r.^(q+1))./(1-r)-q.*r.^(q+1))./(1-r)+(r.^q.*r_1.*(q-(r_1-r_1.^(q+1) )./(1-r_1 )))./(1-r_1 ))+(((r-(q+1).*r.^(q+1)+q.*r.^(q+2))./(1-r).^2 -(r.^(q+1).*q.*(q+1))./2)./(1-r)+(r.^q.*r_1.*((q.*(q+1))./2-(r_1-(q+1).*r_1.^(q+1)+q.*r_1.^(q+2))./(1-r_1 ).^2 ))./(1-r_1 )) )+((1-r_1.^(q+1) ).*(1-r).*r.^(L_1+q))./((1-r.^(q+1) ).*(1-r_1 ) ).*((r_1.*(L_1+q-1))./(1-r_1 )+r_1./(1-r_1 ).^2 ) );

end

Реализуем также функции, позволяющие построить графики дискретного распределения случайной величины N.

Функция gisterP(k, lam, m_1, m_2, L_1, L_2) вычисляет вероятность нахождения системы в состоянии k при гистерезисном управлении.

function Pn = gisterP(k, lam, m_1, m_2, L_1, L_2)

%GISTERP returns probability distribution for hysteresys control system

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L_1 hysteresis control 1st parameter

% L_2 hysteresis control 2nd parameter= floor(k);=lam./m_1;_1=lam./m_2;=L_2-L_1-1;_0=(1./(1-r)-((q+1).*r.^(L_1+q).*(r-r_1))./((1-r.^(q+1)).*(1-r_1))).^(-1);n=k(n>=0) && (n<=L_1)=(r.^n).*P_0;(n>L_1) && (n<L_2) =(r.^(L_1).*(1-r))./(1-r.^(q+1)).*P_0.*((r.^(n-L_1)-r.^(q+1))./(1-r)+(r.^q.*r_1.*(1-r_1.^(n-L_1)))./(1-r_1));(n>=L_2)=((1-r_1.^(q+1)).*(1-r).*r.^(L_1+q))./((1-r.^(q+1) ).*(1-r_1)).*r_1.^(n-L_1-q).*P_0;

Pn=0;

end

end

end

Функция odnourP(k, lam, m_1, m_2, L) вычисляет вероятность нахождения системы в состоянии k при одноуровневом управлении.

function Pn = odnourP(k, lam, m_1, m_2, L)

%ODNOURP returns probability distribution for one-level control system

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L one-level control parameter= floor(k);_1=lam./m_1;_2=lam./m_2;_0=((1-r_1).*(1-r_2))./(1-r_2-r_1.^L.*(r_1-r_2));n=k(n>=0) && (n<=L)=(r_1.^n).*P_0;(n>L)=(r_1.^L).*(r_2.^(n-L)).*P_0;

Pn=0;

end

end

end

Графики зависимостей и для исследуемых систем показаны на рис. 5.

Рис.5. Графики зависимостей среднего количества запросов в системе и среднего количества ожидающих обслуживания запросов от интенсивности входящего потока запросов , для трех исследуемых систем, в установившемся режиме работы

На рис. 5 величины и - характеристики для i-й системы. Из графиков видно, что характеристики и монотонно возрастают с увеличением интенсивности входящего потока . Также видно, что среднее количество ожидающих обслуживания запросов приблизительно на 1 меньше среднего количества запросов в системе , что соответствует сути данных характеристик.

При длина очереди не превышает порогового значения L для систем с одноуровневым управлением и порогового значения для систем с гистерезисным управлением, так как система работает преимущественно с первым сервером. При приближении величины к значению система работает преимущественно со вторым сервером; длина очереди на некотором интервале возрастает слабо, затем неограниченно возрастает. При система уже не в состоянии обработать входящий поток запросов, характеристики и определить нельзя.

Из графиков видно, что выполняются соотношения для характеристик

что соответствует сделанному ранее предположению.

На рис. 6 показаны графики зависимостей для исследуемых систем.

Рис. 6. Графики зависимостей среднего времени простаивания в очереди от интенсивности входящего потока запросов , для трех исследуемых систем, в установившемся режиме работы

На рис. 6 величина - среднее время простаивания в очереди для i-й системы. Из графиков видно, что значение монотонно возрастает с увеличением интенсивности входящего потока при ; при близком к функция имеет локальный максимум. При приближении величины к значению на некотором интервале среднее время простаивания в очереди убывает, так как возрастает вероятность нахождения системы в режиме работы со вторым сервером. При близком к функция неограниченно возрастает. При система уже не в состоянии обработать входящий поток запросов, и характеристику определить нельзя. Также из графиков видно, что выполняется соотношение

что соответствует сделанному ранее предположению.

На рис. 7 показаны графики зависимостей для исследуемых систем.

Рис. 7. Графики зависимостей среднего времени обслуживания от интенсивности входящего потока запросов , для трех исследуемых систем, в установившемся режиме работы

На рис. 7 величина - среднее время обслуживания для i-й системы. Из графика видно, что при на некотором интервале среднее время обслуживания не изменяется и равно приблизительно , так как система работает преимущественно в режиме с первым сервером. При приближении величины к значению среднее время обслуживания монотонно убывает и стремится к величине , так как увеличивается вероятность нахождения системы в режиме работы со вторым сервером. Также из графиков видно, что выполняется соотношение

что соответствует сделанному ранее предположению.

Вычислим характеристики работы систем, параметры которых определены в таблице 1, для двух заданных значений интенсивности входящего потока запросов к серверу . Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Таблица 2: Характеристики работы системы при различной интенсивности входящего потока

System #1System #2System #3

В таблице 2 величины , , - характеристики i-й системы: среднее количество запросов в системе, среднее время простаивания в очереди, среднее время обслуживания, соответственно.

Также построим для заданных значений интенсивности входящего потока графики распределения случайной величины N (количества находящихся в системе запросов) и проверим соответствие распределений полученным выше значениям

Рис. 8. Стационарное распределение вероятности количества находящихся в системе запросов при интенсивности входящего потока

Рис. 9. Стационарное распределение вероятности количества находящихся в системе запросов при интенсивности входящего потока

На рис. 8, 9 величина - стационарная вероятность нахождения i-й системы в состоянии n при заданной интенсивности входящего потока.

(31)

Из графиков видно, что при вероятность нахождения системы в режиме работы первым сервером для всех исследуемых систем выше вероятности нахождения системы в режиме работы со вторым сервером. Это объясняется тем, что при данном значении переход в режим работы с кешированием приводит к быстрому уменьшению длины очереди и возвращению в режим работы без кеширования. При функции распределения для систем с одноуровневым управлением имеют ярко выраженный максимум вблизи значений n, равных заданным для систем параметрам L. Функции распределения для системы с гистерезисным управлением не имеет ярко выраженного максимума, т.е. дисперсия величины N значительно выше. Характер графиков распределения при позволяет сделать следующий вывод: система с одноуровневым управлением при высокой интенсивности входящего потока будет большую часть времени находиться в состоянии, при котором длина очереди N близка к значению L. Это означает, что в системе будет происходить частое переключение из одного режима работы в другой, которое может негативно сказаться на динамических характеристиках системы при наличии временных затрат на переключение. Система с гистерезисным управлением лишена указанного недостатка, поскольку переключение между режимами работы происходит при различных значениях N. Анализ графиков показывает, что значения средней длины очереди , вычисленные и приведенные в таблице 2, соответствуют распределениям вероятностей длины очереди N. Выполним проверку выполнения условия . Проверка для системы с одноуровневым управлением:

sum1=0;

for i=0:500=sum1+odnourP(i, lamb, m_1, m_2, L_low);

end

Проверка для системы с гистерезисным управлением:

sum2=0;i=0:500=sum2+gisterP(i, lamb, m_1, m_2, L_1, L_2);

end

Результат преверки:

=

=

.0000

Результат подтверждает выполнение условия равенства суммы стационарных вероятностей единице.

Функциональные модели представления знаний о системе управления заданиями Управление переключением потока

Больше работ по теме: