Функциональная линия в стандартах школьного образования

 

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И МЕТОДИКИ ЕГО ПРЕПОДАВАНИЯ












Дипломная работа

Функциональная линия в стандартах школьного образования




Выполнил: Сметлев В.С.

Руководитель: профессор Корешкова Т.А.








МОСКВА


Оглавление


Введение

Глава I. Школьное образование

§1. Кризис современного школьного образования

§2. История развития стандартов

Глава II. Государственный образовательный стандарт

§1. Государственный образовательный стандарт

.1 Назначения и функции стандарта

.2 Общая структура стандарта

.3 Базисный учебный план

.4 Структура стандарта образовательной области

§2. Необходимость введения стандартов

§3. Проблемы введения нового стандарта

Глава III. Методика преподавания функциональной линии по математическим стандартам

§1. Функциональная линия в общеобразовательной школе

.1 История развития понятия функции

.2 Функциональная линия в стандартах школьного образования

§2. Методика введения понятия функции по стандартам математического образования

.1 Анализ различных учебных пособий

.1.1 Учебники Муравина К.С. и Муравина Г.К.

.1.2 Учебники под редакцией Теляковского С.А.

.1.3 Учебники Алимова Ш.А. и др

.1.4 Учебники Г.В. Дорофеева и др

.1.5 Учебники А.Г. Мордковича

§3. Разработка задач для проверки знаний и умений учеников в соответствии с требованиями проекта стандарта 2010 года по теме «Функции»

Заключение

Библиография


Введение


Человек становится способным к созидательной деятельности в определённой сфере труда и творчества, к общению с другими членами общества посредством многообразных форм личностных и деловых контактов, основанных на общечеловеческих социальных и нравственных нормах, только благодаря образованию.

Нет иного пути, кроме образования, чтобы подготовить индивида к самой высокой, по словам Максима Горького, должности на земле - быть человеком. Без образования и воспитания невозможно обеспечить и профессиональную подготовку человека, дать ему навыки в определённой отрасли труда.

Одной из первых ступеней в образовательном и воспитательном процессах является школа. Школа, как и любое другое образовательное учреждение, - это целостное, открытое, взаимодействующая с внешней средой система.

Будучи составной единицей муниципального, регионального и федерального образовательного комплекса, школа входит в более широкие образовательные системы. В то же время она является частью всей социальной системы. Связь школ с внешней средой двухсторонняя.

Каждая школа испытывает на себе влияние общего социального климата, политических, правовых, экономических, культурных, экологических и других воздействий. Она как относительно автономная система может пассивно приспосабливаться к тем или иным изменениям или, напротив, активно влиять на окружающую её среду.

В настоящее время кризисное состояние образования стало особенно заметным на фоне социально-экономических и политических перемен, происходящих в России. В общественном сознании созрело понимание того, что образование может и должно сыграть ключевую роль в решении перспективного развития личности, социальных институтов, общества в целом. Официальным признанием этой роли стало законодательное провозглашение сферы образования в нашей стране в качестве приоритетной.

В научно-педагогической среде, на всех уровнях управления образованием идет интенсивная проработка теоретических и практических вопросов приведения образовательной сферы в соответствие с требованиями времени, с новыми задачами, которые ставит перед школой XXI век.

Одной из основных проблем является разработка школьного стандарта.

В связи с этим выбранная тема дипломной работы в настоящее время является весьма актуальной и рассмотрение общеобразовательного стандарта с различных сторон будет интересным и познавательным.

Цель данной дипломной работы - определение роли и места школьного стандарта в общеобразовательном процессе, анализ проектов стандарта на примере функциональной линии и разработка системы дифференцированной проверки знаний и умений учащихся по теме «Функции».

В связи с этим перед нами были поставлены следующие задачи:

·изучение вопроса о стандартизации школьного образования;

·рассмотрение функциональной линии в стандартах математического образования;

·изучение развития понятия функции;

·изучение литературы по теме диплома;

·анализ учебников;

·разработка задач для проверки знаний и умений учеников в соответствии с требованиями проекта стандарта 2010 года по теме «Функции».


Глава I. Школьное образование


§1. Кризис современного школьного образования


В настоящее время кризисное состояние образования стало особенно заметным на фоне социально-экономических и политических перемен, происходящих в России. В общественном сознании созрело понимание того, что образование может и должно сыграть ключевую роль в решении перспективного развития личности, социальных институтов, общества в целом. Официальным признанием этой роли стало законодательное провозглашение сферы образования в нашей стране в качестве приоритетной.

Основная причина затянувшегося кризиса - многолетние ежегодные сокращения государственных расходов на образование.

В мае 2001 года состоянием образования обеспокоился Государственный совет, президент В.В. Путин, и, видимо, рано или поздно, будут найдены решения финансовых вопросов.

Но финансы - это пусть и главная, но не единственная проблема образования. Нормализация финансирования решит многие задачи, но «не хлебом единым» жива школа. Как свидетельствует практика отечественной и особенно зарубежной школы, и приличная зарплата, и наличие первоклассных технических средств обучения, самой современной электронной техники и коммуникационных сетей еще не гарантируют достижения целей образования. Например, в богатой Америке школы поставляют и малограмотных выпускников, и классных специалистов, но с испорченной моралью. С распространением компьютерной техники появились новые виды противоправных действий. По Интернету похищают средства из банков, наживаются на эксплуатации самых низменных человеческих пороков, взламывают банки данных и т. п.

Снижение качества образования учащихся российских общеобразовательных школ отмечается многими вузами при наборе на первый курс, в первый год обучения в институте; не все школьники и студенты отличаются высокой нравственностью, соблюдением норм общежития.

Многие педагоги-практики, ученые-обществоведы предлагают и реализуют различные новые приемы, методы, проводят массу экспериментов, испытывают новые педагогические системы, а школьное образование далеко так и не продвинулось.

На наш взгляд, причина этого в том, что работа по улучшению обучения и воспитания не скоординирована, ведется на базе устаревших теоретических и методологических основ. Отсутствие единой концепции, или хотя бы единого толкования категорий образовательной сферы, затрудняет взаимопонимание в педагогической среде. Плодятся многочисленные педагогические системы, инновационные начинания, однако достигаемые результаты не соответствуют требованиям дня.

Настало время для перехода от разовых, разобщенных попыток совершенствования образования к системному взгляду на проблему, выработке целостной теории образования XXI века.

Реформы российского образования обсуждаются и проводятся уже ряд лет. Приняты неплохие законы об образовании, изданы указы, проведены реорганизации органов управления образованием, разработаны различные концепции национального образования, детские сады переименованы в детские дошкольные образовательные учреждения, школы в лицеи, институты в университеты, гороно в департаменты и комитеты и пр.

И вот результат: законы и указы не выполняются. Уже видны последствия этой политики, при которой с каждым годом в стране истощается интеллектуальный слой. Появились голодные преподаватели, школьники и студенты. Россию покинуло 80% математиков и 50% физиков-теоретиков высшей квалификации, уезжают чуть ли не целые кафедры, лаборатории и другие коллективы хорошо образованных людей. Под видом реформы по существу проводилось разрушение системы образования.

Видимый результат государственной политики в отношении образования проявляется лишь в одном - свертывании государственного финансирования. Вместо выделения минимально необходимых средств для поддержания системы образования «на плаву» идет нескончаемый поток постановлений, решений, указаний. И чем меньше выделяется средств, тем мощнее поток руководящих позитивных бумаг. Реформы образования начались в начале 90-х годов. И уже в апреле 1994 года правительство в постановлении «О первоочередных мерах по поддержке системы образования в России» констатирует, что система эта находится в критическом состоянии, и предписывает Минфину погасить задолженность по зарплате и стипендиям за 1993-й и первый квартал 1994 года и обеспечить в дальнейшем устойчивое финансирование образовательных учреждений. В октябре 1995 года Государственная дума принимает постановление «О кризисном положении в системе образования Российской Федерации». В нем отмечается, что кризис в системе образования углубляется. Президенту и правительству предложено разработать государственную доктрину в области образования, обеспечить защиту системы образования от разрушения и т. п.

Прошло три года. Положение стало еще хуже. Высшие органы законодательной и исполнительной власти самоустранились от управления образованием. Если не считать, конечно, беспрестанных перестановок министров образования. Только в 1998 году этот пост занимали В. Кинелев, А.Тихонов и нынешний министр В. Филиппов. Нет ясности по-прежнему с финансированием и «доктриной», нужна ли России система образования и какая? По заявлению В. Филиппова, у страны «на сегодняшний день» нет «НИ-ЧЕ-ГО. Ни доктрины, ни федеральной программы, ни концепции реформы, а самое главное, уверенности в том, что такая реформа нужна»[57]. Бывшая в 1993 -1996 годах заместителем министра образования М. Н. Лазутова не без основания считает, что вообще реформа образования терпит крах.

Многие рядовые учителя и руководители учебных заведений уверены в том, что развал системы образования проводится целенаправленно под давлением Запада (В. Садовничий, А. Коровицын).

Пора наконец на государственном уровне решить проблему Российского образования. Упорядочить проведение реформ. Пока царит полная вакханалия. Как отмечает в своей статье А. Коровицын, реформы начались непродуманно: «Сначала стали вводить (новые) предметы. Потом печатали учебники. Наконец вспомнили, что не худо бы и программы написать. Теперь вот стандарты разрабатывают. Вообще-то все надо было делать наоборот: сначала стандарты, потом программы и т. п. Начали сочинять новые учебники по «старым» предметам. Поэтому сейчас по любой школьной дисциплине существует в среднем по полдюжины учебников разных авторов. Выбирают их школы, руководствуясь одним им ведомыми принципами. Кому нужны девять учебников физики для восьмого класса, науке не известно»[14].

По материалам экспертного социологического исследования о ходе реформ в сфере образования [34], проведенного в феврале - марте 1998 года МГПУ среди работников этой сферы в 10 регионах страны, было определено значительное расхождение ожиданий и реальных положительных перемен, связанных с реформированием образования.

Около 20% респондентов дали положительную оценку очередному этапу реформы образования, 26% - нейтральную, 24% - отрицательную и 23% затруднились ответить. Эти данные не позволяют назвать доминирующую оценку. Указанные обстоятельства, очевидно, объясняются тем, что даже специалисты в большинстве своем не видят реальных положительных результатов реформирования образования, и сам знаковый символ «реформа» в российском менталитете и практическом опыте больше связан главным образом со сломом, поэтому, исходя из жизненного опыта и интуиции, педагогическая общественность не принимает реформу. Тем не менее необходимость изменений в системе образования признают 65%, при 12% против. Оценка очередного этапа реформирования образования коррелирует с оценкой системы образования:

% респондентов, положительно оценивших систему образования, дали положительную оценку очередному этапу реформирования образования в РФ, против 17%, давших отрицательную оценку;

% респондентов, из отрицательно оценивших систему образования, дали положительную оценку, против 43%, давших отрицательную.

Слом существующей образовательной системы в основном поддерживает молодежь, старшее поколение выступает за глубокое организационно-экономическое реформирование системы образования.

Приоритеты базовых принципов подготовки и проведения нового этапа образовательной реформы иллюстрирует таблица 1.

За сопряженность реформирования образования с общим ходом российских экономических и социальных реформ высказалось 75% руководителей образовательных учреждений.


Таблица 1. Приоритеты базовых принципов подготовки нового этапа и проведения образовательной реформы

Базовые принципыВажноНе очень важноНе важноЗатрудняюсь ответитьСопряженность с общим ходом российских экономических и социальных реформ63%12%7%11%Эволюционность59%11%2%13%Нетотальность36%18%6%19%

За необходимость на современном этапе развития общества обеспечения равенства возможностей на получение образования высказались 65% опрошенных; за ориентацию на демократизацию системы образования, реализующую права и возможности человека, - 47%; за расширение для учреждений образования полномочий юридического лица и экономической самостоятельности - 35% опрошенных.

Респонденты выделили три ступени образовательной системы, нуждающиеся в первоочередном совершенствовании: среднее образование (58%); дошкольное образование (44%); начальное образование (42%).

Осмысления требует тот факт, что респонденты, месячный доход которых не превышал 500 рублей, значительно чаще выражали позитивное отношение к коммерциализации образования (70% положительное). Респонденты с месячным доходом от 500 до 1800 рублей более сдержанны в оценке коммерциализации образования: положительное отношение выразили лишь 23% из них. Очевидно, первые предполагают повысить свой жизненный уровень за счет получения дополнительной платы за образовательные услуги.

Не отрицая положительного экономического эффекта коммерциализации образовательных учреждений, респонденты отмечают, что следует определить границы отношений между государством и образованием, чтобы устранить системный дефект в сложившихся в последнее время их взаимоотношениях.

По их мнению, эти границы обусловлены системно-дефектными отношениями, которые проявляются в невыполнении финансовых, морально-политических обязательств государства перед сферой образования, перед учителями, преподавателями вузов, учащимися и студентами; в постоянной невыплате долгов по заработной плате, стипендий; хронической задолженности образовательных учреждений по коммунальным услугам; появлении у образовательных учреждений разных форм собственности.

Исходя из этого, за границы можно принять крайние точки зрения, выявленные исследованиями МГПУ и других вузов и уже названные выше: обеспечение равенства возможностей в получении образования (65% респондентов); коммерциализация системы образования (23%).

Признаками скатывания образования к системно-дефектному состоянию респонденты назвали:

·падение уровня подготовки и переподготовки выпускаемых специалистов;

·возрастание социального неравенства в получении качественного образования;

·снижение приема в вузы на бесплатной основе;

·рост платного образования, платных образовательных услуг;

·ослабленность управления в негосударственных образовательных учреждениях.

Дефект в отношении образования с государством в решающей мере определяется кризисным состоянием самого общества. Образование, как никакая другая сфера, особенно восприимчиво реагирует на любые проявления напряженности в обществе: достаточно вспомнить студенческие волнения в городе Екатеринбурге, поводом которых послужил не сам факт сокращения финансирования образования, а только предварительная информация об этом. Поэтому особое значение в деятельности управленцев разных уровней приобретает устранение всего, что ведет к углублению противоречий в системно-дефектных отношениях. Вместе с тем мало лишь образно описывать дефектные компоненты системы «общества» и «образования». Образование и общество нуждаются сегодня в поиске и практическом использовании в управлении системно-эффективных, системно-значимых организационно-экономических, учебно-образовательных, социально-политических и иных мер государственного воздействия. Эти воздействия должны быть взаимодополняемы со стороны общества и образования, но они не должны быть параллельными и тем более противоборствующими.

Кардинальным решением проблем в сфере образования могло бы стать вхождение образования во всю совокупность общественных, а не только психолого-педагогических отношений, рассмотрение образования в качестве стратегического резерва развития общества и государства, преодоление остаточного принципа финансирования, отношение государства к образованию как к приоритетной сфере общественной жизни. Просчеты в экономическом обеспечении образования неизбежно оборачиваются необратимыми потерями. По отношению к образованию наметились две позиции. Сторонники первой полагают, что образование не может дать сиюминутно осязаемых рыночных результатов. О сторонниках второй складывается впечатление, что для них образование - непозволительная роскошь, оно может подождать. За сценой, на которой столкнулись противоположные мнения о перспективах и путях развития образования, незримо присутствует актуализируемая рынком долговременная потребность в емком рынке образовательных услуг. Образование - та цементирующая основа, приоритетный фактор, рациональное использование которого наиболее рентабельно для общества. Экономисты советского периода и экономисты западных стран давно подсчитали, что каждый инвестированный в образование рубль дает 15-20-кратную отдачу. А, к примеру, наиболее рентабельные производственные сферы - энергетика, топливная, добывающие отрасли промышленности - не выходят за пятикратное приращение.

Сфера образования, на наш взгляд, должна трансформироваться с учетом двух основополагающих обстоятельств. Первое - сохранение бесплатного государственного образования для подготовки кадров, необходимых отраслям, обеспечивающим национальную безопасность России. Перечень таких отраслей, предприятий, специальностей, количественная потребность в кадрах должны быть выработаны совместными усилиями компетентных представителей отраслей народного хозяйства, Совета национальной безопасности. Второе обстоятельство - перестройка образования на коммерческих началах.

Главное не в противопоставлении этих двух подходов, а в их органическом соединении, слиянии. Под органическим слиянием понимается следующее:

·определение меры сочетаемости платного и бесплатного обучения, должно быть определено оптимальное соотношение: сколько и каких специалистов готовится на бесплатной основе и то же самое - на платной;

·обеспечение бесплатного обучения государственными заказами;

·обеспечение финансирования бесплатного обучения необходимыми денежными ресурсами;

·установление базовых учебных программ, единых для обеих форм обучения;

·разрешение государственным вузам принимать студентов на платное обучение.

Кризис современного школьного образования в настоящий момент влечет много негативных последствий для общества. Правительство РФ стремится к выходу из создавшегося положения, оно проводит реформы, в частности ввело общероссийский стандарт, пытается ввести единый государственный экзамен, отклонило 12-летнее школьное образование. Но, как уже неоднократно отмечалось, эти реформы идут медленно, с многочисленными «проволочками». У каждого из нововведений есть свои положительные и отрицательные стороны. Увы, реформаторы видят только положительные стороны реформ. Вначале посмотрим на общеобразовательные стандарты.


§2. История развития стандартов


История стандарта непродолжительна, это достаточно новый передовой педагогический инструмент - стандартам всего 25 лет. Первым был американский стандарт по математике. Он был создан по инициативе учителей в Ассоциации учителей математики США.

О том, что история образовательных стандартов в России начиналась задолго до перестройки, помнят и знают не все.

Еще в далеких 80-х формировалась концепция «двух минимумов» - минимума преподавания и минимума усвоения. Именно эта концепция впоследствии была закреплена в Законе «Об образовании» 1992 года и легла в основу всех проектов стандарта.

Прошло 11 лет. За этот период в системе среднего образования было подготовлено и внедрено в практику два поколения стандартов и уже сформированы подходы к разработке третьего поколения, в сфере общего образования менялись лишь разработчики: в начале 90-х это были коллективы под руководством академика РАО Вадима Леднева и кандидата педагогических наук Виктора Фирсова, который вместе со специалистами РАО в декабре 2000 года по просьбе Минобразования вновь вернулся к этой неблагодарной работе, но очередной проект - по решению заказчика - так и не был доведен до конца. В 2002 году был создан Временный научный коллектив «Образовательный стандарт» во главе с академиками РАО, экс-руководителями образования Эдуардом Днепровым и Владимиром Шадриковым. В июне 2002 года Госдума РФ приняла в первом чтении законопроект «О государственном стандарте общего образования».

Закон определяет правовые основы обеспечения государственных гарантий в области образования: понятие, назначение, статус стандарта, принципы его финансирования, разграничение полномочий в сфере образования и т.д.

На этот раз стандарты скорее всего получат путевку в жизнь: ведь поручение об их разработке дал сам Президент в своем Ежегодном послании Федеральному собранию в 2001 году. Однако такой поворот событий не разрешит многолетний спор о стандартах, ставших одновременно точкой пересечения ведомственных, научных и, по большому счету, политических интересов.

В мировой практике история образовательных стандартов тоже не слишком продолжительна - впервые о них заговорили в конце 80-х годов, раньше такого понятия не было.

Стандартизация по-разному осуществляется в странах с централизованными и децентрализованными системами образования:

в централизованных системах национальные стандарты фактически всегда существовали в виде учебных планов и программ, утвержденных государственным ведомством образования и обязательных для всех школ страны;

для децентрализованных систем общенациональные стандарты содержания школьного образования - принципиально новое явление.

В разных странах мира предпринимаются попытки установить наиболее оптимальное соотношение между инвариантным "ядром" школьного образования и дифференцированными учебными курсами:

В США разрабатываемые стандарты рассматриваются как условие для достижения мирового лидерства по качеству школьного образования.

Нa основе разработанных стандартов в США создан образец учебного плана под символическим названием "Учебный план средней школы Джеймса Медисона" (Дж. Медисон - 4-й президент США). Он делится на две части: первая - от детского сада до VIII класса включительно, вторая - IX-XII классы.

В восьмилетней школе действует единый учебный план.

В IX-XII классах предусматривается значительное повышение роли обязательных академических дисциплин. Элективные предметы остаются, но они могут занимать не более 25-30% учебного времени.

В Англии крайне децентрализованная система образования, при которой школы могли самостоятельно создавать свои учебные планы и программы, порой значительно отличавшиеся друг от друга, вызывала резкую критику со стороны разных групп общественности страны. Переломным моментом можно считать Закон об образовании 1988 г., провозгласивший обязательным установление национального стандарта общего образования. После принятия закона были организованы комиссии по пересмотру содержания основные школьных дисциплин. Они предусматривают усиление акцента на изучение обязательных дисциплин естественно-математического и гуманитарного циклов.

В странах с централизованными системами образования также ведется интенсивная работа по установлению новых стандартов содержания общего образования.

Японские деятели просвещения и видные педагоги ставят вопрос о необходимости большей вариативности в содержании школьного образования. Эти тенденции в определенной мере просматриваются в последних преобразованиях. Однако традиционные черты униформизма сохраняются. Даже по новым, более диверсифицированным учебным планам факультативы и предметы по выбору занимают не более 12% учебного времени.

Во Франции авторитетные деятели просвещения подчеркивают, что национальный образовательный стандарт необходим, но его нельзя понимать слишком жестко. Содержание школьного образования должно быть разделено на обязательную часть, составляющую сумму знаний, необходимых каждому человеку, и дополнительную часть, позволяющую учитывать индивидуальные способности учащихся.


Глава II. Государственный образовательный стандарт


§1. Государственный образовательный стандарт


.1 Назначение и функции стандарта

Понятие стандарта (от английского - Standard) означает норму, образец, мерило. Основное назначение стандартов состоит в такой организации отношений и деятельности людей, которая направлена на производство продукции с определенными свойствами и качествами, удовлетворяющими потребностям общества.

Стандартизация (разработка и использование стандартов) является объективно необходимой деятельностью по упорядочению практики ее систематизации в соответствии с исторически изменяющимися потребностями общества.

Под стандартом образования понимается система основных параметров, принимаемых в качестве государственной нормы образованности, отражающей общественный идеал и учитывающей возможности реальной личности и системы образования по достижению этого идеала. Стандартизация образования всегда осуществлялась в различных странах посредством разработки учебных планов и программ, установления определенного уровня образования и др. Однако сам термин «стандарт» в отношении образования стал использоваться сравнительно недавно.

Основными объектами стандартизации в образовании являются его структура, содержание, объем учебной нагрузки и уровень подготовки учащихся. Нормы и требования, установленные стандартом, принимаются как эталон при оценке качества основных сторон образования.

Стандарт образования является основным нормативным документом, несущим толкование ст. 7 Закона РФ «Об образовании». Он развивает и конкретизирует положение Закона «О федеральных компонентах стандарта», определяющих обязательный минимум содержания основных образовательных программ, максимальный объем учебной нагрузки обучающихся, требования к уровню подготовки выпускников, является основой для создания других нормативных документов (в учебных заведениях, при аттестации кадров и др.).

Введение государственного стандарта не означает подчинения учебного процесса жесткому шаблону, а, напротив, открывает широкие возможности для педагогического творчества, создания вокруг обязательного ядра содержания вариативных программ, разнообразных технологий обучения, учебных пособий.

Исходя из такого понимания сущности и назначения образовательного стандарта, основными требованиями, предъявляемыми к нему, являются следующие:

. Стандарт должен учитывать состояние социокультурной среды, потребности и возможности заинтересованных сторон и приниматься на основе их согласия.

. Стандарт должен быть ориентирован прежде всего на нормирование конечного результата обучения.

. Должны соблюдаться согласованность и преемственность стандартов поступлениям и областям образования.

. Содержание и структура стандарта должны быть функционально полными с точки зрения задач развития личности в школе в целом и на каждой ступени образования в соответствии с ее спецификой.

. Описание единиц содержания образования в стандарте должно быть оптимизировано до уровня, позволяющего сохранить их целостность, системность и полноту с точки зрения целей образования.

. Своей структурой и содержанием стандарт должен отразить баланс интересов и компетенции государства, региона и школы, которые, в свою очередь, исходят из приоритета личности учащегося, учета его склонностей, способностей и интересов.

. Стандарт должен способствовать нормализации учебной нагрузки школьников.

. Форма представления стандарта должна учитывать разные категории пользователей.

. Стандарт должен быть технологичным, рассчитанным на возможность инструментальной проверки.

. В стандарт могут включаться лишь нормы, прошедшие достаточную проверку практикой школы.

В Законе Российской Федерации «Об образовании» предусмотрено, что государственными органами власти нормируются обязательный минимум содержания основных образовательных программ, максимальный объем учебной нагрузки, требования к уровню подготовки выпускников. Определение содержания образования сверх обязательного минимума в пределах установленной учебной нагрузки находится в компетенции учебных заведений.

В Законе закреплены два компонента стандарта, учитывающие федеративный характер устройства России, - федеральный и национально-региональный.

Федеральный компонент стандарта определяет те нормативы, соблюдение которых обеспечивает единство педагогического пространства России, а также интеграцию личности в систему мировой Культуры.

Национально-региональный компонент стандарта по ступеням общего образования определяет те нормативы, которые относятся к компетенции регионов (например, и области родного языка и литературы, географии, искусства, трудовой подготовки и др.).

Кроме того, стандартом устанавливается объем школьного компонента содержания образования, отражающего специфику и направленность отдельного учебного заведения.

Сущность общеобразовательного стандарта более полно раскрывается через описание его функций.

Критериально-оценочная функция. Проистекает из сущности стандарта как норматива, на который ориентируется система образования при определении содержания обучения, объема учебной нагрузки, оценки результатов обучения, аттестации учителей и учреждений образования.

Функция обеспечения права на полноценное образование. Она заключается в обеспечении посредством стандарта гарантированного Конституцией РФ для каждого гражданина уровня образования, представляющего необходимую основу для полноценного развития личности и возможности продолжения образования в профессиональной сфере.

Функция сохранения единства образовательного пространства страны. Переход к многообразию образовательных систем и типов учреждений образования требует создания механизма регулирования, призванного стабилизировать систему образования в стране. Эту стабилизирующую и регламентирующую роль должны сыграть стандарты образования. Не ограничивая развития специфических региональных подходов, возникновения различных типов школ, создания вариативных программ, образовательные стандарты фиксируют объем и уровень полноценного базового образования. Реальные учебные программы по своему содержанию могут существенно отличаться от стандарта и по широте, и по глубине предлагаемой ими подготовки учащихся, но все они обязаны обеспечить уровень, не ниже задаваемого стандартом. Это позволяет добиться внутри страны некоторого эквивалента общего среднего образования, гарантированного качества подготовки выпускников школы, на который можно опереться при организации последующего обучения. Введение стандартов явится важнейшим фактором решения многих демографических и социальных проблем в условиях возможной миграции населения, станет основой признания эквивалентности документов об образовании, полученных в различных регионах, и т. п.

Функция гуманизации образования. Четкое определение минимально необходимых требований к подготовке учащихся открывает реальные перспективы для дифференциации обучения, предусматривающей возможность овладения материалом на различных уровнях. Такой подход освобождает ученика от непосильной суммарной учебной нагрузки и позволяет ему реализовать свои интересы и склонности. Снимается неоправданное эмоциональное и психологическое напряжение, что позволяет каждому обучаться на максимально посильном ему уровне, формирует положительные мотивы учения.

Функция управления. Реализация этой функции связана с возможностью коренной перестройки существующей системы контроля и оценки качества результатов обучения на основе использования системы объективных измерителей качества подготовки, определяемых стандартов. Получение достоверной информации о реальном состоянии дел в школе создаст условия для принятия обоснованных управленческих решений, адресованных всем - от учителя (выбор оптимальных методик, своевременная коррекция, дифференциация и индивидуализация обучения и др.) до руководителей народным образованием (региональные и национальные меры по улучшению состояния образования, внесение изменений в программы и учебники, совершенствование программ повышения квалификации педагогических кадров и др.).

Функция повышения качества образования. Общеобразовательные стандарты призваны фиксировать минимально необходимый объем содержания образования и задавать нижнюю допустимую границу уровня подготовки. До сих пор подобного рода обязательных общегосударственных норм не существовало. Представления об уровне общеобразовательной подготовки складывались во многом стихийно, были нацелены на наиболее подготовленных школьников, а уровень требований зачастую был недоступен значительной части учащихся. Это приводило к тому, что реальный уровень знаний многих выпускников оказывался чрезвычайно низким, а хорошая подготовка отдельных школьников не решала проблемы качества образования в целом.

Введение образовательных стандартов позволяет ставить вопрос о гарантированном достижении каждым учеником определенного, заранее заданного уровня базовой подготовки. Внедрение стандартов в практику школы, ориентация на их соблюдение призваны повысить общий уровень образованности и, следовательно, качество образования в целом.


1.2 Общая структура стандарта

Функции образовательного стандарта определяют следующую его структуру:

базисный учебный план, т. е. генеральный уровень представления стандарта;

стандарты базовых (обязательных для всех учащихся) образовательных областей.

Эта структура реализуется в виде следующего пакета документов:

Пояснительная записка.

Базисный учебный план.

Стандарты базовых образовательных областей.

Общие подходы к разработке системы измерителей достижения государственного стандарта.

Пояснительная записка излагает общую идеологию стандарта, основные концептуальные положения, объясняет его структуру и содержание.

Базисный учебный план дает интегральное представление о структуре и содержании общего среднего образования, фиксирует комплекс основных нормативов, в соответствии с которыми разрабатываются конкретные планы образовательных учреждений:

соотношение между федеральным, региональным и школьным компонентами стандарта образования;

соотношение между базовой и дифференцируемой частями общего среднего образования:

продолжительность обучения (общую и по каждой из ступеней);

недельную нагрузку для базовых образовательных областей, обязательных и факультативных занятий;

максимально допустимую недельную нагрузку учащихся;

итоговое количество часов, финансируемых государством.

Стандарты образовательных областей определяют в совокупности обязательную часть содержания общего среднего образования и требования к уровню усвоения этого содержания учащимися по ступеням школы.


1.3 Базисный учебный план

Стандарт общего среднего образования как документ, устанавливающий комплекс норм и требований к структуре, содержанию и уровню образования учащихся, должен включать представление содержания образования как целого, которое не может быть сведено к описанию отдельных учебных предметов. Такое представление - генеральный уровень стандарта школьного образования - содержится в базисном учебном плане школы.

Базисный учебный план общеобразовательной школы является основным государственным нормативным документом, утверждается в соответствии с законодательством Российской Федерации, служит основой для разработки региональных базисных учебных планов и исходным документом для финансирования образовательного учреждения.

Единая основа учебных планов всех ступеней общеобразовательной школы - осуществление принципа преемственности, в силу которого основные изучаемые единицы содержания получают в дальнейшем свое развитие и обогащение. Этот принцип находит выражение в линейно-циклической структуре курсов, представляющих образовательные области. Вместе с тем каждая из ступеней общеобразовательной школы, решая общие задачи, имеет свои специфические функции, связанные с возрастными особенностями учащихся и особенностями самого учебного заведения.

Специфика ступеней общеобразовательной школы настолько значительна, что по набору базовых учебных курсов, по соотношению базового ядра и занятий по выбору учащихся и др. речь может, в сущности, идти о трех особых базисных учебных планах, основы которых изложены ниже.

БАЗИСНЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)

Начальная школа закладывает основы функциональной грамотности учащихся, вооружает их основными умениями и навыками общения и учебного труда, приобщает к отечественной и мировой культуре, создавая тем самым базу для последующего освоения образовательных программ основной школы.

Содержание начального образования ориентировано на первоначальное формирование основных сторон личности:

познавательной культуры,

коммуникативной культуры,

нравственной культуры,

эстетической культуры,

трудовой культуры,

физической культуры.

На этом возрастном этапе они определяют структуру учебного плана. При этом в рамках формирования познавательной культуры выделяются два самостоятельных курса: «Окружающий мир» и «Математика». Выделение математики в качестве самостоятельного курса связано с ее большой ролью в познании и коммуникации.

Изучение языков направлено на формирование коммуникативной и эстетической культуры. Изучение литературы и искусства нацелено на развитие нравственных и эстетических начал личности. Трудовая и физическая культура представлены соответствующими образовательными областями.

БАЗИСНЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН (ОСНОВНАЯ ШКОЛА)

В основной школе, по окончании которой учащиеся впервые получают право выбора профессии, им предоставляется возможность попробовать свои силы в разных видах деятельности и областях знаний.

На этой ступени получает развитие дифференциация обучения, которая, однако, не затрагивает базового ядра обязательных учебных курсов, единого для школ всей страны. Таким образом, основная школа еще не является профильно-дифференцированной.

Базисный учебный план основной школы включает функционально полный и в то же время минимизированный набор образовательных областей:

язык (родной, русский, иностранный) и литература;

искусство;

математика;

физика и астрономия;

химия;

география, экология (комплексное изучение Земли);

кибернетика и информатика (изучение самоуправляемых систем);

биология;

общественные дисциплины;

технология, техника, труд;

физическая культура.

На переходной ступени основной школы (V-VI классы) блок «Природа» может быть представлен систематическими курсами или интегрированным курсом естествознания, на второй ступени (VII - IX классы) - систематическими курсами физики, химии, географии и биологии. Эти курсы по своему статусу в учебном плане равнозначны таким курсам, как математика, информатика, трудовая подготовка, технология и др., представляющим отдельные образовательные области.

БАЗИСНЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН (ПОЛНАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА)

Базисный план средней школы (X-XI классы) включает в себя тот же набор образовательных областей, что и базисный план основной школы. Однако старшая ступень (полная общая школа) строится по принципу профильной дифференциации. Обязательные занятия по выбору достигают максимального объема.

В зависимости от профиля школы отдельные образовательные области могут быть представлены здесь самостоятельными учебными дисциплинами или интегрированными курсами. Время на изучение самостоятельных курсов может быть увеличено за счет часов, отведенных на обязательные занятия по выбору учащихся.

В рамках занятий по выбору в учебном плане могут возобновляться те учебные курсы, обязательное изучение которых завершилось в основной школе, или появляться новые, связанные с профилем школы и (или) обеспечивающие начальную профессиональную подготовку учащихся.


1.4 Структура стандарта образовательной области

Принципиальной особенностью этой части стандарта является выделение двух уровней требований:

к содержанию образования, которое школа обязана предоставить учащимся;

к содержанию образования, усвоение которого фиксируется в виде обязательных минимальных требований к подготовке учащихся.

Наличие двух уровней определяется тем, что процесс обучения не может быть сосредоточен лишь на достижении минимального, самого необходимого, «стандартного», сведен к натаскиванию на обязательные результаты обучения. Преподавание должно вестись не на уровне обязательных минимальных результатов, а значительно шире и глубже, чтобы те из учащихся, кто может и хочет, могли достигнуть более высоких уровней подготовки. Такую возможность открывает описанное в стандарте базовое содержание образовательной области.

В стандарте каждой образовательной области выделяется четыре раздела:

. Общая характеристика общеобразовательной области.

. Базовое содержание образовательной области.

. Требования к минимально необходимому уровню подготовки учащихся.

Общие подходы к оценке выполнения требований стандарта.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

В этом разделе стандарта:

Описываются педагогические функции и цели образования в данной области на современном этапе развития общества и школы.

.Дается системная характеристика объекта изучения (человека, общества, живой природы, вещества, Земли и др.) как части реальности.

.Рассматривается общая структура содержания с указанием основных содержательных линий с учетом минимизации и функциональной полноты.

.Характеризуются ближайшие перспективы развития содержания образовательной области.

БАЗОВОЕ СОДЕРЖАНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

В этом разделе стандарта:

Приводится описание содержания, доведенное до перечня целостных компонентов содержания, которые далее не подразделяются на более мелкие единицы.

.Фиксируется базовое содержание с такой степенью детализации и в таких терминах, которые позволяют предельно однозначное их толкование.

Базовое содержание образования, обеспечиваемое школой, шире и глубже по сравнению с минимально требуемым уровнем усвоения материала. Диапазон требований между предъявляемым и обязательным для усвоения содержанием определяет поле возможностей в учебной деятельности школьников. Предоставление таких возможностей - обязанность школы и государства. На них ориентируются учителя, составители программ и авторы учебников.

ТРЕБОВАНИЯ К МИНИМАЛЬНО НЕОБХОДИМОМУ УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ

В этом разделе приводятся требования, содержащие характеристику минимального и в то же время достаточного для достижения целей общего образования уровня подготовки учащихся по образовательной области.

В процессе формулирования требований к уровню подготовки выпускников средней школы должны соблюдаться следующие принципы:

требования должны отражать всю совокупность базового содержания и заданы в предметно-деятельностной форме;

требования должны быть сформулированы так, чтобы они адекватно понимались всеми участниками педагогического процесса (учитель, ученик, администрация школ и органы управления, родители, общественность); объем требований не может быть тождественным объему содержания образования, предъявляемого в процессе обучения.

ОБЩИЕ ПОДХОДЫ К ОЦЕНКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ СТАНДАРТА математический стандарт школьный образование

В этом разделе характеризуется система и приводятся образцы «измерителей» уровня подготовки школьников по данной образовательной области. Она конкретизирует требования к обязательной подготовке, выражая их в виде типовых заданий и процедур оценки их выполнения школьниками.

Система должна обладать, как минимум, тремя функциями: диагностической, воспитывающей и информационной.

Система основывается на дихотомической (двоичной, альтернативной) шкале типа: «достиг» или «не достиг», «зачет» или «незачет» и представляет собой, таким образом, критериалъно-ориентированные тесты (задания), отвечающие требованиям репрезентативности, содержательной валидности и посильности для учащихся.

Форма заданий (с выбором ответа, с альтернативным ответом, с кратким свободно конструируемым ответом, с развернутым свобод-конструируемым ответом, включая эссе, сочинения, устные ответы на собеседованиях и пр.) должна выбираться в зависимости от специфики образовательной области при обязательном условии объективного измерения и фиксации.

Внедрение стандартов потребует в будущем значительных изменений всей системы контроля, учета и оценки уровня подготовки школьников.


§2. Необходимость введения стандартов


Реформа системы образования в постсоветской России осуществлялась в сложных условиях. Российское общество переживает период глубоких структурных, в частности социокультурных изменений. В системе образования, как и в обществе в целом, произошли серьезные изменения, смысл и значение которых обусловлены поиском нового в образовании, соответствующего новым тенденциям развития российского общества.

В основу процесса реформирования системы образования, которое во многом совпало с фундаментальными преобразованиями российского общества, начатыми после 1991 г., был положен принцип приоритета личности, а средством достижения этой цели стали гуманизация, гуманитаризация и дифференциация образовательной политики и образовательных систем. Перенос центра тяжести в системе образования на проблемы человека, направленность на овладение богатством отечественной и мировой культуры, духовным опытом человека, на восприятие целостной картины мира и формирование у учащихся системного мышления - вот практические ориентиры реформы образования, главный вектор ее развития. Реформа образования объективно необходима для становления и развития гражданского общества и правового государства.

В процессе реформы школы произошел переход от старой модели функционирования системы образования, характеризовавшейся последовательной централизацией и абсолютной монополией государства в образовательной сфере к новой модели, для которой характерны децентрализация управления, автономизация образовательных учреждений, диверсификация их типов. Система образования в современной России по сравнению с советской системой стала более гибкой и вариативной.

Школьная реформа 90-х годов осуществлялась во время системного кризиса, который переживало российское государство. Это обстоятельство оказало негативное влияние на осуществление школьной реформы и на современное состояние системы образования.

Стало ясно, что система финансирования учреждений среднего образования через местные бюджеты не отвечает современным требованиям. Администрация субъектов Российской Федерации не в состоянии своевременно обеспечивать даже выплату заработной платы учителям. Не обеспечиваются другие статьи расходов по финансированию общеобразовательных учреждений. Новый виток социально-экономического кризиса и рост потребительских цен привел к тому, что государственная власть не может гарантировать учителям удовлетворения даже минимальных потребностей. Зарплата учителя сегодня меньше реального прожиточного минимума. Необходимо изменить механизм бюджетного финансирования заработной платы учителей. Нужно платить заработную плату учителям из федерального бюджета через систему казначейств без права глав местных администраций расходовать эти средства по своему усмотрению.

Кризис второй половины 1998 г. обострил все проблемы, которые нарастали в российской школе в 90-е годы. Эти проблемы вызваны рядом серьезных причин. Среди факторов, характеризующих кризисное состояние системы общего среднего образования, следующие:

отсутствие сформированной на основе консенсуса между различными политическими силами государственной идеологии (идеологических основ Российского государства), что затрудняет формирование приоритетов государственной политики в области образования в целом;

отсутствие понимания на всех уровнях власти приоритетности образования; слияние Минобразования и Госкомвуза не обеспечило условий для улучшения управления системой общего среднего образования;

нет принятой на высшем государственном уровне федеральной доктрины, стратегии и программы развития образования.

подготовленные ранее предложения по-новому этапу развития системы образования не были поддержаны педагогической общественностью;

недостаточно проработана нормативно-правовая база системы среднего образования; на государственном уровне не решена проблема введения государственных стандартов общего среднего образования;

нет эффективной программы воспитательной и социальной работы школы;

озабоченность вызывает обеспечение общеобразовательных учреждений современной учебно-методической литературой, включая учебные книги для преподавателей и воспитателей;

кризисные явления наблюдаются в системе повышения квалификации учителей.

Федеральная система повышения квалификации педагогов не может быть эффективной при отсутствии средств, стимулов и механизмов для реализации государственной политики, обеспечивающей единое федеральное образовательное пространство.

Обновление содержания образования - главная задача модернизации школы. Любая реформа образования - это прежде всего реформа содержания образования. Все остальное - изменения в системе образования, то есть в его инфраструктуре.

Длительное время Россия шла и до сих пор идет по пути экстенсивного наращивания содержания школьного образования. Переходя от одной социально-педагогической ступени к другой - от всеобщего начального к неполному среднему и далее к всеобщему полному среднему образованию, - не меняется ни внутреннее устройство школы, ни принципы построения содержания образования. Механически надстраиваются школьные этажи и учебные предметы друг над другом, безгранично расширяя эти учебные предметы, что и привело к сбоям школьного механизма, к нарастающей перегрузке детей. Только за последние десять лет нагрузка школьников возросла в полтора раза, а число учебных предметов увеличилось на треть.

Сегодня школьная перегрузка достигла уже катастрофических размеров, стала основной внутренней бедой школы. В анекдотической форме это неоднократно подтверждали руководители и правительства, и министерства образования, сообщая, что нагрузка старшеклассников, с учетом всех видов работ и заданий, составляет 167 часов в неделю, притом что в неделе всего 168 часов.

Основной же "внешней" бедой школы стало то, что она уже давно оторвалась от жизни и потому во многом утратила свое образующее влияние. Ибо еще Ушинский писал, что отвернуться от потребностей жизни - значит "сделать школу учреждением бессильным и бесполезным".

В педагогической печати многократно подчеркивалось, что "школа сегодня катастрофически оторвана от жизни". В более мягкой форме это не раз признавал и руководитель образовательного ведомства В.М. Филиппов, отмечая, что "мы лишили ребенка практической ориентации к жизни", что "наше нынешнее образование очень плохое в его практической направленности". Говоря о результатах международного исследования "по поводу практической ориентации знаний", В.М. Филиппов сокрушался: "Мы были поражены, что наши дети оказались в хвосте".

Может ли устраивать общество такое образование? И может ли рассчитывать такое образование на общественную поддержку? Равно как и на поддержку государства, ибо государство тоже постепенно приходит к убеждению, что увеличивать финансовую поддержку образования можно только при условии, если само образование начнет меняться. По крайней мере именно так ставит вопрос "Программа модернизации образования".

Это здравая постановка вопроса - и не только в прагматическом, но и в социокультурном, а шире - в цивилизационном смысле. Образование может работать либо на воспроизводство, либо на развитие общества. Но сегодня оно не способно работать на развитие. Воспроизводство же старого - это стагнация, это воспроизводство и наращивание отставания.

В этом плане вопрос о состоянии нынешнего содержания школьного образования давно уже вышел из педагогической в социальную плоскость. Консервация этого содержания образования имеет два фундаментальных социальных последствия: она, во-первых, заведомо закладывает неконкурентоспособность и социально-экономическое отставание страны; во-вторых, разрушает генофонд нации - здоровье подрастающих поколений. "Мы прямо утверждаем, - написано в декларации Красноярской ассоциации педагогов, - наши перегруженные и захламленные учебные программы - преступление против детства!"

Все последние девять лет образовательный стандарт выстраивался РАО как средство консервации школьного образования. И именно это вызывало резкую общественную аллергию как к проводимой стандартизаторской работе, так и к самой идее введения стандарта. Между тем стандарт может и должен быть инструментом не консервации, а развития образования. В том-то и состояла генеральная целевая установка Временного научного коллектива "Образовательный стандарт", созданного Министерством образования в апреле 2002 года, чтобы сделать стандарт фактором не торможения, а развития - развития личности, образования, а следовательно, в конечном итоге и страны. В этом главная цель и суть нового подхода к образовательному стандарту, принципиально нового взгляда на его роль и значение.

В соответствии с Законом РФ «Об образовании» Российская Федерация в лице федеральных (центральных) органов государственной власти и управления в рамках их компетенции устанавливает федеральные компоненты государственных образовательных стандартов, определяющие в обязательном порядке обязательный минимум содержания основных образовательных программ, максимальный объем учебной нагрузки обучающихся, требования к уровню подготовки выпускников.

Как указывается в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года»[33], модернизация общеобразовательной школы предполагает «ориентацию образования не только на усвоение обучающимся определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей. Общеобразовательная школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений и навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, т.е. ключевые компетентности, определяющие современное качество образования». В Концепции подчеркивается также, что важнейшими задачами воспитания является «формирование у школьников гражданской ответственности и правового самосознания, духовности и культуры, инициативности, самостоятельности, толерантности, способности к успешной социализации в обществе и активной адаптации на рынке труда».

Проект федерального компонента государственного образовательного стандарта общего образования направлен на реализацию основной цели общего среднего образования - подготовку разносторонне развитой личности гражданина, ориентированной в традициях отечественной и мировой культуры, в современной системе ценностей и потребностях современной жизни, способной к активной социальной позиции в обществе и самостоятельному жизненному выбору, к началу трудовой деятельности и продолжению профессионального образования, к самобразованию и самосовершенствованию.

Аркадий Аркадьев, координатор проекта разработки образовательных стандартов, ректор института Новых образовательных систем, считает, что «стандарт - это просто определенная помощь учителю и защита его от произвола чиновника, от неквалифицированного методиста». После введения стандарта любой учитель может, сославшись на него, показать соответствие его программы официальным нормам.

В Конституции Российской Федерации написано, что каждый ребенок имеет право на образование. Но на какое образование? Именно это право должен закрепить законопроект о стандарте. Для примера можно рассмотреть ситуацию. Ученик приходит в обыкновенную общеобразовательную школу, в которой его обучают только таблице умножения и больше ничего не дают. На данный момент этот ученик даже не может подать в суд, потому что нигде не написано, чему именно его бесплатно должны обучать и сколько часов. Законопроект о стандартах говорит о том сколько часов минимум должно быть в каждой параллекли. То есть этот закон - защита учеников от того, что он останется неграмотным, и защита родителей, что их детям дадут законное бесплатное образование на должном уровне. Этот закон защищает конституционные права человека.

Несмотря на все положительные стороны введения общего стандарта есть и противники этой реформы.Один из них известнейший математик академик В.И. Арнольд. Он считает, что данная реформа направленна на подготовку рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хозяев, их учат только основам языка хозяев, чтобы они могли понимать приказы. В своей речи на парламентских слушаниях в Государственной Думе он говорит: «Не случайно подготавливаемая реформа финансируется иностранцами, давно мечтавшими избавиться от конкуренции со стороны российской науки и техники»[10]. В.И. Арнольд думает, что наши реформаторы стремятся привести Россию к уровню американского общества, которое не может обходиться без компьютеров и давно забыло о существовании простых дробей. Обучить после такого «образования» думать, доказывать, правильно рассуждать никого уже невозможно, население превращается в толпу, легко поддающуюся манипулированнию со стороны ловких политиков без всякого понимания причин и следствий их действий.

Академик приводит пример. Студент-математик 4 курса одного из лучших парижских университетов спросил у него во время трех часового письменного экзамена по теории динамических систем: «Помогите, пожалуйста: дробь 4/7 больше или меньше 1? Я свел задачу о поведении системы к исследованию сходимости интеграла, а это исследование - к асимптотике подинтегральной функции, и показатель степени этой асимптотики оказался 4/7, но ведь для окончательного вывода о сходимости интеграла нужно знать, больше ли это число чем 1, а вы компьютером на экзамене пользоваться не разрешаете, и я не могу решить задачу до конца».

Еще более жестко характеризует необходимость принятия стандарта Игорь Федорович Шарыгин - член исполкома Международной комиссии по математическому образованию (EC ICMI), заведующий лабораторией «Геометрия» Московского центра непрерывного математического образования. Он считает, что минимальный уровень будет всеми воспринят как максимальный. То есть преподаватели, не преданные своему делу, будут обучать детей только в рамках стандарта. А нужно это все специалистам, разрабатывающим, стандарт ради обогащения, руководящим работникам системы образования и чиновникам, выступающим от имени государства, ради создания рынка платных образовательных услуг. Он делает вывод: «Образовательный стандарт - чистой воды лицемерие. Его цель - ввести в заблуждение общество»[69].

Большинство педагогической общественности все же считает, что стандарты необходимы и должны быть приняты, они дадут направление по которому должны будут работать учителя, закрепят обязательный уровень усвоения материала. Учителя будут знать, что они должны иметь «на выходе».


§3. Проблемы введения нового стандарта


Разработка стандарта затрагивает интересы множества социальных групп: учителей, чиновников, министерства образования, представителей высших учебных заведений и академических институтов. Учеников и их родителей. Их интересы часто противоречат друг другу. Например, преподаватели вузов хотят, чтобы школа готовила абитуриентов, которых легко было бы учить дальше. Академические институты хотят, чтобы школьные программы отражали логику и современные достижения науки. Предметники - чтобы школьники 8 часов в неделю изучали их предмет. Ученики - чтобы им было легко и интересно учиться. Родители - чтобы дети получили качественное и нужное образование. Для того, чтобы удовлетворить интересы всех сторон необходимо организовывать конференции, съезды, сборы. Но на это практически не было времени.

Документ рождался в рекордные сроки: февраль-март 2002 г. -разработка концептуальных оснований, март-июль -2002 г. - разработка содержательного наполнения стандарта. август-сентябрь 2002 г. - общественное обсуждение и научная экспертиза, октябрь - доработка проекта, ноябрь - представление проекта стандарта в Министерство образования и внесение дополнений и изменений по замечаниям и предложениям министерства. Министерство образования заказало стандарт, организовало его обсуждение, внесло в него замечания и приняло, а потом отправило на утверждение в Государственную Думу.

В течение нескольких лет общим в агитации за добротное образование стали рассуждения о том, что образование связано с проблемами государственной безопасности, что это приоритетное направление государственной политики, что в этой сфере задействовано 38-40 млн. человек населения страны (если говорить честно, то затрагивает оно практически всё население: не учится сам - так учатся его дети, не дети - так внуки). Следовательно. обсуждать новые стандарты, если они так или иначе затрагивают всё общество, нужно вдумчиво, толково, спокойно, а главное - всем, кому небезразлична судьба его детей, внуков, будущих поколений, потому что стандарты принимаются не на один год и даже не на пятилетку. Несмотря на это Э. Днепров считает, что «педагоги, мягко говоря, преувеличивают свою роль, пытаясь диктовать обществу и государству свои часто весьма спорные и противоречивые представления об образовании и его содержании»[17]. Вот видимо так и обсуждался стандарт, без участия учителей, родителей и т.д.

В результате разработки все оказались в цейтноте: общество, которому для обсуждения предоставлялся лишь месяц; авторы учебников, которым пришлось бы срочно изготавливать новые учебники; учителя, которым в сентябре 2003 г. согласно имеющимся планам, пришлось бы преподавать по новым стандартам. В условиях цейтнота работали и предметные группы. Это явилось «серьёзной причиной, это признают руководители временного научного коллектива (ВНК) Э.Д. Днепров и В.Д. Шадриков, помешавшей выйти за рамки только первого рабочего варианта проекта стандарта высшей школы» [52,ч.1,стр.18]. Материалы были представлены для публикации в самое последнее время. Предисловие к стандарту, по существу, - это вынужденное признание руководителей ВНК в том, что качество проекта стандартов неудовлетворительно, а намеченные сроки, обозначенные в «Техническом задании», утверждённом Министерством образования, сорваны. За это ответственно само Министерство, утвердившее нереальный план.

Двумя главными установками для всего коллектива разработчиков были борьба с перегрузкой и смена программы школьного образования, выражающаяся в переходе от традиционной схемы изложения основ науки к схеме, декларируемые приоритеты которой - общее культурное личностное развитие. Авторы полагают уменьшить число часов, отводимых на естественные науки и увеличить - на гуманитарные..

Как же авторами велась борьба с перегрузкой. Посмотрим на БУП 1998 г. и объёмные показатели [52, ч.1, стр. 27-30] (ОП) 2002 г.


Уровень образованияБУП 1998 г.ОП 2002г. без физкультурыОП с физкультуройТребования СанПиННачальное общее. образование2768273630062904Основное общее образование4970469050405320Среднее (полное) общее образование2240Баз. уровень -1505 Проф. уровень - 2695Баз. уровень -1645 Проф. уровень -28002520

Как видно из таблицы, авторы проекта поступили хитро: они выкинули из объёмных показателей часы по физической культуре, в результате чего их показатели стали ниже, чем в БУП 1998 г., то есть борьбу с перегрузкой они так и не осуществили. В части урезания курса естественных наук и увеличения курса гуманитарных наук дело обстоит так. В начальной школе было добавлено 204 часа на иностранные языки и 34 - на окружающий мир. Хотя добавление такого количества часов на изучение иностранных языков вызывает много споров, так как дети с трудом овладевают своим родным языком, не говоря уже об английском. В основной школе за счёт убавления часов по технологии, авторы добавляют часы на изучение литературы, обществоведения, музыки и изо. Здесь они сокращают курс математики на 105 часов, пытаясь спрятать это за объединением математики и информатики в одну общую графу. В старшей школе на базовом уровне сокращаются не только часы на математику, физику, химию, но и на историю, географию, биологию, искусство, ОБЖ и технологию. Зато добавляется время на изучение иностранных языков. На профильном уровне в основном добавляется время на изучение иностранного языка (210 часов), часы на математику выделяются на том же уровне, что в БУП 1998 г.

Посмотрим на раздел математики. Здесь введены принципиально новые разделы: «Элементы теории вероятности и статистики», Язык и логика», введены новые темы: «Комплексные числа», «Аксиоматика». Это никогда не проверялось на практике и есть большие опасения, что результатом будет переход от математики к антинауке (бездоказательству). Время будет уходить на разговоры о математике, о том, какая это важная и умная наука (роль аксиоматики в науке и повседневной жизни, риманова геометрия и т.п. [52, ч.2, стр. 87]). В курсе геометрии средней школы либо удалены, либо перенесены в старшую школу такие темы: «Вектор», «Радианная мера угла», «Метрические соотношения в треугольнике»; сводятся к минимуму задачи на построение.

Одной из важнейших проблем принятия стандартов, а точнее «работы» стандарта является финансирование. Очевидно, что даже если и принять стандарт, то всё равно в ближайшее время не смогут по нему работать, так как нет ещё соответствующей методической литературы, учебников, должного оснащения.

Игорь Шарыгин в своей статье «Минимальный подход к образовательному стандарту - это угроза обществу и государству» считает, что стандарты не будут созданы по трём причинам. Во-первых, этого не позволят сделать первопроходцы из системы РАО, отодвинутые от разработки стандартов, а заодно и от финансового потока. Во-вторых, в этом не заинтересованы сами разработчики. Здесь важен процесс, с окончанием которого заканчивается и финансирование. И, наконец, в третьих, образовательные стандарты, основанные на идее минимальности, невозможны в принципе.

Несмотря на такие критические взгляды, большинство считает, что стандарт должен быть принят в ближайшее время. Однако для этого его необходимо доработать и отредактировать.


Глава III. Методика преподавания функциональной линии по математическим стандартам


§1. Функциональная линия в общеобразовательной школе


.1 История развития понятия функции

История функции уходит своими корнями в те далекие времена, когда человек начал понимать, что окружающие его явления взаимосвязаны.

В связи с развитием земледелия, ремесла, скотоводства, обмена увеличилось количество зависимостей., известных людям. Если из одного ведра глины можно было изготовить 5 горшков, то из 3-х ведер можно было изготовить 15 горшков. Тогда людям редко приходилось сталкиваться с более сложными зависимостями. Когда возникли первые цивилизации понадобились писцы, которые вели бы учет налогов, количество- стройматериала, продовольствия.

Достигшие высокого уровня в математике вавилоняне, чтобы облегчить вычисления, составили таблицы обратных значений чисел., квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. У вавилонян были и таблицы функций двух переменных, например таблицы сложения и умножения двух чисел.

Древнегреческие математики нашли много различных кривых, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.

Позже центр научных исследований переместился в арабские страны, где арабские ученые разработали новые тригонометрические таблицы.

Здесь же впервые встречается термин «Применимо ко всем таблицам», то есть речь идет о всевозможных зависимостях между величинами. Этот термин принадлежит хорезмийцу Аль Бируни, жившему в XI веке.

В XIV началось исследование общих зависимостей. Французский ученый Николай Оресм, который выражал интенсивность качеств отрезками, расположив перпендикулярно некоторой прямой, назвал их верхние концы, которые образовали некоторую линию, «линией верхнего края». В этой линии можно узнать график соответствующей функциональной зависимости. Чтобы развить идеи Оресма, нужно бьло уметь выражать зависимости не только графически, но и с помощью формул. Но буквенная алгебра была создана лишь в XVI веке. Только тогда удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.

В XVI веке произошли глубочайшие изменения в жизни людей и их мировоззрении. Астрономия начала приносить новые сведения о мире. Основной задачей науки стало открытие законов мироздания, описания их в терминах математики, имевшей дело на тот момент только с постоянными объектами. Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено французским философом и математиком Рене Декартом. Он ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему. Зависимости между величинами стали выражаться как зависимости между числами. Это была неявно выраженная идея числовой функции числового аргумента.

При записи зависимостей между величинами Декарт стад применять буквы. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений, которые начал изображать геометрически.

К началу XVII века были знакомы уже такие кривые как эллипс, гипербола, парабола и другие. Но не было еще общего метода изучения линий. Открытия Декарта дали возможность изучения и получения новых кривых.

Вообще в течение XVII века было открыто очень много кривых, и в связи с этим понадобились общие понятия, которые позволили бы их изучать.

Четкого понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Понятие функции у него было изложено на языке геометрии, так как запас функций в то время был очень узок. Для создания единого подхода в различных случаях зависимости величин друг от друга понадобилось новое, более общее понятие.

Часто бывает так, что в науке ученые долгое время применяют некоторое понятие в неявном виде. Оно встречается под разными именами, так как нет общего названия. И когда это понятие получает имя, все замечают, что давно работали с ним. Примерно такая ситуация и сложилась с понятием функции.

Слово «функциям (от латинского function - совершение, выполнение) начал употреблять знаменитый математик Г. Лейбниц с 1673 года в смысле роли, то есть величины, выполняющей ту или иную функцию. В начале понятие функции не было свободно от геометрической формы. Как термин выражение «функция от х» стало употребляться Г. Лейбницем и И. Бернулли начиная с 1698 года. Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа» (постоянная). Явное определение функции, свободное от геометрического языка, было дано в 1718 году учеником Лейбница, швейцарским математиком Иоганном Бернулли. «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной ветчины и постоянных». Это определение опиралось не только на работы Лейбница, но и на труды Исаака Ньютона, который исследовал большое количество самых разных функциональных зависимостей.

Леонард Эйлер во «Введение в анализ бесконечных» (1748 год) примыкает к определению своего учителя Иоганна Бернулли, но немного уточняет его: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким - либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». И так понимали функцию на протяжение XVIII века. Но Леонард Эйлер постоянно подвергал понятие функции дальнейшему развитию.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 году, Л. Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других, таким, образом, что при изменении последних и сами они подвергаются, изменению, то первые называются функциями вторых». На основе этого французский математик С.Ф. Лакруа в своих работах отметил: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних не зависимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому».

Как видно из приведенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением.

К середине XVIII века ученые решили много задач механики. В центре внимания встали и проблемы механики сплошных тел. Простейшей из проблем являлось изучение колебаний струны, закон которой определяется функцией двух переменных u=f (х,t). Между Эйлером и Даламбером вспыхнул спор о толковании найденного ими решения. Первоначальное отклонение струны могло задаваться различными выражениями на различных участках. Отсюда, вытекало, что одним из неизменных вопросов в XVIII веке, связанных с понятием функции был вопрос о том, можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями. В спор вмешался еще один математик - Даниил Бернулли, который считал, что его решение охватывает самый общий случай. Эйлер и Даламбер были с ним не согласны, считая, что два различных выражения не могут задавать одну и ту же функцию. Д. Бернулли и Л. Эйлер не смогли доказать справедливость своей точки зрения. Вследствие этого в конце XVIII века математики давая определение функции, уклонялись от ответа на вопрос о том, как. же она выражается. Французский математик Лакруа писал: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить чтобы перейти оm них к первому». То есть Лакруа уже не отождествлял понятие функции с ее аналитическим выражением. Окончательный разрыв между понятиями функции и ее аналитическим выражением произошел в начале XIX века.

Большой вклад в решение этого спора внес французский математик Ж. Фурье. В представленных им мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Стало

ясно, что любая кривая может быть представлена в виде единого аналитического выражения.

Фурье удалось доказать, что любые функции имеющие период период П, можно представить в виде суммы бесконечного ряда. Позднее Фурье и его последователи изучили более общие разложения функций в ряды. Фурье говорил, что неважно, каким аналитическим выражением задана функция, а важно, какие значения принимает функция при заданных значениях аргумента. Таким образом, стало ясно, что приходиться пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом, что стало тормозить расширение понятия функции.

В 1834 году Н.И. Лобачевский писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием которое дает средство испытывать все числа и выбрать одно них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной…».

После длительного уточнения этой идеи немецкий математик П. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке а<х<в), если, каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами».

Таким образом, примерно в середине XIX века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от аналитического выражения. Главный упор делался на идею соответствия.

Математики конца XIX века подвергли сомнению выражение «переменная величина». Это определение говорило лишь о числах, о соответствии между числами. Общий подход к понятию функции мог возникнуть после того, как в конце XJX века появилось понятие множества.

Общее определение понятия функции формулировалось следующим образом: «если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у=f(х) или множество А отображено на множество В».

То есть после создания теории множеств в понятие функции была включена и идея множества.

В начале XX века возникла новая ветвь математики - функциональный анализ. Функциональный анализ находит применение в математике, физике, экономике.

Остро почувствовалась необходимость расширения понятия функции после выхода в 1930 году книги Поля Дирака «Основы квантовой механики», который ввел «дельта-функцию», выходящую за рамки классического определения функции.

После этого советский ученый Н.М. Гюнтер совместно с другими учеными опубликовал работы, в которых неизвестными являются не функции точки, «функции области», что соответствовало физической сущности явлений. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем.

В результате поисков наиболее правильного и полного отражения в этом понятии сущности совершающихся вокруг нас процессов понятие функции неоднократно подвергалось изменениям и уточнениям.

И как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции, в основе всех замысловатых построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимосвязанных величин, знание значения одной из которых позволяет найти значение другой величины.

Обзор развития понятия функции показал, насколько это понятие сложное, широкое, многогранное, что оно заставляло задумываться над собой десятки умов великих ученых - математиков и физиков. И отсюда следует, что к формированию этого понятия в школьном курсе математики требуется найти особый подход, учитывая при этом и историческое прошлое понятия функции.


1.2 Функциональная линия в стандартах школьного образования

Как уже говорилось неоднократно в России существуют два стандарта школьного образования: один - БУП 1998 года, другой проект стандарта 2002 года, который в настоящее время находиться на доработке.

В этой части диплома, я хочу просмотреть функциональную линию в стандартах (обязательный минимум содержания образования и требования к функциональной подготовке школьников) и сделать вывод о изменениях произошедших в них.

Рассмотрим стандарт 1998 года, по которому в настоящее время работает большинство школ.

Задачами курса математики на разных ступенях обучения по функциональной линии являются:

·пропедевтика изучения функции;

·изучение свойств и графиков элементарных функций, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей;

·расширение и систематизация общих сведений о функциях, изучение новых классов элементарных функций;

·расширение и совершенствование математического аппарата, сформированного в основной школе (выражения, уравнения, неравенства, вычисления, включающие новые виды функций);

·ознакомление с элементами дифференциального и интегрального исчисления как аппаратом исследования функций, решения прикладных задач;

·расширение и углубление представлений о математике как элементе человеческой культуры, о применении ее в практике, в научном познании (осознание универсальности математических понятий, теорий, методов, иллюстрация их применения в различных областях человеческой деятельности);

·совершенствование интеллектуальных и речевых умений с помощью функциональной линии.

Данные задачи решаются с помощью содержания обучения, функциональная линия развивается по ступеням обучения следующим образом:

) Начальная школа. Содержание обучения дает возможность осуществить пропедевтику изучения функций при введении буквенных выражений, при рассмотрении зависимости между компонентами арифметических действий, при решении текстовых задач, в которых используются зависимости между различными величинами (например, между скоростью, расстоянием и временем).

) Основная школа. При обучении учащиеся приобретают систематизированные знания об элементарных функциях и их свойствах, овладевают навыками построения графиков. Основной материал данной линии связан здесь с линейной и квадратичной функциями.

) Старшая школа. Развитие функциональной линии происходит в нескольких аспектах: рассматриваются новые свойства функций (периодичность, наличие точек максимума или минимума); изучаются новые классы функций - тригонометрические, показательные, логарифмические функции; вводятся понятия производной, первообразной и интеграла, которые находят широкое применение при решении различных задач, связанных с исследованием функций, решением физических задач и т. п.

Рассмотрим более подробно обязательный минимум содержания функциональной линии в стандарте 1998 года. Для этого обратимся к таблице:


Ступень обученияОбязательный минимум содержания образованияНачальная школаПропедевтика материала. Отношения «больше на…», «меньше на…», «больше в…», «меньше в…». Зависимости между величинами: «цена, количество товара, стоимость», «расстояние, время, скорость» и др.Средняя школаКоординатная плоскость. Функция. Способы задания функции. Область определения функции. График функции. Свойства функции: возрастание, убывание, сохранение знака. Линейная и квадратичная функции, функция y=k/x, y=x3, y=?x, их свойства и графики. Определение синуса, косинуса, тангенса угла. Графики этих функций.Старшая школаЧисловые функции и их свойства. Синус, косинус, тангенс числового аргумента. Периодичность тригонометрических функций. Графики тригонометрических функций. Показательная и логарифмическая функции, степенная функция, их свойства и графики. Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная функции вида у=f(kx+b). Признаки возрастания и убывания функций. Экстремумы функции. Первообразная. Таблица первообразных. Простейшие правила нахождения первообразных. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Требованиями к функциональной подготовке школьников по ступеням обучения являются:

Основная школа.

Учащиеся должны:

правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.), понимать ее при чтение текста, в речи учителя, в формулировке задач;

понимать содержательный смысл важнейших свойств функции, уметь по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств: указывать промежутки возрастания и убывания, знакопостоянства;

находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;

строить графики функций - линейной, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции и уметь по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств;

интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

) Старшая школа.

Учащиеся должны:

определять значение функции по значению аргумента при любом способе задания функции, применяя в случае необходимости вычислительную технику;

понимать смысл основных свойств числовых функций (монотонность, сохранение знака, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение, ограниченность, периодичность) и их графическую интерпретацию;

изображать графики основных элементарных функций, описывать свойства этих функций, опираясь на график;

понимать геометрический и механический смысл производной; находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы и произведения; применять производную для исследования функций в несложных ситуациях на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций;

находить в простейших случаях первообразные функции;

вычислять в простейших случаях значения интегралов, применять интегралы для нахождения площадей криволинейных трапеций.

Теперь рассмотрим стандарт 2002 года, который в настоящее время находится в доработке и пока еще не вступил в действие. Сразу же надо отметить, что на старшей ступени обучения выделяется два курса - базовый и профильный.

Задачами курса математики на разных ступенях обучения по функциональной линии являются:

·пропедевтика изучения функции;

·овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей; изучение функций, предусмотренных минимумом содержания обучения, их свойства и графики;

·формирование умения использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства задач функциональной линии;

·расширение и систематизация общих сведений о функциях, изучение новых классов элементарных функций;

·расширение и совершенствование математического аппарата, сформированного в основной школе (выражения, уравнения, неравенства, вычисления, включающие новые виды функций);

·ознакомление с элементами дифференциального и интегрального исчисления как аппаратом исследования функций, решения прикладных задач;

·развитие умения применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально-графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;

·совершенствование интеллектуальных и речевых умений с помощью функциональной линии;

·научить примененять алгебраический и функциональный аппарат, обогащенный новыми видами функций, к решению уравнений, неравенств и систем и к исследованию реальных зависимостей;

·овладение основными понятиями, результатами и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задач.*

Данные задачи решаются с помощью содержания обучения, функциональная линия развивается по ступеням обучения следующим образом:

) Начальная школа. Содержание обучения дает возможность осуществить пропедевтику изучения функций при введении буквенных выражений, при рассмотрении зависимости между компонентами арифметических действий, при решении текстовых задач, в которых используются зависимости между различными величинами (например, между скоростью, расстоянием и временем).

) Основная школа. При обучении учащиеся приобретают систематизированные знания об элементарных функциях и их свойствах, овладевают навыками построения графиков. Основной материал данной линии связан здесь с линейной и квадратичной функциями. Проводится пропедевтика наибольшего и наименьшего значения функции.

) Старшая школа. Развитие функциональной линии происходит в нескольких аспектах: рассматриваются новые свойства функций (периодичность, наличие точек максимума или минимума, монотонность, четность или нечетность, ограниченность, непрерывность); изучаются новые классы функций - тригонометрические, показательные, логарифмические, степенные функции; изучается обратная функция, преобразование графиков, вводятся понятия производной, первообразной и интеграла, которые находят широкое применение при решении различных задач, связанных с исследованием функций, решением физических задач и т. п.

Рассмотрим обязательный минимум содержания функциональной линии в стандарте 2002 года. Для этого обратимся к таблице:


Ступень обученияОбязательный минимум содержания образованияНачальная школаПропедевтика материала. Отношения «больше на…», «меньше на…», «больше в…», «меньше в…». Установление зависимостей между величинами, характеризующими процессы: движения (пройденный путь, время, скорость), работы (объем всей работы, время, производительность труда), «купли-продажи»(цена, количество товара, стоимость).Средняя школаКоординатная прямая. Прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точки плоскости. Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий. Числовая функция. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Возрастание и убывание функции. Промежутки знакопостоянства функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Чтение графиков функций. Свойства и графики функций: прямой и обратной пропорциональности, функций y=x2 и y=x3, линейной функции, квадратичной функции, функции y=?x и y=|x|.Старшая школаСложные процессы в природе и обществе и необходимость создания специального математического аппарата - дискретных и непрерывных моделей - для их количественного описания. Равномерные и равноускоренные процессы и их описание с помощью линейных и квадратичных функций. Периодические процессы и их описание с помощью тригонометрии. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, действительного числа. Периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Графики тригонометрических функций. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики обратных тригонометрических функций. Процессы быстрого (экспоненциального) роста. Геометрическая прогрессия как дискретный пример процесса быстрого роста. Легенда о создании шахмат, сложные проценты, примеры быстрого роста в живой и неживой природе. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность, непрерывность. Построение графиков функций, заданных различными способами. Необходимость построения непрерывной модели для описания непрерывного процесса быстрого роста и соответствующего обобщения понятия степени. Показательная, степенная и логарифмическая функции. Графики степенной функции с натуральным показателем, показательной и логарифмической функций. Свойства показательной, степенной и логарифмической функций. Обратная функция. Признак существования и свойства обратной функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Сложная функция. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и относительно начала координат, симметрия относительно прямой , растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций. Графики рациональных функций.

Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного функций. Признаки возрастания и убывания функций. Экстремумы функции. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производная функции вида у=f(kx+b).

Первообразная. Основное свойство первообразных. Таблица первообразных. Простейшие правила нахождения первообразных. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

Требованиями, сформулированными в знаниях, умениях, навыках, к функциональной подготовке школьников по ступеням обучения являются:

Основная школа.

В результате изучения функциональной линии ученик должен:

Знать и понимать:

что функция - это математическое понятие, позволяющее описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):

владеть: функциональными понятиями и терминами: «функция», «аргумент», «значение функции», «график функции», «область определения», «область значений», «возрастающая функция» и др., функциональной символикой; различными способами задания функций - таблицей, формулой, графиком, словесной характеристикой; терминологией и символикой, связанными с последовательностями и способами их задания;

находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, соответствующие конкретным значениям аргумента;

указывать по графику функции промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения, нули функции;

строить графики линейной функции, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции и отвечать на вопросы, касающиеся их свойств;

распознавать и конструировать арифметическую и геометрическую прогрессии; решать несложные задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.

Применять полученные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

интерпретировать содержательно графики реальных зависимостей между величинами;

переводить на функциональный язык и исследовать несложные реальные зависимости;

распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии в практических ситуациях и выполнять требуемые вычисления с использованием соответствующих формул;

Старшая школа.

В результате изучения функциональной линии на базовом уровне ученик должен:

Знать и понимать:

значение математической символики и формул математики для описания общих закономерностей науки, практики, для экономии усилий в повседневной жизни;

поведение графика функции в точках, где она не имеет производной;

понятие первообразной;

геометрический смысл понятия интеграла;

взаимную обратность операции дифференцирования и интегрирования;

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):

пользоваться радианной мерой измерения углов;

находить значения функций на основе определений, с помощью калькулятора, таблиц и других справочных материалов;

приводить приближенные значения основных математических констант с точностью до сотых;

решать простейшие уравнения и неравенства, содержащие изученные и новые функции;

определять значение произвольной функции по значению аргумента при различных способах задания функции - аналитическом, графическом, словесном;

строить графики основных изученных функций - синуса и косинуса, показательной и логарифмической;

находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы и произведения;

применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций;

находить первообразные для суммы функций и произведения функции на число;

находить различные содержательные интерпретации заданного математического соотношения или свойств графика;

использовать производную для описания свойств функции, заданной графически;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; владеть:

навыками описания свойств функций по их графикам, в том числе связанных с производной;

В результате изучения функциональной линии на профильном уровне ученик должен:

Знать и понимать:

сущность функции как математического понятия, позволяющего описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами; конкретные типы функций (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции) описывающие большое разнообразие реальных процессов в природе и обществе;

- значение идей и методов математического анализа для приложений математики;

геометрический и механический смысл производной;

смысл понятия первообразной, ее геометрическую и физическую интерпретации;

определение понятия интеграла на интуитивном уровне и его геометрический смысл.

Уметь (владеть способами познавательной деятельности):

определять значение функции по значению аргумента (в том числе, с помощью калькулятора) при различных способах задания функции;

иллюстрировать основные свойства функций их с помощью графических изображений;

строить графики основных функций, предусмотренных обязательным минимумом содержания;

интерпретировать содержательно графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы;

переводить на функциональный язык и исследовать реальные зависимости, описываемые рассмотренными в курсе типами функций;

функциональными понятиями и терминами, связанными со свойствами функций, со способами задания функций, функциональной символикой;

навыками применения свойств функций к решению уравнений и неравенств;

навыками описания свойств функции по ее графику;

навыками использования свойства функции для сравнения и оценки ее значений;

навыками построения графиков функций с использованием основных приемов преобразования графиков.

находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы, произведения и частного, формулой производной функции вида y = f(ax + b);

находить первообразные для суммы функций и произведения функции на число;

вычислять в простейших случаях площади криволинейных трапеций;

использовать основные понятия, результаты и методы математического анализа для решения геометрических, физических и других несложных прикладных задач.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; владеть:

навыками применения производной для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций и для построения их графиков;

навыками вычисления площадей криволинейных трапеций.

Из анализа функциональной линии по двум стандартам можно сделать следующие выводы:

) Задачи курса математики по функциональной линии в целом совпадают, но во втором стандарте упор делается на применение функций в жизни, на правильность «функционального языка»;

) В целом развитие функциональной линии происходит на одинаковых ступенях обучения;

) В средней школе содержание обучения по функциональной линии немного отличается:

·в первом стандарте предусмотрена пропедевтика тригонометрических функций, то есть с ними знакомят в описательном порядке, как с новым классом функций;

·в требованиях к математической подготовке школьников по функциональной линии в БУП 1998 года написано, что учащиеся должны овладеть системой функциональных понятий (функция, значение функции, график, аргумент, область определения и область значения, возрастание, убывание, сохранение знака) [63,50], поэтому можно сделать вывод, что в проект стандарта 2002 года добавлено чтение графиков и определение наибольшего и наименьшего значения;

4) В старшей школе наиболее заметна разница в содержании образования:

·во втором проекте делается упор на применение функциональной линии в жизни, описание процессов природы с помощью функций;

·базовый курс в целом совпадает с курсом по первому стандарту, единственное отличие, что в базовом курсе не является обязательным изучение геометрического смысла определенного интеграла;

·профильный курс уже гораздо сильнее курса по первому стандарту: добавлено обязательное изучение обратной функции, преобразования графиков, ассимптот графиков;

5) Так как на изучение базового курса в старшей школе объемными показателями отводиться гораздо меньше времени, чем в БУП 1998 года, а курс функциональной линии практически не сократился, то можно сделать вывод, что по новому стандарту предусмотрено недостаточно времени на изучение данной линии;

) Несмотря на то, что в новом стандарте, все требования переведены на язык ЗУН, в целом требования к функциональной подготовке выпускников на базовом уровне практически не изменились, произошло увеличение требований к профильному курсу.


§2. Методика введения понятия функции по стандартам математического образования


.1 Анализ различных учебных пособий

Функциональная линия является одной из самых важных линий в курсе математики. Без правильного введения понятия функции невозможен дальнейший процесс изучения данной линии. Поэтому далее в своей работе я буду рассматривать тему «Введение понятия функции» более подробно.

В школьных учебниках существовали и существуют различные подходы к определению понятия функции и ее введению и дальнейшему формированию, которые в той или иной мере являлись отражением исторического пути становления этого понятия, как зависимой переменной, как правила или закона, как выражения, и как соответствия или отношения.

Что жезаставляет методистов искать новые пути введения понятия функции? На поиски их толкает неудовлетворенность результатами изучения функции учащимися: слабая ориентация в системе координат, отсутствие у некоторых учащихся представления о графиках основных изучаемых функций, некоторые не видят связи между изучаемыми функциями и решением уравнений и неравенств, не умеют читать графики функций и, наконец, большинство просто не понимают определения понятия функции и бездумно его заучивают.

В немалой степени такое состояние функциональной подготовки учащихся было вызвано теми подходами к определению понятия функции, которые были приняты в школьных учебниках, отсутствием четкости в этих определениях, не позволившим точно, однозначно и доступно трактовать рассматриваемое понятие, несвоевременностью его введения.

Рассмотрим примеры определений, которые были даны в учебнике Киселева А.П. и учебнике Кочетковой Е.С.:

«Та из двух связанных между собой переменных величин, которой можно придавать произвольные значения, называется независимой переменной или аргументом. Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной или функцией этой другой переменной величины».

«Если каждому значению одной переменной величины х каким-либо образом поставлено в соответствие вполне определенное значение другой величины у, то говорят, что задана функция. Величину у при этом называют зависимой переменной величиной или функцией, а величину х - независимой переменной величиной или аргументом»

Недостатки первого определения: расплывчатость основного опорного понятия переменной величины, несоответствие объему этого понятия, т.е. отсутствие однозначности.

Недостатки второго определения: отсутствие четкости, двусмысленность, из этого определения неясно, что же такое функция; соответствие между переменными величинами х и у, способ, которым задается соответствие или переменная величина? Основным опорным понятием в этом определении, так же как и в первом, является понятие переменной величины, смысл которого остается нераскрытым.

Обсуждая методические подходы к определению понятия функции. АЯ. Хинчин говорил, что в понятии функции «как в зародыше уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математического аппарата. Вот почему мы должны со всей беспощадностью требовать от этого определения полной, безукоризненной ясности: ни одно слово в нем не должно вызывать и тени сомнения, малейшая двусмысленность здесь грозит сделать все величественное здание, которое строит наука на базе этого основного понятия, несовершенным, требующего капитальной перестройки».


2.1.1 Учебники Муравина К.С. и Муравина Г.К.

Вводятся понятия функции и ее графика в 7 классе. Введение начинается с рассмотрения кокретных задач (об объеме прямоугольного параллепипеда и высоте прямоуголька при данной площади и ширине). Далее дается точное определение понятия функции и ее графика, что само по себе является преждевременным и учащиеся еще не могут полностью понять глубину этих важных понятий.

Рассматривается функция y=kx (опять от кокретных задач), дается ее определение через понятие пропорциональности, определение графика, построение графика. Линейная функция, ее определение и график. Линейное уравнение с двумя переменными и его график (не объясняется связь между линейными уравнениями с двумя переменными и линейными функциями).

Вводится понятие функции y=x2. Строится ее график и рассматриваются свойства: расположение графика, симметричность графика. Третье свойство тяжело для понимания: зависимость большей (меньшей) ординаты от большей (меньшей) абсциссы при x³0, при x£0. Задачи и упражнения по этой теме не имеют тесной связи с объясняемым материалом, нет разнообразия и подходов с разных сторон, нет «лестницы сложности».

Функция y=k/x. Построение графика. Рассматриваются свойства, касающиеся расположения графика.

Основные недостатки:

Отсутствие равномерности, последовательности и блочности изложения материала, все функции даются вперемешку, а не по их значению в реальных жизненных ситуациях (отсутствие опоры на понятие математической модели). Отсутствует взаимосвязь между функциями некоторых видов, функциями и уравнениями с двумя переменными. Определения и свойства даются рано, учащиеся еще не проникли в суть вещей, тем более что формулировки громоздки и тяжелы для запоминания.

Теперь рассмотрим какие типы задач представлены в данных учебниках по теме «Функции» и проанализируем на выполнение каких задач они направлены. Так как после анализа стандарта по функциональной линии был сделан вывод о том, что задачи курса математики по рассматриваемой линии практически совпадают, то просмотрим выполнение данных задач на примере проекта стандарта 2002 года.

Тип 1: графические задачи.

.1 Задания направленные на составление таблицы по данному графику функции.

Пример. На рисунке изображен график, показывающий, как зависит атмосферное давление р (мм рт. ст.) от высоты H (км) над уровнем моря. Пользуясь графиком заполните таблицу значений функции р=g(H):


H (км)012345678910р (мм рт. ст.)

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, осознание необходимости графических представлений для описания реальных зависимостей.

Тип 2: аналитические задачи.

.1 Задачи на задание какого-либо процесса с помощью функции, нахождение ее области определения:

Пример. В баке емкостью 400 л содержится 160 л воды. Каждую секунду в бак вливается 6 л воды. Сколько литров воды V будет в баке через t секунд? Укажите множество допустимых значений переменной t. Является ли переменная V функцией переменной t? Какое значение V соответствует значению t, равному 2.

Данный тип задач направлен на овладение понятием функции, функциональным языком, использование функциональных представлений для описания и анализа реальных зависимостей, совершенствование интеллектуальных и речевых умений.

.2 Задания на нахождение значений функции, заданной формулой по данным значениям аргумента (обратная задача).

Пример. Найдите значение функции: f(x)=х(х-8) при х=-4; 5

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, формирование умения использовать символический язык математики.

.3 Задания на нахождение области определения функции:

Пример. Дана функция y=1,6x+4. Укажите множество допустимых значений аргумента данной функции.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий.

ВЫВОД: Данный учебник в полном объеме не подходит для изучения темы «Функции» в школе, так как он предназначен для технических заведений, он широко отражает связь с процессами происходящими в природе, но по нему совершенно невозможно научиться читать графики функции, работать с ними, задачи слишком трудны для уровня 7 класса общеобразовательной школы, при изучении понятия функции не вводятся ее свойства, он не выполняет всех задач и требований проекта стандарта 2002 года.


.1.2 Учебники под редакцией Теляковского С.А.

Понятие функции вводится в учебнике 7 класса на основе рассматриваемых задач. Вводится определение графика функции, области определения функции.

Понятие линейной функции вводится из задач. Система упражнений в основном состоит из заданий, которые нужно записать в виде линейной функции, и заданий на построение графика функции. Следовательно имеется недостаток в разнообразии типов упражнений.

Функции y=x2 и y=x3. Строятся графики этих функций по точкам и перечисляются некоторые свойства: расположение по четвертям, симметричность. Система упражнений состоит из задач на отыскание значений y и x по графику.

Основные недостатки:

Нет разделения на различные виды функций по классам. Большинство задач в системе упражнений делается чисто механическим способом, т.е. учащимся либо нужно что-нибудь подставить, либо увидеть на графике, нет смысловых упражнений на свойства функций, на связь между функциями и другими разделами алгебры. Даются громоздкие определения, непосильные для понимания учащихся. Определения вводятся до объяснения нового материала. Некоторые объяснения и свойства записываются словами, хотя их можно было бы записать короткой общей формулой, что было бы наглядней и полезней для работы с математическим языком. Некоторые простейшие свойства вводятся после изучения многих функций. Иногда рассуждения бываю ненаглядны, что не может обеспечить хорошее запоминание и понимание материала.

Рассмотрим какие типы задач представлены в данных учебниках по теме «Функции» и проанализируем на выполнение каких задач они направлены.

Тип 1: графические задачи.

.1 По графику определить количество, время, температуру и т.п.

Данный тип задач направлен на пропедевтику понятия функции, использование и развитие графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей (в том числе и в смежных предметах), формирование умения использовать графический язык математики, совершенствование речевых умений.

.2 Задания на нахождение значений функции по графику и данным значениям аргумента (обратная задача):

Пример. Крива CD - график некоторой функции. Используя график, найдите:



) значения у при х= -4; -3; -1; 0; 1; 2;

) значения х, которым соответствует у= -2; -1; 0; 3.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, формирование умения использовать символический язык математики.

Тип 2: аналитические задачи.

.1 Упражнения на аналитическое задание функции (какое аналитическое задание функции соответствует данным графическим, прикладные задачи на аналитическое задание функции):

Пример. Функция задана формулой s=12/x. В таблице указаны значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции:


х-6-325612у

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функциональных представлений для описания и анализа реальных зависимостей, формирование умения использовать словесный, символический языки математики.

.2 Задания на нахождение области определения функции:

Пример. Найти область определения функции, заданной формулой:


y=.


Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий.

ВЫВОД: Данный учебник не совсем подходит для изучения темы «Функции» в школе, так как в нем мало представлено заданий на чтение графиков функции, задачи направлены на прямое воспроизведение теории, при изучении понятия функции не вводятся ее свойства, он не выполняет всех задач и требований проекта стандарта 2002 года.


2.1.3 Учебники Алимова Ш.А. и др.

Понятие функции вводится от конкретной задачи (скорость, время, расстояние).

Рассматривается функция y=kx от задачи на площадь прямоугольника, строится график. Упражнения на построение графика, на запись формулы зависимости.

Дается определение линейной функции, ее графика, который получается путем сдвига графика функции y=kx. Здесь нет связи между уравнениями и функциями.

Точное и полное определение понятия функции дается в 9 классе, проходятся ее свойства: возрастание и убывание, четность и нечетность.

Основные недостатки:

Материал изучается в принципе полно и разнообразно, но нет системы и последовательности изложения. Имеются многократные повторения определений с добавлениями. Не показана связь между уравнениями и функциями. В системе упражнений мало смысловых заданий, нет логично составленной системы, нет определенных направлений и связи с другими важнейшими понятиями и свойствами.

Рассмотрим какие типы задач представлены в данных учебниках по теме «Функции» и проанализируем на выполнение каких задач они направлены.

Тип 1: графические задачи.

.1 Задания на нахождение значений функции по графику и данным значениям аргумента (обратная задача):

Пример. Функция у(х) задана графиком:



) Найти у(0), у(3), у(-1);

) При каком значение х значение функции равно 2;3;0?

) Назвать несколько значений х, при которых значение х положительно;

) Назвать несколько значений х, при которых значение х отрицательно.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, формирование умения использовать символический язык математики.

Тип 2: аналитические задачи.

.1 Упражнения на аналитическое задание функции (какое аналитическое задание функции соответствует данным графическим, прикладные задачи на аналитическое задание функции):

Пример. Функция задана формулой s=60t, где s - путь, и t -время:

а) Найдите s(2), s(5);

б) найдите t, если s= 240.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функциональных представлений для описания и анализа реальных зависимостей, формирование умения использовать словесный, символический языки математики.

.2 По данной функции заполнить таблицу.

Пример. Заполните таблицу:


х-2-10у=-7х+11815

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, осознание необходимости графических представлений для описания реальных зависимостей.

.3 Задания на нахождение области определения функции:

Пример. Найти область определения функции, заданной формулой:


y=.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий.

.4 Задания, направленные на нахождение свойств функции (определение промежутков возрастания и убывания функции, промежутков знакопостоянства, нахождение нулей функции, четности и нечетности функции).

Пример. Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции: у=2х+3.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, формирование умения использовать словесный и символический языки математики, расширение и систематизацию общих сведений о функциях, расширение и совершенствование математического аппарата, совершенствование интеллектуальных и речевых умений.

ВЫВОД: Данный учебник не очень подходит для изучения темы «Функции» в школе, так как по нему невозможно научиться читать графики функции, работать с ними, задачи направлены на прямое воспроизведение теории, не вводятся понятия наибольшего и наименьшего значения функции, нет задач на нахождение промежутков знакопостоянства, практически нет задач на то, чтобы показать необходимость изучения функций, их применения в повседневной жизни, то есть он не выполняет всех задач и требований проекта стандарта 2002 года.


2.1.4 Учебники Г.В. Дорофеева и др

В учебнике Дорофеева в 7-ом классе понятие функции еще не вводится. Но все же в этом учебнике в главе «Координаты и графики» рассматриваются следующие темы», которые являются вспомогательными в теме «Функции» в 8-ом классе:

Множество точек на координатной прямой;

Множество точек на координатной;

Графики;

Эта тема изучается без самого понятия функции , вместо этого говорится, что абсцисса и ордината связываются каким-либо условием, зависимостью. Изучаются графики: у=х, у=-х, у=|х|, у=х2, у=х3. Эти графики строятся по предварительно заполненным таблицам.

Графики вокруг нас.

Эта тема посвящена графикам, которые наиболее часто встречаются вокруг нас.

Глава «Функции» в 8-ом классе начинается с темы «Чтение графиков», которая изучается на примерах из жизни (зависимость роста от возраста и т.д.). Здесь фактически рассматривается свойство возрастания и убывания функции.

Далее вводится понятие функции через соответствие каждого значения х некоторого числового множества одному определенному значению переменной у. Предваряет это введение разговор о зависимой и независимой переменной, который плавно вытекает из графиков реальных зависимостей. В этой же теме вводится понятие области определения функции.

Потом излагается тема «График функции», где уже более глубоко, с точки зрения функций, рассматриваются уже знакомые учащимся графики из 7-го класса, а также более сложные графики.

Следующая тема посвящена свойствам функций, а именно, наибольшее и наименьшее значения функций, возрастание и убывание функций, нули функции.

После рассмотрения некоторых свойств функции вводится линейная функция, ее введение начинается с примеров из реальной жизни (движение тела, оплата за такси). Дается ее определение , обозначение у=kх+l, сразу же говорится о ее графике и зависимости коэффициентов k и l от его расположения.

Далее рассматривается функция у=k/x и ее график. Обобщаются примеры, говорится об общей модели реальных процессов, которая задается этой формулой. После этого учащиеся рассуждают о расположении графика этой функции, его особенностях и графику дается название (гипербола).

Проанализировав учебники Дорофеева можно сделать вывод о некоторой нестандартности подхода к понятию функции. В 7-ом классе это понятие не вводится, но уже видна пропедевтика темы «Функции», которая заключается в изучении графиков непосредственно без самого понятия функции. Введение понятия функции, ее свойств и графика функции происходит в 8-ом классе, и определение дается через соответствие элементов множества друг другу. Все темы в каждом из учебников, которые касаются функциональной линии, собраны в один раздел.

Можно сделать вывод об отсутствии некой системы изложения функционального материала и важных элементов этой темы. Нет единства в определении понятия функции. Системы упражнений не имеют четких направлений и не совсем соответствуют принципу «от простого к сложному».

Рассмотрим какие типы задач представлены в данных учебниках по теме «Функции» и проанализируем на выполнение каких задач они направлены.

Тип 1: графические задачи.

.1 Построить график и по нему определить количество, время, температуру и т.п.

Пример. Метеоролог каждый полдень в течении месяца измерял температуру воздуха. Результаты своих наблюдений он представил в виде таблицы:


День наблюдения123456789101112131415t, °C-4-3-2-102233455556День наблюдения161718192021222324252627282930t, °C788777779101099910Постройте график температуры. Проанализируйте, как менялась температура в течении этого месяца. В каком месяце в Вашей местности возможна такая ситуация?

Данный тип задач направлен на пропедевтику понятия функции, использование и развитие графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей (в том числе и в смежных предметах), формирование умения использовать графический язык математики, совершенствование речевых умений.

.2 Задания на работу с графиками функций (нахождение значений функции по значению аргумента, составление таблицы значений функции, построение графика по данной таблице, построение графика по условию задачи, определение точек принадлежащих графику, нахождение точек пересечения с осью х и у, по графику определить является ли он графиком функции).

Пример. Составить таблицу значений функции и построить ее график: у=х3-3х. Найти точку пересечения с осью х.

Данный тип задач направлен на пропедевтику изучения свойств функции, овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей, формирование умения использовать словесный, символический и графический языки математики и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации и интерпретации задач.

.3 Задания, направленные на нахождение свойств функции по графику (чтение графика для описания свойств данной функции, определение промежутков возрастания и убывания функции, промежутков знакопостоянства, нахождение нулей функции)

Пример. На рисунке изображен график функции y=f(x), областью определения которой является отрезок [-2;2]. Используя график ответьте на вопросы:


) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

) Укажите нули функции?

) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

) Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей, формирование умения использовать словесный, символический и графический языки математики и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации и интерпретации задач, расширение и систематизацию общих сведений о функциях, расширение и совершенствование математического аппарата, совершенствование интеллектуальных и речевых умений.

Тип 2: аналитические задачи.

.1 Задачи на задание какого-либо процесса с помощью функции, нахождение ее области определения:

Пример. Нужно купить карандаши по 50 коп. за штуку. Всего имеется 5 руб. После покупки n карандашей останется с руб. Задайте формулой зависимость с от n. Составьте таблицу значений аргумента n и функции с. Постройте соответствующие точки в координатной плоскости. Сколько точек получилось? Какова область определения функции?

Данный тип задач направлен на овладение понятием функции, функциональным языком, использование функциональных представлений для описания и анализа реальных зависимостей, совершенствование интеллектуальных и речевых умений.

.2 Задания на нахождение значений функции, заданной формулой (в том числе и системой) по данным значениям аргумента (сравнение полученных значений):

Пример. Известно, что f(x)=0,5x2-4. Сравните: f(-5) и f(4).

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, формирование умения использовать символический язык математики.

.3 Задания на нахождение области определения функции:

Пример. Найти область определения функции, заданной формулой: y=5x-12.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий.

.4 Задания, направленные на нахождение свойств функции (определение промежутков возрастания и убывания функции, промежутков знакопостоянства, нахождение нулей функции)

Пример. Найдите нули функции: у=х2-2х-8.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функциональных представлений для описания и анализа реальных зависимостей, формирование умения использовать словесный и символический языки математики и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации и интерпретации задач, расширение и систематизацию общих сведений о функциях, расширение и совершенствование математического аппарата, совершенствование интеллектуальных и речевых умений.

ВЫВОД: Данный учебник подходит для изучения темы «Функции» в школе, так как в данном учебнике хорошо подобраны задачи для того, чтобы показать необходимость использования функций в жизни, работа идет на графическом, символическом и словесном языке, детям прививается грамотность его употребления, он развивает интеллектуальные и речевые умения, совершенствует математический аппарат, расширяет и систематизирует его, ученики используют функциональные представаления для описания и анализа реальных зависимостей, то есть он выполняет все задачи и требования проекта стандарта 2002 года.


2.1.5 Учебники А.Г. Мордковича

Во втором полугодие 7-го класса начинается изучение функциональной линии:

Линейное уравнение с одной переменной;

Линейное уравнение с двумя переменными и его график;

Представление о функции у=kx+b как о формуле;

Линейная функция и ее график;

Прямая пропорциональность;

Графическое решение линейных уравнений;

Функция у=х2 и ее график;

Решение уравнений с помощью графиков;

Возрастание и убывание функции;

Исследование на монотонность функций у=kx+b и у=х2

Наибольшее и наименьшее значения данных функций на данных промежутках.

Кусочные функции. Смысл записи у=f(x).

В учебниках Мордковича не вводится формальное определение функции в 7-ом классе, это понятие формируется в 9-ом классе. Это достаточно правильный подход, так как торопливость введения данного понятия может привести к отождествлению понятия функции с формулой.

В учебниках Мордковича все свойства функции проходят три стадии: наглядно-интуитивную, рабочую, формальную. Эти стадии проходят до 10-класса, за исключением непрерывности и периодичности. И это большой плюс перед другими учебниками, в которых все сосредоточено в 10-11 классах.

В учебниках Мордковича удачно подобрана система функциональных упражнений:

Дидактические (отрабатывается сторона понятия);

Случайные (специфические для данного класса функций);

Инвариантное ядро (стандартный набор сюжетов от одного вида функций к другому):

графическое решение уравнений;

преобразование графиков;

наибольшее и наименьшее значения;

функциональная символика;

кусочные функции;

чтение графика.

Рассмотрим какие типы задач представлены в данных учебниках по теме «Функции» и проанализируем на выполнение каких задач они направлены.

Тип 1: графические задачи.

.1 Задания на нахождение значений функции по графику и данным значениям аргумента (обратная задача):

Пример. На рисунке изображен график некоторой функции.

Найдите по графику:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -2; -1; 0; 1; 2;

б) значение аргумента, при котором значение функции равно -3; -1; 0; 1; 1,5.



Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, формирование умения использовать символический язык математики.

.2 Упражнения на графическое задание функции (по графику определить является ли он графиком функции, какое графическое задание функции соответствует данным аналитическим).

Пример. Какой из графиков, изображенных на рисунках, задает функцию y=f(x)? Если это возможно задайте функцию аналитически.


а)б)в)г)

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей, формирование умения использовать словесный, символический и графический языки математики и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации и интерпретации задач.

.3. Задания, направленные на нахождение свойств функции по графику (чтение графика для описания свойств данной функции, определение промежутков возрастания и убывания функции, промежутков знакопостоянства, нахождение нулей функции).

Пример. Постройте и прочитайте график функции, укажите ее свойства:


у=


Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей, формирование умения использовать словесный, символический и графический языки математики и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации и интерпретации задач, расширение и систематизацию общих сведений о функциях, расширение и совершенствование математического аппарата, совершенствование интеллектуальных и речевых умений.

Тип 2: аналитические задачи.

.1 Задания на нахождение области определения функции (в том числе обратные задачи).

Пример. Найти область определения функции: y=2x+1/х(х+1).

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий.

.2 Задания на нахождение значений функции, заданной формулой (в том числе и системой) по данным значениям аргумента.

Пример. Дана функция


f(x), где f(х)=


Укажите: 1) Укажите D(f); 2) вычислите f(-2), f(0), f(3); 3) постройте график функции;

) Найдите Е(f).

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, формирование умения использовать символический язык математики.

.3 Упражнения на аналитическое задание функции (какое аналитическое задание функции соответствует данным графическим, прикладные задачи на аналитическое задание функции):

Пример. Функция задана формулой t =s/12, где s - путь, и t -время:

а) Найдите t(36), t(2,7), t(144);

б) найдите s, если t=4,5 ч.;

в) найдите t, если s= 150 м.

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей, формирование умения использовать словесный, символический и графический языки математики и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации и интерпретации задач.

.4 Задания, направленные на нахождение свойств функции (определение промежутков возрастания и убывания функции, доказательство данных свойств, определение ограниченности функции, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, определение ее четности или нечетности)

Пример. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: у=2х+3, хÎ[0;1].

Данный тип задач направлен на овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, формирование умения использовать словесный, символический и графический языки математики и свободно переходить с языка на язык, расширение и систематизацию общих сведений о функциях, расширение и совершенствование математического аппарата, совершенствование интеллектуальных и речевых умений.

ВЫВОД: Данный учебник подходит для изучения темы «Функции» в школе, так как в данном учебнике хорошо подобраны задачи не только на прямое воспроизведение теории, но и для того, чтобы показать необходимость использования функций в жизни, работа идет на графическом, символическом и словесном языке, детям прививается грамотность их употребления, сразу после изучения понятия функции, он вводит много ее свойств, а до этого он осуществляет их пропедевтику, учебник развивает интеллектуальные и речевые умения, совершенствует математический аппарат, расширяет и систематизирует его, ученики используют функциональные представления для описания и анализа реальных зависимостей, то есть он выполняет все задачи и требования проекта стандарта 2002 года.


§3. Разработка задач для проверки знаний и умений учеников в соответствии с требованиями проекта стандарта 2010 года по теме «Функции»


При первом появление понятия функции следует отказаться от четкой формулировки определения. В ныне действующих учебниках нет единства в вопросе определения функции. Поэтому целесообразно вводить определение понятия в 9 классе, а до этого строить теорию при отсутствии определения. Определение функции лучше ввести через понятие соответствия, когда учащиеся накопят большой опыт в работе с этим понятием и вполне осмыслят его как на интуитивном, так и на рабочем уровне.

Проанализировав накопленный опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-8 классов, у учащихся появляется потребность в формальном определении понятия функции и соответствующих свойств функции. При введении понятия необходимо выделить два обстоятельства, подводящие к определению функции: область определения и правило соответствия. Вначале дается определение независимой и зависимой переменных.

Для правильного формирования понятия функции полезно рассматривать кусочные функции, то есть функции заданные разными формулами на разных промежутках. Они во многих случаях являются математическими моделями реальных ситуаций. Изучение таких функций препятствует отождествлению функций с их аналитической записью, помогает легче понять тонкость, содержащуюся в определении «правило f»

С учетом всего выше сказанного предлагается вводить понятие функции и ее свойств в 9 классе по следующей схеме:

) Определение числовой функции. Область определения, область значения функции; способы задания функций и чтение графиков;

) Свойства функций.

Далее предлагается банк задач направленный на проверку умений учеников в соответствии с требованиями проекта стандарта 2002 года по теме «Функции». Задачи собраны по каждой теме таким образом, чтобы учитель мог проверить на какую оценку претендует ученик.

Критерии оценки учащегося:

Для получения отметки «3» необходимо уметь решать задачи на прямое воспроизведение теории (простой уровень). Эти задачи должны выполнять требования стандарта.

Для получения отметки «4» необходимо уметь решать задачи на прямое воспроизведение теории (средний и сложный уровень), ученик должен уметь решать задачи используя перенос знаний (простой уровень), должен решать задачи простого уровня имеющие нестандартный вид (по формулировке).

Для получения отметки «5» необходимо уметь решать задачи на применение знаний (умений) в незнакомой ситуации, для решения нового круга задач, использовать творческий перенос знаний (самостоятельное использование ранее усвоенных знаний в новой ситуации, для решения проблемы; видение проблемы и способов ее решения и т.п.), ученик должен решать задачи среднего и сложного уровня имеющие нестандартный вид, должен уметь решать задачи на применение не только математического аппарата, но и логического, физического и др.

) Определение числовой функции. Область определения, область значения функции, способы задания функций, чтение графиков.

Отметка «3».

На эту оценку собраны задачи, в которых ученик должен воспроизвести полученные теоретические знания. Задачи являются простыми, они обязательны для решения, так как без них не будут выполняться требования стандарта к математической подготовке школьников.

Графические:



) На рисунке изображен график функции у=f(x). Найдите по графику:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -1; 0; 2;

б) значение аргумента, при котором значение функции равно -1; 1; 4.

в) f(0); f(2);

г) значения х, при которых f(x)=-1; f(x)=4.

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Здесь необходимо по графику найти значение функции по данному аргументу и наоборот. Идет работа над символьным языком

) В таблице приведены данные об изменении температуры в течении 30 дней. Постройте график температуры. Проанализируйте как менялась температура. Какой день был самым теплым? В какие дни температура не менялась?


День123456789101112131415t, °С-5-6-4-3-5-4-5-3-2-2-20-1-21День161718192021222324252627282930t, °С020145476757898

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Здесь от учащихся требуется использовать графические представления для описания и анализа реальных зависимостей.

) Функция задана формулой f(x) = x2-х+2. Составьте таблицу значений функции на промежутке [-1;4] с шагом 1. Нарисуйте график данной функции.

Задача на прямое воспроизведение теории, на способы задания функций.

) Какой из графиков изображенных на рисунке задает функцию y=f(x)?


а)б)в)г)

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Ученик должен проанализировать определение функции и понять какой из графиков не является функцией. У ученика должен сложиться стереотип графика функции.

Постройте график функции y=x2-4. С помощью графика определите:

а) чему равно значение функции при x=2,5;

б) при каких значениях аргумента значение функции равно 3.

Задача аналогична задачам №1 и №2, но добавляется задание построить график.

7) Начертите график какой-либо функции , для которой:


а) , ;

б) , .


Задача на прямое воспроизведение теории. Проверяет, как ученик усвоил понятия D(f) и E(f), ученик должен понять с помощью каких осей координат их можно найти.

Аналитические:

Найдите значения функции y=x2-3x+2 при x=-5, x=0.

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Задача проверяет как ученик понял понятия, введенные в теории.

При каком значении x функция y=5x-4 принимает значение:

а) равное 26;б) равное 0?

Задача является обратной к предыдущей задаче.

Укажите область определения функции, заданной формулой:


а) y=; в) y=; д) y=

б) y=; г) y= ;е) y=.


Данный тип задач направлен на проверку понимания области определения функции, здесь собраны функции, которые имеют в своем составе простые функции, область определения находится просто.

Постройте график функции:


а) y=0,5x; в) y=2x2; д) y=x2-6x+5;

б) y=-2x+6; г) y=-x2+4;е) y=x2+1.


Задача на прямое воспроизведение теории. По данной аналитической записи построить графики линейных и квадратичных функций.

Проходит ли график функции y=-2x2 через:


а) точку A (0,5; -0,125);

б) точку B (-1,5; -1,1).


Данная задача на прямое воспроизведение теории. Задача преследует цель, чтобы ученик понял смысл графика, аналитического задания функции, понял связь между ними.

Какая из прямых y=0,5x-4; y=-0,5x или y=-0,5x+4 проходит через начало координат? Постройте эту прямую.

Задача аналогична предыдущей задаче, добавляется построение графика.

Известно, что . Сравните:


а) и ;

б) и ;

в) и ;


Задача на прямое воспроизведение теории. Задача направлена на то, чтобы ученик мог пользоваться всеми языками математики, свободно переходить с одного на другой.

Придумайте функцию с указанной областью определения:


а) ();

б) ().


Данная задача аналогична задаче №7 из графического типа.

Отметка «4»

На отметку «4» ученик должен уметь решать все задачи на отметку «3». Чтобы получить отметку «4» ученик должен решать задачи с переносом знаний, должен увидеть в нестандартной записи условия задачу на тот или иной метод решения.

Графические:



1) Опишите процесс загрузки и разгрузки машины, показанный графически на рисунке. Вычислите скорость, с которой машина загружалась и разгружалась.

В данной задаче ученик не просто читает график функции, но и использует межпредметную связь, вычисляя скорость разгрузки и загрузки.



) На рисунке изображен график движения пешехода из пункта А в пункт В и график движения велосипедиста из пункта В в пункт А. Ответьте на вопросы:

а) Каково расстояние между А и В?

б) Через сколько времени после начала движения пешеход и велосипедист встретились? Сколько километров к этому времени прошел пешеход и сколько проехал велосипедист?

в) Кто раньше прибыл в конечный пункт - пешеход или велосипедист? На сколько времени?

г) Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

Данная задача усложнена тем, что в одной системе координат нарисованы графики двух функций, это разрушает стереотип, ученик должен ответить на вопросы, применяя полученные знания и межпредметную связь.

) Является ли графиком какой-либо функции фигура, изображенная на рисунках. Если да, то задайте эту формулу аналитически.

а)б)в)г)

В данной задаче требуется не просто «узнать» функции, но и по графику задать ее. Здесь собраны графики функций, которые задаются с помощью линейных функций или их систем.

Аналитические:

Придумайте функцию с указанной областью определения:


а) ();

б) .


Данная задача аналогична задаче №8 из отметки «3». Здесь задана более сложная область определения

Дана функция


, где

а) укажите ;

б) вычислите: , , , , ;

в) постройте график функции;

г) найдите .

Данная задача направлена на прямое воспроизведение теории, здесь аналитически задана сложная функция, по которой требуется ответить на вопросы.


Дана функция , где


а) укажите ;

б) вычислите: , , , , ;

в) постройте график функции;

г) найдите .

Задача аналогична предыдущей задаче.

Является ли корректным задание: построить график функции , где


а) б)


Ученик должен проанализировать определение функции, он должен отличать функцию не только с помощью графика, но и в аналитическом виде.

Функция задана формулой , где V- объем конуса (в м3), S - площадь его основания (в м2), h - высота конуса ( в м).

а) Выразите каждую переменную через две другие;

б) найдите значение V, если S=2м2, h=140см;

в) найдите значение S, если V=45дм3, h=0,4м;

г) найдите значение h, если V=5м3, S=2500см2.

Данная задача аналогична задачам №1,2,5 из отметки «3», она усложнена нестандартным заданием функции.

Даны функции


и Покажите, что:

а) б)


Данная задача аналогична задаче №7 из отметки «3». Усложнение происходит из за того, что идет работа с двумя более сложными функциями.

Существуют ли значения аргумента, при которых:

а) функция принимает значение, равное 5;

б) функция принимает значение, равное -4.

Задача аналогична №2 из отметки «3», здесь рассматривается более сложная функция, возможно получение различных ответов.

Найдите область определения каждой из функций:


а) ; б);в) ;

г) д) е) .


Задача аналогична №3 из отметки «3», заданы более сложные функции.


Пусть Найдите:

а) в)

б) г)

Докажите, что график функции:

а) целиком расположен в верхней полуплоскости;

б) не пересекает ось x;

в) не пересекает ось y.

Задача имеет нестандартную запись условия, но имеет достаточно простое решение.

Отметка «5»

Ученик должен решать задания отметки «3» и «4». Для получения отметки «5» необходимо уметь решать задачи на применение знаний (умений) в незнакомой ситуации, для решения нового круга задач, использовать творческий перенос знаний (самостоятельное использование ранее усвоенных знаний в новой ситуации, для решения проблемы; видение проблемы и способов ее решения и т.п.), ученик должен решать задачи среднего и сложного уровня имеющие нестандартный вид, должен уметь решать задачи на применение не только математического аппарата, но и логического, физического и др.

Графические: 1) На рисунке изображены графики функций


; ; ; .


Для каждого графика укажите соответствующую формулу.


а)б)в)г)

В данной задаче требуется поставить в соответствие графику определенную формулу. Задача направлена на то, чтобы ученик проследил и нашел некоторую закономерность.

) Такси выехало из таксомоторного парка и в течении часа ездило по городу. Через час оно вернулось в таксомоторный парк. Максимальное удаление от парка составило 3 км.

а) Начертите график, показывающий как в течение этого часа могло меняться расстояние S (км) от парка до такси, и прокомментируйте этот график.

б) Используя свой график, постройте движение такси, отложив по горизонтальной оси время движения, а по вертикальной - пройденный такси путь.

В данной задаче ученик по условию должен сам построить график, он должен понять процесс движения такси, проанализировать его и сделать соответствующие выводы, требуемые в условии задачи.

Является ли графиком какой-либо функции фигура, изображенная на рисунках. Если да, то задайте эту формулу аналитически.


а)б)в)г)

В данной задаче требуется не просто «узнать» функции, но и по графику задать ее. Здесь уже собраны графики не линейной функции, а более сложных для понимания функций.

Аналитические:

Приведите пример функции, у которой:


а) в)

б) г) и


Данная задача является нестандартной по записи условия, ученик должен понимать символьный язык, перевести условие задачи на любой другой язык, он должен не просто нарисовать график такой функции, но и задать его аналитически.

Задайте функцию с указанной областью определения:

а) в)

б) г)


Данная задача аналогична задаче №1 из отметки «4», здесь задана более сложная область определения.


Дана функция , где


а) укажите ;

б) вычислите: , , , , ;

в) постройте график функции;

г) найдите .

Задача аналогична задачам №2,3 из отметки «4». Функция имеет более сложное аналитическое задание.

Постройте график функции

В данной задаче необходимо указать область определения, составить таблицу и понять как будет проходить график функции, не знакомой ученикам.

Найдите область определения каждой из функций:


а) в)

б) г)

Задача аналогична №8 из отметки «4», функции имеют более сложные задания.

) Свойства функций.

Задачи подобраны аналогично задачам на предыдущую тему.

Отметка «3».

Графические



) На рисунке изображен график функции y=f(x), областью определения которой является отрезок [-3;2]. Используя график ответьте на вопросы:

а) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

б) Укажите нули функции?

в) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

г) Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает

) На рисунке изображены графики функций, определенных на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью ее графика.

а)б)

3) Среди графиков, изображенных на рисунке, найдите график функции, которая возрастает при и убывает при .


а)б)в)

) Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа:


а) -3; 0; 2;б) -5; -2; 0; 2,5; 4.


Для каждой функции укажите промежутки, на которых ее значения положительны; отрицательны.

) Постройте график функции и прочитайте по графику ее свойства:


а) у=х2;б) у= -х3;в) у=.

6) Исследуйте на четность функции, графики которых изображены на рисунках:


а)б)в)г)

Аналитические:

) Найдите нули функции:


а) y=3x2+x-2;б) y=10-x2;

в) f(x)=(х-1)(х+2);г) f(x)=x2(x+0,5)(2x-3).


) Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает:


а) у=5х;б) у=х3+1;

в)у=х/2+4;г) у=2х3.


) Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает:

а) у=-5х;б) у=-х3+1;

в)у=4-х/2;г) у=-3х3.


) Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной:


а) у=7х+2;б) у=х2;

в) у=1/x, x>0;г) у=.


) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:


а) у=2х+3, хÎ[0;1];б) у=0,5х2, хÎ(0;2].


) Является ли симметричным заданное множество:


а) [-3;3];б) [-4;1];

в) (-¥;+¥);г) [0;+¥).


) Исследуйте на четность функцию:

а) у=х2;б) у=х3.

Отметка «4»

Графические:


1) На рисунке изображен график функции y=f(x), областью определения которой является отрезок [-1,5;1,5]. Используя график ответьте на вопросы:

а) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

б) Укажите нули функции?

в) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

г) Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает

) На рисунке изображены графики функций, определенных на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью ее графика?


а)б)

3) Начертите график какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами: при х1 функция возрастает, а при х1 функция убывает; нулями функции являются числа -1 и 2.



4) График какой-функции изображен на рисунке:

а) f(x)=(x+5)(x-5)(x-10);

б) g(x)=(x+5)(5-x)(x-15);

в) h(x)=(x+5)(x-5)(x-15);

г) р(х)=0,05(x+5)(x-5)(x-15).

) Постройте график функции и перечислите ее свойства:


а) у=х3+х2-1;б) у=


) Исследуйте на четность функции, графики которых изображены на рисунках:

а)б)в)г)

Аналитические:

) Найдите нули функции:


а) f(x)=10х4-250х2;б) f(x)=3х3-108х2.


) Задайте формулой какую-нибудь функцию, нулями которой являются числа:


а) -3; 1; 7;б) -4; 2,5; 1/3.


) Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает:


а) у=х2, x;б) у=-1/x, x>0.


) Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает:

а) у=х2, x;б) у=3/x, x>0.


) Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной:


а) у=-x2+4x-5, x;б) у=-3х2+6x+2, x.


) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:


а) у=;б) у=4-.


) Исследуйте на четность функцию:


а) у=, xÎ[-1;1];б) у=х5, xÎ[-4;4].


) Докажите, что функция является четной: у=3х2+х4.

) Докажите, что функция является нечетной: у=х2(2х-3).

) Дана функция f(x)=

Задайте h(x) так, чтобы функция f(x) являлась четной.

) Известно, что функция у - четная и возрастает при x>0. Определите характер монотонности функции при x<0.

Отметка «5»

Графические:

) Постройте график функции и перечислите ее свойства:


а) у=;б)у=

2) На рисунке изображены графики функций, определенных на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью ее графика?


а)б)

) На рисунках построена ветвь графика функции у=р(х). Постройте весь график, если известно, что:

а) функции на рисунках а, г -четные функции;

б) функции на рисунках б, в -нечетные функции.


а)б)в)г)Аналитические:

) Найдите нули функции:


а) f(x)=х3-х2-х+1;б) f(x)=х3-х2+х-1.


) Докажите, что функция возрастает:


а) у=, x>-3;б) у=, x<2.


) Докажите, что функция убывает:


а) у=, x>4;б) у=, x<-3.


) Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной:


а) у=-x3+1, x;б) у=-3x3+6x+2, x.


) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:


а) у=, xÎ[-5;1];б) у=-, xÎ[-1;1].


) Докажите, что функция у=х2+х не является ни четной, ни нечетной.

) Представьте функцию у=4х4-х3+3х2-2х+4 в виде суммы четной и нечетной функции.

) Дана функция f(x)=

Задайте, если это возможно, h(x) так, чтобы функция f(x) являлась:

а) четной; б) нечетной.

) Известно, что функция у - четная и ограничена снизу при х>0. Можно ли утверждать, что она при х<0:

а) ограничена сверху;б) ограничена снизу?


Заключение


Кризис современного школьного образования в настоящий момент влечет много негативных последствий для общества. Правительство РФ стремится к выходу из создавшегося положения, оно проводит реформы, в частности пытается ввести общероссийский стандарт школьного образования.

Несмотря на то, что история стандарта непродолжительна, после изучения вопроса о стандартизации школьного образования можно говорить о том, что стандарт нужен всем: государству, учителям, ученикам, их родителям, всему обществу. Стандартизация является объективно необходимой деятельностью по упорядочению практики ее систематизации в соответствии с исторически изменяющимися потребностями общества.

В дипломной работе была рассмотрена функциональная линия в стандартах школьного образования, после чего был сделан вывод о том, что задачи курса математики по данной линии в целом совпадают. В проекте стандарта 2002 года делается основной упор на применение функций в жизни, на правильность функционального языка. Развитие функциональной линии происходит на одинаковых ступенях обучения. В средней школе разница в содержание обучения по функциональной линии заметна несильно, зато в старшей школе эта разница наиболее заметна: упор в проекте стандарта 2002 года делается на применение функциональной линии в жизни, описание процессов природы с помощью функций, из проекта исключено изучение геометрического смысла определенного интеграла, зато в профильном курсе программа гораздо сильнее: добавлено обязательное изучение обратной функции, преобразования графиков, асимптот графиков.

Так как на изучение базового курса в старшей школе объемными показателями отводиться гораздо меньше времени, чем в БУП 1998 года, а курс функциональной линии практически не сократился, то можно сделать вывод, что по новому стандарту предусмотрено недостаточно времени на изучение данной линии.

Обзор развития понятия функции показал, насколько это понятие сложное, широкое, многогранное, что оно заставляло задумываться над собой десятки умов великих ученых - математиков и физиков. И отсюда следует, что к формированию этого понятия в школьном курсе математики требуется найти особый подход, учитывая при этом и историческое прошлое понятия функции.

После анализа учебных пособий и учебников различных авторов был сделан вывод о том, что наиболее удачно подобран материал в учебниках Мордковича и Дорофеева, эти учебники полностью удовлетворяют проекту стандарта 2002 года и БУП 1998 года. В данных учебниках хорошо подобраны задачи не только на прямое воспроизведение теории, но и для того, чтобы показать необходимость использования функций в жизни, работа идет на графическом, символическом и словесном языке, детям прививается грамотность их употребления, сразу после изучения понятия функции, вводится много ее свойств, а до этого осуществляется их пропедевтика, учебники развивают интеллектуальные и речевые умения, совершенствуют математический аппарат, расширяют и систематизируют его, ученики используют функциональные представления для описания и анализа реальных зависимостей.

При первом появление понятия функции следует отказаться от четкой формулировки определения. Целесообразно вводить определение понятия в 9 классе, а до этого строить теорию при отсутствии определения. Определение функции лучше ввести через понятие соответствия, когда учащиеся накопят большой опыт в работе с этим понятием и вполне осмыслят его как на интуитивном, так и на рабочем уровне.

Проанализировав накопленный опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-8 классов, у учащихся появляется потребность в формальном определении понятия функции и соответствующих свойств функции. Для правильного формирования понятия функции полезно рассматривать кусочные функции, то есть функции заданные разными формулами на разных промежутках. Они во многих случаях являются математическими моделями реальных ситуаций. Изучение таких функций препятствует отождествлению функций с их аналитической записью, помогает легче понять тонкость, содержащуюся в определении «правило f».

В результате, после определения роли и места образовательного стандарта в общеобразовательном процессе, анализа проектов стандарта, рассмотрения функциональной линии в них, нами были разработаны дифференцированные задачи для проверки знаний и умений учеников в соответствии с требованиями стандарта по теме «Функции».

Мы предлагаем вводить понятие функции и ее свойств в 9 классе по следующей схеме:

) Определение числовой функции. Область определения, область значения функции; способы задания функций и чтение графиков;

) Свойства функций.

Понятие функции и связанные с ним функциональные понятия имеют большое значение как для самой математики, так и для смежных дисциплин, для практической деятельности людей, поэтому особую значимость должны иметь методы обучения учащихся функциональным навыкам и умениям.


Библиография


1 Абелюк Е. Литературные кубометры//Математика в шк. 2002. № 10.

Абрамов А.М. Отзыв о проекте образовательного стандарта по математике//Математика в шк. 2002. № 10.

Аванесов В.С. Образование России: истоки и уроки кризиса

Адамский А.И. Образовательный стандарт - ошибка, в которой стыдно признаться//Математика в шк. 2002. № 10.

Алимов Ш.А. и др. Алгебра: 7 кл. - М.:Просвещение, 1993.

Алимов Ш.А. и др. Алгебра: 8 кл. - М.:Просвещение, 1994.

Алимов Ш.А. и др. Алгебра: 9 кл. - М.:Просвещение, 1995.


Ссылки на источники в интернете


1. www.babr.ru

. www.educom.ru

. www.ibmh.msk.su

. www.informika.ru

. www.lgo.ru

. www.math.luga.ru

. www.mccme.ru

. www.mos.ru

. www.philippov.ru

. www.rosro.ru

. www.russ.ru

. www.school.edu.ru

. www.taminfo.ru

. www.testolog.narod.ru/unpublic4


МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И МЕТОДИКИ ЕГО ПРЕПОДАВАНИЯ Ди

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ