Финансовые вычисления

 

ПРИМЕРЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ


1. Понятие простых и сложных процентов. Эффективная и номинальная процентные ставки


Прежде чем приступить к финансовым вычислениям, ознакомимся с основными понятиями финансовой математики. Рассмотрим начисление процентов по простой и сложной процентной ставкам. Для этого приведем понятия текущей стоимости денег и будущей стоимости денег.


1.1 Текущая и будущая стоимость денег


Текущая стоимость денег - PV (сокращение от «present value») - сумма, которой владелец обладает сегодня.

Будущая стоимость денег - FV - («future value») - это сумма, которую владелец получит спустя некоторое определенное время.

Взаимосвязь будущей и текущей стоимости денег определяется следующим соотношением:

=PV? (1+i)(1)


Где i- процентная ставка Банка.

Например, если банковская процентная ставка составляет 10%, то через год сумма на банковском счете вырастет в 1,1 раза. Доход обладателя счета составит i? PV = 0,1? PV.

Существует два способа начисления процентов: по простой процентной ставке и по сложной процентной ставке.


1.2 Начисление дохода по простой процентной ставке


При начислении дохода по простой процентной ставке inp доход каждый раз начисляется на первоначально вложенную сумму (через год доход составит inp? PV; через два года 2? inp? PV; через 5 лет - 5? inp? PV; через n лет - n? inp? PV). Таким образом, при начислении дохода по простой процентной ставке через n лет на счете у владельца будет сумма:

=PV? (1+inp?n)(2)


Примечание. При начислении дохода по простой процентной ставке промежуточные доходы владельца не реинвестируются, то есть на них проценты не начисляются.

Соотношение (2) описывает линейную зависимость будущей стоимости денег FV от времени n.

Вывод. Таким образом, при начислении дохода по простой процентной ставке сумма денежных средств на счете растет по линейному принципу.


1.3 Начисление дохода по сложной процентной ставке


При начислении дохода по сложной процентной ставке iдоход начисляется не на первоначальную, а на накопленную сумму. Промежуточные доходы в этом случае инвестируются, или, как говорят в таких случаях, происходит начисление процента на процент.

Если в конце первого года сумма на счете составляла PV (1+i), то в конце второго года она составит PV ? (1+i)2, в конце третьего - PV ? (1+i)3 и т.д. По прошествии n лет сумма на счете владельца составит:

=PV (1+i)n(3)

Коэффициент


(1+i)n(4)


входящий в правую сторону соотношения (3), называется коэффициентом наращения.


1.4 Сравнение начисления дохода по простой и по сложной процентной ставке


Посмотрим, как изменяется сумма на банковском счете со временем при начислении дохода по простой и сложной процентным ставкам. К концу первого года доходы, полученные по обеим ставкам, одинаковы. В дальнейшем сумма растет быстрее, если начисление дохода происходит по сложной процентной ставке.

В общем случае, если известна начальная или текущая стоимость денег PV и будущая стоимость денег FV, то доходность (сложная процентная ставка) за n лет составит:


(5)


Если мы интересуемся простой процентной ставкой, то её можно определить с помощью соотношения:


(6)


Последнее выражение имеет простой смысл. Величина FV-PV, стоящая в числителе (6), - это доход, полученный за всё время n. Разделив доход на первоначальные инвестиции PV, получим доходность за весь срок. Далее, для получения значения годовой доходности производится деление на время n. Этот метод расчета простой доходности сохраняется и в более сложных случаях, например, если производятся промежуточные выплаты.

Выбор простой или сложной ставки начисления, как правило, зависит от договоренности между кредитором и заемщиком. Однако если инвестор хочет получить более точную и непротиворечивую оценку эффективности своих инвестиций, ему следует пользоваться сложными процентными ставками, так как данный доход является строго математическим, в то время как доход с использованием простых процентных ставок для оценки инвестиций является приближенным.

Приближенные расчеты с использованием простых процентных ставок, существенно проще, и их можно использовать для экспресс-оценок. Точные расчеты по сложной процентной ставке и приближенные по простой могут несущественно отличаться друг от друга, если величина доходности не велика, или рассматриваются небольшие периоды времени.


Пример 1


1 000 рублей помещается в Банк под 10% годовых. Определить стоимость вклада через 10 лет, если проценты начисляются:

а) по простой ставке

б) по сложной ставке


Решение:


а) При начислении дохода по простой ставке будущая сумма состоит:

FV = 1 000 (1+10?0,1) = 2 000 руб.


б) При начислении дохода с применением сложных процентных ставок

FV=1000 (1+0,1)10= 2 593,74 руб.


Пример 2

Банк «А» начисляет доход из расчета 13% годовых. А в рекламе Банка «Б» говорится, что сумма, помещенная на депозитный счет этого Банка, удваивается каждые 6 лет.

В каком Банке выгоднее держать сбережения?


Решение:


первый способ - за каждые 6 лет рубль, вложенный в Банк «А» превратится в (1+0,13)6=2,08 руб., что несколько больше, чем простое удвоение рубля. Таким образом, делаем вывод, что Банк «А» предлагает более выгодные условия для инвестирования.

второй способ - вычислим годовую доходность по вкладам в Банке «Б», воспользовавшись соотношением (5). Подставляя в формулу (5):

PV=1

FV=2

N=6 получим



Таким образом, опять убеждаемся, что доходность по вкладу в Банк «Б» ниже доходности по вкладу в Банк «А».


1.5 Понятия эффективной и номинальной процентной ставки


Перейдем теперь к определению таких понятий как эффективная и номинальная процентные ставки.

До сих пор мы рассматривали случай, когда процентная ставка начисляется один раз в году. Величина 1+i показывает, во сколько раз выросла сумма за один год. Такая процентная ставка называется эффективной (в дальнейшем эффективную процентную ставку будем обозначать буквой i).

В действительности проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежеквартально (четыре раза в году), ежемесячно (12 раз), ежедневно (365 раз в году) и т.д. В этом случае мы имеем дело со сложной номинальной процентной ставкой j. Если указывается номинальная процентная ставка j, то всегда ещё указывается, сколько раз в году начисляются проценты.

Рассмотрим пример, когда проценты начисляются ежемесячно. Тогда через месяц на счете у владельца будет сумма:



В течение следующего месяца проценты начисляются на эту сумму, поэтому в конце второго месяца сумма на счете составит:



Через три месяца:



и т.д. Таким образом, через год сумма на счете составит:

(7)


Последнее соотношение можно записать, используя эффективную процентную ставку i:


FV=(1+i)(8)


Приравнивая (7) и (8), получим связь между эффективной и номинальной процентными ставками (при начислении процентов 12 раз в году)


(9)


Если номинальная ставка j начисляется m раз в году, то в конце первого года сумма на счете составит:


(10)


При этом эффективная процентная ставка равна:


(11)


Соотношение (11) устанавливает связь между эффективной и номинальной ставками процента.

Примечание. При финансовых вычислениях можно пользоваться как эффективной i, так и номинальной процентной ставкой j.

Каждая из этих ставок несет в себе самостоятельный экономический смысл, поэтому результаты расчетов не должны зависеть от выбора процентной ставки.


Пример 3


Банк начисляет доход на вложенную сумму из расчета 1,5% в месяц. Определить номинальную ставку и эффективную ставку начисления процентов.


Решение


Номинальная процентная ставка

j = 12 × 1,5% = 18%

Эффективная процентная ставка(10)



или в процентах i = 19,56 %


2. Текущая (приведенная) стоимость будущих денег, дисконтирование. Текущая стоимость аннуитета.


2.1 Задача накопления определенной суммы денег


Теперь рассмотрим задачу обратную той, что рассматривалась в предыдущем разделе. Через год требуется накопить сумму денег FV. Банк принимает вклады по ставке i. Какую сумму денег надо иметь сегодня, для того чтобы при размещении её на банковском счете по ставке i иметь через год заданную сумму FV? Ответ на этот вопрос дает соотношение (1), переписанное в виде:


(12)


Если бы требовалось накопить нужную сумму FV не через один год, а через n лет, то согласно (3):


(13)


Соотношения (12) и (13) решают поставленную задачу, т. е. позволяют определить современную или текущую стоимость денег исходя из будущей стоимости и сложной процентной ставки.


2.2 Понятие дисконтирования


Процесс приведения будущей суммы денег к современной стоимости называется дисконтированием, а сама стоимость будущей суммы денег называется приведенной.

Коэффициент, входящий в (13)


(14)


является обратным коэффициенту наращения (4) и называется коэффициентом дисконтирования. В задачах о дисконтировании процентную ставку i принято называть ставкой дисконтирования. Другие названия ставки дисконтирования - стоимость привлечения капитала, пороговая доходность, ставка альтернативного капитала, ставка альтернативного вложения или ставка альтернативной доходности.


2.3 Задача инвестирования средств в определенный проект


Для того чтобы проиллюстрировать смысл понятия ставки альтернативного капитала, ставки альтернативного вложения или доходности, рассмотрим простой пример.

Мы собираемся инвестировать средства в определенный проект, который спустя n лет принесет доход равный FV. Какую сумму денег следует вложить в проект?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует сравнить предлагаемый проект с другими альтернативными возможностями вложения средств. Пусть i - среднерыночная ставка доходности (ставка альтернативного вложения). Для того чтобы получить такую же сумму FV через n лет при осуществлении альтернативного проекта, сегодня следует вложить сумму PV, определяемую соотношением (13). Следовательно, инвестировать в предлагаемый проект следует сумму, не превышающую


Эту сумму называют текущей, современной или рыночной стоимостью инвестиционного проекта.

Приведенный пример отвечает на вопрос, почему ставку дисконтирования называют ставкой альтернативного вложения или ставкой альтернативной доходности.


2.4 Процесс дисконтирования и метод приведенной стоимости


Дисконтирование - очень важная процедура при проведении финансовых расчетов. В применении этой процедуры и заключается метод дисконтирования, который очень широко используется для определения современной рыночной стоимости объекта инвестиций, в частности, для определения текущей стоимости ценных бумаг.

Кроме всего прочего процесс дисконтирования позволяет сравнивать различные доходы, полученные в разное время, путем приведения стоимости этих будущих потоков к настоящему моменту. Например, будущие доходы распределяются следующим образом:

1 500 руб. будут получены через год;

2 000 руб. будут получены через два года;

3 000 руб. будут получены через пять лет.

Как сравнить «ценность» этих денежных поступлений или как ещё говорят, потоков денежных средств?

Пусть средняя рыночная процентная ставка составляет 20%. Рассчитаем ткущую стоимость потоков денежных средств.

Для первого платежа современная стоимость составит:

Для второго:

Для третьего:

Теперь можно сравнить различные денежные потоки, полученные в разное время. Наибольшую текущую стоимость (т. е. наибольшую «ценность») имеет второй платеж (1 388,89 руб.), полученный в конце второго года. Наименьшую - доход, полученный в конце пятого года (1 205,63 руб.), хотя чисто номинально величина денежного потока (3 000 руб.) была максимальной среди трех платежей.


Пример 4


Какую сумму нужно поместить в Банк, для того чтобы через 6 лет накопить сумму 200 000 руб.? Депозитная процентная ставка банка равна 25%.


Решение


Согласно (13) имеем:= 200 000 рублей.= 0,25


Для того что бы через 6 лет накопить 200 000 руб. при ставке 25%, следует поместить на счет 52 428,8 руб.


Пример 5


По векселю через 3 месяца должна быть выплачена сумма 350 000 руб. Найти текущую стоимость векселя, если ставка дисконтирования выбрана 28,5%.


Решение


В формуле дисконтирования (13) считаем:= 350 000 рублей.= 0,25 лет= 0,285



Если бы мы оценивали стоимость векселя исходя из простой ставки доходности, то получили бы:



Расхождение в расчетах с использованием простой и сложной ставки в данном случае невелико, так как срок до погашения векселя невелик.

дисконтирование акция ставка облигация

2.5 Понятие аннуитета


Теперь рассмотрим такое понятие финансового анализа, как аннуитет. Аннуитетом или рентой называется постоянный доход, получаемый через равные промежутки времени.

Примерами аннуитета являются: доход, приносимый облигацией с постоянным купоном без погашения, дивиденды по привилегированным акциям, доход, приносимый сданной в аренду недвижимостью. Как уже отмечалось, доходы, получаемые в разные моменты времени, имеют разную «ценность» сегодня.


2.6 Текущая стоимость аннуитета


Современная стоимость аннуитета, таким образом, складывается из текущих стоимостей всех будущих доходов:


(15)


При этом в (15):

PV- текущая стоимость аннуитета;

PMT - регулярный ежегодный доход;

n - количество лет, в течение которых поступают доходы;

i - ставка дисконтирования.

Просуммировав геометрическую прогрессию в правой стороне (15), находим


(16)

Коэффициент, входящий в правую часть последнего соотношения


(17)


представляет собой коэффициент дисконтирования аннуитета.

Соотношение (16) определяет стоимость аннуитета в том случае, когда постоянные доходы поступают один раз в конце года. Иначе можно утверждать, что формула (16) определяет рыночную стоимость объекта приносящего ежегодный постоянный доход.

Если же постоянные выплаты PMT происходят несколько раз в году (каждый раз в конце периода), например m раз в году, то можно записать:


(18)


где j - номинальная процентная ставка при условии начисления процентов m раз в году

n - количество лет, пока происходят выплаты;

всего за n лет будет произведено n? m выплат.


Пример 6


Согласно долговой бумаге на протяжении 5 лет будут производиться ежегодные выплаты в размере 1 000 рублей. Какова текущая стоимость долговой бумаги, если ставка дисконтирования выбрана 19,25%?


Решение



Пример 7


В условиях предыдущего примера считать, что выплаты происходят ежеквартально, т.е. по 250 руб. каждые три месяца. Доход от ценной бумаги поступает в течение 5 лет. Ставка дисконтирования (номинальная при ежеквартальном начислении процентов m=4) равна j=18% (номинальная ставка 18% соответствует эффективной годовой ставке 19,25% предыдущего примера). Какова текущая стоимость ценной бумаги?


Решение:


Используя (18) имеем:

РМТ=250;=0.18;=5;=4;



Итак, стоимость ценной бумаги выше, чем в предыдущем примере. Это произошло из-за более точного приближения выплат по ценной бумаге к сегодняшнему дню.

3. Общие вопросы финансовых вычислений по облигациям


.1 Основные параметры облигации


Основные параметры облигации:

дата покупки облигации (settlement date);

дата погашения (redemption date);

номинальная цена или номинал облигации (nominal value, face value, par value);

цена погашения (redemption value), если она отличается от номинала (такая ситуация бывает как правило, в случае нескольких дат погашения);

годовой купонный доход (аnnual coupon);

купонная процентная ставка (coupon rate);

количество выплат купонов в году.

По облигациям выплачивается купонный доход, а в конце срока происходит погашение номинала.

Облигация может иметь две или больше даты погашения. В этом случае, как правило, ставка купонного дохода увеличивается к каждой следующей дате погашения. При этом возможны следующие варианты:

в первом случае владелец облигации сам выбирает, когда погасить операцию;

во втором - эмитент оставляет за собой право погасить облигацию в любой из указанных сроков.

Возможна так же ситуация, когда эмитент имеет право досрочного выкупа облигаций (call provision). Рейтинг таких облигаций ниже, чем у облигаций (call protection), так как высока неопределенность для инвестора.

Приведем обозначения основных параметров облигаций:

N - номинал облигации (nominal value, face value, par value). Выплачивается при погашении облигации, если иное не оговорено условиями выпуска.

P - рыночная цена (price);

курс облигации (quote, quoted price). Определяет текущую стоимость облигации в процентах от номинала;

g - годовая купонная процентная ставка (coupon rate);

C = g?N - годовой купонный доход (annual coupon) в руб. Определяет суммарный годовой доход, выплаченный по купонам.

- текущая или купонная доходность (current, running yield). Для аннуитетов совпадает с полной доходностью облигации;

i - полная доходность облигации (yield). Если владелец облигации держит её вплоть до погашения в конце срока, то величина iпоказывает доходность к погашению (yield to maturity, yield to redemption). Буквой iбудем обозначать так же ставку дисконтирования.

Если облигация куплена по цене, равной номинальной, то говорят, что она куплена по номиналу; если облигация куплена по цене ниже номинала, то говорят, что она куплена с дисконтом; если по цене выше номинала - с премией (последнее не означает, что доход по такой облигации не может быть получен).


3.2 Определение дохода и рыночной стоимости облигации


Доход, полученный за всё время владения облигацией, складывается из купонных выплат и цены погашения облигации, выплачиваемый в конце срока владения (как правило, эта цена совпадает с номинальной ценой).

Обозначим через С1, С2, С3, …., Сn купонные доходы, полученные владельцем в течение владения облигацией. В конце срока облигация погашается по номиналу N. Сюда относятся выплаты по купонам и цена погашения облигации. Тогда текущая, современная (рыночная) стоимость облигации P равна сумме всех дисконтированных доходов:


(19)


где i- доходность облигации к погашению.

Соотношение (19) связывает рыночную цену облигации с доходностью к погашению или со ставкой дисконтирования. Если будущие доходы известны, фиксированы, то соотношение (19) позволяет решать две основные задачи:

определять цену облигации, если известна доходность (ставка дисконтирования)

определять доходность облигации, если известна её цена.

Как видно из (19), если будущие доходы по облигации фиксированы, то цена облигации тем выше, чем ниже ставка доходности. Таким образом, в зависимости от рыночных тенденций доходность облигации и цена изменяются в противоположенных направлениях, т.е. при повышении рыночных процентных ставок цена облигации падает, и, наоборот - при понижении рыночных процентных ставок цена облигации возрастает.

Ниже приведены финансовые расчеты для основных видов облигаций.


4. Бескупонные или дисконтные облигации


4.1 Понятие бескупонной или дисконтной облигации


Для облигаций такого типа устанавливается дата погашения и номинал. Купонный доход не начисляется и не выплачивается. Поэтому такие облигации называются бескупонными или облигациями с нулевым купоном (zero coupon bond).

Бескупонные облигации приносят доход только в том случае, если куплены по цене ниже номинала или, что то же самое, по курсу ниже 100. В связи с этим данные облигации называются также дисконтными.

В России ценными бумагами подобного вида являются государственные краткосрочные бескупонные облигации (ГКО), которые выпускаются с 1993-го года.


4.2 Определение цены или курсовой стоимости бескупонной облигации


Поскольку у бескупонной облигации только одна выплата - погашение номинала N, то цена облигации определяется:


(20)


где n - время владения облигацией (в годах) до момента погашения (величина n не обязательно целое число лет).

Курс облигации определяется соотношением:


(21)

4.3 Определение доходности бескупонной облигации к погашению


Если известна цена бескупонной облигации или её курс, то доходность облигации к погашению равна:


(22)


Как видно из последнего соотношения, доходность облигации положительна, если цена облигации ниже номинала или курс меньше 100.

Если величины рыночных ставок невелики, доходность облигации определяют по простой процентной ставке:


(23)


где K - текущая курсовая стоимость облигации на конкретно взятую дату, а n - число лет до погашения.


Пример 8


Облигация будет погашена через 5 лет и 3 месяца. Текущий курс 45,64. Найти доходность к погашению.


Решение


Доходность к погашению находится с помощью соотношения (23):

или i =16,11%


Пример 9


До погашения бескупонной дисконтной облигации осталось 1,5 года. Найти рыночный курс облигации, если ставка дисконтирования - 15%.


Решение


В соответствии с соотношением (21) курс облигации равен:



Пример 10


Найти доходность к погашению бескупонной облигации, если рыночная цена сегодня- 790 руб., облигация погашается по номиналу 1 000 рублей через 2 года и 2 месяца или через 2,167 года. Какова простая и эффективная (сложная) ставки доходности по этой облигации?


Решение:


Доходность облигации (сложная и простая) определяется с помощью соотношений (22) и (23):


или i =11,49%

или inp=12,27%


5. Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока


5.1 Цена или курсовая стоимость облигации


Подобные облигации обеспечивают начисление купонного дохода (по сложной ставке g), однако текущие выплаты купонного дохода не производятся. Накопленный купонный доход выплачивается в момент погашения вместе с номинальной стоимостью. Таким образом, владелец облигации в конце срока получает сумму, равную N?(1+g)n. Если n - срок владения облигацией в годах (n - не обязательно целое число лет), то цена облигации и её курс связаны с доходностью к погашению следующими соотношениями:


(24)


5.2 Определение доходности облигации к погашению


Доходность к погашению определяется следующим образом:


(25)


Пример 11


По облигации производится начисление 15% годовых с выплатой в конце срока. Облигация куплена по курсу 75. Срок до погашения 5 лет. Определить доходность к погашению.

Решение


В соответствии с (25):


или i =21,81%


Пример 12


По облигации начисляется 3% раз в квартал. Проценты выплачиваются в момент погашения облигации. Облигация куплена по курсу 120. Срок до погашения 6 лет. Найти доходность к погашению.


Решение


Номинальная ставка начисления процентов j = 12%, проценты начисляются m=4 раз в год. Эффективная процентная ставка согласно (11) равна:



Доходность облигации определяется согласно (25):


или i = 9,18%


Пример 13


Определить рыночную стоимость облигации, по которой ежегодно начисляется 12% с выплатой процентов в конце срока. Ставка дисконтирования равна 14%, номинал облигации - 2 000 руб., срок - 6 лет.


Решение


Используя соотношение (24), найдем стоимость облигации:


руб.


6. Облигации без погашения. Аннуитеты.


6.1 Понятие аннуитета


Если номинал облигации не погашается, мы имеем дело с аннуитетом или рентой. В роли аннуитета может выступать любая долговая бумага, по которой производится постоянные периодические выплаты. В узком смысле слова аннуитет - это бумага, по которой выплаты будут производиться бесконечно.

В качестве аннуитетов можно рассматривать привилегированные акции, а также облигации без определенного срока выкупа. Примером такого бессрочного аннуитета являются британские консоли (consoles), являющиеся результатом объединения нескольких займов, сделанных государством в разное время, начиная с 18-го века. Купонный доход консолей колеблется от 2,5% до 5%, в то время как доходность их составляет около 7%. Так как цена консолей ниже номинала, то государству выкупать их невыгодно. Поэтому при оценке данные облигации рассматривают как вечную ренту.


6.2 Определение доходности для бесконечного аннуитета


Рассмотрим случай, когда аннуитетные выплаты происходят один раз в году на протяжении большого срока. Можно воспользоваться соотношением (16), приняв в нем за выплаты PMT годовой купонный доход C, за современную стоимость PV рыночную цену облигации P. Так как выплаты происходят бесконечно долго, можно положить n ? ?. Таким образом, доходность и цена аннуитета связаны соотношениями:


(26)

Таким образом, можно полагать, что полная доходность для бесконечного аннуитета равна текущей доходности.

Аналогично можно записать соотношения, связывающие курс и доходность облигации, приносящей доход в течение бесконечно долгого времени:


(27)


Соотношения (26), (27) позволяют оценивать доходность и цену привилегированных акций, а также облигаций, для которых не определен срок выкупа, и их можно рассматривать как бесконечную ренту.

Если выплаты производятся m раз в год, то удобнее пользоваться номинальной процентной ставкой j (при начислении процентов m раз в году). Цена и доходность такого аннуитета связаны соотношениями:


(28)


Пример 14


Британские консоли имеют купон 2,5% от номинала, доходность 6,71%. Найти текущий курс облигации, предложив, что облигация не будет выкуплена правительством Великобритании.


Решение


Пример 15


Найти доходность британских консолей с 5% купоном, если курс равен 68,12.


Решение



Пример 16


Привилегированная акция приносит ежеквартальный доход 750 руб., рыночная цена акции 17 850 руб. Найти доходность акции, считая, что дивиденды по ней не будут меняться, и будут выплачиваться достаточно долго.


Решение:


Из (28) находим



или j=16,81%


Эффективную ставку доходности можно найти, используя соотношение (11):


или i=17,9%

7. Облигации с фиксированным купоном


7.1 Определение текущей стоимости облигации с фиксированным купоном


Доход по облигациям с фиксированным купоном складывается из периодических купонных выплат и выплаты номинальной стоимости в конце срока. Доходы по купонам выплачиваются, как правило, один или два раза в год.

Таким образом, современная стоимость облигации с фиксированным купоном складывается из современной стоимости аннуитета и современной стоимости номинала. Если выплаты купонов происходят ежегодно (один раз в год), то рыночная цена облигации равна:


(29)


Где С - годовой купонный доход (в рублях)

N - номинал облигации (в рублях)

i- доходность к погашению или ставка дисконтирования.

Соотношения (29) связывают стоимость облигации или курс с доходностью к погашению. Если известна доходность i, то стоимость (или курс) - можно определить с помощью соотношения (29). Обратная задача - определение доходности по курсу - в общем виде аналитически неразрешима. Поэтому доходность к погашению облигаций с фиксированным купоном находят с помощью численного решения уравнения (29).


7.2 Особенности облигации с постоянным купоном


Укажем на следующие особенности облигаций с постоянным купоном. Если облигация приобретена по номиналу (по курсу 100), то доходность к погашению i равна ставке купонного дохода g. Если облигация приобретена с дисконтом (по курсу меньше 100), то доходность больше купонного дохода (i > g). Если же облигация приобретена с премией (K > 100), доходность меньше купонного дохода (i < g). В последнем случае (при покупке с премией) владелец облигации также может получить доход, если не произойдет досрочного выкупа облигации эмитентом.

Если купонные выплаты происходят два раза в год, то для финансовых расчетов используется номинальная процентная ставка доходности j при условии начисления процентов 2 раза в год. При этом каждый раз выплачивается половина купона, т.е. величина . Для определения текущей стоимости облигации следует продисконтировать все купонные выплаты и выплату в погашении номинала. Можно воспользоваться результатом (18) и получить выражение:


(30)


7.3 Определение доходности облигации с фиксированным купоном


При расчетах часто используют простую процентную ставку доходности для облигаций с фиксированным купоном. Напомним, что при начислении дохода по простой процентной ставке, доход каждый раз начисляется на первоначальную сумму, т.е. предполагается, что промежуточные доходы по процентам не реинвестируются (можно считать, что все купонные доходы получены в конце срока). Поэтому можно записать:

?(1 + n? inp) = N+n?Ct (31)


откуда можно получить:


(32)


В числителе (32) - доход, полученный владельцем за весь период владения облигаций. Разделив доход на цену облигации, получим доходность за весь срок. Если теперь разделить последнюю доходность на срок n, то получится годовая доходность облигации.

Простая доходность inp , если облигация куплена по номиналу (К=100). В этом случае i = inp = it = g. Так же i = inp, если срок облигации равен одному году (n = 1). Если срок облигации равен нескольким годам, то пользуются так же другой приближенной формулой:


(33)


Соотношение (33) отличается от (32) тем, что в (32) в знаменателе фигурирует не цена облигации, а средняя арифметическая между начальной ценой облигации P и конечной ценой N.


Пример 17


Срок облигации с фиксированным купоном равен 7 годам. Купонный доход выплачивается ежегодно по норме 12 % от номинала в год. Найти курс облигации, если ставка дисконтирования равна 16%.


Решение


Пример 18


Годовой купонный доход облигации равен 240 руб., купонный доход выплачивается 2 раз в год, номинал облигации равен 1 300 руб., срок до погашения 6 лет. Найти цену облигации, если доходность к погашению (номинальная процентная ставка при условии начисления процентов 2 раза в год) равна 14,47%.


Решение


Согласно (30) цена облигации равна:


руб.


Пример 19


Облигация с фиксированным купоном, равным 20% от номинала и выплачиваемым ежегодно, куплена по курсу 90. Срок облигации - 10 лет. Найти простую доходность и доходность по приближенной формуле (33).


Решение


или inp= 23,33%

или ? = 22,11%


Численное решение уравнения (29) приводит к следующему значению для доходности по сложной ставке: i = 22.6%/ В данном случае лучшим приближением для i является доходность ?, рассчитанная по приближенной формуле (33).


8. Чистая и грязная цена облигации


8.1 Понятие чистой и грязной цены облигации


Мы рассмотрели случаи, когда облигация была приобретена в начале купонного периода, т.е. цена облигации определялись на начало купонного периода. Если расчеты ведутся для промежутка времени, находящегося между двумя купонными периодами, то выделяют две цены облигации:

грязную (её называют ещё полной ценой) Pg (full, gross dirty price) и

- чистую цену Pc (clean, flat price).

Грязная (полная) цена облигации содержит накопленный купонный доход (accrued interest) Ct, т.е. она отличается от чистой на величину купонного дохода, накопленного со времени последней выплаты купона:

= Pc + Ct (34)


При этом считается, что купонный доход Ct растет равномерно между двумя последовательными выплатами купона. Если выплаты происходят один раз в году, то накопленный купонный доход равен:


Сt = C t1(35)


Где t - время в годах, прошедшее с момента выплаты последнего купона.

Если выплаты происходят два раза в год, то накопленный купонный доход равен:


(36)

где T - купонный период, т.е. время между двумя последовательными купонными выплатами, t - время, прошедшее с момента выплаты последнего купона.


8.2 Определение чистой и грязной цены (курсовой стоимости) облигации


Аналогично можно определить грязный курс облигации Кg и чистый курс облигации Кс.

На разных торговых площадках котировки облигаций могут объявляться как в чистых ценах, так и в грязных. Если котировки облигаций объявляются в чистых ценах, то покупатель (помимо комиссионного вознаграждения) оплачивает чистую цену облигации и отдельно накопленный купонный доход.

Если котировки объявляются в грязных ценах, то покупатель оплачивает полную рыночную цену облигации. Таким образом, грязная цена облигации, в конечном счете, представляет собой ту полную цену, которую покупатель облигации уплачивает в момент покупки, т.е. является рыночной ценой облигации.

Разделение полной рыночной цены на чистую цену и накопленный купонный доход практикуется так же при расчете налоговых выплат. Накопленный купонный доход и дисконт (разница между чистой ценой продажи и чистой ценой покупки) могут облагаться налогом по разным ставкам. При этом налог взимается только с той части купонного дохода, который был накоплен во время владения облигацией.


Пример 20


Облигация с фиксированным купоном приобретена 18 октября 2008 года, чистая цена облигации 1 021,77 руб. Годовой купонный доход 210 руб., номинал 1000 руб., выплата купонов производится два раза в год, дата погашения 13 января 2012 г.

Найти накопленный купонный доход. Какую цену должен заплатить покупатель облигации (не считая комиссионных вознаграждений брокеру)?


Решение


Выплата купонов производится каждые 6 месяцев: 13 января и 13 июля каждого года. Последняя купонная выплата производилась 13 июля 2008 г., поэтому купонный период Т равен количеству дней между 13 июля 2008 г. и 13 января 2009 г. Количество дней между этими двумя датами Т=184 дня. Со времени последней выплаты купона прошло t=97 дней (получается прямым подсчетом количества дней между датой выплаты последнего купона 13 июля 2008 г. и датой покупки облигации 18 октября 2008 г.). Согласно (36) накопленный купонный доход равен:


руб.


Покупатель облигации выплачивает в целом грязную цену облигации:


1 021,77 + 55,35 = 1 077,12 руб.


Пример 21


Облигация с фиксированным купоном приобретена 31 марта 2008 г. Выплата купонов производится один раз в год 31 декабря из расчета 12% от номинала. Найти чистый курс облигации и накопленный купонный доход (в процентах от номинала), если требуемая доходность облигации 16%. Считать в году 360 дней (30 дней в месяце).

Решение


Последняя выплата производилась 31 декабря 2008 года. Со времени последней выплаты прошло 3 месяца, или t=90 дней, купонный период T=360, купонная ставка g=12%. В соответствии с (35) накопленный купонный доход в процентах от номинала равен:



Грязная курсовая стоимость облигации находится с помощью дисконтирования всех будущих доходов. До выплаты ближайшего купона осталось 9 месяцев, или 0,75 лет, остальные выплаты будут произведены соответственно через 1,75 лет и 2,75 лет.



Откуда чистая курсовая стоимость равна=94,46-3=91,46.


9. Доходность облигаций с учетом налогообложения


9.1 Доходность бескупонных облигаций с учетом налогообложения


Налогообложение, естественно, снижает доходность облигаций, снижает так же текущую стоимость облигаций.

Для бескупонных облигаций налогом облагается дисконт - разница между ценой продажи и ценой покупки. Если облигация держится до погашения, то налогом облагается разница между ценой номинала и ценой покупки N - P.

Приведем выражение простой доходности бескупонных облигаций (ставка налога на дисконт - А):


(37)


где n - срок облигации в годах.


9.2 Доходность купонных облигаций с учетом налогообложения


Для купонных облигаций отдельно облагается налогом дисконт (предположим по ставке А1) и накопленный купонный доход за период владения (предположим по ставке А2). В данном случае дисконт - разница между чистой ценой продажи и чистой ценой покупки облигации. Если облигация держится до погашения, то дисконт представляет собой разницу между номинальной стоимостью и чистой ценой покупки N - P. Дисконт облагается налогом, если является положительной величиной.

Если облигация с постоянным купоном куплена не в начале купонного периода, то до ближайшей выплаты купона купонный доход владельца составит . Налог с этой суммы равен . В дальнейшем с каждой купонной выплаты будет уплачен налог в размере .

При погашении уплачивается так же налог с дисконта равный А1?(N - P).

C учетом используемых ставок налогообложения простая доходность облигаций с постоянным купоном будет иметь вид:


(38)


где n - срок погашения облигации.


Пример 22


Бескупонная облигация куплена по курсу 89,80; срок облигации 6 месяцев. Рассчитать простую доходность облигации к погашению в процентах годовых без учета и с учетом налогообложения (ставку налога на дисконт будем считать равной 35%).


Решение


Простая доходность к погашению без учета налогообложения рассчитывается в соответствии с (37):


Доходность с учетом налогообложения равна согласно (37):



Пример 23


Срок погашения облигации с постоянным купоном равен 6 годам, купонный доход выплачивается один раз в год и составляет 250 руб., номинал облигации - 1 000 руб.

Облигация приобретена по цене 910,65 руб.

Какова простая доходность облигации к погашению?

Какова простая доходность облигации с учетом налогообложения, если ставка налога на дисконт составляет 35%, а ставка на купонный доход равна 15%?


Решение


Простая доходность к погашению без учета налогообложения находится с помощью (32)



Простая доходность с учетом налогообложения определяется в соответствии с (38)


10. Изменчивость цен облигации. Дюрация облигации


10.1 Риск по облигации


Чем больше срок облигации, тем выше риск неполучения доходов. Поэтому облигации с большим сроком являются более рискованными, чем краткосрочные облигации. Однако это не единственный вид риска, связанный с большим их сроком. Существует так же риск колебания курса облигации. Чем больше срок, тем более изменчив курс, т.е. небольшие изменения рыночной процентной ставки i могут приводить к существенным изменениям курса облигации К.


10.2 Понятие дюрации


Менее изменчивы цены облигаций с высокими купонными выплатами. Существует величина, зависящая от срока облигации и величины купонных выплат, которая количественно связывает колебания рыночного курса с колебаниями рыночной процентной ставки. Эта величина называется дюрацией (duration - продолжительность). Дюрация D определяется как средневзвешанное (по дисконтированным доходам) время получения соответствующих доходов.

Дюрация выражается в годах. Для бескупонных облигаций она равна сроку облигации D = n. В остальных случаях D < n за счет купонных выплат.


10.3 Пример расчета дюрации


Рассмотрим облигацию с фиксированным купоном, равным 20% от номинала, курс которой 90. Пусть срок облигации 5 лет, а выплаты купонов осуществляются один раз в год. Можно посчитать доходность такой облигации. Она равна: i = 23,61%. Найдем дюрацию


Мы продисконтировали все доходы по облигации, предварительно умножив их на время их получения, и разделили на цену (курс) облигации.

Дюрация является качественной и количественной характеристикой рисков, связанных с владением облигацией. Чем меньше дюрация, тем быстрее отдача от облигации и тем меньше риск неполучения доходов.


10.4 Дюрация при изменении рыночных процентных ставок


Пусть рыночные процентные ставки изменились на величину ?i. Дюрация связывает колебания курса облигации ?К с колебаниями процентной ставки ?i. Можно показать, что при небольших изменениях процентной ставки, курс облигации изменится на величину


?К ? - FM? ?i(%)(39)

где

FM =(40)


i- изменение процентных ставок, выраженное в процентах.

Величину FM называют коэффициентом Маколи или дюрацией Маколи. Его ещё называют «критерий одна восьмая».

Новый курс облигации Кнов (после изменения процентной ставки) отличается от старого Кстар на величину, определяемую соотношением (39)


Кнов = Кстар + ?К(41)

Знак минус в соотношении (39) возникает потому, что увеличение процентной ставки приводит к уменьшению курса, а увеличение процентной ставки - к его уменьшению.

Формула (39) описывает изменение курса облигации при небольших (на величину 1-2%) изменениях процентной ставки. Коэффициент Маколи равен абсолютному изменению курса облигации при изменении процентных ставок на 1%. Соотношение (39) показывает, что облигации с меньшей дюрацией обладают более стабильным курсом.

Облигации с низким купоном более чувствительны к изменениям процентной ставки (при том же сроке), чем облигации с высоким купоном.

Облигации с большим сроком более чувствительны, чем краткосрочные (при том же купоне).

С увеличением доходности дюрация уменьшается.


Пример 24


Коэффициент Маколи равен 2,56, курс 90, процентная ставка 23,6%. Как изменится курс облигации, если процентная ставка вырастит до 25%.


Решение


В соответствии с (39), курс облигации уменьшится на 2,56?(25-23,6)=3,58, т.е. новый курс:

нов= 90 - 3,58 = 86,42.


11. Акции. Дивидендная доходность акций


11.1 Определение доходности акции


Доходы по акциям поступают в виде дивидендов. Кроме того, владелец акции может получить доход за счет изменения её рыночной стоимости (если эта стоимость вырастет за период владения). Таким образом, доходность акции за некоторый период можно определить как


(42)


Где P1 - цена акции в начале периода, P2 - цена акции в конце периода, D - суммарный дивидендный доход за данный период.

11.2. Определение текущей доходности акции.

Для определения текущей стоимости акции можно воспользоваться методом дисконтирования всех будущих доходов к настоящему моменту:


(43)


Где d1, d2, d3, …, dn - годовой дивидендный доход по акциям, Pn - цена акции в конце n-го года.

Таким образом, для определения доходности акции следует спрогнозировать доходность акции (ставку дисконтирования) и размеры будущих дивидендов.

В расчетах в качестве ставки дисконтирования (требуемой доходности акции) часто используют среднеотраслевые показатели доходности.

11.3 Модель постоянных дивидендов


Большую сложность представляет прогноз будущей дивидендной доходности. Один из простых способов - использование модели постоянных дивидендов, (предполагается, что уровень дивидендов не будет меняться в течение долгого времени и останется таким, каким он был в текущем году). Следовательно, акцию можно рассматривать как аннуитет, и её цена связана с доходностью соотношением:


(44)

Величина

(45)


называется дивидендной доходностью акции (аналогично величине купонной доходности облигации). Если дивиденды не меняются долгое время, то дивидендная доходность равна полной доходности акций.

Если в дальнейшем прогнозируется изменение дивидендов (допустим через год величина дивиденда составит d1), то вводят понятие перспективной дивидендной доходности .


11.4 Модель постоянного роста дивидендов


Другим упрощением является модель постоянного роста дивидендов. Предполагается, что дивидендный доход растет от года к году. Скорость роста определяется ставкой g. Цена акции для модели постоянного роста дивидендов

(46)


где d1 - дивиденд, предполагаемый получить через год.

Модель постоянного роста дивидендов во многих случаях «не работает». Согласно модели постоянного роста дивидендов цена акции также должна расти тем же темпом роста, в то время как в действительности цена может изменяться и по другому. Бесконечный рост дивидендов и стоимости предприятия практически невозможен, так как для любого предприятия доходность инвестиций со временем уменьшается.

Стабильная дивидендная политика может оказывать влияние на рост цены акции. Однако опыт развитых рынков показывает, что дивидендная политика предприятия не так сильно влияет на цену акции, как темп роста прибыли предприятия.


Пример 25


Последний годовой дивиденд акции составил 16 руб. Предполагается, что дивидендные доходы и стоимость акции будут возрастать с годовым темпом 10%. Определить стоимость акции, если ставка дисконтирования выбрана 26%.


Решение


В соответствии с (46) прогнозируемая цена акции



12. Доходность портфеля ценных бумаг


Портфель ценных бумаг может содержать облигации, акции, производные ценные бумаги и характеризуется различными параметрами. Рассмотрим два параметра: цену портфеля и доходность.


12.1 Определение цены портфеля ценных бумаг


Обозначим через Qm количество ценных бумаг m - го вида в портфеле.

Цена портфеля Pp, очевидно, равна сумме цен всех бумаг, входящих в портфель. Поэтому, если цена m-ой ценной бумаги равна Pm , то цена портфеля:

=? Pm? Qm (47)

m


12.2 Определение доходности портфеля ценных бумаг


Обозначим через im - доходность бумаги m-го вида. Доходность портфеля ip приблизительно можно определить как средневзвешенную доходность всех бумаг по их денежному объему, т.е.:


(48)


Пример 26


Портфель содержит три вида ценных бумаг и имеет следующую структуру:

а) 150 акций по цене 90 руб. с ожидаемой доходностью 14,6%;

б) 200 облигаций по цене 100 руб. с доходностью к погашению 11%;

в) 50 облигаций по цене 120 руб. с доходностью к доходностью к погашению 16%.

Какова цена портфеля и средневзвешенная доходность портфеля?


Решение


Цена портфеля:


Pp = 150?90+200? 100+50? 120=39 500 руб.


Доходность портфеля:



ПРИМЕРЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ 1. Понятие простых и сложных процентов. Эффективная и номинальная процентные ставки Прежде чем приступить к финансов

Больше работ по теме:

Предмет: Финансы, деньги, кредит

Тип работы: Методичка

Новости образования

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: MAIL@SKACHAT-REFERATY.RU

Скачать реферат © 2018 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ