Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

 

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Реферат

Исполнитель:

Студентка группы М-42 Локтева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики

2. Методическая схема изучения первообразной функции

3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции

4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе

Заключение

Литература

Введение

Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания. В связи с этим развивающими целями будут: а) введение нового метода решения задач ( в частности нахождение площади объёма фигуры) показать известную универсальность математических методов; б) показ учащимся основных этапов решения прикладных задач средствами математики.

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики

Теме "Первообразная и интеграл" предшествует тема "Производная и её применение". Такая последовательность изучения материала создаёт предпосылки для: 1) понимание учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений; 2) осознание учащимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа. С одной стороны, он выступает как язык, описывающий многие явления, процессы мира. С другой – как инструмент, с помощью которого с учётом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.

Основу содержания темы составляют два типа вопросов, каждый из которых группируется около двух понятий: "Первообразная", "Интеграл". Основное внимание при изучении уделяется: 1) нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе таблиц первообразных и правил нахождения первообразных; 2) вычислению площадей криволинейной трапеции.

В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:

· введение понятий первообразной и интеграла;

· ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;

· раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:

· провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.

Теоретический материал включает в себя понятия первообразной и её основное свойство понятие интеграла функции; связь между понятиями "интеграл" и "первообразная", которая устанавливается с помощью формулы Ньютона-Лейбница; формула Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления интеграла данной функции.

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки, например: "Найти такую первообразную функцию, график которой проходит через данную точку".

2. Методическая схема изучения первообразной функции

В школьном учебнике были "испытаны" различные варианты введения понятия интеграла. В первых изданиях учебного пособия (под ред. А.Н. Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм.

Методическая схема изучения первообразной:

1) рассмотреть примеры взаимно обратных операций;

2) ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования;

3) выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция  есть первообразная другой данной функции ", "Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции ";

4) ознакомить учащихся с основным свойством первообразной;

5) составить таблицу первообразных;

6) ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных;

7) решить физические задачи с применением первообразной.

Определению первообразной предшествует задача из механики. . Если в начальный момент времени  скорость тела равна 0, т.е. , то при свободном падении тело к моменту времени  пройдет путь: . Продифференцировав ее, получаем ;  - ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение точки , требуется найти закон изменения скорости  и координату . Для решения таких задач служит операция интегрирования.

При введении понятия первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число – их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое может быть "восстановлено" выполнением операции вычитания. Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является квадратом некоторого числа: . Выполнив обратную операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3.

Дифференцирование функции  приводит к новой функции , которая является производной функции  Пусть теперь известно, что производная некоторой функции  равна , т.е.:; требуется найти функцию .

Операция нахождения функции  по ее производной  называется интегрированием. Выполняя интегрирование, можем получать следующие результаты: ; ;  и т.д. Функция  называется первообразными функции . Таким образом, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования называется первообразной. После этого сообщается определение первообразной: функция  называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка .

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки. Например: найти такую первообразную функции, график которой проходит через данную точку.

Целесообразно обратить внимание учащихся на следующее: запись F(x)+c (общий вид первообразных для функции f(x) на заданном промежутке). Она связывает нас, с одной стороны, с произвольным значением постоянной с, а с другой стороны, в зависимости от условия предложенной для решения задачи – с конкретным. С этой целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач. Чтобы показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне определенной первообразной, можно предложить учащимся найти управление пути, если за 2 секунды тело прошло 15 м.(найти уравнение кривой, проходящей через фиксированную точку А(1;2)).

Решение обеих задач связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют указанным начальным условиям.

Работа с задачами убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных (именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).

Изучение вопроса о правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум взаимообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.

Например, введение третьего правила (ели F(x)-первообразная для функции f(x),а k(k¹0) и b – постоянные, то (1/k)F(kx+b) есть первообразная для функции f(kx+b) ), можно предварить рассмотрением с учащимися следующих задач:

1. Найти производные функций: sinx; sin4x; sin(4x+3);

2. Найти хотя бы одну первообразную для функции: cosx; cos4x; cos(4x+3).

Анализ решений этих задач и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных, доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.

 

3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции

Центральное место в изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: "Пусть f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a)."

 

С помощью этой теоремы можно обосновать формулу Ньютона-Лейбница. Изучение доказательства проведем методом подготовительных задач.

1. Приращение аргумента, приращение функции.

Задача: "На рисунке площадь криволинейной трапеции представлена как функция от x. Укажите на этом рисунке

S(x); S(x+Dx); DS=S(x+Dx) – S(x)".

S(x) = a A B x; S(x+Dx) = a A C ; DS = x B C ;

(необходимо потому, что учащиеся встречаются с новой геометрической интерпретацией уже известных понятий ).

2. Определение производной.

"Запишите определение производной функции применительно к функции S(x) ". В результате получим запись:

 

3. Понятие функции, непрерывной в точке.

"Пусть f(x) – функция, непрерывная в точке x.(см. рисунок) Отметим на оси абсцисс точки x, x+∆x и точку с, лежащую между ними. Пусть ∆x→0. К чему стремится f(c)? Из графических соображений получаем ответ, что если

∆x→0, то с→x, а f(c)→f(x).

 

4. Утверждение о том, что площадь криволинейной трапеции с основанием ∆x можно заменить равной площадью прямоугольника с тем же основанием ∆x и высотой f(c), где с – некоторая точка отрезка [x; x+∆x].

Существование точки с утверждается теоремой и может быть проиллюстрировано следующими заданиями: "На рисунке дана криволинейная трапеция с основанием ∆x. Построить прямоугольник, у которого основание было бы равно ∆x, а площадь равнялась бы площади криволинейной трапеции." Задание выполняется "на глаз", от руки и преследует цель добиться интуитивного(на наглядно-геометрическом уровне) осознания рассматриваемого факта.

5. Определение первообразной.

"Пусть S(x) – первообразная f(x). Поясните, что это обозначает. Пусть S(x) – одна из первообразных для функции f(x). Запишите формулу для общего вида первообразных функции f(x)"(привычное определение первообразной применяется в новых обозначениях).

Доказательство теоремы целесообразно разбить на три части:

1)   Введём функцию S(x). Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a,b], которая выражает зависимость площади криволинейной трапеции от аргумента x. Дадим аргументу x приращение ∆x, такое, что

.

Тогда приращение функции в точке x:

(∆x полагаем положительным)

2) Докажем что функция S(x) является первообразной для функции

 для всех

Согласно определению производной,  Так как - площадь криволинейной трапеции с основанием , то её можно заменить равной площадью прямоугольника с основанием  и высотой f(c), где

Тогда:

Поскольку с лежит между x и x+∆x, то при ∆x→0 точка с стремится к x, а f(c)→f(x). Эти рассуждения можно записать в одну строчку следующим образом:

Итак,

.

3) Подведем итоги. Мы доказали , что S(x)– первообразная для f(x) на [a,b]. Но по условию F(x) – также первообразная для f(x) на этом отрезке. Следовательно, функции S(x) и F(x) отличаются друг от друга на некоторую константу С:

 (1)

Пусть x=a равенство (1) примет вид: , откуда C=-F(a). При x=b равенство (1) запишется в виде: S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a). Таким образом, S= F(b)-F(a)

Рассмотрим простейший случай криволинейной трапеции – обычную трапецию. Пусть также трапеция образована графиком функции y=x и прямыми: x=1 и x=2. По формуле площади трапеции, известной из курса планиметрии,

Первообразная данной функции  , а разность

Таким образом, этот пример подтверждает, что площадь трапеции может быть найдена как приращение первообразной:  . Методика использования рассмотренного примера при ознакомлении учащихся с теоремой может быть такой: вначале ставится учебная проблема о нахождении связи между площадью криволинейной трапеции и первообразной; приводится пример, указывающий эту связь; формулируется теорема или сначала сообщается теорема, затем приводится примет, подтверждающий эту теорему.

4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе

Методическая схема введения понятия интеграла.

1)привести подводящую задачу;

2)сформулировать определение интеграла

1) Задачи, подводящие к этому понятию.

Задача№1. На отрезке [a,b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Укажите новый способ(не связанный с первообразной) нахождения площади S криволинейной трапеции, образованной графиком этой функции и прямых x=a и x=b.

Этапы решения задачи: 1) построение ступенчатой фигуры и вычисление её площади

[a,b] разбиваем на n равных частей:

Одна сторона прямоугольника - , вторая - , поэтому:

2) Выражение площади  криволинейной трапеции через .

Производим деление [a;b] на более "мелкие" части и вычисляем следующее значение . После сравнения получаем: .

Задача№2. Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , где - непрерывная на отрезке  функция. Требуется найти путь, который пройдет материальная точка за промежуток времени от  до .

В простейшем случае, когда мгновенная скорость постоянна, путь, пройденный телом, равен произведению его скорости на время движения. В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом:

Сравнивая результаты решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на котором задана функция, на равные части; составление суммы вида , которая принимается в качестве приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: . Такие пределы встречаются при решении многих задач из разных областей науки и техники. Поэтому они получили специальное название "интеграл функции f(x) от a до b" и обозначение . Таким образом, по определению:

,

где f(x) – непрерывная на [a,b] функция; - точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; - длина каждой из этих частей.

Запишем результаты решенных задач. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b],

Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от  до  со скоростью , где - непрерывная на отрезке  функция,

.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции

 и ,

получаем:

,

где F – первообразная для f на [a,b] – формула Ньютона-Лейбница, позволяющее вычислять интегралы.

Анализ материала учебных пособий, связанных с введением понятия "интеграл" и получением способа вычисления интегралов, приводят к следующим важным в методическом отношении выводам:

1)   определение интеграла и формула Ньютона-Лейбница дают возможность доказать ряд часто применяемых свойств интеграла. В процессе доказательства этих свойств понятие интеграла и его геометрический смысл усваиваются глубже. Можно предложить, например, установить справедливость следующих утверждений:

a)

b)   если функция f имеет на отрезке [a,b] первообразную, то

,

где C – некоторая постоянная;

c)   доказать формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования:

,

где f(x) – функция, непрерывная на интервале, содержащем точки a и x.

Предложенные упражнения полезны ещё и потому, что в процессе их решения устанавливаются (и используются) связи между операциями дифференцирования и интегрирования, между понятиями "производная", "первообразная", "интеграл" и их свойствами.

2)   Понятие "интеграла" вводится для функции непрерывной на некотором отрезке (такая функция имеет на этом отрезке первообразную). Сознательному усвоению учащимися этого понятия (и понятия первообразной) будет способствовать специальное привлечение внимания школьников к этому факту. С этой целью могут быть использованы задачи, например, такие:

Задача№1 Возможно ли вычислить ? (подынтегральная функция имеет точку разрыва ), принадлежащую отрезку ).

Задача№2 Найти ошибку в вычислении интеграла:

(о том, что ошибка действительно допущена, свидетельствует результат: интеграл от положительной функции оказался отрицательным числом).

Задача№3 При каких значениях пределов интегрирования интеграл существует: ?

В точках 5 и –5 подынтегральная функция терпит разрыв; поэтому можно говорить о следующих условиях, которым должны удовлетворять значения пределов интегрирования:

Задача№4 Вычислить: а)

; б) ; в)

(в двух последних случаях интегралы не могут быть вычислены, т.к. подынтегральная функция не определена в каждой точке отрезка, заданного проделами интегрирования).

3)   Установление связи понятий "интеграл" и "первообразная" происходит через обращения к площади соответствующей криволинейной трапеции. Уделяя внимание геометрическому смыслу интеграла, не следует ограничиваться только геометрической иллюстрацией в процессе решения задач на вычисление интегралов. Целесообразно специально подчеркнуть, что, опираясь на геометрический смысл интеграла, иногда получаем возможность: установить существование более простого по сравнению с рассмотренным способом вычисления интегралов (например, по симметричному относительно точки 0 промежутку от четной или нечетной функции). Сделать это можно, обратившись к задачам: не только вычислять площадь фигур, но и находить числовые значения интеграла, вычисление которых по известным учащимся формулам выполнить не удается. Например: .

Задача№1 Показать, что если f – непрерывная, четная на отрезке [-a,a] функция, то:

.

Задача№2 Показать, что если f – непрерывная, нечетная на отрезке [-a,a] функция, то:.

Вычислить:

; ; .

Заключение

В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:

· введение понятий первообразной и интеграла;

· ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;

· раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:

провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.

Литература

1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.

5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.

6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования "Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины" Математический

Больше работ по теме: