Электрическое равновесие

Задача

На рис. 1, а приведена схема цепи. Значения ее элементов: Е=13 В, IГ =3 А, R1=30 Ом, R2=80 Ом, R3=70 Ом, R4=60 Ом, R5=50 Ом, R6=40 Ом, Rх=R1.

Рис. 1

Внутреннее сопротивление источника тока RГ =100 кОм много больше остальных сопротивлений схемы, поэтому оно практически не будет влиять на распределение токов в цепи и им можно пренебречь. Тогда предложенная схема может быть заменена эквивалентной (рис. 1, б) более удобной для расчетов.

Решение.

Составление уравнений электрического равновесия цепи на основе законов Кирхгофа.

Указываем направление токов в схеме на рис. 1, б.

Считаем количество узлов пу=3 и количество ветвей пв=5, в том числе количество ветвей с источниками тока пт=1.

Определяем количество уравнений, которое необходимо составить по законам Кирхгофа для токов и для напряжений:

по ЗТК nу - 1=3-1=2 ур. и

по ЗНК N= nв - (nу -1)- nт =5-(3-1)-1=2 ур. соответственно.

Выбираем N=2 контура в схеме на рис. 1, б и направления их обхода для составления уравнений. Учитываем, что в контур нельзя включать ветвь с источником тока, если неизвестно напряжение на его зажимах.

Выбираем контура 1-2-3-1и 1-3-1.

Составляем систему уравнений;

Рис. 2

Расчет токов методом узловых напряжений.

Заземляем узел 3 в схеме (рис. 1, б), т. к. к нему подходит 4 ветви.

Составляем nу -1=3-1=2 уравнения для неизвестных напряжений в узлах 2 и 3. В канонической форме они имеют вид.

С учетом элементов цепи система уравнений (1, а) будет иметь вид:

где означает, что в ветви с сопротивлением R5 включен источник тока с внутренним сопротивлением RГ= (рис. 2, б).

После числовых подстановок в систему (1, б) и ее решения, получим: U3=0B, U1=-64,772B, U2=-103,181B.

Находим токи в схеме, используя одну из форм закона Ома.

Через сопротивление R5 протекает ток IГ =3 А.

Расчет тока в Rх=R1 методом наложения.

Принимаем за основу токи, указанные на рис.1, б, следовательно, рассчитываем ток I1.

Рис. 3

Составляем первую частичную схему с источником E (рис. 2, a). Вместо источника тока показан разрыв.

На частичной схеме указываем частичные токи и, используя формулу «разброса токов», записываем выражение для тока

После числовых подстановок получаем ток

Составляем вторую частичную схему, схему с источником тока IГ (рис. 2, б). Вместо источника Е показано короткое замыкание. На частичной схеме указываем токи и по аналогии с (2) записываем ток:

Находим ток, проходящий через

Сравнение значений тока в п.п. 3.4 и 2.3 позволяет говорить о правильности расчетов в разделах 2 и 3.

Определение значения сопротивления Rx, при котором в нем будет выделяться максимальная мощность.

Определить данную величину удобно с помощью метода эквивалентного генератора. Если всю часть схемы относительно точек подключения сопротивления Rx=R1 (рис. 2, б) заменить эквивалентным генератором напряжения, то получим схему, показанную на рис. 3.3. В этой схеме максимальная мощность в сопротивлении R1 будет выделяться тогда, когда его значение будет равно RГ - внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора напряжения, имеющему ЭДС ЕГ. Следовательно, решение задачи будет сводиться к расчету ЕГ и RГ.

Рис. 4

чет ЭДС ЕГ.

Согласно теореме об эквивалентном генераторе ЕГ=Uxx, где Uxx находится по схеме (рис.4,а).

Рис. 5

На схеме холостого хода указываются токи и направление напряжения Uxx. Обычно направление Uxx совпадает с направлением тока I1 в схеме на рис. 1, б. Для расчета Uxx удобно зaписать уравнение по закону Кирхгофа: Uхх=I4R4-I2R2, а токи I2 и I4 найти любым известным методом.

I5= IГ;+ IГ= I4;(R2+ R3+R6)=Е;

Решив систему уравнений находим Uхх=3,0684·60-0,0684·80=178,63 В

Расчет внутреннего сопротивления RГ.

Для этого составляется схема пассивного двухполюсника (рис. 4, б) относительно точек подключения сопротивления R1 и находится Rвх - входное сопротивление этого двухполюсника. Тогда RГ = Rвх.

Очевидно, что

Расчет максимальной мощности в R1.

Максимальная мощность в R1 схеме (рис. 1, б) будет выделяться тогда, когда R1=RГ будет равно 106,32 Ом. Величина этой мощности может быть определена из соотношения, составленного для схемы, изображенной на рис. 3:

Проверка баланса мощностей

При составлении баланса мощностей учитываем, что мощности, потребляемые резистивными элементами цепи, всегда положительны, а мощности, отдаваемые источниками энергии, определяются алгебраическими суммами. Если направление напряжения на зажимах источника и направление тока через источник противоположны, то мощность источника положительна, если направления напряжения и тока совпадают, то - отрицательна.

Исходя из сказанного, баланс мощностей для схемы на рис. 2, б определяется выражением

где UГ - напряжение на зажимах источника тока.

После числовых подстановок в (4) получим, что UГ =253,2 В.

ток уравнение напряжение генератор

Используя значения токов, рассчитанных в разделе 2 настоящей задачи, в уравнении баланса (3.3), запишем:

,57 Вт =765, 7 Вт.

Допускается 3% несовпадения баланса.

Больше работ по теме: