Элективный курс "Геометрические построения на плоскости" для учащихся 8-9 классов общеобразовательной школы

 

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«красноярский государственный педагогический университет

им. В.П. Астафьева» (КГПУ им. В.П. Астафьева)

Институт дополнительного образования и повышения квалификации

Факультет повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования (ФПК и ППРО)

Кафедра педагогики высшей школы, андрагогики и акмеологии

Выпускная аттестационная работа

Элективный курс «Геометрические построения на плоскости» для учащихся 8-9 классов общеобразовательной школы

Работу выполнила:

Слушатель ДПОП ««Математика»

по направлению «Обучение математике в общеобразовательных

и среднеспециальных учебных заведениях»

Урбанова Татьяна Викторовна

Научный руководитель:

ст. преподаватель кафедры алгебры,

геометрии и методики их преподавания

Семина Екатерина Андреевна

Красноярск 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЭЛЕКТИВНЫЕ КУРСЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

.1 Цели организации элективных курсов по математике

.2 Типология элективных курсов по математике

.3 Организация элективных курсов по математике

.4 Основные требования к отбору задач для занятий элективного курса

.5 Содержание элективных курсов по математике

.6 Формы занятий и контроль знаний на элективных курсах по математике

ГЛАВА 2. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

.1 Содержание элективного курса «Геометрические построения на плоскости»

.2 Методические рекомендации к проведению занятий элективного курса «Геометрические построения на плоскости»

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Принципиальным положением организации математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике - уровневая дифференциация в основной школе и профильная на старшей ступени школьного образования.

Программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике, как части общечеловеческой культуры, как определенном методе познания мира. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объём знаний, необходимый человеку резко возрастает, в то время как количество часов отводимых для занятий сокращается. Математика как школьная дисциплина оставляет учащихся на рубеже прошлых веков и чрезвычайно мало знакомит с современными научными достижениями.

Одним из средств реализации требований программы и разрешения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов по математике. [18; 31]

Особенно актуально введение элективных курсов в сельской школе, где из-за низкой наполняемости классов организовать профильные классы возможно только в базовой школе.

Элективные курсы - это обязательные для посещения школьниками курсы по выбору, целями которых являются развитие, дополнение, углубление содержания базового курса математики, удовлетворение познавательных интересов школьников, развитие различных сторон математического мышления, воспитание мировоззрения и личностных качеств средствами углублённого изучения математики. Элективные курсы дают возможность преодолеть одну из самых главных причин трудностей, возникающих в школе при изучении предметных дисциплин. Эта причина - требование обязательной успеваемости, то есть того, чтобы разные дети, с разными возможностями за одно и то же время достигли одинаковых образовательных результатов. Результаты изучения одного и того же элективного курса для разных учащихся могут быть различными (и при этом равноценными с точки зрения интересов учащихся). Учащиеся могут осваивать умения, которые формируются на материале элективных курсов, разными темпами. Элективные курсы по математике развивают умственные способности школьников и учат их анализировать обсуждаемый материал. Такое обучение позволяет сделать процесс познания более индивидуализированным и эффективным. Кроме того, они дают отличную возможность использовать инновационные технологии для улучшения усвоения материала. Учащиеся с большим удовольствием изучают электронные учебники, используют в своей работе возможности цифровых образовательных ресурсов, а дополнительную информацию они всегда могут получить из специально подготовленных электронных библиотек, Интернета, и научно-популярной литературы.

Большую роль в обучении с помощью элективных курсов играет самообразование, которое выходит на новый уровень: школьник с большей ответственностью подходит к подготовке, поскольку он сам выбрал данный предмет, и он ему действительно интересен. В связи с вышесказанным тема настоящего исследования весьма актуальна.

Объект исследования: процесс обучения математике на основной ступени общеобразовательной школы.

Предмет исследования: процесс организации элективных курсов по геометрии в общеобразовательных классах.

Цель настоящего исследования заключалась в разработке элективного курса «Геометрические построения на плоскости» для учащихся 8-9 классов общеобразовательной школы и разработке методических рекомендаций к проведению занятий элективного курса.

В соответствии с указанной целью решались следующие задачи:

)изучить и проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу по рассматриваемому вопросу;

)рассмотреть сущность понятия «элективный курс» в системе основного общего образования;

)выделить типологии элективных курсов;

)уточнить специфические особенности элективного курса по математике, которым должно быть уделено существенное внимание при его построении;

)разработать элективный курс «Геометрические построения на плоскости» для учащихся 8-9 классов общеобразовательной школы.

)разработать методические рекомендации к проведению занятий элективного курса.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка. В первой главе рассмотрена сущность понятия «элективный курс», изучены методические подходы к отбору содержания обучения математике в рамках элективного курса, уточнены специфические особенности элективного курса по математике. Во второй главе описан разработанный нами элективный курс «Геометрические построения на плоскости» для учащихся 8-9 классов и методические рекомендации к его проведению.

ГЛАВА 1. ЭЛЕКТИВНЫЕ КУРСЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

1.1 Цели организации элективных курсов по математике

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору для учащихся, которые реализуются за счет школьного компонента [37]. Прилагательное «элективный» (Electus - латинский, [21]) в переводе с латинского языка означает избранный, отобранный. Отсюда следует, что любой курс, названный в учебном плане «элективным» должен выбираться.

Элективные курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.

Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей учащихся. Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач. При этом предполагается, что элективные курсы должны способствовать внутрипрофильной специализации обучения, а так же для разработки учащимися собственного образовательного профильного маршрута. Одной из основных задач, стоящих перед системой образования, является переориентация на подготовку человека, самостоятельно выбирающего индивидуальную траекторию развития в соответствии со своими способностями и возможностями, ответственно принимающего решения и эффективно действующего в современно меняющемся мире. Самостоятельность как ответственное, инициативное, независимое поведение - это основной вектор взросления молодых людей.

Элективные курсы преследуют следующие цели:

развитие содержания базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет получать дополнительную подготовку для сдачи ГИА и ЕГЭ по математике;

дополнение содержания профильного курса математики (выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углублённым);

удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности;

развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углублённого изучения математики.

Элективные курсы играют большую роль в совершенствовании школьного образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, а также варьировать объём и сложность изучаемого материала.

Таким образом, элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий школьников.

.2 Типология элективных курсов по математике

Выполненный нами в ходе исследования анализ педагогической, методической литературы показал, что существует несколько типологий элективных курсов.

I.По разрешаемым задачам.

Элективные курсы выполняют ряд задач:

. Создать условия для того, чтобы ученик утвердился или отказался от сделанного им выбора направления дальнейшего учения и связанного с ним определенного вида профессиональной деятельности.

. Помочь старшекласснику, совершившему в первом приближении выбор образовательной области для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности с ней связанных.

. Удовлетворить естественное любопытство учащегося к какой-то области знаний, которая не представлена в традиционном учебном плане.

.Ознакомить с дополнительными разделами учебного материала.

Следующие виды элективных курсов решают поставленные выше задачи:

. Пробные (их можно сравнить с факультативными курсами, программы которых будут ориентированы на знакомство с видами деятельности, характерными для человеческой работы; при подготовке можно использовать научно-популярную литературу, пособия для профессиональной школы и т.д.).

. Ориентационные (например, элективный курс «Задачи на проценты» для экономического профиля; для подготовки можно использовать научно-популярную литературу, пособия для профессиональной школы, дополнительные главы к школьным учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.).

. Общекультурные (например, элективный курс «Золотое сечение», «Кривые в архитектуре» для любого профиля).

. Углубляющие (на данных элективных курсах происходит углублённое изучение дополнительного раздела; для подготовки можно использовать темы и задания к факультативным курсам, дополнительные главы к школьным учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.) [16].. Следующую типологию можно условно обозначить «По связи с предметом». Данные элективные курсы делятся на предметные, межпредметные и на элективные курсы по предметам, не входящим в базовый учебный план (рис.1).

II.По содержанию (рис. 2).

Рис.2. Типы элективных курсов «по содержанию»

Таким образом, из приведённых типологий элективных курсов ясно, что существуют элективные курсы, которые помогают глубоко изучить предмет, входящий в базовый учебный план, другие элективные курсы помогают показать межпредметные связи изучаемых предметов, а третьи помогают изучить предметы, не входящие в базовый учебный план. Некоторые из этих курсов направлены на изучение путей и методов применения знаний математики на практике, другие посвящены изучению методов решения математических задач, но все приведённые элективные курсы удовлетворяют потребности и интересы учащихся.

.3 Организация элективных курсов по математике

В настоящее время предлагается проводить элективные курсы начиная с 7 класса профильной школы. Создаётся группа учащихся из параллельных классов, возможно так же создание объединённых групп из учеников последовательных классов.

Для успешного проведения элективного курса необходимо, по возможности, внести их в школьное расписание, не допускать срывов и переносов занятий.

Проведение элективного курса требует высокого уровня профессиональной подготовки учителя. В ряде случаев для проведения элективных курсов приглашают преподавателей высших или средних специальных учебных заведений.

Выбор и посещение элективного курса по математике до 9 класса включительно производится свободно, а в 10-11 классах курсы обязательны для посещения. Требования к ученику такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий, собранность, дисциплинированность в учёбе и др.

Учитель, предлагающий курсы подобного содержания, должен уже на первом занятии увлечь своих учеников. В данном случае важна не только тема элективных курсов, но и время их проведения.

Кроме того учитель должен придерживаться ряда правил по организации и проведению элективного курса.

Требования к элективным курсам: избыточность (их должно быть много); кратковременность (6-16 часов);

оригинальность содержания, названия;

курс должен заканчиваться определенным результатом (творческое сочинение, проект и др.); нестандартность;

элективные курсы, как правило, носят авторский характер.

Определение учебной программы.

Учебная программа - нормативный документ, в котором отражены цели, содержание, особенности оценки эффективности результатов процесса обучения конкретного учебного курса.

Структурные элементы программы элективных курсов представлены на рис. 3.

Рис. 3. Структура программы элективного курса

Пояснительная записка должна отражать:

üактуальность программы, обоснование необходимости программы (доводы о важности изучаемого компонента, недостаточность изучения в базовом курсе, соответствие возрасту, связь с наукой и др.);

üцели и задачи программы (развитие интереса, оказание помощи в выборе профессии и др.); Цель должна отражать результат (создать проект и т.д.);

üобоснование отбора содержания его логике (элементы программы должны быть взаимосвязаны, должно быть выделено содержание);

üуказание внутрипредметных и межпредметных связей;

üсведения об учащихся, на которых рассчитана программа;

üхарактеристика временных и материальных ресурсов (программа предусматривает типовое оборудование, нуждается в экскурсиях и др.);

üтехнические указания к тексту программы (для всех один текст, повышенного уровня - другой).

Содержательная часть включает в себя:

üпоследовательный перечень тем с их кратким содержанием, указанием времени, необходимого на их изучение;

üсписок демонстраций, практических и лабораторных работ, экскурсий.

Методическая часть содержит:

üметодические рекомендации;

üтребования к уровню знаний, умений и навыков, полученных в результате обучения;

üразвитие компетентности;

üкритерии эффективности реализации программы;

üформы и методы контроля;

üсписок рекомендуемой литературы.

Приложения:

oтематическое планирование;

oдидактический материал.

Обязательным требованием к введению того или иного элективного курса в образовательный процесс является экспертиза его программы. Экспертиза программы может проводиться на методсовете школьного муниципального уровня.

Итак, разработка элективного курса достаточно трудоемкий процесс, так как необходимо придерживаться ряда правил, а так же иметь большой запас знаний и умений.

1.4 Основные требования к отбору задач для занятий элективного курса

Элективный курс по математике представляет собой одну тему, рассмотренную глубоко (например, элективный курс может называться «Комбинаторные задачи», а может состоять из нескольких тем, связанных друг с другом). Основной курс математики служит источником тем для углублённого изучения на элективном курсе, но учитель в праве проводить свой элективный курс, который не имеет ничего общего с основным курсом математики.

Элективные курсы дополняют математические кружки, факультативы не только новым содержанием, новыми подходами к его раскрытию, но и компонентами, присущими любому учебному предмету: связностью изложения, длительностью цикла изучения темы и др. Также элективные курсы предоставляют большие возможности для подготовки к олимпиадам, поступлению в вуз и др.

Между тем любой элективный курс немыслим без определённого набора задач, соответствующих данному курсу. Задачи используются как очень эффективное средство усвоения школьниками понятий, методов, вообще математических теорий, как наиболее действенное средство развития культуры мышления учащихся, как незаменимое средство привития учащимся умений и навыков в практических применениях математики.

В литературе выделяются следующие принципы отбора задач, ориентированных на усвоение содержания элективного курса:

1. Принцип преемственности. Отметим, что задачи содействуют установлению преемственных связей, так как уже в самом содержании задачу «заложено» содержание обучения математике (понятия, теоремы, способы деятельности и т.д.). С помощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями, суждениями, между различными темами и предметами и основного курса математики, и элективного курса.

2. Принцип связи теории с практикой. В процессе обучения задачи должны выступать как средство связи теории с практикой, при этом практика может как предшествовать познанию, так и сопутствовать ему и заключать его. Задачи должны не только заключать изучение теорем, понятий, но и предшествовать, и сопутствовать им, то есть выступать в качестве средства усвоения знаний.

3. Принцип полноты, то есть стремление более полно отразить в цепочке задач математические идеи, а также привести примеры, относящиеся к различным отраслям знаний (физика, экономика и т.д.), установить межпредметные связи.

4. Принцип контрастности ориентирован на то, что уже на начальных этапах обучения при подборе заданий необходимо брать контрастные виды заданий, не допускать повторяемости одних и тех же видов (Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев и др.). При этом задания должны быть как с положительными, так и с отрицательными ответами.

5. Овладение методами научного познания происходит, главным образом, в процессе решения задач. Поэтому система задач должна предусматривать обучение эвристическим приёмам. Эвристические приёмы являются элементами содержания, однако школьные учебники практически не знакомят с ними учащихся, отсутствуют и задачи, способствующие их формированию. Поэтому на занятиях в процессе решения задач целесообразно обучать школьников основным эвристическим приёмам. В исследованиях по методике преподавания математики среди эвристических приёмов наиболее часто встречаются следующие: аналогия, индукция, приём элементарных задач, приём моделирования и т.д.

В литературе также выделяются и другие эвристические приёмы: введения вспомогательных элементов и нового неизвестного, достраивания фигуры, обобщения, постановки и выполнения производного задания, равносильного преобразования требования задачи, получения следствий и т.д. При этом одни приёмы раскрывают весь процесс решения задачи (иногда его называют способом решения задачи), другие - отдельные его фрагменты (тактические или локальные приёмы).

6. Принцип формирования исследовательских умений. Под учебными исследованиями будем понимать вид познавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий, предполагающих самостоятельный творческий поиск учащимися новых для них знаний. Учебные исследования состоят из нескольких основных этапов: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство или опровержение гипотез. Чаще всего в учебном исследовании проблема формулируется самим учителем. Доказательство или опровержение гипотезы обычно сводится к доказательству соответствующей гипотезы математического факта. Основная же эвристическая деятельность учащихся связана с выдвижением гипотез. Создание гипотезы в учебных исследованиях основывается на аналогии, сравнении, исследовании предельных случаев, наблюдении, интуиции, опыте и суждениях [37].

Заметим, что элективные курсы реализуются в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения. Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10-11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности. При этом организация обучения в рамках элективного курса предполагает разделение класса, как минимум, на две подгруппы.

Таким образом, элективные занятия позволяют формировать и развивать у учащихся разносторонние интересы, культуру мышления, математическую культуру, умение самостоятельно восполнять знания, приобщают школьников к самостоятельной исследовательской работе, дают возможность познакомиться с некоторыми современными достижениями науки. Кроме того, они способствуют раскрытию внутреннего потенциала учащихся, созданию условий для их самореализации и развития. Элективные курсы позволяют наиболее успешно применять индивидуальный подход к каждому школьнику с учётом его способностей, более полно удовлетворять познавательные и жизненные интересы учащихся.

1.5 Содержание элективных курсов по математике

Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержание.

Исторический материал на элективных курсах.

Историческому аспекту математики на элективных курсах можно уделить большее внимание, чем в основном курсе (особенно для гуманитарного профиля). Степень включённости исторических сведений может меняться - от эпизодических упоминаний о фактах и личностях до изложения темы в плане её последовательного исторического развития.

В элективном курсе «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» роль исторических сведений очень велика. Может быть сделан акцент на практическую важность статистической обработки информации (статистика числа рождений и смертей, деятельность страховых обществ и др.), первых попыток развития теории вероятностей как отражения запросов развития общества, роли азартных игр как простейшей математической модели, на которой отшлифовались основные понятия теории вероятностей. В качестве финала такого построения курса можно рассказать о современных методах контроля качества изделий.

Практическая работа.

Так как программа элективных курсов чаще всего является авторской, ее усвоение потребует от ученика умения слушать и воспринимать материал, легко его конспектировать, а также использовать дополнительную литературу. С другой стороны, элективные курсы должны способствовать развитию навыков самостоятельной работы, поэтому особое внимание необходимо уделить организации исследовательской деятельности. С этой целью в программу должны быть включены различные практикумы:

групповая работа с научным текстом с последующим коллективным анализом для определения основных понятий, для выделения проблемы, постановки целей и задач исследования;

работа в библиотеке, подбор литературы по заданной теме с помощью каталогов;

работа в компьютерном классе, использование электронных энциклопедий и справочников, использование поисковых серверов Интернет для подбора информации;

публичные выступления по заданной проблеме.

Современное общее образование универсально в том смысле, что оно предназначено для всех, безотносительно к тому, чем сегодняшний ребенок впоследствии будет заниматься - торговлей, политикой, военным делом. Но как бы ни развивалось общество, некоторая его часть занимается наукой. Именно к тем ученикам, которые обнаруживают склонность к теоретической деятельности, имеет смысл обратить некоторые избранные математические курсы.

Суть разрабатываемых курсов состоит в том, чтобы представить в наиболее явной и чистой форме суть науки как таковой.

1.6 Формы занятий и контроль знаний на элективных курсах по математике

Введение профильного обучения, а особенно элективных курсов, в программу основной школы, несомненно, потребует разнообразия форм и методов обучения, так как профильное обучение - это не только дифференцирование содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный процесс.

При выборе форм и приёмов обучения на элективных курсах необходимо учитывать содержание курса, уровень развития и подготовки учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы.

Одно из главных требований к формам и методам состоит в активизации мышления учащихся, развитии самостоятельности в различных формах её проявления.

Выделим возможные формы организации занятий элективного курса -это лекции, беседы, дискуссии, групповые соревнования, игры, индивидуальные консультации, теоретические практикумы по решению задач, практическая и исследовательская работа в группах и индивидуально, дистанционное обучение и создание проектов. При этом дифференцированный подход к обучению учащихся осуществляется за счет выбора задач и работ, содержащих различные уровни сложности. Например, лекция «Теория вероятностей в нашей жизни» - в теме «Теория вероятностей и элементы комбинаторики».

В конце изучения каждой темы может быть проведено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиады. Контроль по изучению всего материала может быть осуществлен через творческое задание по составлению задач и проверочные тесты.

Итогом освоения программы элективного курса может также являться констатация личных достижений по освоению содержания, представление индивидуальной творческой работы по выбору учащихся или создание проектов, как каждым учащимся, так и группой учащихся. При этом может быть организован круглый стол - как презентация творческих работ, проектов и подведение итогов.

Таким образом, в данной главе нашей работы обосновывается, что элективные курсы - это неотъемлемая часть профильного образования, эти курсы обязательны для посещения старшеклассниками. Элективные курсы направлены прежде всего на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей, склонностей школьника. А так же из всего вышесказанного можно сделать вывод, что каждое занятие элективного курса - это тот же самый урок, требуемый подготовки, отличных знаний изучаемого материала, поиск дополнительных интересных сведений и фактов и др.

ГЛАВА 2. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

.1 Содержание элективного курса «Геометрические построения на плоскости»

Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии. Однако в последнее время наметилась четкая тенденция к сокращению количества часов на изучение задач на построение в школьном курсе геометрии. Это объясняется тем, что значительно сужена роль задач на построение, которая соответствует целям обучения, таким как развитие мышления и воспитание учащихся, и проявляется в виде воздействия на мышление учеников, в первую очередь на логическое. В большинстве случаев считается, что главная и единственная цель обучения решению таких задач - это формирование практических умений и навыков построения основных геометрических фигур: треугольников, перпендикуляров, биссектрис и т. п., то есть основное внимание уделяется практическому значению задач, при этом совершенно не рассматривается вопрос развития логического мышления учеников и возможности использования задач на построение при изучении геометрии. Знания учащихся по данной теме нередко носят формальный характер, наблюдается отсутствие структурности. Так, при изучении задач на построение единственное, что требует учитель - это знание соответствующих алгоритмов построений. При этом не объясняется, как получен данный алгоритм. Поэтому ребята вынуждены запоминать материал без понимания. В настоящий момент в школе недостаточно уделяется внимания рассмотрению таких основных методов решения задач на построение как метод преобразований, алгебраический метод, метод геометрического места точек. У учащихся нет четкого представления об этапах решения задач на построение: анализе, построении, доказательстве и исследовании, которые точно соответствуют этапам любого логического рассуждения. Практически не уделяется внимание одному из важных этапов - исследованию, в котором учащиеся зачастую не видят смысла, несмотря на то, что он, в свою очередь, является хорошим средством развития логического мышления. В учебниках для 5-6 классов задачи на построение практически не рассматриваются как самостоятельные. Чаще всего это задания на построение фигур по заданным размерам. Процент заданий на построение из всех геометрических заданий: 5 класс - 39%, 6 класс - 34%. В целом картина кажется достаточно отрадной. Однако если учесть, что сам по себе геометрический материал в учебниках не превышает 13-16% от всего содержания учебника, то указанный процент заданий на построение падает до 4-6% [45].

Во всех учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в учебниках (кроме учебника [4]) рассматривается метод геометрического места точек. Схема решения приводится в учебниках [7], [14]. В учебнике [47] схема приводится без анализа. В учебнике [27] ее нет.

В 8-9 классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) - по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.

Алгебраический метод решения задач на построение приводится только в учебнике [14]. В учебнике [47] рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония.

В таблице 1 приведен количественный анализ (процент заданий на построение) в учебниках А.Д. Александрова, Л.С. Атанасяна и А.В. Погорелова.

Таблица 1

УчебникиКлассВсего задач в учебникеИз них на построениеПроцент от общего числа задачАлександров А.Д. и др. Геометрия 7-97338248643951595568916Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9736290258448641493213611Погорелов А.В. Геометрия 7-972184220829835129206105

Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать те разделы математики, где самостоятельно сделанная и хорошо понятая графическая интерпретация является тем самым «лучом света в темном царстве», которого так иногда не хватает школьнику при изучении математики.

Учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, необходимо обеспечить высокой математической подготовкой. Разработанный элективный курс будет способствовать достижению этой цели, так как включает ряд вопросов, не входящих в программу по математике средней школы. Содержание курса предполагает работу индивидуальную, в парах и коллективную, использование практических, семинарских, лекционных, консультационных форм обучения, предполагается при ведении данного курса использовать современные технологии, цифровые образовательные ресурсы, в частности работу с программой «Живая геометрия». Основной формой проверки и оценки знаний является участие в семинарах, составление творческих работ, подготовка отчетных сообщений с использованием различных источников знаний.

Пояснительная записка

Программа элективного курса «Геометрические построения на плоскости» предназначена для учащихся восьмых и девятых классов в рамках предпрофильного обучения и направлена на расширение базового уровня знаний учащихся по геометрии, является предметно-ориентированной и дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами решения геометрических задач на построение, глубже рассмотреть методы решения задач на построение. Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основной программе. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших геометрических знаний и умений, предусмотренных образовательным стандартом, поможет оценить свои возможности по геометрии, формировать математические компетенции, развивать логическое мышление обучающихся.

Цели курса:

Øкоррекция базовых геометрических знаний, систематизация, расширение и углубление знаний в вопросах решения задач на построение;

Øформирование качеств прикладного стиля мышления, необходимого для продуктивной жизни в обществе;

Øразвитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся, психических способностей ребенка, обеспечивающих его адаптацию в дальнейшей жизни;

Øвоспитание творческой личности, умеющей самореализовываться и интегрироваться в системе мировой математической культуры.

Øформирование математической компетентности;

Задачи курса:

Øповышение математической культуры обучающихся;

Øформирование общеучебных умений и навыков: работа с научно-популярной литературой, сетью Интернет, справочной литературой;

Øформирование и совершенствование математических компетенций, предусмотренные программой;

Øформирование навыка работы в команде;

Øразвитие способностей учащихся к математической деятельности;

Øразвитие самостоятельности и творческого подхода к выполнению заданий;

Øформирование у учащихся представления о методах ГМТ и подобия, используемых при решении задач на построение, формирование навыка их применения к решению задач на построение;

Øформирование четкого представления об этапах решения задач на построение;

Øспособствовать развитию логического мышления учащихся;

Øформирование настойчивости, целеустремленности, трудолюбия через решение задач;

Øразвитие математической речи с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

Организация учебного процесса

Программа элективного курса «Геометрические построения на плоскости» рассчитана на 18 учебных часов (1 занятие в неделю). Отработка и закрепление основных умений и навыков осуществляется при выполнении практических заданий. Формирование важнейших умений и навыков происходит на фоне развития умственной деятельности, так как школьники учатся анализировать, замечать существенное, делать обобщения, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения. Уделяется внимание развитию речи: учащимся предлагается объяснять свои действия, вслух высказывать свою точку зрения, ссылаться на известные правила, факты, предлагать способы решения, задавать вопросы, публично выступать. Итоговая форма контроля, подводящая изучение курса к логическому завершению - создание учащимися творческой работы в виде докладов. Основные методы обучения: информационно-рецептивные, продуктивные.

Требования к знаниям и умениям

В результате изучения элективного курса учащиеся должны:

Знать:

·Методы решения задач на построение;

·Общую схему решения задач на построение;

Уметь:

·Выполнять построения в программе «Живая геометрия»;

·Применять метод ГМТ, центральной и осевой симметрии к решению задач на построение;

·Уметь выполнять основные геометрические построения на плоскости;

·Уметь пользоваться чертежными инструментами.

Владеть:

·Навыком решения задач на построение;

·Умением вести диалог;

·Навыками анализа, построения, исследования, обобщения и конкретизации;

·Владеть основными понятиями, относящимися к теме.

Ожидаемые результаты:

·получение дополнительных сведений о методах решения задач на построение и спектре их применения;

·приобретение опыта самостоятельного поиска, анализа при решении задач;

·приобретение опыта решения задач и исследовательского характера;

·повышение мотивации к изучению геометрии.

Учебно-тематический план элективного курса

№Название темыКол-во часовФормы занятийСредства для проведения занятий1Введение 1Лекция, практикумКомпьютерный класс с мультимедиа-проектором, интерактивная доска, линейка, циркуль2Знакомство с возможностями программы «Живая геометрия»2Семинар-практикумКомпьютерный класс с мультимедиа-проектором, интерактивная доска3Построения элементарных планиметрических фигур в «Живой геометрии» 1Лекция с элементами беседы, практикумКомпьютерный класс с мультимедиа-проектором, интерактивная доска, линейка, циркуль4Построения некоторых замечательных точек треугольника в «Живой геометрии» 2Лекция, практикумКомпьютерный класс с мультимедиа-проектором, интерактивная доска, чертежные инструменты: циркуль, линейка5Симметрия 5Лекция с элементами беседы, практикумКомпьютерный класс с мультимедиа-проектором6ГМТ, метод ГМТ5Лекция с элементами беседы, практикумКомпьютерный класс с мультимедиа-проектором, чертежные инструменты: циркуль, линейка7Итоговое занятие2Семинар Компьютерный класс с мультимедиа-проектором

Содержание изучаемого элективного курса

Тема 1. Введение (1 час)

üцель и значение данного элективного курса;

üистория геометрических задач на построение;

üосновные методы решения задач на построение.

Тема 2. Знакомство с возможностями программы «Живая геометрия» (2 часа)

üо программе «Живая геометрия»;

üвозможности программы «Живая геометрия»;

üзнакомство с панелью инструментов;

üпостроение отрезка, луча, перпендикулярных и параллельных прямых,

üпостроение прямоугольника, треугольника, окружности;

üвыполнение задач на построение в программе «Живая геометрия»

Тема 3. Построение элементарных планиметрических фигур в «Живой геометрии» (1 час)

üпостроение угла, равного данному;

üсередины отрезка;

üбиссектрисы угла;

üсерединного перпендикуляра к отрезку.

Тема 4. Построения некоторых замечательных точек треугольника в «Живой геометрии» (2 часа)

üпостроение ортоцентра треугольника;

üпостроение центра тяжести треугольника;

üпостроение центра вписанной и описанной окружности.

Тема 5. Симметрия (5 часов)

üрассмотреть метод осевой симметрии (приложение 2);

üрассмотреть метод центральной симметрии (приложение 3);

üпостроение фигуры, симметричных данной фигуре относительно некоторой фиксированной точки;

üпостроение фигуры, симметричной данной фигуре относительно заданной прямой;

üпостроение геометрического орнамента;

üприменение возможностей «Живой геометрии» к построению симметричных фигур.

Тема 6. ГМТ. Метод ГМТ (3 часа)

üактуализация знаний по простейшим ГМТ (приложение 1);

üрассмотреть виды ГМТ;

üприменение метода ГМТ к решению задач на построение (приложение 1);

üотработка навыков построения циркулем и линейкой и в программе «Живая геометрия».

Тема 7. Итоговое занятие (2 часа)

üзащита творческих проектов (приложение 4).

2.2 Методические рекомендации к проведению занятий элективного курса «Геометрические построения на плоскости»

элективный математика геометрический плоскость

Методические рекомендации по обучению решению задач на построение

Как и в каком месте курса геометрии следует знакомить учащихся с общей схемой решения задач на построение? Здесь возникает два различных методических вопроса [49]. Первый из них - это вопрос о том, с какого времени в преподавании геометрии при решении задач должны фактически производиться анализ, построение, доказательство, исследование? Второй вопрос, отличный от первого, - это вопрос, когда учащийся должен быть ознакомлен с логической схемой решения задачи.

Обращаясь к первому вопросу, заметим, что первым по времени вводимым элементом лучше выбрать построение в смысле перечисления и описания тех или иных операций. Здесь имеется в виду само описание процесса употребления инструмента («прикладываем два острия ножек циркуля к точкам М и N, затем, не изменяя расстояния между остриями, помещаем одно из них в точку О» и т. п.). На более высокой ступени отдельные операции просто называются («описываем из точки О окружность радиусом MN» или «опускаем из точки С перпендикуляр на прямую АВ»). Наконец, последней ступенью можно было бы считать ту, когда в качестве элементов построения могут называться и довольно сложные по своему выполнению, но хорошо известные учащимся задачи («строим треугольник по гипотенузе и катету», «проводим из точки М касательную к окружности» и т. п.).

Вторым моментом по времени появления в школьном курсе лучше выбрать исследование задачи. Первый элемент исследования появляется при решении задачи о построении треугольника по трем сторонам, в виде вопроса о том, можно ли выбрать все три стороны произвольно. К этому должно скоро прибавиться знакомство с возможностью существования нескольких решений одной задачи. Этому моменту нужно придавать весьма большую принципиальную значимость. Дело в том, что слова «найти точку» обозначают требование «найти все точки, которые...», а не просто «какую-либо точку, которая...». Аналогично «решить уравнение» значит «найти все числа, которые удовлетворяют уравнению», а не просто «какое-либо число, которое...». «Построить окружность» - это «построить, все окружности, которые...», а не просто «построить какую-либо окружность, которая...» и т.д.

Задачи на геометрические построения с двумя решениями (или более) - первый случай, когда учащийся встречается с такого рода выражениями в математике, и чрезвычайно важно, чтобы учащийся привыкал к ним с самого начала, с 7-8 класса. Иначе совершенно неизбежно возникновение в дальнейшем вопросов такого типа, как «зачем при извлечении корня брать оба знака». Сам термин «исследование» должен появиться много раньше, чем, скажем, термин «анализ».

Третьим моментом, появляющимся, примерно, в одно время с элементами исследования, является доказательство правильности выполнения построения. Уже такие задачи в 7 классе как построение угла, равного данному, построение перпендикуляров с помощью циркуля и линейки и т. д. ставят на очередь вопрос о том, будет ли построенный угол действительно равен данному, будет ли построенная прямая перпендикулярна к данной? Однако и на этой стадии работы и на последующих нет большой необходимости (только для соблюдения формального однообразия изложения) требовать проведения доказательства в тех задачах, где правильность построения усматривается непосредственно. Некоторые, даже сравнительно сложные, задачи на построение, могут, как кажется, оставляться без особого доказательства. Например, задача, решаемая методом геометрических мест: построить треугольник по основанию, противолежащему углу и медиане, проведенной к основанию.

Наконец, последним по времени элементом решения, на котором фиксируется внимание учащихся, является анализ. Началом этого вида работы следует считать обращение к ученикам, «придумавшим» то или иное решение задачи, с вопросом: «А как ты это решение нашел?». Потом постепенно надо подвести учащихся к мысли о том, чтобы фиксировать свое внимание на самом процессе отыскания метода решения, этот процесс и получает название анализа.

Из выше сказанного следует, что в деле введения понятий анализа, построения, доказательства и исследования следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, - настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

Перейдем теперь ко второму вопросу - о введении в курсе геометрии схемы деления решения задач на построение на четыре части. Несомненно, что изучение этого вопроса на том месте, на котором он поставлен в учебниках, следует считать несвоевременным и не достигающим цели. Тем не менее, схема решения должна быть сообщена учащимся, но лишь значительно позднее. В течение учебного года, с начала систематическою курса геометрии в 7 классе до середины курса 8 класса, или даже несколько дольше, должна идти та систематическая, иногда даже незаметная для учащихся работа учителя по ознакомлению учеников с элементами общей схемы решения, о которой говорилось выше. Лишь в 8 классе учитель на примере специально подобранной задачи полностью излагает учащимся всю схему решения. Задачу следует, конечно, подобрать так, чтобы она допускала один наиболее естественный ход решения (при анализе задачи мысль учащихся должна легко пойти по вполне определенному пути), чтобы она требовала исследования, и в то же время, чтобы это исследование не было слишком сложным. Вместе с тем задача не должна быть слишком простой, так как в этом случае способ решения может оказаться очевидным для учащихся, и тогда анализ задачи покажется им чем-то искусственным. Наиболее подходящими для этой цели являются задачи, решаемые методом геометрических мест. Хорошим примером для иллюстрации общей схемы решения задач на построение является задача: Построить треугольник по двум сторонам и острому углу, лежащему против одной из них.

Сделав чертеж произвольного треугольника, учащиеся составляют план построения и при соответствующем выборе данных получают два решения. Они видят необходимость доказательства (проверки, какой из полученных треугольников является искомым), а также и необходимость исследования (всегда ли получим два решения?). Здесь естественно выделяются все этапы и очевидна их целесообразность. Если учащиеся хорошо владеют основными построениями, больших затруднений в оформлении решений они не испытывают.

Эта задача на построение является хорошим примером, показывающим связь между числом решений задачи на построение треугольника по определенным данным и признаками равенства треугольников.

При решении задач на построение параллелограммов хорошим примером для повторения общей схемы будет задача: «Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям».

После того как схема решения задачи на построение объяснена учащимся, этой схемы следует придерживаться при решении всех дальнейших задач на построение.

Тем не менее, необязательно все задачи решать, строго придерживаясь схемы с подробным описанием всех этапов. Ученики проводят анализ лишь тогда, когда решение задачи не очевидно, доказательство - когда в нем есть необходимость. Усвоение учащимися общей схемы имеет большое значение не только для решения задач на построение. С методической точки зрения и при решении арифметических задач, и при решении задач на составление уравнений мы пользуемся теми же четырьмя этапами, что и при решении задач на построение.

Остановимся более подробно на рассмотрении этапа исследование. Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую определенным условиям, которые в большинстве своем задаются размерами или положением некоторых геометрических образов. Условия задач формулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения. Необходимо учить школьников видеть эти допустимые значения. Они определяются наиболее естественным образом. Например, в задаче: Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними допустимыми значениями для а и b будут всевозможные отрезки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать всевозможные значения от 0° до 180°.

Рассмотрим задачу: «Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной на ней точке и данной прямой». В ней прямая может занимать любое положение на плоскости. Окружностью также может быть любая окружность на плоскости. Но так как окружность характеризуется положением центра и величиной радиуса, то можно сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом - любой отрезок, длина которого 0<?<?. Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным числом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи. Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плоскости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.

Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необходимые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы при всяком выборе данных должны устанавливать: имеет ли задача решение и если имеет, то сколько. Например: Построить окружность, проходящую через три данные различные точки. Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача решения не имеет.

Переходим теперь к одному из самых существенных, в методическом отношении, вопросов исследования задачи на построение. Как установить и перечислить все те случаи, которые имеют существенное значение для решения данной задачи? Известно, что очень часто учащиеся, решающие ту или иную задачу, особенно на первых порах, пытаются исследовать ее, исходя из вопроса: «А что будет, если…», придумывая те или иные «если» более или менее произвольно. Необходимо приучать учащихся вести исследование по самому ходу построения. Желая исследовать задачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции, из которых слагается построение, и для каждой из этих операций определить, всегда ли она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может давать. Таким путем удается сравнительно легко научиться исследованию задачи. Исследование является составной частью решения. Решение задачи на построение можно считать законченным, если узнаем, сколько искомых фигур получим при определенных условиях, и, в частности, указано, когда получим искомый геометрический образ. Но исследование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное значение.

В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Они видят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с закостенелыми, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.

Для правильного проведения исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, с другой стороны, исследование задач на построение является хорошим материалом для развития логического мышления учащихся.

Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, этому этапу и в школе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения - анализу. Анализ - основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при исследовании. Усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет большое значение. Анализ, построение, доказательство и исследование точно соответствуют этапам любого логического рассуждения. При введении данных понятий следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, - настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

Методы решения задач на построение

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

) Метод геометрических мест.

) Методы геометрических преобразований:

а) метод центральной симметрии;

б) метод осевой симметрии;

в) метод параллельного переноса;

г) метод поворота;

д) метод подобия;

) Алгебраический метод.

Перечисленные методы являются одним из видов применения на практике соответствующих геометрических понятий, которые составляют основу каждого из методов. Поэтому без хорошего знания этих понятий учениками не может быть никакой речи об успешном усвоении соответствующих методов. Но, с другой стороны, в силах учителя подобрать такую систему задач на построение и так построить обучение, чтобы решаемые задачи углубляли представление и увеличивали знания школьников о данном понятии, раскрывая его с разных сторон. Задачи при изучении конкретного метода должны подбираться так, чтобы в них как можно более ярко проявлялась суть изучаемого метода, особенно на первоначальном этапе его изучения. При этом если задача решается несколькими методами, то изучаемый метод должен позволять решить задачу наиболее экономно и красиво.

Методические рекомендации к применению метода геометрических мест точек к решению задач на построение

Понятие геометрического места точек (ГМТ), обладающих некоторым свойством, лучше ввести на примере ГМТ, равноудаленных от двух данных точек. А затем, когда будут изучены признаки равенства прямоугольных треугольников, при решении задачи о нахождения точки, равноудаленной от двух данных точек А и В, необходимо дать определение ГМТ, обладающих некоторым свойством, как множество всех точек, обладающих этим свойством.

Уже в 7 классе встречаются некоторые задачи, решение которых можно было бы рассматривать как использование метода геометрических мест (например, задача на построение треугольника по трем сторонам). Однако само упоминание о методе и его изучение должно быть отнесено к 8 классу.

В каком же месте курса 8 класса следует знакомить учащихся с методом геометрических мест? Несомненно, что это должно быть сделано по возможности ранее. Наиболее подходящим для этого временем был бы тот момент, когда учащиеся в конце темы Четырехугольники ознакомились с достаточным числом геометрических мест.

Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое значение имеет идея геометрического места при решении хорошо известной им задачи, скажем при построении треугольника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ уже построено; остается определить положение третей вершины С. Выясняется, что для определения положения точки С в задаче остаются два условия: длина сторон АС и ВС. Проводя дугу окружности с центром в точке А и радиусом В, мы строим геометрическое место точек, расстояние которых от точки А равно В; аналогично для второй дуги, и т. д. Вслед за этим может быть предложен как в классе, так и для решения дома, ряд других несложных задач, близких по содержанию к предыдущей, например:

) построить треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию и боковой стороне;

) построить треугольник по основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.

Целесообразно в качестве одной из первых задач на метод геометрических мест дать и такую задачу, где искомая фигура определялась бы не только по своей форме и размерам, но и по положению на плоскости. Примером может служить следующая задача:

) построить равнобедренный треугольник, у которого основанием служит данный отрезок АВ, а вершина лежит на данной окружности [49].

В дальнейшей работе по геометрии в 8 классе задачи на метод геометрических мест должны предлагаться систематически до конца учебного года вместе с задачами на вычисление. Наряду с этим применение метода геометрических мест должно быть отчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоретического курса, где это уместно. Сюда относятся такие вопросы, как проведение окружности через три точки, построение касательной к окружности из данной точки, построение вписанных и описанных окружностей (при решении этой задачи особенно полезным будет рассмотрение геометрического места точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, вместо геометрического места точек, равноудаленных от сторон данного угла).

Задачи на построение, решаемые методом геометрических мест, могут быть весьма разнообразными. Не следует ставить себе целью дать какую-либо формальную их классификацию - она не имела бы большой ценности ни с научной, ни с методической стороны. Точно также не следует ставить цель указать некий стандартный список задач этого рода для средней школы. Это просто помощь преподавателю в подборе, а также и в составлении вновь задач такого рода, указав те точки зрения, которых при этом необходимо было бы придерживаться.

Различные задачи на построение, разрешаемые методом геометрических мест, отличаются одна от другой, прежде всего, характером тех геометрических мест, с помощью которых определяется положение искомой точки. Отбирая задачи на построение для решения с каждым классом, следует подумать о том, чтобы в этих задачах встречались, по возможности, разнообразные сочетания этих основных геометрических мест. Тем самым будет обеспечено достаточное разнообразие разрешаемых задач по существу, по той идее, которая лежит в их основе.

Список литературы, который учителя и ученики могут использовать в своей работе:

1.Александров, А.Д. Основание геометрии: Учеб. пособие для вузов по спец. «Математика». - М.: Наука, 1987. - 288 с.

2.Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Пособие. Изд. 19-е, - М.: УЧПЕДГИЗ, 1954. - 176 с.

.Аргунов, Б.И. Геометрические построения на плоскости. Пособие. / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: УЧПЕДГИЗ, 1955. - 268 с.

.Блудов, В.В. К изучению темы «Геометрические построения» (в школе) / В.в. Блудов // Математика в школе. - 1994 - №4 - с. 14-15.

.Боженкова, Л.И. Алгоритмический подход к задачам на построение методом подобия / Л.И. Боженкова // Математика в школе. - 1991 - №2 - с. 23-25.

.Варданян, С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. / под ред. В.А. Гусева. - М.: Просвещение, 1989.

.Варданян, С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. / под ред. В.А. Гусева. - М.: Просвещение, 1989.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над исследованием нами были решены следующие задачи:

. Выделены несколько типологий элективных курсов: «по связи с предметом», по содержанию, по разрешаемым задачам.

. Сформулированы основные требования к отбору задач для элективных курсов: преемственность, контрастность, полнота.

. Разработаны методические рекомендации по проведению элективных курсов (отбор содержания, формы занятий, контроль знаний и др.).

. Разработан и практически реализован в общеобразовательной школе п. Приморска Балахтинского района Красноярского края, элективный курс для учащихся 8-9 классов "Геометрические построения на плоскости", позволяющий продемонстрировать необходимость глубины изучения задач на построение в курсе геометрии.

. Обоснована целесообразность изучения методов решения задач на построение, применение интерактивной среды в обучении.

Таким образом, цель, поставленная на начало исследования, на наш взгляд, достигнута.

Материалы данной дипломной работы на наш взгляд будут полезны любому учителю, желающему разработать свой элективный курс или воспользоваться уже предложенным.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Аксёнова Э.А. Профильное образование школьников / Э.А. Аксёнова // Образование в Сибири. - 2002. - №1. - С. 2-5.

2.Артёмова Л.К. Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения / Л.К. Артёмова // Школьные технологии. - 2003. - №4. - С. 22-32.

.Артюхова И. С. Проблема выбора профиля обучения в старшей школе / И.С. Артюхова // Педагогика. - 2004. - №2. - С. 28-33.

.Атанасян Л. С. Геометрия. Учебник для 7,8,9 классов / Л. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

.Бабичева Л. Школа будущего / Л. Бабичева// Лидеры образования. -2003.-№6.-С. 18-21.

.Балк М. Геометрия масс / М. Балк, В. Болтянский. - М.: Наука, 1987. -94с.

.Безденежных Т. Профильное обучение: реальный опыт и сомнительные нововведения / Т. Безденежных, В. Шмелёв. // Директор школы. - 2003. - №1. - С. 7-12.

.Болотов В.А. Перспективы перехода школы на профильное обучение / В.А. Болотов // Воспитание школьников. - 2004. - №1. - С. 2-8.

.Болотов В.А. Образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным / В.А. Болотов // Математика в школе. -2003.-№9.-С. 4-8.

.Ю.Гузеев И. С. Содержание образования и профильное обучение в старшей школе /И.С. Гузеев // Народное образование. - 2002. - №9. - С. 113-123.

.Еременко С. В. Элементы геометрии в задачах / С. В. Еременко, А. М. Сохет, В. Г. Ушаков. - М.: МЦНМО, 2003. - 168 с.

.Ефремов Д. Новая геометрия треугольника / Д. Ефремов. - Одесса, 1902.-208 с.

.3етелъ С.И. Новая геометрия треугольника / С.И. Зетель. М.: Учпедгиз, 1962.-351 с.

.Киселёв А.П. Геометрия / А.П. Киселёв. - физматлист, 2004. - 325с.

.Коксетер Г.С.М. Новые встречи с геометрией / Г.С.М. Коксетер. - М.: Наука, 1978.-222 с.

.Колосов В. Углублённое математическое образование / В.Колосов// Математика. - 2004. - №4. - С. 2-7.

.Калягин Ю.М. Профильная дифференциация обучения математике / Ю.М. Колягин // Математика в школе. - 1990. - №4. - С. 21-27.

.Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Нормативные документы в образовании. - 2003. - №2. - С. 2-21.

.Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования // Официальные документы в образовании. - 2002.- №27.-С. 3-12.

.Концепция развития школьного математического образования// Математика в школе. - 1990. - №1. - С. 2-13.

.Крысин Л.П. Толковый словарь иноязычных слов. Русский язык / Л.П. Крысин. - М.: Просвещение, 1998. - 568 с.

.Кузнецов А.А. Базовые и профильные курсы: цели, функции, содержание / А.А. Кузнецов // Педагогика. - 2004. - №2. - С. 28-33.

.Куланин Е.Д. Геометрия треугольника в задачах / Е. Д. Куланин, С. Н.Федин. - М.: Либроком, 2009. - 208 с.

.Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников,/В.А. Крутецкий. -М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

.Мякишев А.Г. О некоторых преобразованиях, связанных с треугольником / А.Г. Мякишев // Математическое образование. - 1999 -№1.-С. 11-27.

.Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника / А.Г. Мякишев. -М.: МЦНМО, 2002. - 32 с.

.Погорелов А. В. Геометрия 7-11 / А. В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2001.-453 с.

.Т.Прасолов В.В. Задачи по планиметрии / В.В. Прасолов. - М.: МЦНМО, 2004. - 622 с.

.Прасолов В.В. Точки Брокара и изогональное сопряжение / В.В.Прасолов. - М.: МЦНМО, 2000. - 24 с.

.Романовская М. Профильная школа / Романовская и др. // Директор школы. - 2003. - №7. - С. 12-21.

.Российское образование - 2020: модель образования для инновационной экономики // Вопросы образования. - 2008. - №1. - С. 32-64.

.Симонова ИМ. Профильная модель обучения математике / И.М. Симонова // Математика в школе. - 1997. - №1. - С. 32-36.

.Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: книга для учителя / Н.А. Терешин. - М.: Просвещение, 1990.-112 с.

.Тумашева О.В. Обучение математике в профильных классах / О.В. Тумашева. - Красноярск: КГПУ им. В.П.Астафьева, 2009. - 124 с.

.Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии (планиметрия) / И. Ф. Шарыгин. -М.: Наука, 1982. - 160 с.

.Шестакова Л.Г. Математика в гуманитарных классах / Л.Г. Шестакова // Математика в школе. - 1996. - №1. - С. 10-13.

.Крутихина М.В. Элективные курсы по математике: учебно-методические рекомендации / М.В. Крутихина, З.В. Шилова. - Киров: ВятГГУ, 2006.-40 с.

.Элективные курсы в профильном обучении / А. В. Баранников // Первсент. - 2004. - №102. - С. 1-2.

.Элективные курсы в профильном обучении / Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Вита-Пресс, 2004. - 144 с.

.Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область "Технология" /МО РФ; Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Бита-Пресс, 2004. - 48 с.

.Позднякова Е.В Организация учебных исследований школьников на основе компьютерной программы «Живая геометрия» [Электронный ресурс] / Е.В. Позднякова, Н.А. Жучкова // Современные проблемы науки и образования. - 2005. - №1. - С. 46-51.

42.Корянов А. Компьютерные программы по математике [Электронный ресурс] / А. Корянов // персональный сайт. -#"justify">.Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. - М.: Учпедгиз,1954.

.Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия: учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Просвещение, 1966.

.Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая // Математика в школе. - 2002. - №9. - С. 47-50.

.Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1996.

.Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992.

.Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. - Киров, Информационный центр, 1991.

.Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - С. 59-69.

.Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе. Пособие для учителей / А.А.Мазаник. - Минск: Народная асвета, 1967.

.Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Сайтком, 2000.

.Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Сайтком, 2000.

.Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - М.: Просвещение, 1994.

.Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - М.: Дрофа, 1998.

.Мисюркеев, И.В. Геометрические построения. Пособие для учителей / И.В.Мисюркеев. - М: Учпедгиз, 1950.

.Общая психология: учеб. для студентов пед. ин-тов / под ред. А. В. Петровского. - М.: Просвещение, 1986.

.Перепелкин, Д.И. Геометрические построения в средней школе / Д.И. Перепелкин. - М.: Издательство академии педагогических наук РСФСР,1947.

.Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. - Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я.П.Понарин. - М.: МЦНМО, 2004.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ГМТ. Метод ГМТ

Суть метода ГМТ заключается в следующем: сводят задачу к нахождению некоторой точки, которая определяется двумя условиями, вытекающими из требования задачи.

Допустим, геометрическим местом точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура F1, а геометрическим местом точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура F2. Тогда каждая точка пересечения этих двух геометрических мест удовлетворяет требованиям задачи. Например, построение треугольника по трем сторонам.

Таким образом, задача не будет иметь решений, если эти ГМТ не пересекаются. И будет иметь столько решений, сколько имеющихся точек пересечения указанных мест.

Простейшие ГМТ

)Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (окружность).

)Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой (пара параллельных прямых).

)Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (серединный перпендикуляр к отрезку)

)Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных а) пересекающихся, б) параллельных прямых (пара перпендикулярных прямых в первом случае, прямая линия - во втором)

Более сложные ГМТ:

)Геометрическое место вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС равна данному отрезку.

)Геометрическое место вершин С треугольников с общим основанием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию, равна данному отрезку.

)Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

)Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности (внешним образом, внутренним образом).

)Геометрическое место вершин треугольников с общим основанием, у которых высота, опущенная на это основание, равна данному отрезку.

)Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой.

)Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, отсекающих на данной прямой хорду данной длины.

)Геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой.

)Геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием.

)Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

)Геометрическое место центров окружностей, описанных около всех треугольников с общим основанием.

)Геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом (внутренним образом) двух равных окружностей.

)Геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных (пересекающихся, параллельных) прямых.

)Геометрическое место вершин прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.

Примеры задач с применением ГМТ

. Построить циркулем и линейкой треугольник по трем сторонам. Точный смысл: построить треугольник так, чтобы три его стороны были равны трем данным отрезкам. Условие задачи не предусматривает определенного расположения искомой фигуры относительно данных фигур.

По нашей договоренности решение такой задачи ищется с точностью до равенства. Так как все треугольники по трем сторонам равны, то задача имеет одно решение, если сумма любых двух сторон больше третьей, и не имеет решения, если это условие не выполнено.

. Построить циркулем и линейкой треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок АВ, а две другие его стороны были равны двум данным отрезкам а и в.

В этом случае условие задачи предусматривает определенное расположение искомого ?АВС относительно данных фигур. В соответствии с нашим соглашением равные треугольники, удовлетворяющие условию задачи, но отличающиеся расположением, будем считать разными решениями этой задачи.

. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при основании б и разность двух других сторон d.

Заметим, что в условии задачи не указаны инструменты. B таких случаях, будем полагать, что задачу надо решить с помощью линейки и циркуля.

Анализ: Поиск решения задачи проведем, полагая задачу решенной. Пусть ?ABC - искомый треугольник: AB = a, AC-BC = AD=d, = б. Замечаем, что ?АВD = определен по двум сторонам и углу между ними.

Третья вершина С искомого треугольника может быть найдена как точка пересечения луча АD и прямой l - серединного перпендикуляра отрезка ВD). Иначе говоря план решения найден, отроим треугольник ?АВD, а затем и третью вершину С.

Построение: В этом пункте реализуем план решения.

Строим последовательно:

)

) l, l - серединный перпендикуляр отрезка BD;

) C, C = [AD) ? l. Треугольник АВС - искомый.

Доказательство: Действительно, ?АВС удовлетворяет всем условиям задачи, т.к. по построению АВ = а, АС - ВС = АD = d, BAD = <б.

Исследование: Проверим каждый шаг построения на осуществимость и единственность. Первый шаг возможен и единственен тогда и только тогда, когда 0<б<р. Второй шаг возможен и единственен всегда. Третий шаг возможен и единственен тогда и только тогда, когда б< а cos б. Действительно, если d < a cos б, то прямая l пересекает луч AD. Если же d = a cos б, то l и AD, поэтому треугольника, удовлетворяющего условию задачи, не существует. В том случае, когда d < a cos б, прямая l пересекает луч DА. В этом случае также задача не имеет решения.

Но вернемся к анализу. У нас задача решена, предполагая, что б лежит против меньшей из двух боковых сторон. Если б лежит против большей стороны, то предыдущий метод построения не проходит. Как быть? По теории мы должны и для этого случая дать решение. Нетрудно убедиться, что ДABF определен (a,d и угол р - б). Построение, доказательство и исследование провoдятcя так же, как и выше.

Необходимо еще выяснить: все ли решения найдены. Да, все, так как если бы каким-то способом построить треугольник по a, d и б то этот треугольник был бы равен одному из указанных треугольников (это легко доказать через признаки равенства треугольников).

4. Рассмотрим решение и исследование задачи: Построить окружность, касающуюся данной прямой PQ и данной окружности (О; ОА) в заданной на ней точке А.

Решение. Решаем эту задачу методом геометрических мест. Проводим прямую ОА (рис. 2). В точке А строим касательную АВ к данной окружности, а затем - биссектрисы углов РВА и ABQ. Точки пересечения прямой ОА с прямыми ВМ и BN и будут центрами искомых окружностей.

Проводя исследование по построению, легко обнаруживаем, что наше решение не применимо, если OAPQ. Для такого случая рассматриваем решение задачи отдельно. В результате получим, что если ОА не перпендикулярна PQ, то задача имеет два решения, за исключением случая, когда окружность (О; ОА) пересекает PQ в точке А, так как тогда прямые ВМ, ВN и ОА пересекутся в точке А, и окружности не получим. Если же OAPQ, но А не лежит на PQ, то получаем одну окружность с центром на ОА и радиусом, равным половине расстояния от точки А до данной прямой PQ. Если же при этом А лежит на PQ, то задача неопределенная.

Таким образом, для задачи имеются лишь 4 характерные конфигурации исходных данных:

) ОА не перпендикулярна PQ и А не принадлежит PQ - 2 решения;

) OA не перпендикулярна PQ и A принадлежит PQ - нет решений;

) OAPQ, но A не принадлежит PQ - 1 решение;

) OAPQ и А принадлежит PQ - бесконечное множество решений.

Задачи:

) Построить треугольник по основанию, боковой стороне и медиане, проведенной к основанию.

) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

) Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

) Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

) Постройте ромб так, чтобы две противолежащие его вершины были в двух данных точках А и В и третья на данной окружности О.

) Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них - в данной точке.

) Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при вершине b и отношение боковых сторон k, k ? 1.

) Дан треугольник АВС. Постройте треугольник, стороны которого вдвое меньше сторон треугольника АВС.

) Даны две точки А и В и прямая a, проходящая через точку А. Постройте окружность, которая касается прямой a в точке А и проходит через точку В.

) Дан треугольник АВС. Постройте треугольник АВМ с углами при вершинах А и В, вдвое меньшими соответствующих углов треугольника АВС.

) Даны три точки А, В, С. Постройте окружность, проходящую через точки А и В, центр которой находится на данном расстоянии d от точки С.

) Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе второго угла прилежащего к данной стороне.

) Даны параллельные прямые a и b и точка В на прямой b. Постройте окружность, которая касается прямой b в точке В и прямой a.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Метод центральной симметрии

Симметрия в переводе с греческого означает соразмерность. Под симметрией принято понимать свойство геометрической фигуры, расположенной в пространстве или на плоскости, заключающееся в закономерном повторении равных ее частей. Изучение видов симметрии имеет большое практическое и теоретическое значение для различных областей науки и техники и, особенно, при изучении строения кристаллических веществ.

Существует множество различных видов симметрии. К простейшим из них относятся:

а) симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия);

б) симметрия относительно точки (центральная симметрия);

в) симметрия относительно прямой (осевая симметрия);

г) симметрия вращения;

д) цилиндрическая симметрия;

е) сферическая симметрия.

Вспомогательные образы (плоскости, точки, прямые и т.д.), с помощью которых устанавливается симметрия, называются элементами симметрии.

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с центром в точке O - это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X', что точка O является серединой отрезка XX'.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовательно, такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Симметрией относительно точки О (центральной симметрией) Z0 пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М1, что точка О является серединой отрезка ММ1.

Данный метод применим к тем задачам, в условии которых в той или иной форме указана точка, являющаяся центром симметрии искомой или вспомогательной фигуры.

Так, при изучении центральной симметрии учащимся целесообразно предложить задачу следующего вида

Отрезок AB' является образом отрезка АВ при симметрии, центр которой не указан

Как построить образ точки К при симметрии, отображающей отрезок АВ на отрезок А'В' с помощью а) циркуля, б) транспортира и линейки ?

В данном случае учитель должен дать некоторые указания к решению задачи:

а) воспользоваться тем, что центральная симметрия сохраняет расстояние между фигурами;

б) использовать свойство центральной симметрии не изменять ориентацию фигуры.

Рассмотрим задачу: Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данных прямой и окружности делился точкой пополам.

Решение. Пусть m и ? - данные прямая и окружность, CD -искомый отрезок, Сm, Dа (рис. 3). Тогда ZA(C) = D. Если ZA(m) = m1, то Dm1 и, следовательно, Dаm1. Отсюда вытекает такое построение: строим образ m1 прямой m при симметрии ZA, точки D и Е пересечения прямой m1 с данной окружностью ? определяют вместе с точкой А искомые прямые DA и ЕА.

Задачи:

.Даны точки A и B. Постройте точку B', симметричную точке B относительно точки A.

.При симметрии относительно некоторой точки точка X переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y.

.Чему равны координаты точки, симметричной точке (4; -3) относительно 1) начала координат; 2) точки (3;3) ?

.Даны точка O и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром O.

.Даны точка O и треугольник ABC. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник ABC при центральной симметрии с центром O. Что представляет собой фигура F?

.Даны точки А и В. Постройте точку С, симметричную точке В относительно точки А.

.Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка С, не лежащая на них. Постройте фигуры, в которые переходят прямые а и b при симметрии относительно точки С.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Метод осевой симметрии

Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) Sl называется преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М1, что прямая l служит серединным перпендикуляром к отрезку ММ1. Прямая l называется осью симметрии.

Трудно указать общие признаки задач, решаемых методом осевой симметрии. В более сложных задачах метод осевой симметрии, нередко спрямляющий ломаные линии в прямые, может быть применим, если в условиях содержится сумма или разность частей некоторой ломаной линии. Можно ограничится указанием, что метод осевой симметрии применим для задач, в условии которых указана прямая, являющаяся осью симметрии части элементов фигуры. Такую прямую легко установить по свойствам фигур. Применение осевой симметрии целесообразно для задач, которые легко решаются, если часть данных расположена по одну сторону некоторой прямой, а остальные - по другую.

Поиску различных вариантов решения способствуют задачи следующего вида:

Отрезки АВ и A1B1 симметричны относительно прямой р. Построить точку, симметричную точку К, К принадлежит АВ относительно оси р.

Учащиеся могут предложить такие варианты решения данной задачи:

) через точку провести прямую, перпендикулярную прямой s. Точка пересечения этой прямой с отрезком А1B1 является искомой;

) на отрезке A1B1 от точки А1 отложить отрезок А1К1 равный отрезку АК. Точка К1 является искомой.

Рассмотрим задачу: Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой а, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых b и с.

Анализ. Пусть (рис.4) ABDC - искомый ромб, AD = r. Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому при осевой симметрии относительно прямой а точка В преобразуется в точку С, а, следовательно, прямая b - в некоторую прямую b', проходящую через точку С. Таким образом, точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и b', из которых одна дана, а другая легко строится.

Построение. Строим последовательно: прямую b', симметричную с прямой b относительно прямой а; точку С, общую для прямых с и b'; прямую ВС; точку О ВС а; точки А и D на прямой а, отстоящие от точки О на расстоянии ; ABCD - искомый ромб.

Доказательство ввиду его простоты опустим.

Исследование. Возможны следующие случаи: 1) с || b', решений нет; 2) с b', решений бесконечно много; 3) прямые с и b' пересекаются вне прямой а, одно решение; 4) прямые с и b' пересекаются на прямой а, решений нет.

Задачи:

.Постройте точки А' и B' симметричные данным точкам А и В относительно оси р. Постройте точку, симметричную точке С. (рис.1)

2.Постройте отрезки A'B', A'C' и B'С' симметричные данным отрезкам АВ, АС и ВС относительно оси p. (рис.2) Воспользуйтесь предыдущей задачей.

3.Постройте фигуру F' симметричную F относительно оси р. Отметьте две точки на сторонах данной фигуры, соедините их и постройте отрезок, симметричный данному относительно оси p.(рис.3)

4.Даны точки A, B, C. Постройте точку C, симметричную точке С относительно прямой AB.

.Чему равны координаты точки, симметричной точке (-2;6) относительно: 1) оси x; 2) оси y;

.Даны две прямые a и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью a.

.Даны прямая a и четырехугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью a. Что представляет собой фигура F?

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Задачи для самостоятельного исследования:

1.Геометрическое место вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС равна данному отрезку.

2.Геометрическое место вершин С треугольников с общим основанием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию, равна данному отрезку.

.Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

.Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности (внешним образом, внутренним образом).

.Геометрическое место вершин треугольников с общим основанием, у которых высота, опущенная на это основание, равна данному отрезку.

.Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой.

.Геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием.

.Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

.Геометрическое место центров окружностей, описанных около всех треугольников с общим основанием.

.Чему равны координаты точки, симметричной точке (-3; 4) относительно: 1) оси x; 2) оси y; 3) начала координат?

.1) Постройте точку А1, в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке. 2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.

.Постройте фигуру, в которую переходит треугольник АВС при повороте его около вершины С на угол 60°.

.Даны точки А, В, С. Постройте точку С', в которую переходит точка С при параллельном переносе, переводящем точку А в В.

.Параллельный перенос задается формулами х' = х + 1, у' = у - 1. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки (0;0), (1;0),(0;2)?

.Найдите величины a и b в формулах параллельного переноса х' = х + а, у' = у + b, если известно, что: 1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4); 2) точка (2; -3) - в точку (-1; 5); 3) точка (-1; -3) - в точку (0; -2).

16. Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор а

.Постройте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.

.Может ли четырехугольник иметь центр симметрии и когда? Ответ объясните.

.Дан параллелограмм АВСD. Постройте точку, симметричную точке А относительно прямой ВС.

.Докажите, что любая прямая, проходящая через центр параллелограмма, делит его на две равные части.

.Постройте образ A1B1 хорды АВ при ее повороте вокруг центра окружности на 45° против часовой стрелки. Сравните длины А1B1 и АВ.

.Докажите, что при вращении правильного шестиугольника вокруг его центра на 120° он отображается сам на себя.

.Начертите прямую а и отметьте точку О вне ее. Постройте образ прямой а при повороте вокруг точки О на 45° против часовой стрелки.

.Постройте образ угла АВС, полученный поворотом вокруг центра О на 60° по часовой стрелке.(рис 1)

25.Прямоугольник ABCD при повороте на 170° против часовой стрелки вокруг центра D отображается на прямоугольник A1B1C1D1, АС > А1С1, Чему равен острый угол между этими прямыми.

26.При параллельном переносе точка А переходит в точку А1, а точка В - в точку B1. Чему равна длина отрезка A1B1, если АВ = 7см? Объясните ответ.

.Докажите, что при параллельном переносе прямоугольник переходит в прямоугольник.

.При параллельном переносе точки А и В переходят соответственно в точки А1 и B1, не лежащие на прямой АВ. Пересекаются ли прямые АА1 и BB1?

.Существует ли параллельный перенос, при котором точка (4;2) переходит в точку (2;4), а точка (1;0) в точку (0;1)?

.Начертите параллелограмм АВСD и отметьте на стороне ВС произвольную точку М.Постройте образ этого параллелограмма при переносе на вектор АМ.

.Докажите, что при симметрии относительно точки прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

32. Прямые а и b пересекаются под углом а. При некотором движении а a1 и b->b1. Чему равен угол между прямыми а1 и b1?

.Даны две прямые х = 4 и у = 3. Укажите координаты точки на оси Оу, при повороте вокруг которой одна прямая отображается на другую.

.Докажите, что при движении параллельные прямые переходят в параллельные, пересекающиеся - в пересекающиеся.

.Восстановите фигуру по сохранившимся частям и осям симметрии.(рис.2)

а) б) в)

36.Постройте прямую (ось симметрии), относительно которой симметричны две данные фигуры.

а) б)

в) г)

37.Дана произвольная фигура F и прямая а. Постройте фигуру, симметричную данной, относительно прямой а.

38.Восстановите фигуру по сохранившимся частям и центру симметрии.(рис 4)

а) б)

.Постройте точку (центр симметрии), относительно которой симметричны две данные фигуры. (рис. 5)

39.Постройте произвольную геометрическую фигуру. Отметьте на плоскости точку О. Постройте фигуру центрально-симметричную данной, взяв за центр симметрии отмеченную точку О.

40.Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди остались два столба на параллельных сторонах участка и столб в центре квадрата. Требуется восстановить границу участка.

.Даны две окружности R я S и отрезок МN. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку MN, концы которого лежат на данных окружностях. (рис 6)

42.Отрезок данной длины перемещается параллельно самому себе так, что один его конец скользит по окружности О (r). Докажите, что другой конец отрезка описывает при этом окружность, равную данной. (рис 7)

. Определите, какие буквы русского алфавита симметричны относительно горизонтальной оси симметрии, проходящей через центр буквы:

)А, М, В; 2) Е, К, Ц; 3) З, Г, Т

. Определите, какие буквы русского алфавита симметричны относительно горизонтальной оси симметрии, проходящей через центр буквы:

) П, О, Б; 2) Д, Л, Ц; 3) Ж, Н, Ф?

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «красноярс

Больше работ по теме: