Экономико-математическое моделирование банковской деятельности

 

Содержание


Введение

Глава 1. Элементы экономико-математического моделирования

1.1 Линейное программирование

1.2 Нелинейное программирование

1.3 Стохастическое программирование

Глава 2. Моделирование банковской деятельности

2.1 Банк и банковская деятельность

2.2 Основные направления оптимизационного моделирования банковской деятельности

2.3 Модели и задачи линейного и нелинейного программирования в банковской деятельности

2.4 Постановка стохастической задачи

2.5 Модели банка как совокупности стохастических финансовых процессов

2.6 Исследование методов экономико-математического моделирования в прогнозировании деятельности кредитной организации

Глава 3. Управление портфелем ценных бумаг в банковском бизнесе

3.1 Основные стратегии эффективной деятельности банков

3.2 Управление капиталом, активами и пассивами банка

3.3 Управление портфелем ценных бумаг

3.4 Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Заключение

Список использованной литературы

Приложения


Введение


Цикличность в развитии экономических систем обязывает менеджмент банков адекватно реагировать на изменения экономической конъюнктуры для обеспечения устойчивости каждого банковского учреждения в отдельности и банковской системы в целом. Современные методики диагностики финансового состояния банка базируются на изучении, систематизации и обработке большого объема информации, содержащегося в официальной банковской отчетности. Кроме того, алгоритмы расчетов показателей достаточно громоздки и не всегда очевидны, поэтому итоговые данные не могут в полной мере доступно и наглядно характеризовать финансовую устойчивость кредитной организации. Нивелировать эти недостатки и увеличить скорость реакции на изменения внешней среды, что определяет успех в управлении, позволяет математическое моделирование деятельности банка. Оно является основным элементом системы поддержки принятия решений, поскольку имеет самую малую среди других методов, способов и механизмов материалоемкость, а также позволяет подготовить и провести многочисленные эксперименты быстро и без социального риска.

Математическое моделирование в сфере банковской деятельности является практически не поддающимся научной формализации процессом. В 1972 г. Мэрфи писал, что "трудно создать интегрированную теорию банковской фирмы, которая одновременно охватывала бы управление ликвидностью, выбор портфеля активов, политику ценообразования и физический процесс производства". В связи с этим наибольшее распространение имеют либо частные модели, описывающие конкретную сферу деятельности банка, либо обобщенные полные модели, которые хотя и отображают функционирование банка в целом, но делают это достаточно агрегировано. Требования к комплексному подходу при моделировании банка сформулировал Балтенспергер: соотношение и структура требований и обязательств; размер собственного капитала банка 3. Традиционными являются стохастические и детерминированные модели, а также модели на основе теории нечетких множеств. Симбиоз этих подходов позволяет построить наиболее адекватную модель деятельности банка. Основанная на понятиях нечеткости, формализация неопределенности позволяет объединить достоинства точных и вероятностных моделей с субъективными данными и получить новые расчетные схемы, которые дают возможность изучать реальность без ее деформации.

Основным стержнем моделирования банковской деятельности является формирование разумных альтернатив его развития. При этом следует исходить из того, что, во-первых, банк - это фирма, деятельность которой связана с повышенными рисками, функционирующая в условиях неопределенности. Во-вторых, банк - это учреждение, стремящееся к повышению своей доходности. Соответственно этому, двумя основными факторами математического моделирования деятельности банка и стратегии его развития являются неопределенность и доходность. Таким образом, все известные модели деятельности банков не описывают в полной мере объект моделирования. Построение максимально полной по типам операций, по функциям модели, - основная задача математического моделирования деятельности банка.

Целью данной работы является детальное рассмотрение основных методов математического моделирования банковской деятельности и разработка специального программного обеспечения для реализации наглядного представления конкретной банковской задачи.

В первой главе необходимо рассмотреть общие теоретические задачи математического программирования, в том числе задача линейного и нелинейного программирования. Так же в первой главе поставлена задача стохастического программирования.

Вторая глава посвящена рассмотрению моделированию банковской деятельности, как в экономическом плане, так и в математическом. Необходимо привести детальное изучение и построение моделей линейного и нелинейного программирования, используемых в банковском бизнесе, так же выявить основные направления оптимизационного моделирования работы банка. Основной целью второй главы является изучение постановки стохастической задачи и рассмотрение модели банка как совокупности стохастических финансовых процессов.

В третье главе необходимо провести анализ проблемы построения оптимального портфеля ценных бумаг в банковском бизнесе и реализовать решение конкретной банковской задачи. В качестве написания практической части мною была выбрана задача построения оптимального портфеля ценных бумаг по заданным параметрам. Для написания программы необходимо использовать язык программирования Visual Basic for Applications.

В Заключении сформулированы основные полученные результаты и выводы исследования.

банковский стохастический финансовый моделирование

Глава 1. Элементы экономико-математического моделирования


Многие задачи экономики и банковской деятельности находят решения в экономико-математическом моделировании. Огромный класс задач выбора результативного подхода укладывается в рамки общей схемы математического программирования.

В зависимости от признаков системы приведем формальную классификацию моделей. В общем виде по целевому назначению делятся на прикладные и теоретико-аналитические, по типу связей - детерминированные и стохастические, по фактору времени - статические и динамические, по форме показателей - линейные и нелинейные, по степени детализации - агрегированные (макромодели) и детализированные (микромодели), по типу математического аппарата - балансовые, статические, оптимизационные, имитационные и смешанные, по соотношению экзогенных и эндогенных переменных - открытые и закрытые, по количеству связей - одноэтапные и многоэтапные, по форме представления информации - матричные и сетевые, по форме процесса - аналитические, графические и логические.

Наиболее широкое применение в банковской деятельности находят задачи линейного и нелинейного программирования, задачи стохастической модели. В данной главе рассмотрим более подробно общие виды данных задач.


.1 Линейное программирование


Вычислительные методы, которые могут быть применены для эффективного расчета и анализа производственных планов, опираются на специализированный математический аппарат. Математическая база этих расчетов имеет название линейное программирование. Термин "программирование" нужно здесь понимать в значении "планирование". Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данциг, одним из основателей линейного программирования, еще до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

Линейное программирование рассматривает условия принятия решений посредством линейных функций, линейных уравнений и неравенств. Оно даёт возможность в достаточно простой и математически форме разделить допустимые и недопустимые решения, рассмотреть множество допустимых значений и однозначно дать ответ на вопрос о существовании или не существовании оптимального решения. Если такое оптимальное решение существует, то методы линейного программирования позволяют его отыскать. Соответствующие расчеты и анализ полученных результатов могут быть проведены на компьютере.

Рассмотрим постановку задачи линейного программирования на примере, приведенном Б. Банди в своей работе "Основы линейного программирования".4 Автор рассматривает фирму, которая производит два типа книжных полок А и В. Наличие сырья (высококачественные доски) и время машинной обработки ограничивают производство. Для каждого изделия типа А требуется 3 м2 досок, а для изделия типа В - 4 м2.

Поставщики доставляют фирме до 1700 м2 в неделю. Для каждого изделия типа А требуется 12 минут машинного времени, а для изделия типа В - 30 минут. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Главная задача фирмы состоит в определении сколько книжных полок каждого типа необходимо выпускать в неделю, если каждое изделие типа А приносит 2$ прибыли, а каждое изделие типа В - 4$ прибыли?

Для постановки математической модели задачи введем следующие обозначения: через обозначим количество выпущенных за неделю книжных полок типа А, а через - количество выпущенных книжных полок типа В. Задача состоит в том, чтобы найти наилучше значения и . Нетрудно видеть, что наилучшими для данной задачи являются значения, максимизирующие еженедельную прибыль. Еженедельная прибыль есть следующие выражение:


(1.1.1)


Фирма будет получать максимальную еженедельную прибыль, если максимизируется целевая функция .

В соответствии с классической теории оптимизации экстремумы функции достигаются в точках, в которых обращаются в ноль ее производные, либо на границе области определения. Изучение производных в рассматриваемом примере недостаточно, так как


и


и никаким выбором и нельзя обратить эти производные в ноль. Действительно, чтобы увеличить функцию , надо увеличить и . Но значения и не могут быть увеличены неограниченно. Это ограничения на количество сырья и машинное время. Так как и выражают еженедельный объем выпуска, то они не могут быть отрицательны, т.е.


и. (1.1.2)


Следовательно, ограничения на количество досок и машинное время могут быть записаны следующим образом:


(для досок), (для машинного времени). (1.1.3)


Задача состоит в том, чтобы найти значения и , удовлетворяющие условиям неотрицательности (1.1.2) и ограничениям в виде неравенств (1.1.3) и максимизирующие целевую функцию


.


Это типичная двухмерная задача линейного программирования. Целевая функция, которая должна быть максимизирована, является линейной функцией своих переменных. Также линейными являются и ограничения на эти переменные. Условия неотрицательности позволяют ограничиться рассмотрением положительного квадранта. Границы определяются прямыми


,

.


Стрелками на каждой границе рис.1.1.1 показано, с какой стороны выполнено ограничение. Заштрихованная область ОАВС, содержащая точки, для которых соблюдены условия (1.1.2) и (1.1.3), называется допустимой. Точки внутри и на границе этой области изображают допустимые решения. Допустимых значений много. Задача состоит в том, чтобы найти решение, максимизирующее функцию среди множества допустимых значений.


Рис. 1.1.1 Графическая постановка задачи линейного программирования


Штриховыми линиями на рис. 1.1.1 изображены прямые , , обозначенные a и b соответственно. Эти прямые параллельны и представляют собой две линии уровня функции со значениями соответственно 0 и 800.

Ясно, что значение функции возрастает по мере того, как линии уровня удаляются от начала координат в положительном квадранте. Действительно, вектор с компонентами ,, т.е. вектор с компонентами указывает направление возрастания функции , перпендикулярен штриховым линиям и направлен в сторону, противоположную началу координат.

Линией уровня с наибольшим значением функции , имеющей хотя бы одну общую точку с допустимой областью, является прямая , проходящая через вершину В; на ней принимает значение 1400.

Точка В, в которой , , соответствует оптимальному решению задачи. Эти значения могут быть получены как решения уравнений


,

.


Следовательно, максимальная прибыль составляет . При оптимальном решении оба ограничения превращаются в равенства, что означает полное использование сырья и машинного времени.

Рассмотренная задача может быть расширена до трёх и более моделей и соответствующего количества неотрицательных переменных.

Могут быть введены дополнительные ограничения, связанные с возможностями рынка, упаковкой и т.д. В этом случае задача по прежнему заключается в максимизации линейной функции от нескольких неотрицательных переменных с линейными ограничениями в форме неравенств.

Общая задача линейного программирования состоит в оптимизации (нахождение максимума или минимума) линейной функции


(1.1.4)


от вещественных переменных , удовлетворяющих условия неотрицательности


(1.1.5)


и линейными ограничениями


,

,

……………………………… (1.1.6)

.


Среди ограничений могут одновременно встречаться знаки , и . Задача состоит в максимизации (минимизации) целевой функции. Значения , , предполагаются известными.

В матричных обозначениях задача может быть представлена следующим образом (под векторными неравенствами подразумевается выполнение всех неравенств покоординатно): максимизировать (минимизировать) функцию


(1.1.7), где , (1.1.8)

, (1.1.9) и

- вектор - столбец , а

- вектор-строка ,

- вектор-столбец ,

- матрица .


Индекс 0 в векторе и в матрице указывает на то, что это начальные значения.

1.2 Нелинейное программирование


В предыдущем пункте была рассмотрена задача линейного программирования. Существует множество примеров, которые показывают, что многие практические проблемы можно сформулировать математически как задачу линейного программирования. Однако имеются проблемы, в которых связи заведомо не являются линейными. Таковы, например, задачи увеличения масштабов производства, перехода на новую технологию, оптовой торговли и т.д. Поэтому ясна необходимость изучения нелинейных моделей и методов их анализа. Модели эти, конечно, сложнее линейных и разработанные для них методы менее эффективны, чем методы решения линейных задач.

Нелинейное программирование - случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничениями является нелинейная функция. Общая задача нелинейного программирования имеет вид: оптимизировать функцию при условиях


,

, (1.2.1)

.


Здесь ,, - функции, определенные на (совокупность всех векторов размерности образует - мерное евклидово пространство, которое обозначается ), - множество из , - вектор с компонентами . Задача заключается в нахождении переменных , удовлетворяющих ограничениям и отвечающих при этом минимальному значению функции .

Функцию обычно называют целевой функцией, или критерием оптимальности. Каждое условие называют ограничением-неравенством или ограничением в форме неравенства, а условие вида - ограничением-равенством или ограничением в форме равенства. Вектор , удовлетворяющий всем ограничениям, называют допустимым решением, или допустимой точкой. Совокупность всех допустимых точек образует допустимую область. Таким образом, задача нелинейного программирования заключается в нахождении такой допустимой точки , для которой при всех допустимых решениях . Точка называется оптимальным решением или просто решением задачи. В отличие от задачи линейного программирования в задаче нелинейного программирования оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями.

Рассмотрим некоторые методы решения задач нелинейного программирования. Одним из методов, которые позволяют свести задачу нелинейного программирования к решению системы уравнений является метод неопределенных множителей Лагранжа.

Если целевая функция является вогнутой (задача максимизации), или выпуклой (задача минимизации) и множество ограничений является выпуклой, то задачу называют выпуклой и в большинстве случаев могут быть использованы общие методы выпуклой оптимизации.

Если целевая функция является отношением вогнутых и выпуклых функций (при максимизации) и ограничения выпуклые, то задача может быть преобразована в задачу выпуклой оптимизации использованием техник дробного программирования.

Существуют несколько методов для решения невыпуклых задач. Один подход заключается в использовании специальных формулировок задач линейного программирования. Другой метод предусматривает использование методов ветвей и границ, где задача делится на подклассы, чтобы быть решенной с выпуклыми (задача минимизации) или линейными аппроксимациями, которые образуют нижнюю границу общей стоимости в пределах раздела. При следующих разделах в определенный момент будет получено фактическое решение, стоимость которого равна лучшей нижней границе, полученной для любого из приближенных решений. Это решение является оптимальным, хотя, возможно, не единственным. Алгоритм можно прекратить на ранней стадии, с уверенностью, что оптимальное решение находится в рамках допустимого отклонения от найденной лучшей точки. Завершение такой оптимальной точки, как правило, необходимое для обеспечения конечности завершения. Это особенно полезно для больших, сложных задач и задач с неопределенными расходами или значениями, где неопределенность может быть определена из соответствующей оценки надежности.

Рассмотрим общую задачу оптимизации, содержащую несколько ограничений в виде равенств: минимизировать


(1.2.2) при ограничениях

, (1.2.3)


Эта задача в принципе может быть решена как задача безусловной оптимизации, полученная путем исключения из целевой функции независимых переменных с помощью заданных равенств. Наличие ограничений в виде равенств фактически позволяет уменьшить размерность исходной задачи с до .

Подробней остановимся на методе неопределенных множителей Лагранжа. Это метод нахождения условного оптимума, предложенный итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем. Метод позволяет свести задачу на отыскание условного оптимума к задаче на нахождение безусловного оптимума.

С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями в виде равенств. При этом задача с ограничениями преобразуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют некоторые неизвестные параметры, называемые множителями Лагранжа.

Рассмотрим задачу минимизации функции переменных с учетом одного ограничения в виде равенства: минимизировать при ограничениях


, (1.2.4)


В соответствии с методом множителей Лагранжа эта задача преобразуется в следующую задачу безусловной оптимизации: минимизировать


(1.2.5)


Функция называется функцией Лагранжа, - неизвестная постоянная, которая носит название множителя Лагранжа. На знак никаких требований не накладывается.

Пусть при заданном значении безусловный минимум функции по достигается в точке и удовлетворяет уравнению . Тогда, как нетрудно видеть, минимизирует с учетом (1.2.4), поскольку для всех значений , удовлетворяющих (1.2.4), и.

Разумеется, необходимо подобрать значение таким образом, чтобы координата точки безусловного минимума удовлетворяла равенству (1.2.4). Это можно сделать, если, рассматривая как переменную, найти безусловный минимум функции (1.2.5) в виде функции , а затем выбрать значение , при котором выполняется равенство (1.2.4).


1.3 Стохастическое программирование


Оптимизационные задачи и их модели рассматривались в предыдущих параграфах в предположении, что вся исходная информация задана строго однозначно. Такие задачи и модели называют детерминированными. В действительности же детерминированные модели часто оказываются неадекватными реальным процессам в экономике. Это объясняется неполнотой, неточностью данных, на основе которых формируется модель. В одних случаях некоторые (а возможно, и все) параметры модели носят вероятностный характер. Тогда говорят о ситуациях, связанных с риском. В других случаях имеющаяся информация не позволяет составить представление о характере изменения параметров, описывающих изучаемый процесс. Такие ситуации называют неопределенными. Оптимизационные задачи, при постановке которых нет исчерпывающих данных об их условиях, называют стохастическими. Поскольку стохастические задачи приходится ставить и решать при недостаточной информации, это ведет к снижению экономической эффективности получаемых решений.

Для исследования описанных ситуаций разрабатываются специальные методы, объединяемые в разделе математического программирования, называемом стохастическим программированием. Стохастическое программирование изучает теорию и методы решения условных экстремальных задач при неполной информации об условиях задач.

Различают пассивное и активное стохастическое программирование. Пассивное стохастическое программирование - это совокупность приемов, позволяющих находить наилучшие решения и экстремальные значения целевых функций в оптимизационных задачах со случайными исходными данными. При этом используются в частности, идеи параметрического программирования. Активное стохастическое программирование - это совокупность приемов, позволяющих развивать методы выбора решений в условиях риска и неопределенности.

В стохастическом программировании исследуются одно-, двух - и многоэтапные задачи.

Одноэтапными называют задачи, в которых последовательность поступления исходной информации не имеет значения при выборе решения, оно принимается один раз и в дальнейшем не корректируется. Такие задачи могут порождаться детерминированными оптимизационными задачами, когда исходные данные теряют определенность и приобретают случайный характер. В одноэтапных задачах по-разному выбираются целевая функция и характер ограничений. В качестве целевой функции может рассматриваться вероятность попадания решения в некоторую, вообще говоря, случайную область или математическое ожидание некоторой функции от решения. В одних случаях ограничения задачи могут удовлетворяться при всех возможных значениях случайных параметров (жесткая постановка). В других случаях требуется, чтобы вероятность попадания решения в допустимую область была не меньше данного числа (модель с вероятностными ограничениями). В каждой конкретной задаче приходится специально оговаривать, что называть планом и оптимальным планом.

Естественный на первый взгляд путь замены случайных параметров их средними значениями и поиск оптимальных планов полученных таким образом детерминированных задач во всех случаях не всегда оправдан. При усреднении параметров условий задачи может быть нарушена адекватность модели изучаемому явлению. Оптимальный план детерминированной задачи с усредненными параметрами не всегда удовлетворяет условиям задачи при различных возможных комбинациях параметров ограничений. Этот прием применяют лишь для приближенного решения стохастической задачи.

На практике чаще других встречаются двухэтапные стохастические задачи. Подобные задачи возникают, например, при планировании выпуска продукции в случае, когда отсутствуют данные о спросе на нее. В такой ситуации сначала принимается предварительное решение об объеме выпуска на основе имеющейся информации (1-й этап), затем после установления спроса принимается корректирующее решение (2-й этап). При этом предварительное решение не должно исключать возможность его коррекции на втором этапе. Кроме того, предварительный и корректирующий планы согласовывают так, чтобы обеспечивались минимальные средние затраты за оба этапа. Для ряда конкретных постановок двухэтапных стохастических задач разработаны достаточно надежные методы решения.

В многоэтапных (динамических) задачах по мере получения информации о развивающемся процессе имеется возможность неоднократно корректировать решение, учитывая исходные ограничения и априорные статистические характеристики случайных параметров, описывающих процесс на каждом этапе. Многоэтапные задачи могут быть как с жесткими, так и с вероятностными ограничениями. Примерами многоэтапных стохастических задач являются задачи перспективного планирования, регулирования технологических процессов оперативного управления космическими объектами и др. Многоэтапные стохастические задачи представляют для практики наибольший интерес.

В качестве примера, рассмотрим задачу о наиболее рациональном управлении запасами продукта. На складе хранится запас некоторого продукта в течении периодов времени. На начало первого периода запас составляет единиц. Количество продукта, отправляемого со склада в -й период, определяется спросом на этот продукт. При этом спрос в каждый данный период считается случайной величиной с плотностью вероятности . Предполагается, что для различных периодов эти случайные величины независимы. Стоимость доставки единицы заказанного продукта с предприятия на склад в -й период равна (заказ делается в начале каждого периода, а доставка его на склад производится до конца этого же периода). Стоимость хранения единицы продукта в -м периоде равна , а стоимость хранения запаса пропорциональна его количеству в конце периода и составляет . За отсутствие продукта на складе при наличии спроса на него в -м периоде начисляется штраф, равный в расчете на единицу продукта. Штраф увеличивается пропорционально количеству отказов к концу -го периода и равняется .

Требуется так спланировать поступление продукта на склад, чтобы минимизировались суммарные расходы, связанные с его доставкой, хранением и штрафами за отсутствие продукта при наличии спроса.

Обозначим через количество единиц продукта, заказываемого на -й период. Тогда к концу -го периода запас продукта


(1.4.1)


Очевидно, что работа склада должна строиться таким образом, чтобы поддерживать .

Однако это не всегда удается, и число отказов из-за отсутствия продукта на складе к концу -го периода оказывается равным


. (1.4.2)


Наличие запаса и штрафа - взаимоисключающие моменты: если в течении какого-то -го периода то , и наоборот, т.е. если приходится платить за хранение в -го период, то штрафа за отказ в этот период не будет.

Оба описанных момента можно отразить посредством функции


(1.4.3)


где

, определяются выражениями (1.4.1) и (1.4.2) соответственно.

Суммарные расходы склада за периодов с учетом равенств (1.4.3) можно записать в виде


. (1.4.4)


Поскольку спрос - случайная величина, выражение (1.4.4) является функцией случайной величины .

Найдем математическое ожидание .

Напомним, что если - система непрерывных случайных величин с плотностью вероятности , а - функция этих случайных величин, то математическое ожидание величины


(1.4.5)


Если непрерывные случайные величины независимо распределены с плотностями вероятности , то плотность вероятности появления некоторой определенной комбинации величин равна произведению плотностей вероятности появления каждой из величин, т.е.


. (1.4.6)


С учетом равенства (1.4.6) формула (1.4.5) примет вид


. (1.4.7)


Как видно из равенства (1.4.4), в нашем случае есть функция независимых непрерывно распределенных на интервале с плотностями вероятности случайных величин .

Поэтому в соответствии с формулой (1.4.7) математическое ожидание функции


. (1.4.8)


Функция (1.4.8) выражает математическое ожидание расходов склада за периодов. Задача состоит в выборе , минимизирующих .

Сразу выбрать все значений нельзя. В самом деле, решение о том, какое количество продукта следует заказать в начале, например, второго периода, зависит от того, какое количество продукта было завезено на склад и каков был спрос в течение этого периода, т.е. оптимальное значение является функцией - запаса в начале второго периода. Аналогично дело обстоит для любого -го периода, т.е. . Такой подход к решению соответствует концепции метода динамического программирования: решение на каждом шаге (периоде) выбирается исходя из результатов предыдущего шага (периода).

Глава 2. Моделирование банковской деятельности


Разговор о микроэкономических моделях банковской деятельности представляется разумным начать с определения понятия "банк". В финансово-экономической литературе не существует единого, общепризнанного подхода к его формулировке. Очень часто банк определяется как институт, текущая деятельность которого сводится к выдаче кредитов и привлечению в качестве депозитов денежных средств (как правило, от широких групп населения).

Хочется обратить внимание на ряд ключевых моментов.

Во-первых, важно подчеркнуть, что операции заимствования и кредитования совершаются самыми разнообразными коммерческими фирмами. Однако для банков они являются текущими (регулярно повторяющимися).

Во-вторых, следует отметить, что для подавляющего большинства учреждений, называемых банками, характерно, что операции по заимствованию и кредитованию одновременно присутствуют в их деятельности.

В-третьих, услуги, предоставляемые банками, связанные с обеспечением сохранности финансовых ресурсов и проведением платежей, затрагивают кардинальные интересы широких общественных слоев, что придает данным институтам особую социальную значимость.

Специфическая роль, которую играют банки в экономической жизни общества, предопределяет и то, что они являются объектами, требующими особого внимания, контроля (а при необходимости - и вмешательства) со стороны органов государственного управления. Последний фактор подчеркивает практическую значимость проблемы ввода определения понятия "банк", так как оно становится критерием, в соответствии с которым принимается решение о том, должен или нет, тот или иной экономический институт подпадать под меры государственного регулирования.

Итак, приведем определение, данное П.В. Конюховским в своей работе: "Банк - кредитная организация, которая имеет исключительное право осуществлять в совокупности следующие банковские операции: привлечение во вклады денежных средств физических и юридических лиц, размещение указанных средств от своего имени и за свой счет на условиях возвратности, платности, срочности, открытие и ведение банковских счетов физических и юридических лиц".

Современные банковские системы имеют сложную структуру. С точки зрения характера оказываемых услуг выделяют три важнейшие группы современных кредитных систем:

-центральный (эмиссионный) банк;

-коммерческие банки;

-специализированные финансовые учреждения (страховые, ипотечные, сберегательные и т.д.).

Его отличительной особенностью центрального банка является то, что он не занимается проведением операций с предприятиями или населением. В качестве клиентуры выступают коммерческие банки и другие кредитные учреждения. Кроме того, центральные банки очень часто занимаются предоставлением услуг различным правительственным учреждениям.

Главная функция центральных банков - проведение эффективной кредитно-денежной политики, регулирующей как финансовую систему, так и экономику всей страны в целом.

Коммерческие банки - многофункциональные учреждения, осуществляющие свою деятельность на рынке ссудного капитала. Весь комплекс финансовых услуг, таких, как предоставление кредитов, прием депозитов, различные расчеты и т.д., осуществляется, как правило, коммерческими банками. Наряду с этим существуют и специализированные финансовые учреждения, которые выполняют ограниченный набор услуг. В современных условиях коммерческие банки во всем мире являются решающим элементом кредитной системы.

В специализированные финансовые учреждения входят организации, осуществляющие свою деятельность в отдельных сегментах рынка ссудного капитала, требующих наличия специфических знаний, а также особых технических приемов. Особенно активно такие организации развиваются в сфере привлечения мелких сбережений, ипотечного кредита, потребительского кредита, кредита сельскохозяйственным производителям, операций по финансированию и расчетам во внешней торговле, инвестированию капитала и размещению ценных бумаг промышленных предприятий.


2.1 Банк и банковская деятельность


Чаще всего главным признаком банковской деятельности считается прием депозитов и выдача кредитов. Однако существует более широкое толкование, исходя из принципа универсальности. При этом небанковские учреждения, у которых нет банковской лицензии, не имеют права на прием депозитов, проведение платежей и расчетов, выдачу гарантий и т.д.

Эволюция банков как экономических субъектов, обеспечивающих расчеты и платежи, происходила параллельно с развитием соответствующей функции денег. По мере того как деньги в процессе своей эволюции утрачивали свойства непосредственного носителя товарной стоимости и приобретали формы, более подходящие для выполнения роли платежного инструмента, возрастало и значение институтов, гарантирующих их "ценность" участникам обменных сделок. Исторически деятельность банков по управлению деньгами как общественно и законодательно признанным средством расчетов, не имеющим конкретной товарной природы, проявилась, во-первых, в предоставлении услуг по денежному обмену, а во-вторых, в обеспечении платежного сервиса.

Развитие и углубление обменных функций банков дало импульс к появлению новых форм их деятельности, а именно, к предложению услуг по хранению ценностей, что, в свою очередь, явилось основой для будущих депозитных операций.

В плане обеспечения платежного сервиса (поддержания системы платежей) банки предоставляют своим клиентам услуги по управлению их расчетными счетами. Более того, они гарантируют то, что долг плательщика за полученные им продукты или услуги будет погашен посредством перевода другому участнику сделки причитающейся ему денежной суммы.

Как известно, с точки зрения отдельно рассматриваемых экономических субъектов необходимость проведения расчетов, связанных с перемещением значительных денежных средств на большие расстояния, является неоправданно рискованным действием, а значит, и достаточной причиной для отказа от совершения соответствующей хозяйственной операции. В этой связи чрезвычайно важен банковский сервис по обеспечению безналичных и клиринговых расчетов. Данная функция банков стала активно развиваться начиная со второй половины XIX века, хотя ее исторические корни восходят еще к одному из видов операций, совершаемых ломбардскими банкирскими компаниями в эпоху Средневековья. В настоящее время деятельность по проведению расчетов и платежей не только переросла рамки отдельного банка, но и приобрела интернациональный характер. Подтверждением этому служат темпы развития систем международных расчетов, таких как S. W.I. F. T. или Western Union. Возрастание влияния данного вида банковских услуг на состояние экономики в целом, стабильность и безопасность ее развития одновременно обусловливают необходимость усиления внимания к нему со стороны органов государственного регулирования (правительства, центрального банка и т.п.).

Можно выделить три типа трансформации активов, которые реализуют банки в процессе своей деятельности: количественная, качественная и временная.

Количественная трансформация состоит в согласованных изменениях объемных характеристик оказываемых банками услуг (как по депозитам, так и по кредитам) соответственно тем требованиям, которые к ним предъявляют клиенты. Ее классическим примером является преобразование относительно небольших по размеру депозитов, внесенных частными вкладчиками, в значительные суммы, требующиеся для кредитования серьезных инвестиционных проектов. В частности, необходимость количественной трансформации является одним из главных аргументов в пользу существования института финансовых посредников.

Качественная трансформация активов прежде всего сводится к снижению их рисковых характеристик. Выпуская собственные обязательства либо заключая депозитные договора с клиентами, банк, как правило, обеспечивает по ним существенно большую надежность (меньший риск потерь) по сравнению со случаем прямого вложения средств в какие-либо инвестиционные проекты. Это объясняется, во-первых, возможностями банка за счет концентрации значительных денежных ресурсов осуществлять диверсификацию портфеля своих активов, что недоступно отдельному вкладчику (особенно в случае финансовой неделимости проектов). Во-вторых, банки за счет преимуществ доступа к информационным ресурсам обладают дополнительными возможностями по контролю за поведением своих заемщиков.

Примером временной трансформации активов служит тот факт, что, с одной стороны, банки принимают от вкладчиков относительно краткосрочные депозиты, а с другой - могут выдавать заемщикам кредиты, по которым предусмотрены длительные сроки возврата. Проблема осуществления временной трансформации тесно связана с риском неплатежей по депозитам из-за низкой ликвидности долгосрочных активов. Отчасти этот риск может быть снижен за счет использования краткосрочных межбанковских кредитов и производных инструментов финансового рынка (свопов, фьючерсов и т.п.).

Подчеркивая важность перечисленных выше функций, особо отметим то, что они присутствуют в деятельности банка независимо от того, сопряжена ли она с риском или нет.

Управление рисками представляет собой одно из главных направлений в работе любого банка. В ходе своей деятельности банки должны решать задачи оценки, контроля, принятия или непринятия рисков, связанных с привлечением депозитов, формированием портфеля выданных кредитов, проведению так называемых внебалансовых операций.

Существуют различные подходы к классификации рисков. С точки зрения общеэкономических подходов риски могут быть разделены на микроэкономические и макроэкономические. Микроэкономическими (идиосинкратическими) называют такие риски, которые могут быть устранены или ограничены за счет применения диверсификационных стратегий. Иначе говоря, это риски, возникающие в ситуациях, для которых справедливы вероятностные законы больших чисел. В противном случае риски относятся к макроэкономическим. Хочется отдельно подчеркнуть то, что в ходе выполнения своих функций банки по существу сталкиваются с рисками обоих типов.

Согласно другой классификации в деятельности банков присутствуют риск ликвидности, кредитный риск, процентный риск, риск внебалансовых операций.

Фундаментальной проблемой для фирм любого типа является риск ликвидности, который означает невозможность осуществить выплаты кредиторам в срок. В качестве его "крайней" формы может быть рассмотрен риск платежеспособности, который означает фактическую несостоятельность экономического субъекта из-за превышения размера его обязательств над имеющимися активами. Риск ликвидности, возникающий в случаях, когда нужно произвести непредвиденные выплаты, в некотором смысле органически присущ банковской деятельности. Поскольку одной из сторон данной деятельности является трансформация "краткосрочных" депозитов в "долгосрочные" кредиты, то в ней будет постоянно существовать угроза невыполнения обязательств перед вкладчиками в ситуации массового закрытия ими своих счетов (особенно депозитов "до востребования"). Меры, используемые при управлении риском ликвидности, традиционно связаны с теми или иными механизмами формирования резервов, в том числе обязательных, создаваемых в соответствии с законодательными требованиями.

Также банкам в процессе своей работы приходится сталкиваться с кредитным риском (риском дефолта). Он соответствует ситуации невозможности выплаты заемщиком процентов по кредитам, а в крайней своей форме - принципиальной невозможности возврата кредита. В качестве одной из фундаментальных задач, с которыми сталкивается банк в процессе управления кредитным риском, может быть названа задача его оценки, или, другими словами, оценки того, как фактор присутствия кредитного риска влияет на рыночную стоимость кредитов.

Развитие банковской системы в 1980-х годах ознаменовалось возрастанием интереса экономических субъектов к нетрадиционным, но техничным, высокодоходным и высоколиквидным инструментам финансового рынка. Начиная с этого времени банки стали предоставлять своим клиентам такие формы услуг, как связанные кредиты, кредитные линии, гарантии и т.п. Одновременно получили широкое распространение операции со свопами, хеджированием, перестраховкой доходов по ценным бумагам. С учетной точки зрения данные операции не могут быть отнесены к традиционным банковским функциям, поэтому они обычно классифицируются как "внебалансовые банковские операции". Причины, стимулирующие интерес банков к операциям данного рода, вообще говоря, различны по своей природе. Среди них могут быть названы естественное стремление банков к увеличению своего дохода, возможность более гибко влиять на структуру капитала (допустим, уменьшить левередж), а также возможности снижения налогового пресса и ухода от регулирующих мер.

Оперирование современными высокотехничными финансовыми инструментами значительно расширяет возможности банка в области управления его рисками. Оперативно продавая или покупая рисковые активы, он может в зависимости от поставленных целей либо страховать (хеджировать) свой риск, либо, наоборот, принимать на себя дополнительный риск (ожидания получить за это дополнительный доход). При этом, безусловно, справедливо и то, что активная деятельность того или иного банка по внебалансовым операциям является достаточным резоном для проявления внимания к нему со стороны регулирующих органов.

Отметим также, что в случае с банками ввиду той особой роли, которую они играют в экономической жизни общества, последствия реализации рассмотренных рисков могут быть особенно драматичными. В частности, негативное развитие положения дел в одном банке нередко вызывает цепную реакцию, нанося ущерб значительному количеству экономических объектов, что еще раз свидетельствует об исключительной важности технологий и методов управления рисками.

В многочисленных современных исследованиях, учитывающих роль и значение информационных ресурсов в экономике, отмечается особое положение, занимаемое банками. Так, имея эксклюзивный доступ к данным о своих клиентах, банки одновременно получают уникальные возможности по осуществлению контроля (мониторинга) за тем, как идет выполнение финансируемых ими проектов.

С этой точки зрения проявляется еще одна функция, присущая банкам в современном обществе. Это функция учреждения, осуществляющего управление потоками финансово-экономической информации, или, как еще говорят, информационного процессора.

Под управлением информацией подразумевается ее сбор, хранение, переработка, систематизация и анализ. Если еще несколько десятилетий тому назад на информацию, оказывающуюся в распоряжении банка можно было смотреть как на некоторый полезный, но побочный результат от основных видов деятельности, то теперь эффективное решение задач ее сбора и обработки представляется в качестве непременного условия успеха работы банка в целом. Дополнительно подчеркнем, что информационный процессинг на настоящем этапе в условиях непрозрачности информации и возможности "эгоистического" поведения заемщиков представляет собой последовательность принципиально необходимых действий и мер, обеспечивающих получение банком объективно обоснованной прибыли.

Еще одна существенная функция банков связана с той кардинальной ролью, которую они играют в организации процессов размещения и циркуляции капитала. В историческом аспекте не вызывает сомнений тезис о глубоком влиянии, оказываемом уровнем развития финансовых институтов и рынков на уровень и темпы развития экономики в целом. Замечено, что экономические системы со слаборазвитыми институтами финансового посредничества и узкими финансовыми рынками не могут обеспечить эффективных каналов привлечения сбережений домохозяйств, что, в свою очередь, порождает дефицит инвестиционных ресурсов. Более того, в такой ситуации "крупные" проекты, которые носят принципиальное значение для экономического роста в целом, будут не находить источников кредитования из-за связанного с ними высокого риска, управление которым опять-таки не может быть организовано по причине отсутствия соответствующих финансовых инструментов.

Многие экономисты также пытаются на примере стран, в которых уровень развития банковского сектора традиционно высок, допустим таких, как Германия и Япония, обосновать тезис о позитивном воздействии данного фактора на темпы роста экономики. В его защиту приводятся аргументы, отмечающие тот факт, что сильная система финансового посредничества способствует сглаживанию негативных последствий от возможных потрясений рынка. В частности, признается, что банковская система Германии успешно справляется с решением задачи снижения неустойчивости уровня дохода вкладчиков от сделанных ими вложений. Наконец, в случае спадов и провалов на финансовых рынках деятельность банков, владеющих значительными пакетами акций и выполняющих функции мониторинга фирм, оказавшихся в трудном положении, обычно способствует стабилизации положения дел и быстрому выходу из кризиса.


.2 Основные направления оптимизационного моделирования банковской деятельности


Моделирование не самоцель, а инструмент для решения проблемных задач. Финансово-экономическая деятельность коммерческого банка достаточно сложный и многогранный процесс, при осуществлении которого банк сталкивается со многими трудностями и проблемами. Если взять все эти проблемы в совокупности, то их можно объединить в одну комплексную проблему - проблему развития банка в соответствии с его целями. В силу большой сложности и неоднозначности процессов, происходящих в банковской сфере, однозначных рецептов для решения указанной проблемы не существует. В связи с этим важнейшим инструментом выработки разумной стратегии развития является моделирование. Процесс создания модели и собственно моделирование - это сложнейшие многоэтапные процессы. Сначала формулируется проблема, определяется объект моделирования, описывается внешняя среда, определяются управляющие переменные, структуры или система управления. Затем производится детальная разработка модели на основе декомпозиции каждой подсистемы, т.е. расчленение ее на составляющие подсистемы, объекты, элементы, и формального описания каждого объекта и элемента. После получения математических выражений и формул начинается этап определения численных значений параметров модели. Затем производится разработка компьютерной версии модели, планирование эксперимента, моделирование и анализ полученных результатов. Важным этапом моделирования является оценка адекватности модели и отладка программной реализации модели.

Рассмотрим общий вид модели банка и частные оптимизационные модели банка. Модель деятельности банка (модель банка) представляет собой совокупность математических выражений, посредством которых описываются связи между переменными и параметрами, характеризующими финансово-экономическую деятельность банка.

Пусть,, - вектора входных, в том числе управляемых и неуправляемых переменных; - вектор внутренних переменных; y - вектор выходных переменных; , , - некоторые вектор-функции; - -мерное евклидово пространство.

Функции , , можно рассматривать как отображения некоторой произвольной точки из множества аргументов в множество значений:


; ; .


Функционал , отображающий входные переменные , в выходные переменные , являющийся суперпозицией функций и , т.е. , будем называть оператором модели банка.

Тогда, с учетом введенных обозначений, общий вид модели банка можно представить следующим образом:


. (2.2.1)


Таким образом, для построения модели банка необходимо:

-подобрать состав входных и выходных переменных;

-определить множество допустимых значений этих переменных;

-установить вид оператора модели;

-задать численные значения входных переменных.

Необходимо отметить, что данная форма представления модели банка не учитывает в явном виде в качестве независимой переменной время. В то же время, неявно, временной параметр может быть учтен путем представления процесса изменения исследуемых переменных в дискретной форме с помощью разностных уравнений.

Подробнее остановимся на основных элементах оптимизационной модели банка.

Полный перечень переменных банка как объекта моделирования достаточно велик. Отметим лишь наиболее важные группы переменных.

Среди входных переменных выделяются следующие группы:

-управляемые (контролируемые банком) переменные x;

-неуправляемые (не контролируемые банком, экзогенные, независимые) переменные , состоящие в свою очередь из двух подгрупп:

.переменные, характеризующие воздействие внешней среды ;

.неуправляемые случайные (стохастические) переменные .

Примерами управляемых банком переменных x могут служить объемы активов, пассивов, процентные ставки, структура финансовых ресурсов, распределение полученной прибыли, дивиденды и т.п.

К переменным, характеризующим воздействие внешней среды могут относиться макроэкономические параметры, характеризующие инструменты финансово-кредитной политики, налоговые ставки и т.д.

Неуправляемые случайные переменные используются для описания состояния рыночной среды (финансовых рынков), в которой действует банк, а также для описания динамики изменения депозитов (т.е. поведения потенциальных вкладчиков) и т.д.

Внутренние переменные (переменные состояния) характеризуют состояние ресурсов банка (можно сказать, ресурсов внешней среды, подвергающихся трансформации со стороны банка) в некоторый момент времени.

Выходные (эндогенные, зависимые) переменные описывают результаты финансово-экономической деятельности банка за определенный период времени, например, доходы и расходы банка.

Ограничения модели представляют собой записанные в математической форме условия, накладываемые на переменные модели и тем самым определяющие (явно или неявно) множества допустимых значений соответствующих переменных.

Можно сказать, что, за исключением одного основного (балансового) условия, все остальные ограничения могут конструироваться по-разному для каждого конкретного случая использования модели банка.

По своему содержанию такие ограничения можно объединить в следующие основные группы:

-юридические (правовые, нормативные) - устанавливаются на основе законодательных и иных нормативных актов государственных органов и нормативов ЦБ России; имеют обязательный характер для банка в целом;

-управленческие - формируются руководством банка самостоятельно и отражают стратегию и тактику управления банком; могут представлять собой форму задания некоторых целей банка;

-внешние (условия внешней среды) - устанавливаются банком самостоятельно на основе анализа и прогнозирования состояния внешней среды.

Оператор модели в простейшем случае представляет собой систему алгебраических уравнений, связывающих входные и выходные переменные модели банка. В случае построения динамической и стохастической модели оператор будет иметь более сложную структуру, отражающую интегро-дифференциальные связи.

Целевая функция модели формируется в случае, когда в рамках исследуемой модели решается оптимизационная задача, заключающаяся в нахождении наилучших (оптимальных в некотором смысле) значений управляемых переменных :


.


Формирование целевой функции - одна из наиболее важных и сложных стадий процесса построения оптимизационной модели банка. Если оптимизационная модель банка описывает финансово-экономические аспекты банка, то в качестве целей банка можно, например, рассматривать:

-увеличение суммы собственного капитала банка;

-повышение эффективности использования финансовых ресурсов банка;

-уменьшение риска;

-обеспечение ликвидности банка.

При формировании целевой функции следует учитывать следующие моменты:

-банк может распределять только ту часть прибыли, которая останется после уплаты налогов (чистая прибыль);

-одинаковые объемы чистой прибыли, относящиеся к различным моментам времени, имеют для банка разную ценность;

-банк стремится получать устойчивую прибыль на протяжении длительной перспективы.

С учетом этих моментов более точным аналогом второй цели является увеличение дисконтированной чистой прибыли от использования финансовых ресурсов банка в течение длительной перспективы.

Формирование целевых функций для риска и ликвидности - гораздо более сложный процесс, в силу менее конкретного содержания указанных понятий.

Под риском обычно понимают явление, заключающееся в наличии возможности отклонения реально полученных результатов финансово-экономической деятельности банка относительно их ожидаемых значений вследствие условий неопределенности.

Количественной мерой риска могут служить различные показатели:

-величина стандартного отклонения или дисперсии полученных фактических значений некоторой случайной выходной величины от ожидаемого значения ;

-коэффициент вариации .

Однако более конструктивным считается подход, связанный с формированием такого скалярного минимизируемого критерия, как дисперсия прибыли.

Другое, широко используемое понятие, - это "ликвидность", которое определяет способность банка за счет имеющихся у него активов своевременно выполнять свои обязательства перед клиентами банка (в особенности - перед вкладчиками банка).

Из сказанного следует, что банку желательно иметь более ликвидные активы. Однако увеличение ликвидности активов имеет определенные границы, которые устанавливаются за счет анализа объемов востребуемых пассивов, т.е. той ее части, на покрытие которой реально могут потребоваться высоколиквидные активы.

Другим важным фактором, объективно ограничивающим величину высоколиквидных активов, является обратная зависимость между ликвидностью и доходностью того или иного вида активов. Так, самый высоколиквидный актив (кассовая наличность) не приносит банку никаких доходов, в то время как процентные ставки по выданным банком долгосрочным кредитам обычно имеют наибольшие значения.

Параметры модели входят в состав ее ограничений, уравнений (оператора модели) и целевой функции. Параметры модели характеризуют свойства и структуру банка, остаются, как правило, неизменными на всем протяжении процесса моделирования или меняются по вполне определенному закону. Проблема математического моделирования деятельности банка достаточна многообразна и включает в себя практически все типы моделей: статические и динамические, детерминированные и стохастические, микро - и макроэкономические. В рамках этих моделей возникает широкий спектр оптимизационных задач, охватывающих основные аспекты банковской деятельности. К числу таких задач (их иногда называют моделями) относятся задача оптимального управления портфелем банка и общая динамическая задача оптимального управления банковской деятельностью. Решение указанных задач осуществляется на основе методов математического программирования (линейного, нелинейного, стохастического), принципа максимума, метода динамического программирования, а также методов векторной оптимизации.


2.3 Модели и задачи линейного и нелинейного программирования в банковской деятельности


Ответственные решения в современных целенаправленных системах планирования и управления должны быть в некотором смысле экстремальными или близкими к ним. Отступление от этого принципа обычно связано с излишними затратами (часто весьма значительными) и снижает эффективность управления (часто весьма существенно).

При моделировании банковской деятельности часто приходится сталкиваться с задачей математического программирования, которая может быть сформулирована следующим образом: найти значения переменных , которые удовлетворяют неравенствам


(2.3.1)


и обращают в минимум (максимум) функцию:


(2.3.2)


Вид функций и определяет класс задач математического программирования. Если все функции , , линейны, получаем задачу линейного программирования. Если хотя бы одна из функций нелинейна, имеем задачу нелинейного программирования.

Классические методы поиска экстремума в задачах нелинейного программирования тесно связаны с понятием выпуклой функции, седловой точки, необходимыми и достаточными условиями экстремума (теорема Куна-Таккера), функцией и множителями Лагранжа

План, набор команд управления или проект часто могут быть формально представлены в виде системы чисел или функций, удовлетворяющих определенным ограничениям - равенствам, неравенствам или логическим соотношениям. План, система команд управления или проект оптимальны, если они, кроме того, обращают в минимум или в максимум (в зависимости от постановки задачи) некоторую функцию от искомых параметров - показатель качества решения.

Записи (2.3.1), (2.3.2), вполне осмысленные при детерминированных значениях параметров условий задачи, теряет определенность и требует дополнительных разъяснений при случайных значениях исходных данных. Между тем во многих прикладных задачах коэффициенты целевой функции, элементы функции условий или составляющие вектора ограничений - случайные величины.

Исходная информация для планирования, проектирования и управления в экономике, как правило, недостаточно достоверна. Планирование производства обычно ведется в условиях неполной информации об обстановке, в которой будет выполняться план и реализовываться произведенная продукция. Во всех случаях в моделях математического программирования, к исследованию которых сводятся задачи планирования, проектирования и управления, отдельные или все параметры целевой функции и ограничений могут оказаться неопределенными или случайными, Естественный на первый взгляд путь анализа подобных задач-замена случайных параметров их средними значениями и вычисление оптимальных планов полученных таким образом детерминированных моделей - не всегда оправдан. При сглаживании параметров условий задачи может быть нарушена адекватность модели изучаемому явлению. Усреднение исходных данных может привести к потере полезной информации и привнести в модель ложную информацию. Решение детерминированной задачи с усредненными параметрами может не удовлетворять ограничениям исходной модели при допустимых реализациях параметров условий.


2.4 Постановка стохастической задачи


Разработать планы оптимальной системы финансовых портфелей банка не просто. Необходима слаженная работа целой группы квалифицированных специалистов: топ-менеджера, отвечающего за стратегию и управление финансовыми ресурсами банка, плановика или портфельного менеджера, задающего и корректирующего варианты планов портфелей, аналитика инструментов фондового рынка, аналитика-математика, обеспечивающего алгоритмическое решение оптимизационной задачи, и программиста, реализующего финансовые и математические идеи в виде программного обеспечения. Но даже при выполнении этих условий, т.е. наличия квалифицированных специалистов, при внедрении задач в банковскую деятельность встает вопрос: а будет ли вообще план полезен, если все время случайным образом меняется большинство параметров модели? Ответом на этот вопрос является постановка и решение задачи стохастического программирования, к рассмотрению которой мы переходим.

Рассмотрим, как следует составлять математическую модель задачи оптимизации для стохастической задачи. За основу возьмем модель линейного программирования:


(2.4.1)

(2.4.2)


Если коэффициенты в целевой функции - случайные величины, то возможны две постановки задачи оптимизации:

максимизация (минимизация) среднего значения целевой функции, которая называется М-постановкой;

максимизация вероятности получения максимального (минимального) значения, которая называется Р-постановкой:

Если случайными окажутся величины и , входящие в ограничения, то -тое ограничение записывается так:


, (2.4.3)


где - заданная вероятность, с которой должно быть выполнено ограничение.

Задача стохастического программирования в М-постановке


(2.4.4)

(2.4.5)


Для решения задачи следует перейти к ее детерминированному эквиваленту. В этом случае целевая функция записывается


. (2.4.6)


Детерминированный эквивалент ограничений имеет следующий вид:


, (2.4.7)


где - задаваемый уровень вероятности, с которой должно выполняться ограничение; - вычисляется с помощью функции от .

Введем обозначение


. (2.4.8)


Тогда детерминированный эквивалент задачи выглядит следующим образом:


(2.4.9)

(2.4.10)

(2.4.11)

(2.4.12)

.


Будем рассматривать ставшую уже классической стохастическую задачу оптимизации портфеля банка следующего вида:


Пр = ПЦБ ЦБ + ПКР КР - ИДВ ДВ - ИСД СД ; (2.4.13)

ЦБ + КР = ДВ + СД + К; (2.4.14)

ЦБ + КР < 100; (2.4.15)

,7 ЦБ + 0,3 КР < 0; (2.4.16)

КР > 35, (2.4.17)


где Пр - прибыль; ЦБ - ценные бумаги; КР - кредиты; ДВ - депозиты до востребования; СД - срочные депозиты; К - собственный капитал; ПЦБ и ПКР - прибыль на ценные бумаги и кредиты соответственно; ИДВ и ИСД - издержки по привлечению депозитов.

Алгоритм решения задачи стохастического программирования легко получить, используя приведенные выше соотношения, а также символику и методику решения задачи линейного программирования. При вводе исходных данных достаточно часто значения бывают неизвестны. В этом случае можно задать коэффициент вариабельности и, зная который, определить


(2.4.18)


2.5 Модели банка как совокупности стохастических финансовых процессов


Общей чертой моделей излагавшихся выше подходов является то, что они описывают деятельность банка в целом, представляя его в обобщенном виде. Теперь мы остановимся на методах, ориентированных на более подробное изучение закономерностей процессов, протекающих внутри финансовых институтов. В частности, особое внимание будет уделено средствам решения задач, возникающих в ходе привлечения депозитных финансовых ресурсов.

Очевидно, что как внешние условия, сопутствующие деятельности банка (финансовой фирмы), так и процессы, протекающие внутри него, являются результатом сложных и неоднозначных взаимодействий огромного числа факторов, причин, зависимостей и закономерностей, большинство из которых имеет случайную (вероятностную) природу. Причина этого в том, что работа банков в значительной мере сопряжена с риском и неопределенностью. В связи с этим достаточно привлекательными и конструктивными представляются идеи, касающиеся использования в экономико-математических моделях банковских структур инструментального аппарата теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания.

Достаточно хорошо зарекомендовали себя в этой области методы, связанные с подходом к описанию банка как совокупности стохастических финансовых потоков.

Способы, с помощью которых может быть описано текущее состояние банка или какого-либо иного финансового института, весьма разнообразны. Однако, наверное, одним из самых логически простых и естественных будет его представление с помощью вектора состояния или, как еще говорят, вектора характеристик:


(2.5.1)


Количественный и качественный состав компонент вектора определяется степенью детализации представления банка в модели. Это может быть, допустим, объем депозитов до востребования или же объем конкретного вклада, принадлежащего конкретному лицу.

Фактически данная форма описания состояния банка с содержательной точки зрения адекватна обычному банковскому балансу: компоненты вектора характеристик могут интерпретироваться как обычные статьи баланса, а их количество и структура соответствуют уровню его агрегированности (ежедневный, включающий счета второго порядка, или укрупненный квартальный).

Конкретные значения каждой из компонент вектора состояния определяются выбором единиц измерения для соответствующего ресурса (характеристики). Очевидно, что в подавляющем большинстве случаев это денежные измерители в той или иной валюте, но, в принципе, возможны и иные формы учета. Например, через перечисление видов, количество и номиналы облигаций или же через указание числа мерных слитков, веса драгоценных камней и т.п. Для обобщения допустимых способов исчисления значений компонент вектора состояний может быть введено понятие ресурсных единиц. Другими словами, состояние отдельного -го ресурса отождествляется с некоторым элементом множества неотрицательных действительных чисел , геометрическим образом которого является положительная полуось вещественной прямой. Таким образом, состояние банка в целом может быть представлено некоторой точкой неотрицательного ортанта -мерного евклидова пространства:



Множество всех возможных (допустимых) точек (векторов) образует пространство состояний банка.


.


На основе элементов вектора , представляющих собой первичные характеристики состояния банка, могут быть получены некоторые производные (вторичные) характеристики



Очевидно, что вектор производных характеристик при таком задании представляет собой функцию от вектора исходных характеристик



В качестве типичного примера вторичных характеристик состояния банка может быть приведена система обязательных финансовых нормативов (коэффициентов), устанавливаемых центральными банками или иными регулирующими органами.

Для того чтобы обеспечить в модели учет фактора времени, следует задать некоторое множество , элементы которого будем называть моментами времени. Особо подчеркнем высокий уровень абстракции такого способа ввода понятия "время", относительно которого существует и развивается моделируемая система. Очевидно, что данное определение охватывает в качестве частных случаев как непрерывное, так и дискретное время. Традиционно в качестве модели непрерывного физического времени используется множество точек бесконечной одномерной действительной числовой оси с фиксированным началом отсчета, а множество всех учитываемых моментов времени в этом случае представляет собой некоторый отрезок на этой оси (замкнутый или открытый):


или


При задании в модели банка непрерывного времени состояние -й характеристики может рассматриваться как значение функции , определенной на множестве и принимающей значения из множества . Тогда график играет роль траектории изменения во времени -й характеристики. Соответственно состояние банка в целом есть значение векторной функции от времени


(2.5.2)


а траектория системы представляет собой некоторую кривую в -мерном пространстве. Каждая точка такой траектории является элементом пространства возможных состояний банка .

На основе введенных выше понятий может быть определен принципиально новый термин - "поток". Поток (flow) - экономическая величина, которая измеряется в движении с учетом рассматриваемого временного интервала. Размерность потока - это объем, деленный на время. В то же время объем (stock, volume) - величина, характеризующая значение какого-либо показателя на некоторый фиксированный момент времени.

Содержательная сторона понятия "поток" связана с понятием скорости изменения состояния системы.

Если предположить, что функции , задающие траектории изменения характеристик состояния банка, являются "гладкими", т.е. дифференцируемыми во всех точках промежутка , то соответствующие первые производные


(2.5.3)


могут быть интерпретированы как скорости изменения этих характеристик. Учитывая, что является не чем иным, как объемом -го ресурса, выраженным в некоторых ресурсных единицах (р. е.), то функция представляет собой ресурсный поток, определяющий в каждый момент времени скорость изменения величины ресурса (-й компоненты состояния банка) в ресурсных единицах, деленных на единицы измерения времени. Например, в рублях в день. При рассмотрении конкретного ресурса мы получаем конкретные виды потоков: финансовый поток, денежный поток, поток наличности и т.п.

Динамика банка в целом может быть описана с помощью векторного ресурсного потока



задающего вектор скоростей изменения состояний изучаемого объекта в пространстве . При этом значение отдельной характеристики объекта (-й компоненты вектора состояния) для любого момента времени определяется по формуле


. (2.5.4)


С введением понятия ресурсного потока мы получаем возможность сформулировать модель, базирующуюся на представлении банка как системы (вектора) первичных ресурсных потоков


, (2.5.5)


Модель (2.5.5) является альтернативой модели (2.5.2), в основе которой лежит система (вектор) состояний. Основываясь на формулах (2.5.3) и (2.5.4), можно прийти к заключению, что оба способа формализованного представления банка при выполнении условий дифференцируемости функций будут эквивалентными.

Следующий шаг в процессе совершенствования рассматриваемого класса моделей связан с учетом в них факторов риска и неопределенности.

Для описания неопределенности, присутствующей в траектории состояний, в которых может оказаться исследуемый объект, удобно воспользоваться терминологией теории случайных процессов. Под случайным процессом (случайной функцией времени, стохастический процесс или вероятностный процесс) понимается функция которая может иметь ту или иную конкретную реализацию (траекторию) из некоторого фиксированного множества возможных траекторий

Обобщая сказанное, получаем, что в условиях неопределенности моделью динамики состояния банка может служить векторный случайный процесс



каждая компонента которого описывает стохастическую динамику -й характеристики (ресурса) банка. По аналогии фактор неопределенности, присутствующий в системе ресурсных потоков банка, может быть описан в формализованном виде при помощи векторного случайного процесса



Одновременно заметим, что модели, основывающиеся на задании стохастических процессов в общем виде, имеют исключительно теоретическое значение и предназначены лишь для изложения на принципиальном уровне идей применения соответствующего математического аппарата. Исследования, направленные на содержательный анализ закономерностей работы банков, так или иначе должны опираться на предпосылки, конкретизирующие тип и параметры используемых в них случайных величин и функций.

Рассмотрение моделей управления привлеченными ресурсами в финансовой фирме логично начать с моделей, носящих описательный характер, т.е. отражающих тенденции в поведении величины того или иного ресурса безотносительно к сознательным управляющим воздействиям на нее. Очевидно, изменения таких величин являются результатом влияния различных по своей природе факторов, носящих как по силе, так и по природе своего проявления случайный характер, что и предопределяет использование для отражения процесса изменения объемов финансовых ресурсов банка теории оптимального управления и теории случайных процессов.

Рассмотрим простейшая мультипликативная стохастическая модель динамики финансового ресурса. Исследование моделей поведения объемов ресурсов финансовой фирмы начнем с наиболее простой стохастической модели для отдельно взятого ресурса. В качестве наблюдаемого ресурса могут выступать, как привлеченные средства в целом, так и депозиты до востребования, срочные депозиты и т.д.

В основе исследуемой модели лежит предпосылка о возможности отслеживать объемы изучаемого ресурса через дискретные равноотстоящие промежутки времени . Обозначим через - объем в момент времени .

Предположим, что переход объема ресурса от момента времени к моменту времени описывается соотношением


, (2.5.6)


где - положительный коэффициент элементарного перехода от к


. (2.5.7)


Эта формула может быть интерпретирована как мультипликативная модель ресурса на дискретном отрезке времени .

Если наблюдаемые значения коэффициентов элементарных переходов интерпретировать как значения соответствующих случайных величин , то формула (2.5.7) дает следующую стохастическую мультипликативную модель динамики ресурса на дискретном отрезке времени :


, (2.5.8)


где - случайное значение величины ресурса в момент времени .

Предположим, что все случайные коэффициенты элементарных переходов независимы, и каждый из этих коэффициентов имеет логарифмически нормальное распределение . Иными словами, предполагается, что натуральный логарифм случайной величины имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и с дисперсией

Знание плотности распределения


, (2.5.9)


случайной величины позволяет найти математическое ожидание


, (2.5.10)


второй начальный момент

(2.5.11)

и дисперсию


(2.5.12)


случайного коэффициента элементарного перехода.


2.6 Исследование методов экономико-математического моделирования в прогнозировании деятельности кредитной организации


Последние годы ознаменовались выходом большого количества работ, посвященных теоретическим и методическим аспектам анализа финансового состояния объектов рыночной экономики. Однако обратной стороной этого, несомненно, позитивного процесса стало возникновение определенного дидактического вакуума вокруг проблематики математического моделирования экономических процессов, в первую очередь, банковской деятельности. Кроме того, следует учитывать, что работы зарубежных ученых не всегда возможно или достаточно затруднительно адаптировать к современному состоянию банковской системы нашей страны, так как подавляющее большинство финансово-экономических показателей и алгоритмов их расчета не соотносятся с отечественной методологией анализа деятельности банков и сформировавшейся системой учета.

Современные методики диагностики финансового состояния банка базируются на изучении, систематизации и обработке большого объема информации, содержащегося в официальной банковской отчетности. Кроме того, алгоритмы расчетов показателей достаточно громоздки и не всегда очевидны, поэтому итоговые данные не могут в полной мере доступно и наглядно характеризовать финансовую устойчивость кредитной организации.

Обращает на себя внимание и то, что любая работа в данной сфере может быть подвергнута критике либо за чрезмерную перегруженность математическим аппаратом и оторванность от реальной экономической проблематики, либо за отсутствие математической строгости и корректности.

Математическое моделирование в сфере банковской деятельности является практически не поддающимся научной формализации процессом. Попытки выделить общие принципы создания математических моделей, предпринимавшиеся неоднократно, приводили либо к декларированию агрегированных рекомендаций довольно общего характера, которые затруднительно использовать на практике, либо, напротив, к появлению результатов, применимых в действительности только к довольно узкому кругу специфических задач.

В настоящее время широкое распространение в области моделирования кредитной организации получил метод нейронных сетей. Данная технология характеризуется способностью к моделированию нелинейных процессов, работе с зашумленными данными и высокой адаптивностью. Принципиальное отличие искусственных нейросетей от обычных программных систем, в частности экспертных, состоит в том, что они не требуют программирования, настраиваются сами. Наиболее ценное свойство нейронных сетей заключается в их способности обучаться на множестве примеров в тех случаях, когда не известны закономерности развития ситуации и какие бы то ни было зависимости между входными и выходными данными, что особенно важно при моделировании в банковской сфере. Таким образом, нейронные сети способны успешно решать задачи, опираясь на неполную, искаженную, зашумленную и внутренне противоречивую входную информацию.

Но в то же время, попытки моделирования банковской деятельности при помощи нейронных сетей требуют большого количества данных и характеризуются трудностью построения самих сетей. Динамика в этом случае отображается множеством показателей. Это сужает возможности анализа и прогнозирования. Противоречивость формулировки в таких задачах является признаком неполноты описания распознаваемого объекта, а, в свою очередь, увеличение входных параметров (размера) приводит к неизбежному усложнению и так достаточно непростой сети. Но наиболее трудная часть создания и применения нейронных сетей - частый сбор данных и сложность их обеспечения. При этом нельзя не учитывать ошибки самих сетей и алгоритмов, а также необходимость в наличии глубоких знаний в области нейросетевого программирования и крайнюю ограниченность дидактического материла по данной тематике в иностранной литературе и, тем более, на русском языке.

В банковской сфере традиционными являются стохастические и детерминированные модели, а также модели на основе теории нечетких множеств. Симбиоз этих подходов позволяет построить наиболее адекватную модель деятельности банка.

Стохастические модели затронуты в работах П.В. Конюховского. Можно отметить его книгу "Микроэкономическое моделирование банковской деятельности", где представлены существующие в настоящий момент подходы к построению экономико-математических моделей, описывающих деятельность банков. Основное внимание уделено трем принципиальным направлениям банковской микроэкономики: моделям банков как институтов финансового посредничества, моделям, реализующим принципы производственно-организационного подхода, и моделям банка как совокупности стохастических финансовых потоков.

Довольно удачной попыткой моделирования кредитной организации можно считать работу И.Э. Амелина и В.А. Царькова "План-матрица развития Банка". В ней банк рассматривается как совокупность финансовых ресурсов и их потоков, которые взаимно влияют друг на друга, зависят от текущих рыночных условий и эволюционируют в соответствии с изменениями внешних и внутренних условий. Денежные запасы и финансовые потоки ресурсов представляются в виде векторов на входе и выходе операторных звеньев. В данной модели учтен широкий круг экономических показателей деятельности банка. Преимущества разработки заключаются в возможности оперативно рассмотреть множество различных вариантов развития банка, в наглядной и быстрой оценке влияния ряда видов рисков на динамику развития и на конечный финансовый результат.

Другими российскими учеными, обратившими внимание на данную проблему, являются Н.Е. Егорова и А.М. Смулов в их работе "Математические методы финансового анализа банковской деятельности" излагается типология экономико-математических методов, применяемых в банковском деле. В качестве типового примера анализируются оптимальная модель распределения кредитного ресурса и балансовая модель Сили. Разработанная имитационная система представлена в виде концептуальной нелинейной параметрической модели оптимизации деятельности крупного сберегательного банка, в состав которой входят специальные ограничения, обеспечивающие ликвидность и стабильность кредитной политики, и критерий максимизации процентного дохода объекта в условиях вариации процентных ставок.

Но все же недостатком работы можно считать, что в ней предлагается приближенный декомпозиционный способ решения задачи на основе имитационно-оптимизационного подхода. Разработанная динамическая модель функционирования банка состоит из набора взаимосвязанных блоков и представляет собой систему рекуррентных соотношений с наличием управляющих параметров. В модели рассматривается несколько видов агрегитивных депозитных и кредитных ресурсов, основных рисков и содержится около 100 соотношений различного типа, в том числе и нелинейные.

В заключение все же стоит заметить, что известные модели деятельности банков не описывают в полном объеме объект моделирования. Каждая из них имеет узконаправленное назначение. Построение модели, максимально полной по типам операций и по функциям, использование системного подхода к моделированию - основная задача математического моделирования деятельности банков.

Глава 3. Управление портфелем ценных бумаг в банковском бизнесе


3.1 Основные стратегии эффективной деятельности банков


Основными условиями эффективной деятельности банков на финансовом рынке страны сегодня являются:

.качественное управление, служащее критерием оптимального функционирования банка в сочетании с положительными личностными качествами руководителей и менеджеров банка;

2.использование комплекса разработанной стратегии и делового бизнес-планирования банка в его текущей деятельности с тщательным анализом отклонений и учетом реальности решаемых задач;

.управление кредитным портфелем как основным источником банковских рисков, оптимизация операций с активами и пассивами банка, эффективная инвестиционная и трастовая политика;

.запрет рискованной и ненадежной банковской практики в сочетании с достаточностью контроля и аудита, ответственностью кредитования, обеспечением ликвидности ресурсов финансирования операций, достаточности капитала, резервов по ссудам и лизингу и др.

Приход иностранных банков на финансовый рынок России обострил конкуренцию, обусловил применение банками методов стратегического планирования и управления. Любой коммерческий банк как деловой субъект хозяйствования может избрать для себя следующие стратегии (рис.3.1.1):

-традиционную (поступать по аналогии с большинством банков, довольствуясь достигнутым);

-оппортунистическую (поиск новых сегментов финансового рынка на основе глубоких знаний ситуации на товарном, фондовом, валютном, денежном рынках);

-оборонительную (стремление не отстать от других банков) или зависимую, присущую обычно мелким банкам;

-наступательную (завоевание ведущей позиции на рынке банковских услуг через нестандартные решения, глубокий и обширный анализ и маркетинг рынка, и другие новации).

Для российских банков наиболее перспективна наступательная стратегия, проявляющаяся не столько в расширении присутствия на финансовом рынке через создание сети своих филиалов и отделений, сколько в расширении спектра банковских услуг. Если в среднем зарубежные банки сегодня оказывают своим клиентам до 300 операций, то российские - лишь 15-20. Однако до ввода на рынок нового финансового продукта необходимо осуществить анализ всех связанных с ним рисков, и если при этом цена на новый продукт не дает разумной доходности, от него следует отказаться.

Сегодняшнее сдерживание процессов трансформации накоплений и инвестиций в России определяется высокими макроэкономическими рисками, отставанием институциональных преобразований, неопределенностью прав собственности, слабостью институтов государственной власти, неразвитостью рынка капитала. Сокращения уровня макроэкономического риска можно достичь:

-поиском равновесия между совокупным спросом и совокупным предложением;

-путем сопоставления выгод и издержек, оценки и моделирования риска при изменениях одного (ряда) параметра (ов) в деятельности банков;

-применением стратегического планирования, обеспечивающего взаимосвязь макро - и микромоделей, улучшение распределения ресурсов, внутреннюю согласованность и координацию, организационное предвидение, обоснованность прогнозов. Реализация стратегии привлечения иностранных и отечественных инвестиций в развитие производства требует разработки комплексной системы мер по минимизации рисков.


Рис. 3.1.1 Этапы разработки стратегического плана


Крайне важен анализ инвестиций, ценных бумаг, предоставления кредитов, организации эмиссии и распространения ценных бумаг. Финансовая устойчивость и риски клиентов банков должны рассматриваться с учетом стабильности и надежности банковской системы, приближения экономических нормативов ведения банковских операций, бухгалтерского учета и других видов отчетности к международным стандартам, а также ввода жестких ограничений на рискованные вложения.

Минимизации рисков добиваются на основе комплексного метода расчета риска, включающего: соблюдение экономических нормативов банковской ликвидности; определение размера допустимого совокупного риска банка, а также прогнозирование их развития.

Частные методы расчета рисков базируются на создании шкал коэффициентов риска или субъективном взвешивании риска по отдельной операции или их группам (например, операции с ценными бумагами, с краткосрочными межбанковскими депозитами, с остатками средств на корреспондентских счетах и т.п.).

Банковский риск - индивидуальная конкретная величина, определяемая обычно из субъективной позиции каждого банка по каждой банковской операции.

По времени основные банковские операции подвержены прошлому, текущему, а иногда и будущему риску. Текущий риск включает операции по выдаче гарантий, акцепты переводных векселей, документальные аккредитивные операции и др. При наступлении времени оплаты, если банк не учел вероятность потерь, он несет ответственность за выдачу гарантий. Распределение риска во времени играет важную роль в прогнозировании возможных потерь, и его учет позволяет банку избежать воздействия прошлых рисков и ошибок в будущей деятельности. Часто кредитный риск, возникающий по балансовым операциям, влияет на внебалансовые операции (например, при банкротстве предприятий, когда важно учитывать величину возможных потерь по одной и той же деятельности, проходящей по балансовым и внебалансовым счетам одновременно); при валютных операциях следует учитывать не только валютный риск, но и рыночные риски по операциям с ценными бумагами, с вексельными и казначейскими обязательствами, биржевыми индексами и др.

По степени управления риски подразделяются:

-на открытые, управляемые с помощью методов взвешивания и дифференциации рисков при учете внешних, отраслевых, региональных рисков, анализа состояния клиента банка, его платежеспособности, рефинансирования кредитов и их диверсификации, выдачи крупных кредитов на консорционной основе, использования плавающих процентных ставок и др., что позволит банкам избежать непредусмотренных потерь и четко определить их совокупный размер;

-на внутренние риски, возникающие при совершении финансово-денежных и валютных операций, подразделяемые на кредитные, финансовые, операционные, контрольные за правильностью проведения валютных операций.

В группе кредитных рисков обязательны проверка репутации контрагентов, наличия соответствующего покрытия по установленным лимитам, получение гарантии платежа. В группе финансовых рисков обязателен учет сроков торговли валютой, действия форвардных сделок. В группе операционных рисков необходим учет качества работы персонала банка, использование методов кадрового планирования, ротации, рекруитмента и маркетинга кадров, аудиторской проверки, распределения ответственности, создания систем обеспеченности информацией. Контрольные риски связаны с диагностикой соответствия заключения и аннулирования сделок, противоречащих международным нормам валютных рынков, правилам обмена информацией, ведения бухгалтерского учета.

Страхование в банковской деятельности покрывает две разновидности рисков - экономические, или коммерческие, и политические, зависящие от деятельности конкретных заемщиков и действий государства. Выделяют также риски активных и пассивных операций коммерческих банков, заключающиеся в опасности потерь от неплатежей по основному долгу и проценту, причитающемуся кредитору.

Объектами страхования обычно являются коммерческие кредиты, банковские ссуды, обязательства и поручительства по кредиту и др. При неплатежеспособности должника или неоплате долга по иным причинам задолженность погашается страховой организацией.

Страхование может проводиться в формах:

-страхование ответственности заемщиков за непогашение кредитов (страхователем выступает заемщик, объектом страхования - его ответственность перед банком-кредитором за своевременность и полноту погашения кредита, в том числе процентов);

-страхование риска непогашения кредита (страхователем выступает банк, объектом страхования - ответственность всех (части) заемщиков перед банком за погашение кредита).

При оценке инвестиционных рисков необходимо учитывать: неопределенность интересов и поведения участников рынка (проекта); неполноту или неточность информации о финансовом положении, деловой репутации предприятий, о возможности неплатежей, срывов договорных обязательств, банкротств. Снижения этого вида рисков можно достичь за счет дополнительных затрат на создание резервов, на совершенствование технологий, на повышение качества продукции и ее патентозащищенности и сертификации.

Рассмотрим методы оптимизации и управления деятельностью банков на фондовом рынке и формирования портфеля ценных бумаг, являющихся относительно новым для России финансовым инструментом.


3.2 Управление капиталом, активами и пассивами банка


Управление собственным капиталом коммерческого банка должно исходить из сочетания прибыльности и ликвидности. Источники формирования собственного капитала банка, как правило: выпуск акций, продажа долговых обязательств, прирост резервов на покрытие непогашенных ссуд и распределенная прибыль, внебалансовая деятельность банка. Наиболее привлекательно увеличение собственного капитала через выпуск акций, так как по существующему законодательству банк-эмитент не обязан выкупать акции у акционеров и даже при положительном сальдо может отказаться от выплаты дивидендов, мотивируя это решение необходимостью повышения устойчивости банка. В то же время при увеличении резервов собственного капитала растет уровень безопасности банка и его ликвидности, но при этом при прочих равных условиях снижается их доходность.

Анализ рынка банковских услуг позволяет получить информацию об условиях привлечения вкладов другими банками определенного региона (государства). Банк окажется более конкурентоспособным, если сможет предложить более выгодные условия вкладов, новые финансовые инструменты и продукты, более высокий уровень обслуживания, консалтинг и др., надежность и конфиденциальность вкладов.

Портфельный подход управления активами банка можно выразить целевой функцией вида:



где - стоимость активов банка; - абсолютный уровень цен; - ставка доходности денег; - ставка доходности актива ; - ставка

доходности актива (абсолютный уровень цен); - норма доходности от величины богатства банка; - доход банка; - уровень совокупного риска; - логический знак ИЛИ. Активы , - ликвидные ценные бумаги, акции, облигации, векселя, обязательства и др.

Структура портфеля активов - функция от нормы доходности денег, активов ,, (богатство банка, выраженное в труднореализуемых активах - недвижимости, драгоценных металлах, антиквариате и т.п.). Из целевой функции следует, что средний доход от портфеля активов - это средневзвешенная величина доходов от отдельных активов (банковские депозиты, ссуды, ценные бумаги, акции, облигации, векселя, государственным казначейские облигации и др.); недвижимость и другие объекты материальной собственности, принадлежащие банку.

Структура портфеля активов должна строиться таким образом, чтобы получить максимально возможную в конкретной ситуации на финансовом рынке прибыль от активов.

Портфельный подход в формировании активов заключается в максимизации полезности (максимизации доходности активов) при одновременной минимизации рисков за счет диверсификации. Снижение риска путем сочетания активов (диверсификации портфеля) является обычным эффектом при хранении портфеля.

Управление портфелем активов; изменение его структуры с целью достижения максимума дохода базируется на методах прогнозирования и анализа динамики процентной ставки по банковским депозитам, так как предельный доход от таких активов как разновидности ценных бумаг, недвижимости и др. должен быть не ниже доходности, получаемой от банковских депозитов. При изменении процентной ставки и уровня доходности по различным активам изменяется структура активов. При портфельном управлении активами соотношения между активами определяются стремлением банков свести к минимуму риски и добиться максимума доходности. Так как это противоречивая задача (рис.3.2.1 а), то кривая OF отражает зависимость сочетания доходности и риска от различных активов.

Поскольку формирование портфеля активов во многом определяется избранной стратегией банка, корректируемой с учетом складывающейся ситуации на финансовом рынке, то процесс управления портфелем включает в себя следующий алгоритм.

1.Четкое определение и формализация целей банка в виде математических критериев оптимизации при рациональном сочетании ограничений по уровням доходности и риска.

2.Разработка стратегии банка на основе анализа текущей ситуации на финансовом рынке, предложения новых финансовых инструментов и продуктов и выбора оптимального сочетания направлений диверсификации и новых направлений деятельности банка.

.Реализация определенной стратегии банка с формированием оптимального портфеля активов на базе качественного прогноза наступления той или иной ситуации на финансовом рынке и определения вероятности ее наступления. Заметим, что чем точнее определены текущие ситуации на финансовом рынке, тем меньше уровень риска и неопределенности - уровня инфляции, изменения процентной ставки, номинальной и реальной норм процента, определяемых по формулам:



где - ожидаемые темпы инфляции, - реальные денежные остатки (номинальная денежная масса / уровень цен); - фактически полученный внутренний валовой продукт;

где - реальная (номинальная) ставка процента; - темпы роста инфляции.


Рис.3.2.1 Управление портфелем ценных бумаг:

а) - оптимизация величины риска в зависимости от объема активов; б) - оптимизация портфеля ценных бумаг; г) - распределение уровней рисков.


Анализируя долю ценных бумаг в структуре активов, необходимо учитывать, что норма процента на абсолютно надежные ценные бумаги обусловлена неопределенностью будущих процентных ставок. В целом структура активов должна изменяться в зависимости от ситуации на финансовом рынке. "Старение" активов (т.е. снижение темпов их роста применительно к стоимости акции) является предупредительным сигналом о неэффективности управления портфелем активов, поэтому для расчета нормы дохода по портфелю применяют формулы:


,


где - стоимость акции; - последний выплаченный дивиденд в предыдущий период (дивиденды в течение периодов); - известная ожидаемая доходность от повторного инвестирования акции; - постоянный ожидаемый темп роста дивидендов по акциям;


,


где - норма доходности всего портфеля; - нормы доходности отдельных активов; - доли соответствующих активов в портфеле.


3.3 Управление портфелем ценных бумаг


Как уже отмечалось, целью формирования портфеля ценных бумаг является стремление к максимизации полезности портфеля и к достижению возможно более высокой кривой безразличия. Если отобразить взаимодействие величины активов банка, определяющих его возможности на рынке ценных бумаг, и кривых риска (рис.3.2.1, а), то можно утверждать, что с ростом уровня доходности возрастает и уровень риска (их соотношение показано на кривых риска или траекториях линий безразличия между риском и доходами). Линия ОA (касательная из начала координат к кривой риска отражает потенциальные возможности банка, определяемые объемом активов, представленных в ценных бумагах. В точке пересечения кривой безразличия и линии возможностей ОА достигается оптимальное сочетание соотношений уровня риска и доходности при данных темпах роста активов.

Формирование портфеля ценных бумаг осуществляется с учетом:

-равенства предельных полезностей по всем видам активов (т.е. прирост дохода от дополнительных инвестиций в акции должен быть не ниже, чем прирост дохода в облигации или другие ценные бумаги):


;


-преобладающего соотношения уровня дохода над уровнем риска (рис.3.2.1, а), т.е. чем больше размер портфеля, тем больше его полезность.

Фактор неопределенности выступает источником повышенной прибыли и высокого риска при формировании портфеля ценных бумаг. В этой ситуации следует учитывать:

.капитальный риск (риск вложения в ценные бумаги по сравнению с другими активами, например, в недвижимость);

2.селективный риск (риск вложения в конкретные акции компаний, облигации и др.);

.временной риск, связанный с выбором момента времени покупки определенного типа ценных бумаг;

.риск законодательных изменений (изменение правил приватизации через акционирование, налоговой политики и др.);

.процентный риск (изменение процента по банковским вкладам, влияющее на текущую стоимость ценных бумаг);

.риск ликвидности (возможные потери капитала из-за сложности реализации ценных бумаг);

.кредитный риск (угроза невыплаты процентов по ценным бумагам, например, по процентным векселям компаний, которые после их эмиссии не могут выплатить проценты);

.инфляционный риск (обесценение доходов с ценных бумаг с течением времени).

Перечисленные виды рисков можно существенно уменьшить путем формирования диверсификационного портфеля, содержащего самые разнообразные типы ценных бумаг. Однако полностью устранить инвестиционный риск нельзя, так как кроме диверсификационных рисков (т.е. специфических рисков, присущих конкретным корпорациям или финансовым активам и исключаемых посредством диверсификации инвестиций) при вложениях капиталов присутствуют еще и недиверсификационные, или систематические, риски, присущие конкретной экономической системе в целом или отдельному рынку и не поддающиеся диверсификации. Мерой диверсификационного риска по тому или иному финансовому активу выступает коэффициент , позволяющий спрогнозировать возможные изменения на финансовом рынке, определить наиболее благоприятные условия для инвестирования, сделать выбор набора ценных бумаг для портфеля:



Как меру систематического риска коэффициент можно определить

по следующей формуле:


,


где - ставка доходности по конкретным ценным бумагам (акциям); - средний доход по конкретным акциям (по рынку); - фактический доход по рынку.

Заметим, что понятие "рыночный портфель ценных бумаг" характеризуется двумя основными требованиями:

1.максимально большим количеством самых разных ценных бумаг,

2.высокой степенью риска активов портфеля.

Если , то степень риска актива или всего портфеля ценных бумаг считается высокой, при - средней, а при - низкой. Коэффициент зависит только от систематического риска, поэтому стабильность риска рыночного портфеля достаточно высока из-за пересмотра его через фиксированные интервалы времени. Чем больше разнообразие ценных бумаг, входящих в портфель, тем меньше риск (рис. 3.2.1, г), причем максимальный эффект диверсификация дает на 10-12 видах ценных бумаг, присущих различным компаниям или предприятиям, функционирующим в различных относительно независимых отраслях, что может дать дополнительный эффект. Следует учитывать, что при большом числе ценных бумаг () диверсификационный риск становится ничтожным, и общий риск определяется его систематической составляющей. Поэтому при правильной оценке систематического риска и правильном расчете объемов и количества ценных бумаг эффективность портфеля ценных бумаг может оказаться максимальной.

Следовательно, управление портфелем ценных бумаг - искусство выбора набора ценных бумаг и распоряжения им так, чтобы он не только сохранял свою стоимость, но и приносил высокий доход инвестору, не зависящий от уровня инфляции.

Выбор наилучшей тактики при управлении портфелем ценных бумаг. Процесс управления портфелем ценных бумаг в общем случае включает в себя следующие процедуры:

1.формализацию целей инвестирования, задание предпочтений инвесторов для последующего выбора той или иной стратегии управления портфелем ценных бумаг;

2.создание портфеля ценных бумаг с выбором средств тактики управления;

.отслеживание, анализ и контроль социо-техно-экономических факторов, влияющих или могущих вызвать изменения в структуре портфеля ценных бумаг;

.измерение параметров эффективности портфеля (оценки соотношения уровней дохода и рисков).

Четкость формулировки целей инвестиций обусловливает правильность учета условий формирования портфеля ценных бумаг, ориентацию субъекта рынка на долго-, средне - или кратковременную отдачу от капиталовложений в виде соответственно стабильного, умеренного или высокого уровня доходов. Оценки инвестиций подразделяются на относительные (оценка, например, доходности акций по сравнению с доходностью облигаций и денег), факторные (анализ доходов, дивидендов, денежного потока) и динамические (анализ предыдущей деятельности, текущих операций и прогнозирование перспектив роста).

Рассмотрим относительные оценки инвестиций. Оценка доходов акций и облигаций неразрывна с оценкой рисков; при этом обычно применяют оценки гибкого реагирования, предусматривающие:

-формирование частных показателей (отдельных видов ценных бумаг);

-определение веса каждого показателя (с общей суммой весов по всем показателям, равной единице);

-разработку шкал относительной важности или таблицы с указанием набора видов ценных бумаг, их количественной оценкой и расчетом удельных весов по каждому частному показателю (уровням доходности , ликвидности , стабильности и др.) и удельных весов конкретного вида актива в портфеле ценных бумаг.

Уровень риска при этом по каждому активу определяется как функция по каждой альтернативе инвестирования в ценные бумаги. Суммарный уровень общего риска портфеля ценных бумаг можно определить по формуле:



Оценивая возможные или выбранные варианты инвестиций в ценные бумаги с позиций максимизации эффективности и минимизации риска, можно определить области их "согласия" и "компромиссов", т.е. построить кривую безразличия, на которой значения рангов предпочтения доходности и ликвидности для лиц, принимающих решения, равноценны (рис.3.2.1, в). Если по оси ординат отложить облигации определенных эмитентов, а по оси абсцисс - акции, то прямая означает полезность отдельных активов, кривые и - совокупную полезность всех акций и облигаций соответственно. Откладывая количество акций и облигаций, получим график, любая точка которого означает некоторый набор акций и облигаций, а ее проекция на ось - величину полезности, обеспечиваемую данным набором активов. Соединив все проекции вершин точек графика на ось , получим плоскость полезности (доходности) активов, на которой кривые безразличия , , означают равенство предпочтения доходности и ликвидности (рис.3.2.1, б), т.е. любая точка на кривой дает одинаковую доходность активов. Если провести линию бюджетных ограничений , определяемую стоимостью активов всего портфеля (из акций и облигаций), то получим точку, В которой сочетание активов при заданном объеме портфеля является оптимальным. Если в результате изменения ситуации на финансовом рынке удельный вес ценных бумаг в общей стоимости активов банка изменится, то с кривой перейдем на более высокую (при росте доли ценных бумаг) или на более низкую (при уменьшении этой доли). Заметим, что анализ соотношения уровней доходности и риска по ценным бумагам различных эмитентов может вестись непрерывно.

Исследуем факторные оценки. При факторном анализе эффективности инвестиций в ценные бумаги учитывают следующие показатели:

.срок окупаемости инвестиций , определяемый отношением цены ценной бумаги к чистой прибыли :



.коэффициент покрытия , определяемый как отношение чистого дохода на одну акцию к дивиденду на одну акцию :



Если , равен 1 или близок к единице, то на следующий год доходы упадут, и дивиденд окажется непокрытым. Коэффициент покрытия должен быть таким, чтобы , так как если компания не финансирует свой рост, то она должна выпускать новые акции или брать займ, или она отмирает и исчезает с рынка;

.доходность акций определяется отношением чистого дохода на одну акцию к рыночной цене акции :



Далее этот доход на собственность акционеров сравнивается с доходностью акций и определяется как дивидендный доход, отнесенный к курсовой цене акции. Пусть 50% чистого дохода идет на выплату дивидендов, тогда доходность акций составляет . Эту величину сравниваем с доходностью по депозитным вкладам. Если же при росте чистых доходов доход на одну акцию снижается, то это рассматривается как положительный показатель, свидетельствующий о развитии компании. Эксперты могут проводить наиболее оптимальные варианты инвестиций в ценные бумаги, осуществляя поиск перспективных, но не замеченных пока рынком компаний, прогноз будущих доходов и дивидендов, дисконтируя их на настоящее время, определяя текущую стоимость будущих доходов и сопоставляя их с затратами на инвестирование.

При долгосрочном инвестировании банк должен проводить глубокий анализ на следующих трех уровнях экономики с целью прогноза своих будущих доходов и неизбежных рисков:

1.изучение состояния экономики страны, ее финансового рынка и прогнозирование возможных вариантов их развития;

2.детализированный тщательный анализ отраслей и подотраслей экономики страны с целью определения наиболее перспективных сфер вложения;

.анализ макроэкономической информации с комплексом показателей, характеризующих инвестиционные риски в региональном и отраслевом разрезе.

При определении основных направлений инвестиционной политики некоторые российские банки учитывают следующие показатели: принадлежность к инвестиционно-привлекательной отрасли, региону; привлекательность для иностранного капитала; капитализация (степень реализации) проекта; сочетание инвестиционного капитала и участия в собственности предприятия; финансовое положение участников проекта; показатели эффективности (внутренняя норма доходности, срок окупаемости, денежное покрытие, показатели устойчивости проекта).

Анализ инвестиционного риска по отраслям связан с исследованием в динамике следующего перечня показателей:

1.объема реализованной продукции


,


где - цена базисного года; объем продукции базисного года; - объем реализации продукции в периоде ;

2.темпов роста цен реализации



3.темпов производительности труда в отрасли



где - затраты на единицу продукции, определяемые из статей затрат сферы управленческого учета;

4.качества продукции, ее конкурентоспособности на внутреннем рынке;

5.емкости внутреннего рынка на продукцию отрасли, основных производителей;

.материалоемкости, энергоемкости, фондоотдачи, фондоемкости продукции отрасли, ее экспортных возможностей, зависимости от импорта, перспектив развития потребности мирового рынка в продукции отрасли.

На основании тщательного финансового и управленческого анализа данных показателей за ряд лет и прогнозирования их развития на будущее определяют интегральный показатель инвестиционного риска, оцениваемого по модели множественной корреляции:



где - уровень инвестиционного риска, () - множество факторов, определяющих инвестиционный риск в отрасли.

По окончании расчета регионального и отраслевого рисков необходим расчет дополнительных технико-экономических показателей.

Рассмотрим тактику управления портфелем ценных бумаг. При определении наиболее эффективных альтернатив инвестиций необходимо в зависимости от стратегии банка дифференцировать инвестиции: по объектам (реальное производство, финансовые активы, нематериальные инвестиции - реклама, обучение); по целям (создание предприятий, замена и восстановление изношенных основных производственных фондов, проведение рационализации); по срокам (кратко-, средне - и долгосрочные).

Инвестиции могут быть портфельными и венчурными, имеющими свои особенности в достижении определенной доходности и уровня риска. Применение банками системы перекрестного владения акциями способствует дальнейшему развитию процессов концентрации и централизации банковского капитала, сращивания его с промышленным и корпоративным, но в период экономического кризиса подобная взаимозависимость обусловливает нестабильность финансового рынка.

Тактику управления портфелем ценных бумаг можно выбирать на основе матрицы (см. таблицу) учитывающей способности инвестора как в вопросах выбора наборов ценных бумаг, так и умения прогнозирования складывающихся ситуаций на рынке, с осуществлением комплекса оперативных действий.

Например, если инвестор плохо выбирает ценные бумаги, учитывает время, ему рекомендуется делать упор на анализе и оценке общего уровня риска для его портфеля, а затем на создании хорошо диверсифицированного портфеля с постоянным уровнем риска.

Если инвестор уверен в своем умении прогнозирования ситуаций на рынке, он может менять состав своего портфеля в зависимости от рыночных изменений.

Если же инвестор способен на эффективный выбор ценных бумаг, ему следует отказаться от диверсификации и создавать портфель из ценных бумаг с высоким уровнем дохода.

В зависимости от принятой стратегии банки используют методы и тактику активного или пассивного управления портфелем ценных бумаг.


Таблица. Рекомендации по выбору эффективного портфеля ценных бумаг

Способность ЛПР по выбору ценных бумагСпособность ЛПР предсказать состояние рынка ЦБ хорошаяПлохаяХорошая1. Сконцентрировать средства в выбранных ценных бумагах без диверсификации 2. Сместить коэффициент ? выше или ниже желаемого долгосрочного уровня основанного на прогнозе рынка2. Держать коэффициент ? на желаемом долгосрочном уровнеПлохая1. Создать диверсифицированный портфель1. Создать максимально диверсифицированный портфель2. Сместить коэффициент ? выше или ниже желаемого долгосрочного уровня основанного на прогнозе рынка2. Держать коэффициент ? на желаемом долгосрочном уровне

1.Пассивное управление базируется на предположении, что рынок достаточно эффективен для достижения успеха в подборе ценных бумаг или в учете времени и не следует забегать вперед (как при активном управлении). Суть тактики пассивного управления состоит в создании хорошо диверсифицированного портфеля с заранее заданными уровнями риска и в сознательном поддержании стабильного состояния портфеля ценных бумаг (они характеризуются, как правило, низким оборотом, минимумом накладных расходов и низким уровнем рисков). Важнейшим элементом при этом является создание индексного фонда, обеспечивающего контроль за риском и нормальную деятельность портфеля (индексный фонд - это портфель, зеркально отображающий движение выбранного индекса, характеризующего состояние фондового рынка; если доля -й компании при подсчете индекса Доу-Джонсона составляет, к примеру, 10%, то инвестор, стремящийся к созданию портфеля ценных бумаг, адекватно отображающего состояние всего рынка ценных бумаг, должен также иметь в своем активе 10% акций данной компании из общего числа ценных бумаг портфеля).

Другим методом пассивного управления выступает метод сдерживания портфелей, суть которого состоит в инвестировании в неэффективные ценные бумаги, когда выбираются акции с минимальным соотношением цены к доходу, позволяя получать доход от спекулятивных операций на бирже (при падении цены их покупают, а при росте цены их продают).

.Активное управление портфелем ценных бумаг основано на использовании сложных технологий сокращения риска и применении форвардных сделок, опционов, фьючерсов и свопов.

Своповые операции при активном управлении портфелем ценных бумаг применяются с целью предотвратить обесценение портфеля активов. Классический своп - это взаимодействие дилеров на фондовом рынке, придерживающихся различных позиций по тенденциям изменения процентных ставок и их влияния на будущую стоимость ценных бумаг, выбору набора кратко-, средне - или долгосрочных операций, обусловливающего получение высокой прибыли. Операции свопинга означают постоянный обмен, ротацию ценных бумаг через финансовый рынок с использованием операций, основанных на продвижении учетной ставки, "подмены", "сектор-свопа" и др. Например, свопинговые операции "подмена" базируются на том, что обмениваются две похожие, но не идентичные ценные бумаги. Например, облигации компании ABC с 15% -ным доходом и сроком погашения 10 лет и облигации финансовой компании на 8 лет с 10% дохода, причем первая ценная бумага продается на 10 пунктов больше, чем вторая. Менеджер, имеющий ценные бумаги второго вида, может провести свопирование ценных бумаг первого вида, так как 10 пунктов добавочного дохода с продлением срока действия облигации на два года являются довольно высокой прибавкой.

Довольно сложные операции "сектор-свопа" обеспечивают перемещение ценных бумаг из разных секторов экономики с различным сроком действия, доходом и т.п., а также ценных бумаг, отличающихся своими показателями от бумаг со средними показателями. При получении информации об исчезновении факторов, вызывающих эти отличия в характеристиках ценных бумаг, банк может осуществлять оперативные операции купли-продажи. В целом операции свопинга позволяют практически устранять такие виды рисков, как селективный, процентный, временной, инфляционный, но при условиях качественной проработки и выбора наилучшей стратегии банка и долгосрочных прогнозов состояния финансового и фондового рынков.


3.4 Формирование оптимального портфеля ценных бумаг


На финансовом рынке обращается множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.д. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить? Малорисковые ценные бумаги, как правило, и малодоходны, высокодоходные, как правило, более рисковые. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Предваряя точные математические постановки, констатируем очевидную общую цель инвестора - вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля - это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть , а через год она окажется равной , то естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Т.е. доходность портфеля - это доходность на единицу его стоимости.

Пусть - доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг -го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть - доходность в процентах годовых ценных бумаг -го вида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля . С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен , с другой - стоимость бумаг -го вида увеличиться с до , так что суммарная стоимость портфеля будет равна . Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем .

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли.

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть , - средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. - математическое ожидание доходности и , где - вариация или дисперсия -ой доходности. Будем называть , соответственно эффективностью и риском -ой ценной бумаги. Через обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг -го и -го вида (или корреляционный момент ).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть обозначим его через . Дисперсия доходности портфеля есть . Так же, как и для ценных бумаг, назовем эффективностью портфеля, а величину - риском портфеля . Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией .

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариации.

Портфель Марковица минимального риска. Существует несколько вариантов задач оптимизации рискового портфеля. Мы рассмотрим только одну. Это так называемый "портфель Марковица". Эта задача была сформулирована и решена американским экономистом Г. Марковицем (H. Markovitz) в 1952 году, за что позднее он получил нобелевскую премию.

Пусть имеются видов ценных бумаг, из которых инвестор хочет сформировать портфель. Необходимо найти , минимизирующие вариацию портфеля


(3.4.1)


при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля ,


. (3.4.2)


Поскольку - доли, то в сумме они должны составлять единицу:


. (3.4.3)


Оставив за инвестором выбор средней эффективности портфеля и помогая ему минимизировать в этом случае неопределенность, получаем следующую задачу по оптимизации портфеля ценных бумаг:


(3.4.4)


Это задача квадратичного программирования. Опустив условия неотрицательности переменных, получаем собственно задачу Марковица.

Решение.

С помощью функции Лагранжа сведем задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум:


(3.4.5),

, . (3.4.6)


производные по , воспроизводят указанные выше два соотношения, тем самым для переменных , , получаем уравнения.

Запишем полученные уравнения в матричной форме, используя следующие обозначения:


, (3.4.7)


Штрих применяется для обозначения операции транспонирования матрицы.

- матрица ковариаций, - обратная ей матрица. Следовательно уравнения (3.4.6) примут вид:


,

, (3.4.8)

.


Основное допущение этой модели состоит в том, что между эффективностями нет линейной связи, поэтому ковариационная матрица невырождена , следовательно, существует обратная матрица . Используя этот факт разрешим в матричной форме относительно :


, (3.4.9)


подставив это решение в первое и второе условия, получим два уравнения для определения и :


(3.4.10)


Решая два последних уравнения по правилу Крамера, находим


(3.4.11)


Подставляя это решение в (3.4.9) получаем следующую структуру оптимального портфеля:


(3.4.12)


Простой подстановкой убеждаемся, что и .

Кроме того, находим минимальную дисперсию, соответствующую оптимальной структуре:


(3.4.13)


Тогда , что и является минимальным риском портфеля.

Если , то это означает рекомендацию вложить долю наличного капитала в ценные бумаги -го вида. Если же , то содержательно это означает провести операцию "short sale ("короткая продажа).

Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги -го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не -го вида) более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше.

Математически эта операция значит, что нужно исключить этот вид ценных бумаг из рассмотрения и решить задачу заново.

Пример.

Дано: , , , , , , ценные бумаги не коррелированы. Определить оптимальный портфель при .

Ответ: Доли ценных бумаг: ; ; . Минимальный риск . Эффект диверсификации портфеля наглядно виден на данном примере. Портфель имеет такую же эффективность, как если бы он был составлен только из бумаг 2-го вида, но его риск значительно меньше, чем у бумаг 2-го вида ().

В Приложении 1 приведен листинг программы, которая рассчитывает структуру портфеля ценных бумаг при заданной эффективности и его минимальный риск. В Приложениях 2-5 наглядно представлен интерфейс программы.

В качестве экспериментального представления задачи в данной работе представлен расчет доходности акций ОАО "Газпром". Расчет произведен в файле Microsoft Excel.

В Приложении 6 и приложении 7 представлены графики изменения цены и доходности акций ОАО "Газпром" за период с 11.04.2011 по 11.04.2012.

Заключение


Широкое внедрение электронно-вычислительной техники во все сферы нашей жизни в последнее время, вызвало бурный рост технологий, связанных с применением в них средств вычислительной техники. Одной из наиболее крупных отраслей развития технологий с применением ЭВМ, является математическое моделирование, которое достаточно просто (в отличие от аналогового моделирования) может быть реализовано на ЭВМ разных модификаций и возможностей. Связано это с тем, что при математическом моделировании модель представляет собой определенную последовательность математических зависимостей и динамика такой модели представляет собой изменение параметров зависимостей в результате выполнения расчетов. Математическое моделирование тесно связано с имитационным моделированием. Одним из разделов математического моделирования, являются модели систем массового обслуживания и их изучение.

В данной дипломной работе были рассмотрены методы прикладной математике, применяемые в моделировании банковской деятельности. Большинство распространенных математических технологий тем или иным образом воплощены в информационных технологиях.

Информационные системы являются комплексом моделей предметной области (реального или виртуального мира). Информационные системы могут включать в себя в качестве компонент (подмоделей) как базы данных, так и математические, логические, имитационные модели объектов и/или процессов.

Кроме того, широко распространены программные продукты (пакеты прикладных программ), поддерживающие (и поддерживаемые) определенные информационно-математические технологии. Например, модели системной динамики (глобального моделирования), программы статистической обработки и регрессионного анализа (построения статистических моделей), программные средства экономико-математического моделирования, информационно-поисковые и информационно-логические системы и пр.

По всей видимости, серьезные исследования исторических, демографических, экологических, экономических и пр. процессов невозможны без использования в качестве информационного и математического обеспечения баз данных и пакетов прикладных программ.

В дипломном проекте мною были рассмотрены и решены многие задачи математического моделирования банковской деятельности, поставленные в начале работы. Произведено исследование методов экономико-математического моделирования в прогнозировании деятельности кредитной организации. Обобщая проведенную работу, считаю, основные проблемы в сфере банковского дела и связанного с ним математического моделирования рассмотрены в полной мере, методы рассмотрены в полном объеме.

Также была реализована программа, которая формирует оптимальный портфель ценных бумаг по заданным параметрам. Для написания программы был использован язык программирования Visual Basic for Applications.

Список использованной литературы


1.Амелин И.Э., Царьков В.А. "План-матрица развития Банка", журнал "Банки и технологии", РЕГ. №012846, №1 2002. - 49 с.

2.Андреев М.Ю., Пильник Н.П., Поспелов И.Г. Эконометрическое исследование и модельное описание деятельности современной российской банковской системы.М., ВЦ РАН, 2008. - 171 с.

.Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы М.: Мир, 1982. - 583 с.

.Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1989. - 176 с.: ил

.Беляков А.В. Банковские риски. Проблемы учета, управления и регулирования. - М.: БДЦ-Пресс, 2003. - 305 с.

.Джон Уокенбах. Профессиональное программирование на VBA в Excel 2002: Пер. с англ. - М.: Издательский дом "Вильямс", 2004. - 784 с.

.Дяченко О. Рейтинг банковских рисков: Что пугает банкиров\\ Банковское обозрение, №1, 2005. - 203 с.

.Егорова Н.Е., Смулов А.М., Математические методы финансового анализа банковской деятельности. Аудит и финансовый анализ. Международной конференции, посвященной 90-летию Л.С. Понтрягина - М.: МГУ, сентябрь 1998. - 208 с.

.Егорова Н.Е., Смулов А.С. Предприятия и банки: взаимодействие, экономический анализ и моделирование. - М.; Дело, 2002. - 457 с.

.Жуков Е.Ф. Банки и банковские операции: Учебник для вузов. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. - 471 с.

.Иода Е.В., Мешкова Л.Л., Болотина Е.Н. Классификация банковских рисков и их оптимизация. - Тамбов, 2002. - 432 с.

.Канаев А.В. Стратегическое управление коммерческим банком. Концептуальные основы. Монография. СПбГУ, 2006. - 221 с.

.Кинг М. Политика независимости центрального банка. Central Banking, №3, 2001. - 150 с. (перевод СИЦ Банка России).

.Колесников В.И., Кроливецкая Л.П. "Банковское дело", М.: Финансы и статистика, 2006. - 428 с.

.Конюховский П.В. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности. - СПб: Питер, 2001. - 224 с.: ил. - (Серия "Ключевые вопросы").

.Кристиан Олбрайт. Моделирование с помощью Microsoft Excel и VBA: разработка систем принятия решений.: Пер. с англ. - Издательский дом "Вильямс", 2005. - 672 с.

.Кузнецов А.В. И др. Высшая математика: Математическое программирование.: Учеб. /А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод; Под общ. ред. А.В. Кузнецова. - Мн.: Выш. шк., 2001. - 286 с.: ил.

.Ластра Р. Центральные банки между подотчетностью и независимостью. Central Banking, 2001. - 234 с. (перевод СИЦ Банка России).

.Малюгин В. Оценка устойчивости банков на основе эконометрических моделей. Малюгин В., Пытляк Е. // Банковской вестник. - 2007. - №1. - 36 с.

.Масленников В.В. Зарубежные банковские системы. Иваново: Талка, 2007. - 360 с.

.Мещеряков Г.Ю. Общебанковская система риск-менеджмента // Вестник АРБ, №15, 2009. - 342 с.

.Ольхова Р.Г. Банковское дело. Управление в современном банке. Учебное пособие.М., КноРус, 2008. - 252 с.

.Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы: учебник.2-е изд., испр. И доп. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. - 464 с.: ил.

.Первозванский А. А Финансовый рынок: расчет и риск. - М., 2009. - 320 с.

.Поляков В.П., Московкина Л.А. Структура и функции центральных банков. Зарубежный опыт.М., ИНФРА-М, 1996. - 427 с.

.Смирнов С.Н. Риски рыночной ликвидности: измерение и управление, Международная конференция "Международный опыт риск-менеджмента и особенности развивающихся рынков", М., 2004. - 543 с.

.Смит Вера. Происхождение центральных банков. Институт национальной модели экономики. 1990. - 724 с.

.Тосунян Г.А. Конституционная экономика и статус Центрального банка.М., ММВБ. 2001. - 462 с.

.Туркин О.В. VBA. Практическое программирование. М.: САЛОН-ПРЕСС, 2007. - 128с.

.Хелферт Э. Техника финансового анализа. М.: Аудит: ЮНИТИ, 2007. - 123 с.

.Центральные банки и банковские системы. ЦПП Банка России. М., 2000. - 433 с.

.Центральный банк в условиях рыночной экономики: мировой и российский опыт. (По материалам заседания за круглым столом, проведенного в Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации в апреле 2002г.). Деньги и кредит, 31.07.2002. - 233 с.

.Шапкин А.С., Шапкин В.А. - Теория риска и моделирование рисковых ситуаций - М: Дашков и К, 2007. - 620 с.

.Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2008. - 1028 с.

.Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. Пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 367с.

.Шоломицкий, А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска. - М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. - 450 с.

37.Baltensperger, Ernst Alternative Approaches to the Theory of the Banking Firm / Baltensperger, Ernst // Journal of Monetary Economics. - 1980. - №1 - Р.37.

.Murphy, Neil B. Costs of Banking Activities: Interactions Between Risk and Operating Costs: A comment Murphy, Neil B. // Journal of Money, Credit and Banking. - 2009. - August. - Р.722.

Приложения


Приложение 1


Листинг программы

'объявление переменныхn%, st$ 'количество и строка для выводаt As Object 'объекты для просматривания текстбоксов

Dim t1 (10) As Object '

Dim t2 (10) As Objectt3 (9,10) As ObjectCont As Control 'контрол, для просмотра контролов на форме

'====a! 'переменные для расчетов

Dim m! (), be! (), Bm! ()b (), E (), B1 (), E1 ()i%, k%, c%, v%, l%, j%mp!, ebe!, mbm!, ebm!, X!, mbe!

Dim u As Boolean 'логическая переменная - индикатор корректности ввода

'процедура общая для расчетовriski ()m! (10), be! (10), Bm! (10) 'объявления массивовb (10,10), E (10,10), B1 (10,10), E1 (10,10)

'обнуление переменных (необходимо после предыдущего расчета)

mp = 0: ebe = 0: mbm = 0: ebm = 0: X = 0: mbe = 0

c = 0: v = 0: l = 0

Продолжение приложения 1

'вызов процедурыvvod 'вводаNot (u) Then 'если ввод корректен, тоbase 'базовую или расчетнуюvivod 'выводIfSubbase () ' процедура базовую или расчетнуюi = 1 To n 'обращение матрицы B

For c = 1 To nv = 1 To n

B1 (c, v) = b (c, v)(c, v) = E (c, v) 'дублирование матриц

Nextk = 1 To n

b (i, k) = B1 (i, k) / B1 (i, i) 'деление строки на разрешающий элемент

E (i, k) = E1 (i, k) / B1 (i, i)l = 1 To n

'нахождение остальных элементов

If l <> i Then

Продолжение приложения 1

b (l, k) = (B1 (l, k) - (B1 (l, i) * B1 (i, k) / B1 (i, i)))

E (l, k) = (E1 (l, k) - (B1 (l, i) * E1 (i, k) / B1 (i, i)))

End Ifi = 1 To n 'суммирование по строкам, формирование вектора-столбца Be

For j = 1 To n(i) = be (i) + E (i, j)

Next

For i = 1 To n 'формирование вектора-столбца Bm

For j = 1 To n(i) = Bm (i) + m (j) * E (i, j)

For i = 1 To n 'нахождение констант= ebe + be (i) 'суммирование по стоблцу

ebm = ebm + Bm (i)= mbm + m (i) * Bm (i)= mbe + m (i) * be (i)

Продолжение приложения 1

Next

End Sub

Sub vvod () 'вводz!, mi!, ma!= True 'для начала индикатор корректности ставится в состояние ДАi = 1 To n 'в цикле по размеру матрицы (количество док)(i, i) = 1 'заполняем диагональ единицами(i) = Val (t1 (i). Text) 'считывание эффективности(m (i) < 0) Then 'если полученно отрицательное значение, то выводится сообщение об этом" Ошибка ввода! Величина эффективности должна быть положительной!", vbExclamation

Exit Sub 'выход из процедуры

End If

Next

For i = 1 To n ' так же для рисков

z = Val (t2 (i). Text)(z < 0) Then

Продолжение приложения 1

MsgBox " Ошибка ввода! Величина риска должна быть положительной!", vbExclamationSubIf

'в случае корректного ввода сразу возводиться считанное в квадрат

b (i, i) = z * zi = 1 To n 'так же

For j = i + 1 To n 'ввод матрицы ковариации

z = Val (t3 (i, j). Text)

'если выполнено условие ниже, то выводиться сообщение

If Abs (z) >= Sqr (b (i, i)) * Sqr (b (j, j)) Then

MsgBox " Ошибка ввода! Корреляционный момент должен быть положительным и меньше произведения СКО этих бумаг!", vbExclamationSub 'завершение процедуруIf

'в случае корректного воода(i, j) = z ' симметрирование матрицы

b (j, i) = zi <> j Then

E (i, j) = 0 'записывание нулей в массив Е не на главной диагоналиIf

Продолжение приложения 1

'определение максимума= 0 'для начала 0i = 1 To n 'если находим больше - то его и принимаем за максимум

If m (i) > ma Then ma = m (i)

Next

'определение минимума= 100000000 'для начала 10000000 (как чрезмерно большое значение)i = 1 To nm (i) < mi Then mi = m (i) 'если находим меньше - то его и принимаем за минимум= Val (t. Text) 'считывание желаемой эффективности(mp < mi) Or (mp > ma) Then 'если или одно, или другое условие выполнено" Ошибка ввода!" & vbLf & _

" Желаемая эффективность должна быть в пределах эффективностей ценных бумаг!:", vbExclamationSubIf

'если к этому моменту не было выхода из процедуры,

'то ввод корректен

Продолжение приложения 1= FalseSubvivod () 'вывод

ReDim mass_diagramm (10)

ind_m = 0= 0 'контрольная сумма для начала 0Error Resume Next 'в случае возникновения непредвиденной ошибки продолжаем работу

'заголовок= " Структура портфеля." & vbLf & vbLf & " Доли ценных бумаг. "i = 1 To n 'в цикле по количеству бумаг

'вычисление по соответствующим формулам долей

X = ( (mbm - mp * ebm) * be (i) + (mp * ebe - mbe) * Bm (i)) / (ebe * mbm - mbe * mbe)

ind_m = ind_m + 1_diagramm (ind_m) = X

'и дописывание к строке для вывода с округлением до 7 знака

st = st & vbLf & i & "-го вида " & Round (X,

7)= ks + X 'накапливание контрольной суммыX < 0 Then 'если доля меньше 0

'записывание в строку для вывода= st & vbLf & vbLf & " Так как доля бумаг " & i & "-го вида отрицательна, то необходимо"

Продолжение приложения 1= st & vbLf & " провести сделку 'short sale', исключить бумаги этого вида из портфеля"= st & vbLf & " и решить задачу заново. "If

'дописывание в строку для вывода через две строчки вычисляемый риск= st & vbLf & vbLf & " Минимальный риск портфеля: " & Round (Sqr ( (mp * mp * ebe - 2 * mp * mbe + mbm) / (ebe * mbm - mbe * mbe)),

)

'вывод сформированной строки и контрольной суммы с округлением последней до 1 знака

MsgBox st & vbLf & "kontrol summ = " & Round (ks, 1)

If Err. Number > 0 Then 'если возникла непредвиденная ошибка - ее номер больше 0"Допущены ошибки ввода /некорректные данные/" 'то выводится сообщение об этом

End IfSubSub ComboBox1_KeyPress (ByVal KeyAscii As MSForms. ReturnInteger)= 0 'нажатие на комбобокс возвращает код клавиши 0

'тем самым запрет на ввод данных, а только выбор

End SubSub ComboBox2_Change ()SubSub ComboBox2_Click (). ChartType = ComboBox2. ListIndexSubSub CommandButton1_Click ()i = 1 To n 'в цикле по количеству типов бумаг

'если поле пустое или не число

If t1 (i). Text = "" Or Not (IsNumeric (t1 (i). Text)) Or _(i). Text = "" Or Not (IsNumeric (t2 (i). Text)) Or _. Text = "" Or Not (IsNumeric (t. Text)) Then 'то выводится сообщение и выход

MsgBox "Не заполнены все поля или введено нечисловое значение", vbExclamation

Exit SubIfi

For i = 1 To n - 1 'также для полей матрицы

Продолжение приложения 1

For j = i + 1 To n

If t3 (i, j). Text = "" Or Not (IsNumeric (t3 (i, j). Text)) Then"Не заполнены все поля или введено нечисловое значение", vbExclamation

Exit SubIfj

Next i

'если к этому моменту не было выхода из процедуры - значит все верно_Activate 'вызов процедуры стартовой активацииriski 'и общей процедуры расчета

Call DiagrammSubSub CommandButton2_Click () 'тест

ComboBox1. ListIndex = 1 'устанавление тестовых входных данных

n = 3. Text = 11: TextBox2. Text = 10: TextBox3. Text = 9. Text = 4: TextBox112. Text = 3: TextBox113. Text = 1. Text = 0: TextBox13. Text = 0: TextBox23. Text = 0. Text = 10SubSub CommandButton3_Click () 'вывод результата на лист

Range ("A: A"). Clear 'чистка первого столбца= Split (st, vbLf) 'образование массива из строки вывода с разделителем

' vbLf - переход на новую строку

'т.е. получение массива строк выводаi = 1 To UBound (mst) 'в цикле от 1 до верхней границы массва (последней строки)(i, 1) = mst (i) 'последовательно по строкам листа вывод

NextSubSub Image1_Click (). Visible = FalseSubSub Diagramm ()

'mass_diagramm (ind_m)MSChart1

. ColumnCount = 1

. RowCount = ind_mi = 1 To ind_m

. Column = 1

. Row = i

. Data = mass_diagramm (i)

. RowLabel = "x" & iWith. Title. Text = "Гистограмма оптимального потрфеля ценных бумаг"

'MSChart1. Title. VtFont. Size = 10

'Call MSChart1. Title. VtFont. VtColor. Set (0, 128, 255). Plot. Axis (VtChAxisIdX). AxisTitle = "Шкала ценных бумаг". Plot. Axis (VtChAxisIdY). AxisTitle = "Шкала доль"SubSub CommandButton4_Click ()

UserForm3. ShowSub

'процедуры нажатия на надписи

' в результате выводятся соответствующие пояснения внизу формы

Продолжение приложения 1

Private Sub Label18_Click ()

Label7. Caption = "Совместная вариацию (корреляционный момент) ценных бумаг." & vbLf & _

"Она не должна быть больше произведения СКО этих бумаг. "SubSub Label2_Click ()

Label7. Caption = "количество видов ценных бумаг, из которых вы хотите " & vbLf & _

"сформировать портфель (не более 10)"Sub

Private Sub Label21_Click (). Caption = "При вводе рисков и совместных вариаций ценных бумаг следует " & _

" быть внимательным, так как программа не расчитана на линейную" & _

" связь доходностей ценных бумаг. Поэтому рекомендуется не вводить" & _

" пропорциональные риски и совместные вариации ценных бумаг"

End SubSub Label3_Click ()

Продолжение приложения 1. Caption = "Эффективности (доходности) ценных бумаг "

End SubSub Label4_Click ()

Label7. Caption = "Желаемая эффективность портфеля " & vbLf & _

"Она должна быть в пределах эффективностей ценных бумаг"

End SubSub Label6_Click ()

Label7. Caption = "риск (среднее квадратическое отклонение (СКО))"

End SubSub OptionButton1_Click ()

MSChart1. Chart3dSub

'если движение мышки не на надписях, а на форме - то пояснения убираются

Private Sub UserForm_MouseMove (ByVal Button As Integer, ByVal Shift As Integer, ByVal X As Single, ByVal Y As Single)Label7. Caption <> "" Then Label7. Caption = ""

End Sub

Продолжение приложения 1

'==========================================

Private Sub ComboBox1_Click () 'выбор количества типов бумаг= ComboBox1. Value 'запоминание этого количества

'и устанавление области видимости матрицы. Width = TextBox2. Left + (n - 1) * (TextBox2. Left - TextBox1. Left). Height = TextBox12. Top + Frame2. Top + (n - 1) * (TextBox23. Top - TextBox12. Top)SubSub UserForm_Activate () 'при активации формыi = 2 To 10.comboBox1. AddItem i 'заполнение количества для выбора

Next i.comboBox1. ListIndex = 1 'и показывает 3 (так как начало отсчета 2)_Activate 'проводится стартовая активация (ниже)_Click 'заполнение для наглядности тестовыми данными

ComboBox2. Clear. AddItem "3DBar". AddItem "2DBar". AddItem "3DLine". AddItem "2DLine". AddItem "3DArea"2. AddItem "2DArea"

Продолжение приложения 1

ComboBox2. AddItem "3DStep". AddItem "2DStep". AddItem "3DCombination". AddItem "3DCombination". ListIndex = 1SubSub U_Activate () 'стартовая активация

On Error GoTo Err 'если ошибка то на метку ErrEach Cont In Me. Controls 'просматривание всех контролов на форме

'если первые 7 символов = "TextBox", тоMid (Cont. Name, 1,7) = "TextBox" Then= Val (Mid (Cont. Name,

)) 'выделение его номераi < 11 Then 'и раскидывание значения их

'по массивах в зависимости от номера

Set t1 (i) = Conti > 110 And i < 121 Thent2 (i - 110) = Conti = 121 Then

Set t = Cont

Продолжение приложения 1

i = Val (Mid (Cont. Name, 8, 1))= Val (Mid (Cont. Name,

))t3 (i, j) = ContIfIfIfIf: Err. Clear 'затирание номера ошибки, если она случилась (это в случае нераспознаваемого контрола)Next 'и продолжение далееSub

Приложение 2


Интерфейс программы. User Form1


Приложение 3


Интерфейс программы. User Form2. Пример 1

Приложение 4


Интерфейс программы. User Form2. Пример 2


Приложение 5


Интерфейс программы. User Form2. Пример 3

Приложение 6


Изменение цены акций ОАО "Газпром" с 11.04.2011 по 11.04.2012

Приложение 7


Изменение доходности акций ОАО "Газпром" с 11.04.2011 по 11.04.2012


Содержание Введение Глава 1. Элементы экономико-математического моделирования 1.1 Линейное программирование 1.2 Нелинейное программирование 1

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ