Экономико-математические методы и модели в землеустройстве

 

1. Экономические модели в землеустройстве

Модель - это аналог чего-либо, образ исследуемого объекта, отражающий основные характеристики этого объекта.

ГеометрическаяМОДЕЛЬМатематическая(материальные)(Знаковые)Физическая (материальные)

Геометрическая модель - это некий объект, геометрически подобный своему прототипу (оригиналу). Основная особенность - дает внешнее представление об оригинале и цель демонстрации, (макет, репродукции и копии картин). Основная роль - это геометрическое подобие объектов, а не процессов которые протекают в них (топографо-геодезический макет местности не говорит о кругообороте воды в природе, а модель почвенного разреза, о физико-химических процессах протекающих в данном типе почвы).

Физическая модель - отражает подобие между оригиналом и моделью, с точки зрения подобия происходящих в них процессах. Процессы, протекающие в модели и ее аналоге имеют, одинаковую природу (исследователи предполагают проверку гидротехнических сооружений путем проведения испытаний, аналогичных объектов значительно меньших размеров, специально сконструированных для целей моделирования). В модели по сравнению с оригиналом меняются не только геометрические свойства, но и физические.

Математическая модель - описание объектов, явлений или процессов, с помощью знаков, символов, т.е. с использованием математического языка. Имеет вид некоторой совокупности уравнений и неравенств, таблиц, формул и т.д. Математическая структура отображает свойства объекта, проявляющиеся им в условном его существовании и развитии. Любая математическая модель подразумевает наличие определенных количественных показателей, характеристик объекта.

Основными числовыми характеристиками проекта землеустройства - это площадь (участки, контуры участка) или длина, при оговоренной ширине.

Типы, виды, классы математических моделей применяемых в землеустройстве.

Целесообразность применения математических методов:

. Математические модели позволяют принимать наиболее целесообразные решения по перераспределению, использованию и охране земельных ресурсов, от конкретных с/х предприятий до народного хозяйства в целом.

. Оптимальные планы использования производственных ресурсов связанных с землей, способствует достижения заданных объема производства, при минимальных затратах труда и средств. В результате будет увеличиваться производительности труда.

. Создаются наилучшие организационно-производственные условия, следовательно, повышение урожайности с/х культур, повышение плодородия, прекращение процессов эрозии, высоко-производственное использование техники.

. Улучшение качества подготовки информации и ее использование, и землеустроительная наука получает возможность стать точной.

. Улучшение экономических показателей, экологических, социальных, технических, проекта землеустройства.

. Математические методы позволяют с большой точностью проверять и оценивать реальную значимость для теоретических моделей и концентрацию развития землевладения и землепользования на перспективу.

. Это связующее звено между землеустройством, естественными и техническими науками, изучающими сельское хозяйство, как с природоохранительной, так и с экономической и социальной сторон.

. Внедрение математических методов и вычислительной техники в землеустройство позволяет перестроить всю систему землеустроительного проектирования, организации планирования землеустроительных работ, освобождает значительное количество квалифицированных работников от малопродуктивного труда.

Для решения землеустроительных задач различных классов, используют разнообразные виды экономических, математических моделей, позволяющих проводить анализ использования земельных ресурсов, выявить определенные тенденции и находить оптимальные варианты устройства территории.

Классификация математических моделей в землеустройстве

№Классификационные признакиТип, вид, класс модели1Вид проектной документации1 - графические (цифровые) 2 - экономические (числовые)2Степень определения информации1 - детерминированные 2 - стохастические3Вид (форма) землеустройства или землеустроительного действия1 - межотраслевые 2 - межхозяйственные 3 - внутрихозяйственные 4 - рабочего проекта4Математические методы лежащие в основе модели1 - аналитические (дифференциал исчисления) 2 - экономико-статистические 3 - оптимизационные (математические программирование) 4 - межотраслевого баланса 5 - сетевого планирования и управления5Класс проекта землеустройства1 - распределяется по 37 классам проекта землеустройства

В отличие от других экономических решений, землеустроительные решения всегда могут идентифицироваться на местности виде определенной пространственной организации территории, представленной системой севооборотов, полей, рабочих участков, дорог и составляет «скелет» хозяйства. Землеустроительная документация состоит из двух частей.

Землеустроительная документация

ГрафическаяТекстоваяграфическая модель землеустроительной документации характеризует в числовом виде лишь условия производства (цифровая модель местности - рельеф) основа расчетная связь, экономическая модель землеустроительной документации, позволяющая определить экономическую эффективность организации производства и территории

Графические математические модели дают характеристику различным элементам проекта землеустройства или их совокупности, которые показываются на проектном плане, к ним относится площадь, линейные и точечные объекты.

Площадные объекты - отдельные землевладения или землепользования, севообороты, их поля или рабочие участки, загоны очередного стравливания; гуртовые, отарные пастбища; сенокосы и т.д. Они характеризуются площадью, координатами поворотных точек и центром тяжести, что позволяет определить местоположение этих участков, их форму и другие параметры.

Линейные объекты - это линейные объекты организации территории, полевые и магистральные дороги, лесополосы, инженерные коммуникации (газопровод, ЛЭП), отдельные границы участков, зон и т.д. Эти объекты могут размещаться в виде прямых и ломаных линий, а также кривых. Они характеризуются протяженностью, а также шириной, координатами начальных, конечных и промежуточных точек.

Точечные объекты - позволяют определить на местности местоположение отдельных инженерных сооружений (колодцы, родники, буровые вышки и т.д.) их размещение, характеристики местоположения.

Экономические (числовые) - это обличенные в математический вид различные расчеты проектов землеустройства (математические модели агроэкономического обоснования проектов внутрихозяйственного землеустройства, технико-экономическое обоснование проектов межхозяйственного землеустройства, сметно-хозяйственный расчет рабочих проектов).

Детерминированные модели основываются на абсолютно точной информации, либо на сведениях, которые считаются точными.

Стохастический основываются на информации имеющей вероятностные характеристики, описывающие процесс, которые зависят от случайных величин, подчиняются законам теории вероятности (планирование урожайности с/х культур от будущих климатических условий задается в модели с определенной вероятностью, в зависимости от случайности изменяемых факторов).

Класс межотраслевых математических моделей, обеспечивает решение задач по прогнозированию и оптимизации планирования использования земельных ресурсов и их охране на уровне регионов: по стране в целом, в субъекте федерации, на территории местной администрации. Модели данного класса позволяют установить распределение земель по категориям земельного фонда страны (земли с/х назначения, промышленности, связи, обороны и иного специального назначения, лесного фонда запаса и т.д.), решить задачи по развитию агропромышленного производства в регионах, планирование и осуществление природоохранных мероприятий и т.д. Основным видом землеустроительных работ включающих модели этого класса, является разработка генеральных схем пользования и охраны земель страны.

Класс моделей межхозяйственного землеустройства, позволяет реализовать задачи по перераспределению земель между хозяйствами, по образованию и упорядочиванию землевладений и землепользований с/х и не с/х назначения, по установлению границ административно территориальных образований, границ населенных пунктов и т.д. К данному классу относят задачи по определению оптимальных размеров землепользований и рациональному размещению производства на территории по наиболее целесообразным, ликвидным, недостаточным в использовании земельным ресурсам.

Класс моделей внутрихозяйственного землеустройства предназначен для решения вопросов наиболее полного рационального и эффективного использования земель и организации производства в конкретных с/х. предприятиях.

Основные задачи: установление оптимального сочетания отраслей, состава и площадей угодий; определение видов, количество и площадей севооборотов и их размещение; рациональная организация кормопроизводства; планирование грузоперевозок и комплекса мелиоративных работ; установление оптимальных размеров производства и т.д.

Класс моделей рабочего проектирования, обеспечивает решение различных задач землеустроительного проектирования, связанных с землеустройством конкретных участков и инвестиций в эти земли (задачи по созданию орошаемых культурных пастбищ на территории отдельных хозяйств, выглаживание оврагов, трансформация и мелиорация земельных участков, строительство дорог и дорожных сооружений, закладка многолетних сооружений и т.д.).

Сложность математических моделей каждого класса зависит от числа учитываемых факторов и характеристик, взаимосвязанных между ними, от наличия точности и достоверности исходной информации и непосредственно от сложности изучаемого процесса.

Для построения и использования этих моделей необходимо знать стандарт экономико-математического метода (методы математической статистики и методы математического программирования). Вместе с тем ряд землеустроительных математико-экономических моделей требуют разработки своего нестандартного математического решения, своих индивидуальных математических методов.

Каждый вид данного экономико-математического моделирования имеют свои стадии (этапы построения и использования).

Аналитические методы в землеустройстве основываются на применении математических методов алгебры и геометрии, дифференциального и интегрального исчисления, и т.д., имеющих функциональный характер, т.е. каждому набору значений факторов независимых переменных соответствует строго определенное значение результатов.

Экономико-статистические модели базируются на использовании теории вероятностей и методов математической статистики (корреляционный, регрессионный, дисперсионный, теорию выборок и т.д.). Главное место среди них занимает производственная функция, представляющая собой уравнение связей зависимой переменной (результатом) и факторов (аргументов). С помощью этих моделей рассчитывается прогноз урожайности культур, продуктивности животноводства, а также некоторые параметры организации территорий (распаханность, облесенность, освоенность). При помощи экономико-математической моделей, осуществляют также анализ уровня использования земель, подготавливают информацию для применения оптимизационных методов, производственно обосновывают землеустроительные проектные решения.

Функциональные?ЭСМ?КорреляционныеЭСМ аналогичны аналитическим моделям, но только основаны на статистической информации, т.к. наличие функций, т.е. однозначной связи между результатом и фактором в экономике чрезвычайно редкое явление, то данная разновидность модели в землеустройстве встречается не частоБазируются на корреляционном уравнении связи между факторами, а также между фактором и результатом. Неопределенность либо обуславливается как природой моделирующего процесса (объект причины), так и погрешностью исходной информации о процессе (субъект причины)Оптимизационные ЭСМ основаны главным образом на методах математического программирования, позволяющие находить экстремальные значения целевой функции при заданных условиях.

Комбинированная?Оптимизационные модели в землеустройстве?ДифференцированнаяВсе вопросы землеустроительного проекта решаются комплексно, в их взаимообусловленности и взаимозависимости. Этот вид модели является наиболее полным, но приводит к громоздким задачам, решение которых затрудненоЗаключается в последовательном моделировании некоторых частичных задач проекта. Модели получаются значительно меньшего объема и их применение значительно облегчается.

Применение дифференцированных моделей в землеустройстве объясняется сложностью и многообразием решаемых вопросов, что приводит к построению упрощенных моделей. Дифференцирование моделей связано с аппроксимацией комбинированных моделей.

Аппроксимация реализуется в следующих видах:

либо модель отражает часть сложной системы без учета всех других ее сторон - частичная аппроксимация;

либо модель упрощается, чтобы быть в дальнейшем запрограммированной с последующим наращиванием информации - полная аппроксимация.

Стадии экономико-статистических моделей.

) Экономический анализ производства, определение зависимой переменной и выявление факторов влияющих на её значение.

) Получение статистических данных и их обработка.

) Определение математической формы связи независимых и зависимых переменных.

) Получение (определение) параметров ЭСМ.

) Оценка степени соответствия ЭСМ изучаемому процессу.

) Экономическая интерпретация модели, её использование, для конкретных землеустроительных целей.

Методы получения статистических данных:

а) Экспериментальный метод - информация полученная в результате проведения опытов условия которых позволяют контролировать процесс получения данных. Редко применяется в землеустройстве.

б) Основан на использовании статистической информации:

Сплошные. Выборочные.

2. Задача

Метод наименьших квадратов.

Рассмотрим линейную парную регрессию:

Принцип метода наименьших квадратов служит источником получения нормальных уравнений для определения искомых значений параметров, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений случайных значений величины , полученных в выборках, от соответствующего значений функции.

Далее предполагается, что первые частные производные функции из заданного класса по параметрам существуют. Для получения нормальных уравнений в соответствии с необходимыми условиями достижения экстремума приравняем к нулю эти производные:

Получаем систему нормальных уравнений, из которой и находим значения параметров:

- система нормальных уравнений.

2.1 Определение параметров производственных функций

Условие задачи: В одном из почвенно-эрозионных районов Архангельской области выделено 25 хозяйств, находящихся в одинаковых природно-экономических условиях. По данным хозяйствам определены следующие показатели: производственные затраты на выращивание пшеницы - у (ц/га), посевная площадь - х1, га, стоимость семян - х2, руб./кг; затраты на покупку минеральных удобрений - х4, руб./кг.

Таблица 1 - Исходные данные

Затраты на выращивание пшеницы руб. (y)Посевная площадь, га (x1)Урожайность семян га(х2)Затраты на покупку минеральных удобрений, руб./га(х4)0,931,318,940,91,713,413,740,50,74,518,538,91,7104,838,52,62021,837,31,3155,826,54,1137,199,0371,617,920,136,86,9165,460,636,30,421,435,31,36,88,035,31,927,118,9351,913,413,226,21,49,812,633,10,419,512,232,70,86,83,232,11,82713,030,50,912,46,929,81,117,715,025,41,912,711,929,30,921,41,629,21,313,58,629,2213,411,529,10,64,21,927,90,715,55,827,2

По результатам оценок предполагаем установить функциональную зависимость. Для этого строим корреляционное поле:

Анализируя данное корреляционное поле, исключаем два аномальных значения, иначе в дальнейшем составленная модель будет не достоверной.

Таблица 2 - Исключение аномальных значений

Затраты на выращивание пшеницы руб. (y)Урожайность семян, га(х2)0,931,31,713,40,74,51,7102,6201,3151,617,90,421,36,81,927,11,913,41,49,80,419,50,86,81,8270,912,41,117,71,912,70,921,41,313,5213,40,64,2

Анализируем корреляционное поле:

) Проблемно построить однозначную зависимость у(х);

) Участки с большим затратами на выращивание пшеницы не обязательно соответствуют большей посевной площадью;

) Наблюдается возрастающая тенденция затрат на выращивание пшеницы от посевной площади;

) Есть аномальные значения (4,1; 99,0), (6,9; 60,6), которые в дальнейшем не используется.

Причина неоднозначной зависимости - это влияние на производственные затраты множества других факторов: местоположения, уровня развития инфраструктуры, уровня рыночных цен.

2.2 Множественная линейная модель

Составляем систему нормальных уравнений

С учетом результатов расчетов сумм, представленных в последней строке таблицы 2,1, система нормальных уравнений для задачи будет иметь вид:

.

Согласно расчета коэффициентов ,,,, рассчитанными выше, уравнение регрессии для рассматриваемой задачи будет иметь вид:

уТ=1,22492+0,00318?х1+0,051039?х2-0,01629?х4.

При условии, что все независимые переменные будут равны нулю у=1,22492.

Таким образом:

·если посевная площадь увеличить на 1 единицу, то урожайность пшеницы увеличится на 0,00318 тыс. руб./га;

·если стоимость семян увеличить на 1 единицу, то урожайность пшеницы увеличится на 0,051039 тыс. руб./га;

·если затраты на покупку минеральных удобрений увеличить на 1 единицу, то урожайность пшеницы снизится на 0,01629 тыс. руб./га.

Даем геометрическую интерпретацию: фиксируем x1 (x1=10) и берем значения x2 (x2=3, x2=8, x2=17). При фиксированном значении некоторых факторных переменных на плоскости получаем кривые регрессии, которые характеризуют исследуемую тенденцию.

,

10451,250,69

,

10451,510,95

,

10451,961,404

Рисунок 1. Геометрическая интерпритация уравнения множественной модели

Исследование параметров уравнения регрессии на статистическую значимость

Сравниваем полученные значения с критическими значениями t-критерия Стьюдента для уровня значимости =0,05. Число степеней свободы =n-k-1=19, tтабл=2,079.

tа0 =1,452< tтабл=2,079;

tа1 =0,177< tтабл=2,079;

tа2 =2,145> tтабл=2,079;

tа3 =-0,610< tтабл=2,079.

Отсюда видно, что все величины являются статистически незначимыми, кроме х2, ненадёжными в силу того, что они формируются преимущественно под воздействием случайных факторов.

Матрица коэффициентов парной корреляции

Вводится коэффициент парной корреляции для пар отдельных факторов , которые отражают коррелированность соответствующих факторов (но только в смысле линейной связи).

Вводим матрицу коэффициентов парной корреляции:

?== 0,417591.

Анализируя матрицу коэффициентов парной корреляции, можно сделать вывод:

ryx1=0,315 оказывает среднее влияние;

ryx3=0,522 оказывает сильное влияние;

ryx4=0,099 оказывает слабое влияние.

Наибольшая теснота связи наблюдается между факторами х1 и х2 (rx1x2=0,517), поэтому следует исключать фактор х1, между х1 и х4 связь практически отсутствует, между факторами х3 и х4 связь наблюдается.

Коэффициент множественной корреляции

,

где P - определитель матрицы парных коэффициентов;

- алгебраическое дополнение элемента 1-ой строки и 1-го столбца матрицы P.

.

Если =0, то модель плохого качества; если =1, то все фактические переменные независимы, и можно выделить их влияние на зависимую переменную у.

= = 0,580018.

=0,529186.

=.

В решаемой задаче =

Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции:

u? =1,96

,52919-1,96?0,19< r <0,52919+1,96?0,19

,16< r <0,90.

Определение выборочного корреляционного отношения и построение его доверительного интервала

,

, .

,529186-1,96?0,19< ? <0,529186+1,96?0,19

,16< ? <0,90.

Определение стандартного отклонения у от поверхности регрессии.

;

;

=0,52062.

Проверка статистической значимости коэффициента корреляции

Выдвигаем гипотезы:

Н0: r=0 (коэффициент корреляции статистически незначим).

Н1: r (коэффициент корреляции статистически значим)

Рассматриваем статистику Стьюдента

;

сравню с ;

- табличное значение статистики Стьюдента (=0,05, - число степеней свободы, =n-2).

=2,079>1,569 Н0, то есть коэффициент корреляции статистически незначим, следовательно, нет смысла рассматривать множественную модель

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации - коэффициент, показывающий, какая доля изменений результирующего показателя обусловлена производственным фактором.

Буду считать случайной величиной только у, а х1, х2, …хn - неслучайные величины (независимые).

Для анализа качества модели буду анализировать дисперсии отклонений сглаженных значений х от среднего наблюдаемого .

Дисперсия подразделяется на регрессионную и остаточную.

;

;

.

R2 - коэффициент детерминации.

R2=; 0R21.

Рассчитываем коэффициент детерминации

0,2108563=0,09584;

5,421002=0,24641;

=0,09584+0,24641=0, 34225.

=0,28004.

Вычисленное значение совпадет со значением, рассчитанным компьютером.

Чем больше R2, тем большую роль в изменении наблюдаемых значений у играет зависимость результатов производства от факторов х1, х2…хn.

В решаемой задаче R2=0,28004. Это говорит о том, что 28% изменений величины у вызваны изменением производных факторов: посевная площадь х1, га; стоимость семян х2, руб./кг; затраты на покупку минеральных удобрений х4, руб./кг, а 72% - влиянием неучтённых факторов, следовательно модель плохого качества.

Исследование статистической значимости уравнения в целом Выдвигаем гипотезы:

Н0: уравнение статистически незначимо в целом;

Н1: уравнение статистически значимо в целом.

;

где R2-коэффициент детерминации;

n - количество полей;

m - количество факторов.

Если <Н0;

если >Н1.

=0,12087.

=2,463425.

смотрю по таблице значений F-критерия Фишера, =3,52.

<Н0, уравнение статистически незначимо в целом, следовательно модель плохого качества.

Дополнительный продукт

Дополнительный продукт фактора - определяется производственной функции у по фактору хi.

Дополнительный продукт фактора хi (предельная производительность):

По смыслу производной характеризует скорость изменения показателя эффективности в данной точке при изменении i-го фактора и заданных значениях других производных факторов, поэтому дополнительный продукт относят к точечным оценкам.

Рассматриваем пример линейной регрессии:

уТ=1,22492+0,00318?х1+0,051039?х2-0,01629?х4.

.

Дополнительный продукт по отдельным факторам:

1)по посевной площади х1, (га)

0,003183 га;

) по стоимости семян х2, (руб./кг)

0,051039 руб./га;

) по затратам на покупку минеральных удобрений х4, (руб./кг.)

-0,016929 руб./кг.

Таким образом, увеличение, например, стоимости семян 1 кг должно приводить к росту урожайности на 0,051039 руб., увеличение посевной площади на 1 га должно привести к росту урожайности на 0,003183 га.

Коэффициент эластичности

Коэффициент эластичности - показатель, характеризующий относительное изменение результата производства на единицу относительного изменения i - ого производственного фактора.

Коэффициент эластичности:

.

.

Для решаемой задачи:

;

;

.

С использованием приведённых формул получаю зависимость Е1 от х1 при х1=20 га и х4=20 баллов.

Зависимость Е2 от удельного показателя кадастровой стоимости (х2).

X246810121417E20,1770,2440,3010,3490,3920,43047732

Согласно полученным данным, если достигнутый уровень производственные затраты на выращивание картофеля соответствует стоимости семян, например, х2=4 руб./га при посевной площади участка 20 га и затраты на покупку минеральных удобрений 20 руб./кг, то при увеличении стоимость семян на 1% должны увеличиться производственные затраты на 0,18%.

Предельная норма заменяемости

Рассматриваем ситуацию, когда все факторы, за исключением i-го и j-го фактора фиксированы.

();

- предельная норма заменяемости фактора фактором .

Смысл (экономическая интерпретация): для сохранения заданного уровня производства в случае изменения фактора на единицу (=1) изменение фактора должно быть равно предельной норме заменяемости .

Например, в решаемой задаче затраты на покупку минеральных удобрений х4 стоимостью семян х2:

=0,32%.

Отсюда следует, что для сохранения заданного уровня стоимости семян, например, при увеличении покупки минеральных удобрений на 1 кг необходимо уменьшить стоимость семян на 0,32%.

Построение изоквант

В общем случае изокванта производственной функции определяется как поверхность в k-мерном пространстве производственных факторов х1, х2,… хn, на которой показатель эффективности производства постоянен.

Уравнение изокванты .

Построим изокванты для линейной регрессии

уТ=1,22492+0,00318?х1+0,051039?х2-0,01629?х4.

x4=20; x2=30

y0,70,80,911,1x2-5,52186-3,56257-1,603280,3560022,315288

x4=30; x1=30

y0,70,80,911,1x2-2,20498-0,245691,7135923,6728785,632164

При фиксированном значении х4 с увеличением посевной площади увеличиваются производственные затраты.

При фиксированном значении х2 с увеличением посевной площади увеличиваются производственные затраты.

При фиксированном значении х4 затрат на покупку минеральных удобрений увеличиваются.

Рисунок 2 - Изокванты линейной регрессии

2.3 Логарифмическая квадратичная регрессия

Составляем систему нормальных уравнений

Решая систему, получаем уравнение регрессии:

lgут=-0,35714+0,70234? lgx - 0,23624? lg2x

Коэффициент корреляции

,

где P - определитель матрицы парных коэффициентов;

- алгебраическое дополнение элемента 1-ой строки и 1-го столбца матрицы P.

?== 0,03167.

?уу =.

=0,55840.

=.

В решаемой задаче =

Исследование статистической значимости уравнения в целом

Выдвигаем гипотезы:

Н0: уравнение статистически незначимо в целом;

Н1: уравнение статистически значимо в целом.

;

где R2-коэффициент детерминации;

n - количество полей;

m - количество факторов.

Если <Н0;

если >Н1.

=0,242991.

=4,530877.

смотрю по таблице значений F-критерия Фишера, =4,32.

>Н1, уравнение статистически значимо в целом.

Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции:

u? =1,96

,55840-1,96?0,18< r <0,55840+1,96?0,18

,21< r <0,91.

Определение выборочного корреляционного отношения и построение его доверительного интервала

,

,

,55840-1,96?0,18< r <0,55840+1,96?0,18

,21< r <0,91.

Определение стандартного отклонения у от поверхности регрессии

;

=0, 50406.

Заключение

Для решения задач линейного программирования разработан ряд алгоритмов, наиболее известные из которых - алгоритмы симплексного метода и распределительного метода. Они основаны на последовательном улучшении некоторого первоначального плана и за определенное число итераций позволяют получить оптимальное решение. После каждой из итераций значение целевой функции улучшается. Процесс повторяют до тех пор, пока не будет получен оптимальный план.

Универсальным способом решения общих задач линейного программирования является симплекс-метод.

Список источников

землеустройство регрессия изокванта модель

1 А.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич: Руководство к решению задач по математическому программированию, Учеб. пособие, под ред. А.В. Кузнецова. - М.: Высшая школа, 1978 - 448 с.

Учебник по эконометрике: И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие/ И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 192 с.: ил.

С.Н. Волков, А.Н. Безгинов. Экономические модели в землеустройстве. Учебно-практическое пособие. Москва-2001 год. - 283 с.

Практикум по эконометрике: Учеб. пособие/ И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 192 с.

1. Экономические модели в землеустройстве Модель - это аналог чего-либо, образ исследуемого объекта, отражающий основные характеристики этого объекта.

Больше работ по теме: