Эконометрика

 

Содержание

Введение                                                                                                    3

1.   Линейный регрессионный анализ эконометрической модели          5

2.   Корреляционный анализ                                                               13

Заключение                                                                                               19

Список использованной литературы                                                    20

Введение

Эконометрические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, не требуют грубых допущений и упрощений, позволяют учесть большое число факторов. Основные их недостатки - громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени при их построении и анализе и крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать "на ощупь", путем догадок и проб (в отличие от более приспособленных к оптимизационным задачам аналитических моделей). Наиболее эффективная методика экономико-математических исследований - это совместное применение аналитических и эконометрических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контуры основных закономерностей. Уточнение же этих закономерностей - прерогатива эконометрических моделей. С этой точки зрения важная задача эконометрики - проверка теоретико-экономических положений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале при помощи методов математической статистики.

В общем случае эконометрическая модель может содержать несколько уравнений, а в каждом уравнении - несколько переменных. Задача оценивания параметров такой разветвленной модели решается с помощью сложных и причудливых методов. Однако все они имеют одну и ту же теоретическую основу. Поэтому для получения начального представления о содержании эконометрических методов мы ограничимся в последующих параграфах рассмотрением простой линейной регрессии. Термин "регрессия" используется для описания природы связи между переменными, а термин "корреляция" - для измерения тесноты связи.

По мере возрастания сложности после статистического анализа, который касается поведения отдельных переменных, идет линейная регрессия с двумя переменными (парная регрессия). Простая линейная регрессия связана с тем, что называется двумерным распределением случайных величин, т.е. распределением двух переменных. Понятно, что использование двух переменных дает большую информацию, нежели одной. Например, доход от продажи товара можно анализировать, используя только данные о доходе на прошлых периодах времени вне связи с другими факторами (статистический анализ). Но мы получим гораздо более богатую информацию, если примем во внимание другие факторы, которые влияют на объем продаж: спрос, цена товара, цена товара-конкурента, период времени, затраты на рекламу и др. Если при этом расходы на рекламу явились бы главным фактором, определяющим объем продаж, то знание вида связи объема продаж и расходов на рекламу было бы весьма полезным для планирования финансовой политики компании. Точно так же нас могут интересовать двумерные распределения объема продаж и цены товара, дохода от продаж и уровня спроса и т.д. Другими примерами линейной регрессии с двумя переменными могли бы быть соотношения между издержками производства и квалификацией рабочих, между качеством продукции и продолжительностью рабочего дня, между весом и возрастом кур и т.д.

Линейную регрессию, как математическую модель, можно использовать для того, чтобы делать какие-то прогнозы или предсказания. Например, любая курица, реальный вес которой значительно отличается от прогнозируемого среднего веса, может быть подвергнута обследованию. В результате последующего анализа могут быть выявлены причины отклонения веса и приняты меры по улучшению рациона питания или изменению режима обслуживания и условий содержания.

Основным недостатком, присущим линейным эконометрическим моделям с двумя переменными, является их неадекватность к реальной действительности. Это вызвано, во-первых, тем, что статистическая (и, в частности, корреляционная) зависимость между экономическими величинами практически никогда не бывает в чистом виде линейной; во-вторых, многие факторы, влияющие на эти две переменные, остаются за пределами модели, т.е. оказываются неучтенными.


1. Линейный регрессионный анализ эконометрической модели

В регрессионном анализе изучается односторонняя зависимость переменной Y от одной или нескольких переменных X1 ,... ,Xk . Переменную Y называют функцией отклика или объясняемой переменной, а X1 ,... ,Xk - объясняющими переменными. Основная задача регрессионного анализа - установление формы зависимости между объясняемой и объясняющими переменными и анализ достоверности модельных параметров этой зависимости.

Пусть требуется найти аналитический вид (формулу вычисления) некоторого экономического показателя Y.

На первом шаге регрессионного анализа идентифицируют переменные X1 ,... ,Xk , от которых зависит Y, т.е. определяют те существенные факторы, которые воздействуют на этот показатель. Символически этот факт записывается так: .

На втором шаге регрессионного анализа требуется спецификация формы связи между Y и X1 ,... ,Xk , т.е. определение вида функции f. Ориентиром для определения вида зависимости являются содержание решаемой задачи, результаты наблюдений за поведением показателя относительно изменения факторов на основе статистических данных. Например, выборочные наблюдения пар наблюдаемых значений , приведенные на Рис. 1a), говорят о линейном характере зависимости вида , а на Рис 1b) - о полиномиальной зависимости вида .

Рис.1. Примеры эмпирических зависимостей

Предположим, что в результате спецификации определена линейная зависимость между показателем Y и факторами X1 ,... ,Xk:

(1.1)

Задача третьего шага регрессионного анализа заключается в определении конкретных числовых значений параметров на основе статистических данных о наблюдениях значений Y, X1 ,... ,Xk.

Естественно, линейные зависимости вида (1.1) наиболее просты для эконометрических исследований. Оказывается, что в ряде случаев к виду (1.1) можно привести и нелинейные зависимости с помощью логарифмирования, введения обратных величин и других приемов. Преобразование нелинейных функций в линейные называется линеаризацией. Покажем, в связи с этим, некоторые приемы линеаризации в случае двух переменных.

Пусть нелинейное соотношение имеет гиперболический вид

Введем переменную . Тогда наше соотношение становится линейным относительно Y и Z: .

Рассмотрим нелинейные зависимости степенного и показательного видов:

Прологарифмируем обе части каждого соотношения:

Обозначив получаем линейные соотношения

Таким образом, линеаризация расширяет область линейных моделей и повышает популярность линейных эконометрических методов. Однако опыт работы с экономическими данными показывает, что их отдельные значения не укладываются точно на прямую или на другую гладкую линию. Поэтому формализация вида (1.1) оказывается неадекватной целям, связанным с измерениями в экономике. Эта проблема преодолевается введением в соотношение (1.1) стохастического члена u:

(1.2)

Уравнение (1.2) называется линейной эконометрической моделью (или линейным уравнением регрессии Y на X1 ,... ,Xk ). Если мы имеем выборку , i=1,...,n, из n наблюдений над переменными Y, X1 ,... ,Xk, то модель (1.2) можно переписать в виде:

где неизвестными являются параметры и возмущения .

Задача оценки неизвестных параметров уравнения (1.2) с помощью наблюдаемых значений переменных Y, X1 ,... ,Xk называется линейным регрессионным анализом.

Пример 1. Исследуется соотношение между потребительскими расходами (Y) и доходами (X) с использованием данных о семейных бюджетах n семей за некоторый фиксированный период времени.

Совокупность статистических данных сгруппируем по численности и составу семей и рассмотрим интересующую нас связь между Y и X в каждой конкретной группе. Внутри группы выберем семьи, имеющие один и тот же доход . Очевидно, расходы этих семей будут разными. Однако можно указать такой уровень расходов , вокруг которого будут сгруппированы расходы всех семей этой подгруппы. Предположим, что для и справедливо соотношение , где - const. Обозначим через ui величину отклонения расходов i-й семьи от "центрального" значения . Тогда реальные объемы потребления для семей данной подгруппы будут представлены в виде Причем ui для одних семей будут иметь положительный знак, а для других - отрицательный.

Эти рассуждения приводят нас к следующей гипотезе для нахождения искомого соотношения между потребительскими расходами и доходами: . Слагаемое u называется стохастическим возмущением или ошибкой. Для окончательного решения нашей задачи остается на основе выборочных значений оценить параметры и ошибку u.

Замену функциональной зависимости (1.1) (т.е. математической модели показателя Y) статистической зависимостью (1.2) (т.е. эконометрической моделью показателя Y) можно обосновать следующими объективными причинами:

нехватка или отсутствие информации обо всех факторах, влияющих на величину Y;

априорное исключение второстепенных факторов, имеющих слабое влияние на показатель Y, но неадекватно усложняющих исследование;

возможные неточности при моделировании (при идентификации важнейших факторов, вида зависимости и т.д.), оказывающие влияние на суммарный эффект на модельное значение Y;

ошибки наблюдения или измерения наблюдаемых значений факторов X1 ,... ,Xk и показателя Y.

Дополнительное слагаемое u в #"#">#"BM_9_2_3__">(1.3)

Предположим, что проведено n выборочных наблюдений, в результате чего получены значения:

X

X1

X2

...

Xn

Y

Y1

Y2

...

Yn

(Так как в дальнейшем рассматривается зависимость Y только от одной переменной, в этой таблице и далее нижние индексы при X показывают, в отличие от формулы (1.2), номера наблюдаемых значений этой единственной переменной X; аналогично Yi, показывают наблюдаемые значения Y).

Введем в рассмотрение средние арифметические

Мы хотим с помощью наблюдаемых данных получить уравнение линии

(1.4)

которая будет наилучшей оценкой истинной линии .

Согласно метода наименьших квадратов эти параметры и являются решением оптимизационной задачи

Необходимые условия оптимальности пары (, ) имеют вид:

(1.5)

После подстановки в эту систему значений выборочных наблюдений , мы получим линейную систему из двух уравнений с двумя неизвестными и . Решив ее, найдем искомые параметры.

Систему (1.5) можно решить другим способом. Для этого проведем следующие преобразования. Разделив первое уравнение (1.5) на число n, получим

(1.6)

т.е. при найденных и оценочная линия (1.4) проходит через точку средних значений (Рис. 2).

Рис. 2. Оценочная линия.

Вычтем (1.6) из (1.4)#"1.files/image039.gif">.Отклонения наблюдаемых значений Xi ,Yi , от их средних обозначим малыми буквами:

В этих обозначениях оценочное уравнение (1.7) запишется так:

(1.7)

а отклонение точки от этой линии -

Задача минимизации суммы квадратов отклонения:

относительно дает нам

(1.8)

Применяя достаточный признак оптимальности:

мы убеждаемся, что действительно является точкой минимума функции . Параметр найдем из (1.6):

(1.9)

Пример 2. Требуется выявить зависимость аварий на дорогах от количества автотранспорта для некоторого региона на основе результатов ежегодных наблюдений, заданных в следующей таблице:

Номер года

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Год

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

Количество аварий на дорогах

166

153

177

201

216

208

227

238

268

268

274

Количество зарегистрированных транспортных средств

352

373

411

441

462

490

529

577

641

692

743

Введем необходимые обозначения:

i - номер года (i=1,...,11);

Y - аварии на дорогах; Yi - количество аварий в год i ;

X - транспортные средства; Xi- количество транспорта в год i .

Количество наблюдений n=11. С помощью данных столбиков (3) и (4) вычислим коэффициенты для системы (1.5):

Система (1.5) принимает вид:

Решением ее будут параметры =55,85; =0,312. Следовательно, оценочное уравнение запишется: =55,85+0,312X.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-51,8

-64,8

-40,8

-16,8

-1,8

-9,8

9,2

20,2

50,2

50,2

56,2

-167,2

-146,2

-108,2

-78,2

-57,2

-29,2

9,8

57,8

121,8

172,8

223,8

Если же мы хотим применять формулы (1.8) и (1.9), то нужно предварительно вычислить xi и yi (см. таблицу). Далее, подставляя эти значения в упомянутые формулы, находим


















2. Корреляционный анализ

Основной задачей корреляционного анализа является выявление тесноты связи между случайными величинами путем оценки коэффициентов корреляции. Рассмотрим простейшее из уравнений регрессии - двумерную модель. Исчерпывающую информацию о корреляционной зависимости между переменными X и Y, заданными с помощью выборочных наблюдений Xi, Yi ,i=1,...,n , в этой модели, дают средние значения и , дисперсии и  и коэффициент корреляции.

Здесь - среднеквадратические отклонения, а - ковариация между X и Y. Можно проверить, что выборочный коэффициент корреляции в обозначениях и запишется как

(2.1)

Для обоснования измерения тесноты связи между случайными величинами X и Y при помощи формулы (2.1) разобьем поле рассеяния точек ,i=1,...,n , на четыре части с помощью перпендикуляров к осям координат, проходящих через точку (см. Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация отклонений xi и yi

Тогда для любой точки будут определены отклонения и . При помощи этих переменных можно характеризовать полученные на Рис. 3 квадранты: квадранты I и III характеризуются положительным знаком произведения xiyi , а квадранты II и IV - отрицательным знаком xiyi . Переводя эти рассуждения на случайные величины X и Y, можно заключить, что если зависимость между X и Y положительная, то большая часть точек лежит в I и III квадрантах и сумма становится положительной;

если зависимость между X и Y отрицательная, то большая часть точек лежит в II и IV квадрантах и сумма становится отрицательной;

если нет связи между X и Y, то точки рассеяны по всем четырем квадрантам и сумма близка к нулю.

Сумма в качестве меры тесноты связи между X и Y имеет недостаток: ее численное значение может быть увеличено за счет случайной, достаточно удаленной от точки или же в результате выбора единиц измерения переменных X и Y. Эти недостатки можно исправить, если усреднить рассматриваемую сумму в виде (2.1), т.е. мерой оценки связи взять коэффициент корреляции r, который является безразмерной величиной и при достаточно большом объеме n выборки обладает следующими удобными свойствами:

для любых случайных величин X и Y ;

если , то корреляционная связь между X и Y отсутствует;

если , то корреляционная связь переходит в функциональную зависимость между X и Y.

Введем в рассмотрение величины:

и представим выражение (2.1) в виде

(2.2)

Пусть и - параметры регрессии (1.4), полученные методом наименьших квадратов. Тогда, объединяя формулы (1.8) и (2.2) , имеем:

(2.3)

Возведя в квадрат обе части уравнения отклонения точки (xi,yi) от линии наименьших квадратов (1.7) и суммируя по i=1,...,n, получим:

(2.4)

В силу (1.7) имеем:

а, используя (1.8), запишем

Поэтому из (2.4) приходим к уравнению

(2.5)

Как показывает #"1.files/image064.gif">) может быть разложена на две составляющие. Первая составляющая показывает вариацию значений около их среднего , равного среднему . Действительно, так как точка лежит на линии (см. (1.6)), найденной методом наименьших квадратов, то .

Эту составляющую общей вариации обычно связывают с линейным воздействием на Y изменений объясняющей переменной X. То есть это часть суммы квадратов отклонений, которая обусловлена найденной линейной зависимостью .

Предположив общую вариацию отличной от нуля и принимая во внимание выражения (1.7) и (2.3), вычислим отношение:

(2.6)

Следовательно, отношение части общей вариации Y, обусловленной линейной зависимостью от X, к общей вариации равно квадрату коэффициента корреляции. Иными словами, это есть доля дисперсии Y, объясняемая линейной зависимостью Y от X. Ее называют коэффициентом детерминации. Например, r=0,5 означает, что линейная регрессия Y на X объясняет 0,25% дисперсии Y.

Из (2.5) и (2.6) получаем еще одно представление для коэффициента детерминации:

(2.7)

Отсюда ясно, что значение r2 не может превзойти единицы и что его максимальное значение будет достигнуто только при

Последнее возможно, когда каждое отклонение равно нулю и поэтому все точки , i=1,...,n , в точности лежат на прямой линии (функциональная зависимость между Y и X). Минимальное значение r2 , равное нулю, достигается при . Это происходит, когда первая составляющая в (2.5) равна нулю.

Выражение (2.7) подтверждает ранее приведенные свойства коэффициента корреляции. Действительно, в силу (2.7) коэффициент r может изменяться в пределах от -1 до 1, а его знак определяется знаком суммы (Рис.3).

Вторая составляющая в (2.5) является той частью общей вариации значений переменной Y, которая не имеет отношения к линейной зависимости между Y и X, найденной методом наименьших квадратов. Она измеряет ту часть колебания Y, которая возникает из-за влияния на Y неучтенных факторов, не связанных с X.

Пример 3. Требуется оценить зависимость времени перевозок товара от расстояния между пунктом хранения и различными пунктами доставки внутри города. Данные наблюдения приведены в таблице:

Расстояние (в км)

3,5

2,4

4,9

4,2

3,0

1,3

1,0

3,0

1,5

4,1

Время (в мин)

16

13

19

18

12

11

8

14

9

16

Обозначим: Y - время, X - расстояние и нарисуем поле рассеяния (Рис.4).

Расположение точек говорит о возможной линейной связи Y и X. Поэтому, используя формулы (1.8)#"1.files/image093.gif">












Рис. 4. Поле рассеяния и линия регрессии


Тогда линейная модель имеет вид:

(2.8)

Коэффициент корреляции, есть

Так как это значение очень близко к единице, то линейная связь между расстоянием и временем доставки очень тесна. Этот вывод подтверждается характером разброса точек на Рис. 4.

Коэффициент детерминации (2.7) здесь показывает долю общей вариации времени перевозок, которая зависит от расстояния:

r2=(0,958)2=0,918

Таким образом, выборочная модель (2.8) объясняет 91,8% вариации времени доставки. Не объясняется 8,2% вариации времени доставки. Эта часть вариации обусловлена не учтенными в модели, но влияющими на время поездки факторами (пробки на дорогах, время суток, погода, вид транспорта и пр.).

Заключение

Объектом изучения эконометрики, как самостоятельного раздела математической экономики, являются экономико-математические модели, которые строятся с учетом случайных факторов. Такие модели называются эконометрическими моделями. Исследование эконометрических моделей проводится на основе статистических данных об изучаемом объекте и с помощью методов математической статистики.

Основными задачами эконометрики являются: получение наилучших оценок параметров экономико-математических моделей, конструируемых в прикладных целях; проверка теоретико-экономических положений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале; создание универсальных и специальных методов для обнаружения статистических закономерностей в экономике.

Для установления статистической зависимости (уравнения регрессии) между изучаемым экономическим показателем (объясняемой переменной) и влияющими на нее факторами (объясняющими переменными) проводится регрессионный анализ. Такой анализ предполагает идентификацию объясняющих переменных, спецификацию формы искомой связи между переменными, определение и оценку конкретных числовых значений параметров уравнения регрессии.

Для выявления тесноты связи между экономическими величинами в уравнении регрессии проводится корреляционный анализ. В ходе корреляционного анализа изучается сила влияния различных причин (последствия линейной регрессии и влияние неучтенных в модели факторов) вариации объясняемой переменной.

Список использованной литературы

1.  Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

2.  Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 1997.

3. Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник /И.И.Елисеева и др. – М.: Финансы и статистика, 2001.

4. Князевский В.С., Житников И.В. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учеб. пособие. – Ростов-на-Дону: РГЭА, 1998.

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 2000.

6. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие /И.И.Елисеева и др. – М.: Финансы и статистика, 2001.



Содержание Введение                                                                                                    3 1.   Лин

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ