Запишем удельную, отнесенную к единице длины осевой линии резонатора кинетическую энергию гироскопа. Она складывается из кинетической энергии полукольца и рамки:

Для того, чтобы найти абсолютную скорость движения точки полукольца в скалярном виде, нужно сначала перейти к её векторному представлению. В векторном пространстве абсолютная скорость состоит из суммы переносной и относительной скоростей.

(1.3)

Переносную скорость найдем по формуле Эйлера:

Зададимся декартовой системой координат так, чтобы начало координат располагалось посередине рамки, ось y была соосна рамке, ось x - направлена перпендикулярно, а ось z, являющаяся осью чувствительности гироскопа, - направлена на нас. Зададимся базисом . Операцию дифференцирования по координате будем обозначать штрихом, а операцию дифференцирования по времени t будем обозначать точкой.

(1.5)

(1.6)

Здесь V и W - упругие смещения элемента кольцевого резонатора в окружном и радиальном направлениях.

Итак, переносная скорость движения в разложении по данному базису есть:

(1.7)

Разложим относительную скорость движения по данному базису:

(1.8)

Теперь можем записать абсолютную скорость:

(1.9)

Мы нашли все неизвестные, запишем удельную кинетическую энергию:

(1.10)

Найдем удельную потенциальную энергию гироскопа. Она состоит из потенциально энергии полукольца и потенциальной энергии балки:

(1.11)

Здесь с - жесткость балки,

Далее проинтегрируем удельную кинетическую и удельную потенциальную энергию от 0 до , чтобы получить кинетическую и потенциальную энергию для полукольца и построим Лагранжиан (1.1) системы:

(1.12)

.1 Составление уравнений движения с помощью принципа Гамильтона

Получим уравнения движения гироскопа, используя принцип наименьшего действия Гамильтона-Остроградского.

Действие по Гамильтону имеет вид:

(1.13)

Воспользуемся гипотезой о нерастяжимости срединной линии резонатора:

(1.14)

Проведем соответствующую замену переменных:

(1.15)

(1.16)

Таким образом (1.13):

(1.17)

На истинном пути действие по Гамильтону принимает стационарное значение, то есть Следовательно,

Выполним некоторые преобразования над варьируемыми переменными:

Выпишем интегро-дифференциальные уравнения гироскопа:

.2 Составление уравнений движения с помощью уравнений Эйлера

Проведём проверку полученных уравнений движения гироскопа с помощью уравнений Эйлера

Действие по Гамильтону имеет вид

(1.20)

Подынтегральное выражение есть функция

Оба уравнения вариационной задачи будут выглядеть:

(1.21)

Выведем первое интегро-дифференциально уравнение гироскопа:

Таким образом, после подстановки в (1.21) получим:

Соберем все подобные слагаемые:

(1.22)

Выведем второе интегро-дифференциально уравнение гироскопа:

Таким образом, после подстановки в (1.21) получим:

(1.23)

Получили интегро-дифференциальные уравнения движения гироскопа с помощью уравнений Эйлера. Они совпадают с уравнениями (1.19), полученными с использованием принципа наименьшего действия Гамильтона-Остроградского.

.3 Решение уравнений движения методом Бубнова-Галеркина

Решение уравнений будем искать в одномодовом приближении с помощью метода Бубнова-Галеркина для функции нормального прогиба в виде:

(1.24)

Чтобы подставить функцию в уравнения, найдем все остальные ее производные:

Интегро-дифференциальные уравнения после подстановки примут вид:

Приведем подобные слагаемые, уравнения примут вид:

(1.25)

Для первого уравнения проведем непосредственно процедуру Бубнова-Галеркина:

Проинтегрируем оба уравнения:

.4 Линеаризация уравнений движения

Раскроем скобки в уравнениях (1.26), получившихся после проведения процедуры Бубнова-Галеркина:

,

Отбросим все нелинейные слагаемые.

В первом уравнении избавимся от

Во втором уравнении от

.

В итоге получены следующие уравнения:

Разделим оба уравнения на коэффициенты при старшей производной:

(1.28)

.5 Нормализация уравнений движения

Обезразмерим переменную , для этого введем новую переменную

(1.29)

Уравнения движения примут следующий вид:

(1.30)

Обозначим частоту колебаний решения в первом уравнении как:

Коэффициент при гироскопическом слагаемом в первом уравнении как:

Обозначим частоту колебаний решения во втором уравнении как:

Коэффициент при гироскопическом слагаемом во втором уравнении как:

В итоге получили уравнения:

Уравнения примут вид:

(1.31)

2. Свободные колебания гироскопа без учета трения

.1 Случай одночастотной системы

Имеем следующую систему:

(1.31)

Найдем решение системы (1.31) в переменных Ван-Дер-Поля. Применим к нашей системе метод Страбла и приведем ее к стандартному виду посредством перехода от переменных и к медленным переменным по формулам:

(1.32)

Найдем производные первого и второго порядков переменных и по времени t:

Подставим полученные уравнения в нашу систему (1.32):

После линеаризации система примет вид:

Разделим на коэффициенты при старшей производной, т. о. получим уравнения для медленных переменных:

(1.33)

Найдем решение системы (1.33), для этого запишем второе и четвертое уравнение следующим образом:

Введем замену переменных:

(1.34)

Продифференцируем уравнения замены:

(1.35)

Запишем уравнения для и с учетом замены (1.34), (1.35):

Упрощая выражения, получим:

(1.36)

Запишем определитель полученной системы (1.36):

Найдем значение и подставим его в 1 уравнение системы:

Теперь введем обратную замену:

(1.38)

Запишем выражения для и с учетом замены (1.38):

(1.39)

Запишем определитель полученной системы:

Найдем и подставим его в первое уравнение системы:

Производя аналогичные построения для переменных и , мы получим полный набор коэффициентов для записи решения системы:

Где - угол, пропорциональный интегралу от угловой скорости основания гироскопа:

(1.42)

Перейдем, используя замену (1.32) к переменным

Эти формулы являются решением с точностью до порядка .

Найдем произвольные постоянные из следующих начальных условий:

(1.44)

Производные по переменным определим из выражений:

Здесь мы пренебрегли производными по переменным т.к. они имеют порядок бесконечно малой величины в то время как на практике величины всегда конечны.

Тогда, подставляя начальные условия в выражения, получим:

Учитывая условия, запишем и :

Рассмотрим соотношение и в уравнениях:

(1.46)

В плоскости фазовая точка описывает прямую, которая со временем будет поворачиваться в зависимости от угловой скорости основания:

Рис.1. Фазовые траектории системы.

Таким образом гироскоп является датчиком угла поворота.

.2 Случай разночастотной системы

.2.1 Рассмотрим свободные колебания гироскопа на неподвижном основании:

Уравнения преобразуются следующим образом:

(2.1)

где

Ищем решение системы в виде:

(2.2)

Где - произвольные постоянные.

Обозначим для кратности ,

, где .

В этом случае уравнения примут вид:

(2.3)

Собственная форма колебаний резонатора:

(2.4)

Таково решение исходной задачи по основной форме колебаний. Далее установим связь между каноническим представлением волновой картины колебаний и медленно изменяющимися переменными, которые измеряются емкостными датчиками прибора.

(2.5)

что дает возможность получить формулы перехода от переменных и и медленных переменных Ван-Дер-Поля, непосредственно измеряемых в гироскопе.

(2.6)

где (2.7)

Установим связь с каноническим представлением волновой картины колебаний в тороидальных координатах:

(2.8)

где - угол ориентации волновой картины, - фаза, характеризующая изменение частоты колебаний.

Определим связь между переменными и из уравнений путем тригонометрических преобразований

(2.9)

Из этих соотношений получаем:

Величина P характеризует сумму квадратов амплитуд нормальной и основной квадратурной волн колебаний резонатора, значение Q=0 является условием существования стоячей волны колебаний резонатора.

(2.10)

здесь a, b,, - медленные переменные амплитуда-фаза.

. (2.11)

Отсюда получим угол прецессии:

(2.12)

Угловая скорость прецессии:

(2.13)

Рассмотрим интересный с точки зрения практики случай возбуждения стоячей волны колебаний. Пусть тогда получим угловую скорость в виде:

(2.14)

Числовой пример.

Таблица 1. Массово-упругие характеристики

МатериалПлотность , Модуль упругости , ГПаПлавленый кварц2.20173

Таблица 2. Геометрические характеристики

Радиус полукольца R, ммТолщина полукольца h, ммШирина полукольца b, ммПлощадь поперечного сечения, Момент инерции сечения I, 30.150.30.0451125Собственная частота колебательного контура .

Частотная расстройка

Коэффициент трения ,

Здесь - добротность.

В дополнение к данным предыдущего числового примера положим, что имеется малая инструментальная погрешность изготовления резонатора по толщине диска , максимальная погрешность составляет 1мкм . В этом случае имеем расщепление частот = 240Гц = 0.004%.

Связанное с этим биение резонатора иллюстрируется:

Рис.2 Скорость прецессии волновой картины колебаний.

Анализ показывает, что инструментальная погрешность изготовления резонатора вызывает переодическое изменение ориентации волновой картины колебаний резонатора, являющихся систематической погрешностью гироскопа.

.2.2 Рассмотрим свободные колебания гироскопа на подвижном основании:

Предположим теперь, что имеем разночастотную систему:

При этом а но т.к. мало, значит , тогда система уравнений гироскопа примет вид:

(2.15)

Используя замену переменных, найдем производные первого и второго порядка переменных и по времени.

Подставим полученные уравнения в нашу систему:

После линеаризации система примет вид:

В силу ортогональности можем записать выражение:

Получим уравнения для медленных переменных:

(2.16)

Введем следующую замену:

(2.17)

Выделим первое и третье уравнения системы. Умножим первое уравнение на мнимую единицу и сложим со вторым.

С учетом замены получаем:

(2.18)

Выделим второе и четвертое уравнения системы. Умножим второе уравнение на мнимую единицу и сложим с четвертым.

учетом замены получим:

(2.19)

Решение будем искать в виде: , . (2.20)

Запишем определитель для данной системы:

Найдем и подставим его в первое уравнение системы:

(2.21)

Обозначим для простоты (2.22)

Выразим константы и через и , для этого запишем:

(2.23)

откуда: (2.24)

При этом ,

,

Подставим и , получим:

(2.25)

При этом по формуле Эйлера:

(2.26)

Константы и представим как:

(2.27)

Т.о.:

Мы получили решение для медленных переменных Ван-Дер-Поля:

(2.28)

Произвольные постоянные найдем исходя из начальных условий :

После подстановки получаем:

(2.32)

Мы получили точное решение системы. Теперь найдем численное. Вернемся к системе. Приведем ее к виду:

(2.35)

где ,

Решение представим в виде переменных и от безразмерного времени в зависимости от различных:

Рис.3 График переменных и при

Рис.4 График переменных и при .

Рис.5 График переменных и при

Рис.6 График переменных и при

Рис.7 График переменных и при

Рис.8 График переменных и при

Амплитуды колебаний гироскопа будем искать в виде:

(2.36)

где А - амплитуда колебаний по переменной , а B - по переменной .

Рис.9 Амплитуда собственных колебаний при

Рис.10 Амплитуда собственных колебаний при

Рис.11 Амплитуда собственных колебаний при .

Полученные графики дают нам представление об изменении амплитуды колебаний гироскопа.

Проиллюстрируем более наглядно изменение амплитуды А от величины разночастотности. Для этого выведем все три графика амплитуды А в зависимости от времени :

Рис.12 Численное моделирование амплитуды А при ,, (красным цветом представлена А при, серым, - А при ,, зеленым, А - при ).

3. Свободные колебания гироскопа на подвижном основании с учетом трения

.1 Случай одночастотной системы:

Имеем следующую систему уравнений движения гироскопа:

(3.1)

Найдем решение в переменных Ван-Дер-Поля. Применим к нашей системе метод Страбла и приведем ее к стандартному виду посредством перехода от переменных и к медленным переменным по формулам:

(3.2)

Найдем производные первого и второго порядков переменных и по времени t:

Подставим полученные уравнения в нашу систему:

Запишем дифференциальные уравнения гироскопа пренебрегая слагаемыми второго порядка малости:

В силу ортогональности можем записать выражения:

Получим уравнения для медленных переменных:

, . (3.3)

Найдем решение системы, для этого введем замену переменных:

(3.4)

Запишем систему с учетом переменных:

(3.5)

Заметим, что структура системы идентична структуре системы без трения, поэтому можно записать решение в аналогичном виде:

(3.6)

Где - угол, пропорциональный интегралу от угловой скорости основания гироскопа:

(3.7)

Перейдем, используя замену к переменным

(3.8)

Эти формулы являются решением с точностью до порядка .

Найдем произвольные постоянные из следующих начальных условий:

(3.9)

Производные по переменным определим из выражений:

Здесь мы пренебрегли производными по переменным т.к. они имеют порядок бесконечно малой величины в то время как на практике величины всегда конечны.

Тогда, подставляя начальные условия в выражения, получим:

(3.10)

Учитывая условия, запишем и :

(3.11)

Рассмотрим соотношение и в уравнениях:

(3.12)

В плоскости фазовая точка описывает прямую, которая со временем будет поворачиваться в зависимости от угловой скорости основания:

Рис.13. Фазовые траектории системы.

Таким образом гироскоп является датчиком угла поворота.

.2 Случай разночастотной системы

Предположим теперь, что имеем разночастотную систему:

При этом а но т.к. мало, значит , тогда система уравнений гироскопа примет вид:

(3.13)

Используя замену переменных, найдем производные первого и второго порядка переменных и по времени.

Подставим полученные уравнения в нашу систему:

,

.

Запишем дифференциальные уравнения гироскопа пренебрегая слагаемыми второго порядка малости:

В силу ортогональности можем записать выражения для и :

Получим уравнения для медленных переменных:

(3.14)

Найдем численное решение системы, для этого приведем ее к виду:

(3.15)

где ,

Решение представим в виде переменных и от безразмерного времени в зависимости от различных:

Рис.14 График переменных и при

Рис.15 График переменных и при

Рис.16 График переменных и при

Рис.17 График переменных и при

Рис.18 График переменных и при

Рис.19 График переменных и при

Амплитуды колебаний гироскопа будем искать в виде:

(3.16)

где А - амплитуда колебаний по переменной , а B - по переменной .

Рис.20 Амплитуда собственных колебаний при

Рис.21 Амплитуда собственных колебаний при

Рис.22 Амплитуда собственных колебаний при

Полученные графики дают нам представление об изменении амплитуды колебаний гироскопа.

Проиллюстрируем более наглядно изменение амплитуды А от величины разночастотности. Для этого выведем все три графика амплитуды А в зависимости от времени :

Рис.23 Численное моделирование амплитуды А при ,, (красным цветом представлена А при, серым, - А при , зеленым, А - при ).

Заключение (Выводы по работе)

Была разработана новая математическая модель микромеханического гироскопа камертонного типа на подвижном основании. Были получены и проанализированы уравнения движения данного гироскопа. В ходе исследования было установлено, что в случае равных собственных частот гироскоп может работать как датчик угла поворота основания. В случае же различных собственных частот изучение поведения гироскопа сильно усложняется, что позволяет сделать вывод о необходимости поисков методов частотной настройки.

Список литературы

Журавлев В. Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. - М.: Наука, 1985. 125 с.

Меркурьев И. В., Подалков В. В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 228 с.

1.

Больше работ по теме: