Дифференциальные уравнения
Задача 1. Найти экстремум функционала при
Решение
Найдём частные производные подынтегральной функции:
; .
Вычислим полную производную по x от Fy' по формуле дифференцирования сложной функции:
функция линейное разностное уравнение экстремум
Имеем .
Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида:
.
Т.е. или (1).
Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение - характеристические числа. Следовательно, общее решение однородного уравнения будет . Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть многочлен нулевой степени, умноженный на синус, поэтому . Подставим это решение в исходное уравнение:
Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид
.
Для нахождения произвольных постоянных C1 и C2 подставим полученное решение в граничные условия:
и тогда уравнение экстремали имеет вид:
.
Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби вида:
.
Т.к. , уравнение Якоби имеет вид:
или .
Его общее решение есть .
Из условия , т.е. , имеем . Т.е. u(x), удовлетворяющее условию , имеет вид , где С - константа. Так как нетривиальное решение уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется.
б) проверим условие Лежандра: поскольку Fy'y' = 2 > 0 при любых y', то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно, на этой же кривой достигается и слабый минимум.
Значение функционала на найденной экстремали равно примерно -79,3784 (вычислено в математическом пакете Maple).
Ответ: -79,3784 достигается на кривой .
Задача 2. Найти
Решение
Для вычисления воспользуемся следующим свойством:
и известным значением гамма-функции
.
Тогда имеем
,
в свою очередь
и так далее, таким образом, получим, что
Ответ: .
Задача 3. Найти решение уравнения yk+2 - 19 yk = 4k, y0 = 1, y1 = 1.
Выполнить проверку решения
Решение
Имеем неоднородное линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами.
Его общее решение имеет вид , где у - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.
Характеристическое уравнение
- характеристические числа. Т.к. они действительные и различные, то
.
Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть полином нулевой степени, умноженный на действительное число степени k, не совпадающее ни с одним из характеристических чисел, поэтому . Подставим это решение в исходное уравнение:
Следовательно, решение исходного разностного уравнения есть
=.
Произвольные постоянные решения С1 и С2 найдем, используя начальные условия:
;
.
Окончательно имеем решение
.
Проверим решение:
, подставим в исходное уравнение, получим
Ответ: .
Больше работ по теме:
Контрольная работа
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Контрольная работа
Исследование функции
Контрольная работа
Задачи к экзамену по общей математике
Контрольная работа
Введение в исследование и дифференциальное исчисление функции одного переменного
Контрольная работа
Предмет: Математика
Тип работы: Контрольная работа
Новости образования
22 Июля 2016 16:26
Более 70 представителей крупных вузов АСЕАН подтвердили участие в форуме во Владивостоке
22 Июля 2016 12:51
Абызов: публикация первичных статсведений снизит бюрократическую нагрузку на школы
22 Июля 2016 11:53
В Чечне свыше 200 школьников сдали ЕГЭ с результатом свыше 90 баллов - министр
22 Июля 2016 05:36
Замглавы Минобрнауки РФ: задача сократить число людей с высшим образованием не стоит
21 Июля 2016 20:19
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2019 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ