Дифференциальные операции второго порядка

 











Контрольная работа

тема: "Дифференциальные операции второго порядка"

















Москва 2014

Содержание


Введение

1. Оператор Лапласа

2. Градиент дивергенции

3. Дивергенция градиента и ротора

4. Ротор градиента и ротора

5. Формулы Грина

Список использованной литературы и источников

Введение


Вычисление градиента, дивергенции и ротора связано с однократным дифференцированием некоторых функций, поэтому эти операции называют дифференциальными операциями первого порядка.

Для скалярного поля был введен один оператор первого порядка


.


Для векторного поля введены два оператора первого порядка


.


Повторное применение оператора "набла" приводит к необходимости вычисления вторых производных. Т.о. мы приходим к дифференциальным операторам второго порядка.

Имеет смысл рассматривать пять дифференциальных операций второго порядка:


) ;

) ;

) ;

) ;

) .


Будем считать, что необходимые условия дифференцируемости, непрерывности и пр. выполнены. Более детально эти вопросы обсуждаются в расширенных курсах высшей математики.


1. Оператор Лапласа


Рассмотрим скалярное поле . Существует единственный дифференциальный оператор, действующий на это поле


.


Полученный вектор указывает величину и направление максимального возрастания функции .

Вычислим в явном виде . Используя оператор "набла", имеем


.


Убедимся в справедливости этого выражения путем непосредственного дифференцирования:


.


Выражение, естественно, получилось таким же.

Такое выражение часто встречается в различных задачах математической физики и для его записи введен специальный дифференциальный оператор второго порядка:


дифференциальная операция градиент дивергенция

.


Этот оператор называют оператором Лапласа или лапласианом. Формально можно записать


.


Итак, дивергенция градиента скалярной функции равна лапласиану этой функции. Оператор Лапласа широко применяется в различных задачах. Так, например, расчет температурного поля сводится к решению уравнения Лапласа



с соответствующими граничными условиями.


. Градиент дивергенции


Рассмотрим операцию . В прямоугольной декартовой системе координат имеем



Полученное выражение является вектором, компонентами которого являются комбинации частных производных второго порядка.

Отметим, что некорректное использование оператора "набла" может привести к неверным результатам:


.


В этой формуле, которая отличается от полученной в начале параграфа, допущена ошибка в преобразовании


.


Три вектора, которые здесь используются, не образуют смешанное произведение векторов (в смешанном произведении ). Заменять действие двух операторов "набла" одним оператором ? недопустимо, т.к. их последовательные действия в отношении вектора F различаются.

Следует иметь в виду, что операции с оператором требуют внимания и аккуратности, поэтому соответствующие преобразования следует сопровождать непосредственными вычислениями, выполняя дифференцирование по координатам.

3. Дивергенция градиента и ротора


Дивергенцию градиента мы определили в §1


,


где был введен оператор Лапласа


.


Найдем дивергенцию ротора с помощью оператора "набла":


.


Нетрудно убедиться в справедливости этого равенства и непосредственным дифференцированием. Предлагается сделать это самостоятельно.

В выражении рассматривается смешанное произведение трех векторов , и . Отметим отличие этого случая от выражения


,


которое не является смешанным произведением (выражение является скалярным произведением, а не векторным).

4. Ротор градиента и ротора


Для операции можно также использовать оператор "набла":

,

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования.

Из полученного результата можно получить важное следствие. Рассмотрим некоторую замкнутую кривую L и натянем на нее произвольную поверхность S.

Используя теорему Стокса, можем записать


.


Полученный результат сформулируем в виде теоремы:

Теорема 1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Следствие 1. Криволинейный интеграл от градиента скалярной функции не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется начальной и конечной точками линии интегрирования.


.


Доказательство. Сделаем рисунок.



Выполним простейшие преобразования


,

Следовательно

. Имеем

.


Это означает, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Следовательно, величина интеграла зависит только от выбора точек А и В:


.


Вычислим операцию . Для этого используем известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения


.


Перепишем эту формулу в более удобном для нас виде


.


Преобразование сделано так, чтобы в дальнейших формулах оператор "набла" не стоял на последней позиции. В терминах оператора "набла" получим


.


(Что было бы, если использовать обычную формулу для двойного векторного произведения?)

Используя обозначение оператора Лапласа, можно записать


.


Имеем систему трех дифференциальных соотношений, записанных для компонент вектора F.

Мы рассмотрели основные дифференциальные операции второго порядка. В дальнейшем будем их использовать при решении различных задач.

5. Формулы Грина


Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Запишем формулу Гаусса-Остроградского


.


Пусть и - две произвольные скалярные функции. Положим


.


Тогда теорема Гаусса-Остроградского принимает вид


.


Можно записать


,

.


Здесь введено обозначение



для производной функции по направлению



После подстановки этих выражений в видоизмененную формулу Гаусса-Остроградского получим


.


Эта формула называется первой формулой Грина.

Аналогично, если положить


,


то первая формула Грина примет вид


.


Вычитая соответствующие формулы, получим


.


Эта формула называется второй формулой Грина.

Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.

Теорема 1. Значение функции во внутренней точке области Т, ограниченной поверхностью S, определяется формулой


, где

-


расстояние между точками и . Доказательство. Рассмотрим точку и окружим ее маленькой сферической поверхностью радиуса



Введем функцию


, где

.


Нетрудно вычислить оператор Лапласа от функции (сделать самостоятельно)


.


Из второй формулы Грина


,


записанной для области, ограниченной поверхностями S и , получим



Рассмотрим интеграл по поверхности сферы



Учитывая условие , получим



Пусть . Теорема о среднем для поверхностного интеграла имеет вид


.


Применим к нашему интегралу теорему о среднем


.


В пределе получим


.


Возвращаемся к первоначальной формуле Грина


. тсюда

.


В дальнейшем мы будем использовать эту формулу и другие формулы Грина при решении различных уравнений математической физики.

. Вопросы и задачи

. Вычислить оператор Лапласа для функций:


а) ,

б) , где ,

в) ,

г) ,

д) , где .


Список использованной литературы и источников


1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.

. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: "Высшая школа", 1976, 390 с.

. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.

. Все решения к "Сборнику задач по общему курсу физики" В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.


Контрольная работа тема: "Дифференциальные операции второго порядка"

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2019 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ