Числовая ось. Числовые промежутки. Положение точки

 

ПЕРВЫЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ

ЭКЗАМЕННАЦИОННЫЙ РЕФЕРАТ

по математике на тему:

«Числовая ось. Числовые промежутки. Положение точки»

СОДЕРЖАНИЕ

1. Числовая ось

. Числовые промежутки

. Положение точки

.1 Положение точки на прямой

.2 Положение точки на плоскости

.3 Положение точки в пространстве

4. Расстояние между двумя точками

Литература

Дополнительные источники

1. Числовая ось.

Числовая ось, или числовая прямая - это прямая, на которой выбраны:

некоторая точка O - начало отсчёта;

положительное направление, указанное стрелкой;

масштаб для измерения длин.

Между вещественными числами и числовой осью устанавливается взаимно однозначное соответствие: начало координат соответствует нулю, числовое значение произвольной точки соответствует расстоянию её до начала координат - в положительном направлении со знаком плюс, иначе - со знаком минус. Таким образом, числовая ось состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствует положительным, а другой - отрицательным числам. Естественный порядок точек на прямой при таком соответствии согласуется с упорядоченностью чисел.

Числовая прямая часто используется как наглядный образ множества вещественных чисел (например, для построения графиков). Отрезки прямой при этом изображают числовые интервалы.

Множество вещественных чисел , дополненное элементами и , называется расширенной числовой прямой и обозначается , то есть

2. Числовые промежутки

Числовой промежуток (или промежуток числовой прямой_ - множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. Это определение можно записать так: - промежуток, если

В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:

Типы промежутков:

?. Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключенных между двумя числами a и b - концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет.

) Отрезок (или замкнутый интервал - англ. closed interval):

,

т.е. промежуток , обозначается [a,b]:

В случае a = b отрезок состоит из одной точки.

) Интервал (или открытый интервал - англ. open interval):

, т.е. , обозначается (a,b):

3) Полуинтервал (или полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал - англ. half-open interval/half-closed interval):

Длиной конечных промежутка во всех случаях называется число b ? a.

??. Бесконечные промежутки

не ограничены либо сверху, либо снизу каким-либо вещественным числом (лучи, полупрямые), либо с обеих сторон (числовая прямая). В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из концов, или обоими служат несобственные числа , полагая, что для любого вещественного числа справедливы неравенства . Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны таковым для конечных промежутков. Например, выписанные выше бесконечные промежутки обозначаются соответственно

???. Пустое множество также является промежутком.

3. Положение точки

Положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве определяется ее координатами. Совокупность координат всех точек пространства является системой координат.

Система координат - комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

.1 Положение точки на прямой

Положение точки на прямой определяется всего одной координатой - координатой по оси x. Эту координату показывает число, определяющее эту координату.

.2 Положение точки на плоскости

Положение точки на прямой определяется всего двумя координатами - по оси x и по оси у. Для этого используется прямоугольная (Декартова) система координат на плоскости.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O (начало координат), на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами.

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так: .

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

.3 Положение точки в пространстве

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами - по оси x, по оси у и по оси z. Для этого используется прямоугольная (Декартова) система координат в пространстве.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси.

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC, координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A, координата z - аппликатой точки A. Записывают так: .

прямая числовой координата точка

4. Расстояние между двумя точками

Расстояние (d) между точками A(x1) и B(x2) на оси:

Расстояние d между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) плоскости определяется по формуле:

Расстояние d между двумя точками А(, , ) и В(, , ) в пространстве определяется по формуле:

Литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ, 2003.

. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа - 5-е изд. - М.: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - С. 64-65. - 704 с.

. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis - М.: ЛКИ, 2007. - С. 17-18. - 258 с.

. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа - 7-е изд. - М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. - Т. 1. - С. 35. - 416 с.

. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа - 7-е изд. - М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2005. - Т. 1. - С. 56-57. - 648 с.

Дополнительные источники

. #"justify">7. #"justify">. http://www.matematika-na.ru/

ПЕРВЫЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ ЭКЗАМЕННАЦИОННЫЙ РЕФЕРАТ по математик

Больше работ по теме: