Численные методы решения задач

 

МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ УКРАИНЫ

Государственное агентство рыбного хозяйства Украины

КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ







Курсовая работа

по дисциплине

"Вычислительная техника и программирование"

Тема: Численные методы решения задач













Керчь, 2013 г.

Задача 1


Вычислить определенный интеграл


,


где g(x) - функция, полученная методом наименьших квадратов по заданной совокупности экспериментальных данных.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

.По заданным экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую зависимость .

.Построить график функции g(x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.

.Построить график функции F(g(x),x) на интервале [a, b] с шагом (b-a)/20.

.Вычислить интеграл методом средних прямоугольников для 20 разбиений и методом трапеций для 10 и 20 разбиений. По значениям, полученным методом трапеций, получить уточнение интеграла по методу Ричардсона и считать его решением всей задачи.

.Считая значение, полученное методом Ричардсона, точным, определить погрешности значений, полученных методами средних прямоугольников и трапеций.

Исходные данные


x2,002,002,002,402,802,803,203,203,604,00g(x)1,5441,1710,9111,5440,5880,5401,0210,5800,7890,7404,404,404,404,804,805,205,205,205,606,001,0711,1000,7270,6770,3480,5790,4780,7460,5920,725

Аналитический вид функции



РЕШЕНИЕ

.Строим аппроксимирующую зависимость методом наименьших квадратов.

Последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью выглядит так:

-вычисление логарифмов значений аппроксимируемой функции

вычисление коэффициентов а и b по формулам ;

вычисление коэффициентов с и d по формулам и ;

вычисление значений g(x) по формуле .

Решаем эту задачу табличным способом в электронных таблицах Excel.

Задание 1.1

При составлении расчетной таблицы был использован метод лианеризации. При этом обе части аппроксимируемой зависимости были подвергнуты процедуре логарифмирования.



Теперь рассчитываем коэффициенты уравнения по формулам:


Поэтому в соответствующие столбцы вводим формулы:

=A3^2 - для определения квадрата значения х.

=LN(B3) - для определения логарифма функции g(х).

=A3*D3 - для определения .

=СРЗНАЧ(A3:A22) - среднее значение х.

=СРЗНАЧ(B3:B22) - среднее значение g(х).

=СРЗНАЧ(D3:D22) - среднее значение логарифма функции g(х).

Теперь можно посчитать по соответствующей формуле d.

=(A24*D24-E24)/(A24^2-C24)

А затем определить значение с: =EXP(D24-E26*A24).

Аналитический вид функции g(х) имеет вид .

Теперь подсчитываем эмпирический ряд значений функции g(х) и вектор ошибок, возведенных в квадрат =(F3-B3)^2.



2. Строим график функции g(x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.


3. Строим график функции F(g(x),x) на интервале [a; b], т.е. [1; 7].


x1,001,301,601,902,202,502,803,103,403,70F(x)1,5111,5891,6351,6641,6811,6921,6981,7011,7011,7004,004,304,604,905,205,505,806,106,406,707,001,6981,6951,6921,6881,6831,6791,6741,6701,6651,6611,657


2.Вычисляем интеграл различными методами.

Делаем соответствующие расчеты в электронных таблицах Excel.

Задание 1.4

При определении интеграла функции указанный участок следует разделить на 20 интервалов. Тогда шаг интегрирования будет составлять (7-1)/20=0,3.

1.Составляем ряд расчетных значений подынтегральной функции, используя формулу


=$A$2*EXP($B$2*A33)/3+ATAN(2*A33)


2.Рассчитываем сумму по методу левых прямоугольников



3.Рассчитываем сумму по методу правых прямоугольников



4.Рассчитываем сумму по методу средних прямоугольников

5.Переходим к методу трапеций. Здесь рассматриваем два варианта: с разбиением на 10 и на 20 интервалов.

.Основные формулы для табличного счета имеют вид:


=$A$2*EXP($B$2*A33)/3+ATAN(2*A33) - расчет


=$A$2*EXP($B$2*D33)/3+ATAN(2*D33) - формула расчета функции для средних прямоугольников.

=$A$2*EXP($B$2*G33)/3+ATAN(2*G33) - формула для расчета функции для метода трапеций для 10 интервалов разбиения.

=$A$2*EXP($B$2*I33)/3+ATAN(2*I33) - формула для расчета функции для метода трапеций для 20 интервалов разбиения.

аппроксимирующий зависимость интеграл итерация

Уточнение по Ричардсону - это по сути экстраполяционный подход к пределу. Здесь следует рассчитывать значение функции по специальным формулам.

Рассчитываем более точно значение интеграла по методу Ричардсона. В соответствии с расчетами по методу трапеций имеем:

.при разбиении участка интегрирования с h = 0,2 значение интегральной суммы (St1);

.при разбиении участка интегрирования с k = 0,1 значение интегральной суммы (St2);

.формулу для расчета метода трапеций , где

Вычисляем значение С:



Теперь можно получить более точное значение интеграла.


J = 10,02769 - 0,0284333 * 0,6 = 10,037925


J=10,03792Ошибка методаSл=10,01349Rл=0,0244377Sп=10,05724Rп=0,0193197Sc=10,03929Rc=0,0013615Sт1=10,02769Rт1=0,010236Sт2=10,03537Rт2=0,002559Sp=10,03792Rp=0

Анализ вышеуказанной таблицы указывает, что наименьшим отклонением от истинного значения для рассматриваемой функции является метод средних квадратов. Метод трапеций дает несколько худший результат, но предположительно, что с уменьшением шага интегрирования может измениться и результат расчетов.


Задача 2


Методом простых итераций определить корень уравнения


,


где y(x) - решение задачи Коши


.


ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2

.Решить на интервале [xn, xk] с разбиением его на 20 частей обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка при начальных условиях методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

.Построить графики найденных решений.

.Из таблицы значений y(x), найденной для метода Рунге-Кутта 4-го порядка, для точки пересечения графика с осью абсцисс выбрать 4 последовательные точки, ближайшие к ней и расположенные по обе стороны от нее.

.По выбранным четырем точкам построить интерполяционный полином Ньютона P3(x) 3-го порядка.

.Методом простых итераций с точностью e=0,001 найти корень уравнения P3(x)=0 и рассматривать его как приближенное решение основной задачи работы.

Исходные данные



1.Преобразуем дифференциальное уравнение



2.Решаем дифференциальное уравнение указанными методами.

Результаты решения задачи показаны в таблице.


Задание 2.1

Решаем задачу по методу Эйлера с использованием формулы: . При решении задачи методом Эйлера используется следующий алгоритм: очередной аргумент ищется, как приращение по функции относительно предшествующего значения: =B7+$B$4*(SIN(A7)-B7/A7). Дальнейшие формулы имеют вид:

Усоверш. Метод Эйлера -


=C7+$B$4/2*((SIN(A7)-C7/A7)+(SIN(A8)-(C7+$B$4*(SIN(A7)-C7/A7))/A8))


Модиф. Метод Эйлера -


=D7+$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(C7+$B$4/2*(SIN(A7)-C7/A7))/(A7+$B$4/2))


В методе Рунге-Кутта используется следующая формула:



здесь коэффициенты вычисляются по следующим формулам:


К0 - =$B$4*(SIN(A7)-I7/A7).

К1 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(I7+E8/2)/(A7+$B$4/2))

К2 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(I7+F8/2)/(A7+$B$4/2))

К3 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4)-(I7+G8)/(A7+$B$4))


Итоговая формула имеет вид =I7+(E8+2*F8+2*G8+H8)/6.

3.Строим графики найденных решений.


4.Выбираем из таблицы 4 последовательных точки y(x).


2,095-0,084522,18-0,010942,2650,055742,350,11551

5.По выбранным четырем точкам строим интерполяционный полином Ньютона.


xf(x)2,095-0,08452-0,08452A02,18-0,010940,865600,86560A12,2650,055740,825080,825080,82508A22,350,115510,784450,784450,784450,78445A3

6.Находим корни уравнения P3(x)=0 с точностью e=0,001.

Получен полином следующего вида:



Подставляем значения х из таблицы и получаем:



После преобразования получаем:



Найдем корень этого уравнения на интервале [2,095; 2,35] методом простых итераций. Для этого продифференцируем найденное уравнение:



Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства .

Проверяем это условие:

Для поиска корня методом простых итераций преобразуем найденный полином к виду . Поэтому выполняем следующие преобразования:



Продифференцируем функцию :



Из условия сходимости метода следует:


Так как в левой части стоит модуль, то оно распадается на два неравенства:



Из первого неравенства следует, что С<0.

Преобразуем второе неравенство: . Подставляем в это выражение значения х, равное границам интервала определения корней (2,095 и 2,35). Соответственно получаем: С> -2,5 и С>-1,6. Выбираем большее из этих двух значений и окончательно получаем:


,6 < C < 0.


Выбираем значение С из этого интервала: С = - 1

Производим подсчет методом простых итераций.


Xp(x)R2,102,179520,084522,179522,190910,011392,190912,1916080,0006982,191612,1916433,56E-05

Корень уравнения соответственно равен 2,19161.


Литература


1.Ершов М.Н. Численные методы решения задач / Конспект лекций. - Керчь: КМТИ, 2002. - 58с.

2.Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512с.

.Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП "РАСКО", 1991ю - 272с.

.Дженкинс Р. и др. Excel 97. Руководство пользователю. - С-Пб.: Феникс, 1999. - 1024с.


МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ УКРАИНЫ Государственное агентство рыбного хозяйства Украины КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕ

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ