Численные методы решения задач
МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ УКРАИНЫ
Государственное агентство рыбного хозяйства Украины
КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Курсовая работа
по дисциплине
"Вычислительная техника и программирование"
Тема: Численные методы решения задач
Керчь, 2013 г.
Задача 1
Вычислить определенный интеграл
,
где g(x) - функция, полученная методом наименьших квадратов по заданной совокупности экспериментальных данных.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1
.По заданным экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую зависимость .
.Построить график функции g(x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.
.Построить график функции F(g(x),x) на интервале [a, b] с шагом (b-a)/20.
.Вычислить интеграл методом средних прямоугольников для 20 разбиений и методом трапеций для 10 и 20 разбиений. По значениям, полученным методом трапеций, получить уточнение интеграла по методу Ричардсона и считать его решением всей задачи.
.Считая значение, полученное методом Ричардсона, точным, определить погрешности значений, полученных методами средних прямоугольников и трапеций.
Исходные данные
x2,002,002,002,402,802,803,203,203,604,00g(x)1,5441,1710,9111,5440,5880,5401,0210,5800,7890,7404,404,404,404,804,805,205,205,205,606,001,0711,1000,7270,6770,3480,5790,4780,7460,5920,725
Аналитический вид функции
РЕШЕНИЕ
.Строим аппроксимирующую зависимость методом наименьших квадратов.
Последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью выглядит так:
-вычисление логарифмов значений аппроксимируемой функции
вычисление коэффициентов а и b по формулам ;
вычисление коэффициентов с и d по формулам и ;
вычисление значений g(x) по формуле .
Решаем эту задачу табличным способом в электронных таблицах Excel.
Задание 1.1
При составлении расчетной таблицы был использован метод лианеризации. При этом обе части аппроксимируемой зависимости были подвергнуты процедуре логарифмирования.
Теперь рассчитываем коэффициенты уравнения по формулам:
Поэтому в соответствующие столбцы вводим формулы:
=A3^2 - для определения квадрата значения х.
=LN(B3) - для определения логарифма функции g(х).
=A3*D3 - для определения .
=СРЗНАЧ(A3:A22) - среднее значение х.
=СРЗНАЧ(B3:B22) - среднее значение g(х).
=СРЗНАЧ(D3:D22) - среднее значение логарифма функции g(х).
Теперь можно посчитать по соответствующей формуле d.
=(A24*D24-E24)/(A24^2-C24)
А затем определить значение с: =EXP(D24-E26*A24).
Аналитический вид функции g(х) имеет вид .
Теперь подсчитываем эмпирический ряд значений функции g(х) и вектор ошибок, возведенных в квадрат =(F3-B3)^2.
2. Строим график функции g(x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.
3. Строим график функции F(g(x),x) на интервале [a; b], т.е. [1; 7].
x1,001,301,601,902,202,502,803,103,403,70F(x)1,5111,5891,6351,6641,6811,6921,6981,7011,7011,7004,004,304,604,905,205,505,806,106,406,707,001,6981,6951,6921,6881,6831,6791,6741,6701,6651,6611,657
2.Вычисляем интеграл различными методами.
Делаем соответствующие расчеты в электронных таблицах Excel.
Задание 1.4
При определении интеграла функции указанный участок следует разделить на 20 интервалов. Тогда шаг интегрирования будет составлять (7-1)/20=0,3.
1.Составляем ряд расчетных значений подынтегральной функции, используя формулу
=$A$2*EXP($B$2*A33)/3+ATAN(2*A33)
2.Рассчитываем сумму по методу левых прямоугольников
3.Рассчитываем сумму по методу правых прямоугольников
4.Рассчитываем сумму по методу средних прямоугольников
5.Переходим к методу трапеций. Здесь рассматриваем два варианта: с разбиением на 10 и на 20 интервалов.
.Основные формулы для табличного счета имеют вид:
=$A$2*EXP($B$2*A33)/3+ATAN(2*A33) - расчет
=$A$2*EXP($B$2*D33)/3+ATAN(2*D33) - формула расчета функции для средних прямоугольников.
=$A$2*EXP($B$2*G33)/3+ATAN(2*G33) - формула для расчета функции для метода трапеций для 10 интервалов разбиения.
=$A$2*EXP($B$2*I33)/3+ATAN(2*I33) - формула для расчета функции для метода трапеций для 20 интервалов разбиения.
аппроксимирующий зависимость интеграл итерация
Уточнение по Ричардсону - это по сути экстраполяционный подход к пределу. Здесь следует рассчитывать значение функции по специальным формулам.
Рассчитываем более точно значение интеграла по методу Ричардсона. В соответствии с расчетами по методу трапеций имеем:
.при разбиении участка интегрирования с h = 0,2 значение интегральной суммы (St1);
.при разбиении участка интегрирования с k = 0,1 значение интегральной суммы (St2);
.формулу для расчета метода трапеций , где
Вычисляем значение С:
Теперь можно получить более точное значение интеграла.
J = 10,02769 - 0,0284333 * 0,6 = 10,037925
J=10,03792Ошибка методаSл=10,01349Rл=0,0244377Sп=10,05724Rп=0,0193197Sc=10,03929Rc=0,0013615Sт1=10,02769Rт1=0,010236Sт2=10,03537Rт2=0,002559Sp=10,03792Rp=0
Анализ вышеуказанной таблицы указывает, что наименьшим отклонением от истинного значения для рассматриваемой функции является метод средних квадратов. Метод трапеций дает несколько худший результат, но предположительно, что с уменьшением шага интегрирования может измениться и результат расчетов.
Задача 2
Методом простых итераций определить корень уравнения
,
где y(x) - решение задачи Коши
.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2
.Решить на интервале [xn, xk] с разбиением его на 20 частей обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка при начальных условиях методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
.Построить графики найденных решений.
.Из таблицы значений y(x), найденной для метода Рунге-Кутта 4-го порядка, для точки пересечения графика с осью абсцисс выбрать 4 последовательные точки, ближайшие к ней и расположенные по обе стороны от нее.
.По выбранным четырем точкам построить интерполяционный полином Ньютона P3(x) 3-го порядка.
.Методом простых итераций с точностью e=0,001 найти корень уравнения P3(x)=0 и рассматривать его как приближенное решение основной задачи работы.
Исходные данные
1.Преобразуем дифференциальное уравнение
2.Решаем дифференциальное уравнение указанными методами.
Результаты решения задачи показаны в таблице.
Задание 2.1
Решаем задачу по методу Эйлера с использованием формулы: . При решении задачи методом Эйлера используется следующий алгоритм: очередной аргумент ищется, как приращение по функции относительно предшествующего значения: =B7+$B$4*(SIN(A7)-B7/A7). Дальнейшие формулы имеют вид:
Усоверш. Метод Эйлера -
=C7+$B$4/2*((SIN(A7)-C7/A7)+(SIN(A8)-(C7+$B$4*(SIN(A7)-C7/A7))/A8))
Модиф. Метод Эйлера -
=D7+$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(C7+$B$4/2*(SIN(A7)-C7/A7))/(A7+$B$4/2))
В методе Рунге-Кутта используется следующая формула:
здесь коэффициенты вычисляются по следующим формулам:
К0 - =$B$4*(SIN(A7)-I7/A7).
К1 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(I7+E8/2)/(A7+$B$4/2))
К2 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(I7+F8/2)/(A7+$B$4/2))
К3 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4)-(I7+G8)/(A7+$B$4))
Итоговая формула имеет вид =I7+(E8+2*F8+2*G8+H8)/6.
3.Строим графики найденных решений.
4.Выбираем из таблицы 4 последовательных точки y(x).
2,095-0,084522,18-0,010942,2650,055742,350,11551
5.По выбранным четырем точкам строим интерполяционный полином Ньютона.
xf(x)2,095-0,08452-0,08452A02,18-0,010940,865600,86560A12,2650,055740,825080,825080,82508A22,350,115510,784450,784450,784450,78445A3
6.Находим корни уравнения P3(x)=0 с точностью e=0,001.
Получен полином следующего вида:
Подставляем значения х из таблицы и получаем:
После преобразования получаем:
Найдем корень этого уравнения на интервале [2,095; 2,35] методом простых итераций. Для этого продифференцируем найденное уравнение:
Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства .
Проверяем это условие:
Для поиска корня методом простых итераций преобразуем найденный полином к виду . Поэтому выполняем следующие преобразования:
Продифференцируем функцию :
Из условия сходимости метода следует:
Так как в левой части стоит модуль, то оно распадается на два неравенства:
Из первого неравенства следует, что С<0.
Преобразуем второе неравенство: . Подставляем в это выражение значения х, равное границам интервала определения корней (2,095 и 2,35). Соответственно получаем: С> -2,5 и С>-1,6. Выбираем большее из этих двух значений и окончательно получаем:
,6 < C < 0.
Выбираем значение С из этого интервала: С = - 1
Производим подсчет методом простых итераций.
Xp(x)R2,102,179520,084522,179522,190910,011392,190912,1916080,0006982,191612,1916433,56E-05
Корень уравнения соответственно равен 2,19161.
Литература
1.Ершов М.Н. Численные методы решения задач / Конспект лекций. - Керчь: КМТИ, 2002. - 58с.
2.Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512с.
.Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП "РАСКО", 1991ю - 272с.
.Дженкинс Р. и др. Excel 97. Руководство пользователю. - С-Пб.: Феникс, 1999. - 1024с.
Больше работ по теме:
Предмет: Информационное обеспечение, программирование
Тип работы: Курсовая работа (т)
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ