Численное интегрирование и дифференцирование функций

 

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Механико-технологический факультет

Курсовая работа

по дисциплине

Информационные технологии и программирование

Тема:

Численное интегрирование и дифференцирование функций

Минск 2010

СОДЕРЖАНИЕ

1. Постановка задачи

. Исходные данные

. Описание методики расчёта

Алгоритм решения задачи

Программа и её описание

. Результаты расчётов и графики функций

Список использованных источников

Приложение

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Разработать алгоритм и программу, обеспечивающую вычисление:

.Максимального (Ymax) значения функции на заданном отрезке.

2.Максимального (Ymax) и минимального (Ymin) значений первой производной f (x) заданной функции в интервале x принадлежит (-1;1) и соответствующих им значений аргумента (dXmax) и (dXmin);

2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

.1 Многочлены: (x7+2x6-5x5-3x2+27) и (x5-4x4+x3-2x+3);

.2 Область значений аргумента: x ? [-3,3]:

.3 Шаг изменения аргумента: ?x=0,5;

3. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ РАСЧЁТА

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f(x) или дифференциала df=f(x)dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F(х)=f(x) или dF(x)=F(x)dx=f(x)dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.

Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) - подынтегральной функцией, х - переменной интегрирования, а С - постоянной интегрирования.

Если существует конечный передел интегральной суммы

при ??0, не зависящий от способа разбиения ?n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ?k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) - подынтегральной функцией, х - переменной интегрирования, a и b - соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения ? стремится к нулю.

программа функция производный график

4. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Алгоритм подпрограммы Vivod

Алгоритм подпрограммы Summa

Алгоритм подпрограммы Proizv

Алгоритм основной программы

- вывод текста;

- выполнение процедуры summa;

- выполнение процедуры vivod;

- выполнение процедуры proizv;

- вывод текста;

- выполнение процедуры vivod;

- выполнение процедуры poiskl;

- выполнение процедуры readln.

Алгоритм подпрограммы Vivod

- оператор повторения for;

- оператор условия if;

- вывод текста;

Алгоритм подпрограммы Summa

- очистка экрана;

- вывод условия на экран;

- расчет коэффициэнтов многочлена;

Алгоритм подпрограммы Proizv

- максимальная степень многочлена;

- оператор повторения для вычисления производной н-ной степени;

- пара операторов for для попеременной замены элементов ;

- замена старых коэффициэнтов новыми;

Алгоритм подпрограммы Poisk

- ввод начала исследуемого отрезка на оси x;

- ввод вспомогательной переменной xn;

- оператор повторения while;

- расчет значения функции при определенном оператором x;

программа функция производный график

5. ПРОГРАММА И ЕЁ ОПИСАНИЕ

5.1 Текст программы, написанный на языке программирования Turbo Pascal

uses crt,graph;

var,i,j:integer;,b,c:array [0..99] of integer;,xmax,f,fmax:real;vivod;i:=7 downto 0 do begin(c[i]>0) and (i<7) and (c[i+1]<>0) then write('+');(i>0) and (c[i]<>1) and (c[i]<>0) then write(c[i],'x^',i);(i>0) and (c[i]=1) and (c[i]<>0) then write('x^',i);i=0 then write(c[i]);;summa;;;(' summa mnogo4lenov (x^7+2x^6-5x^5-3x^2+27) i

(x^5-4x^4+x^3-2x+3) ravna' );;[7]:=1; a[6]:=2; a[5]:=-5; a[4]:=0;[3]:=0; a[2]:=-3; a[1]:=0; a[0]:=27;[7]:=0; b[6]:=0; b[5]:=1; b[4]:=-4;[3]:=1; b[2]:=0; b[1]:=-2; b[0]:=3;i:=7 downto 0 do begin[i]:=a[i]+b[i];;;proizv;:=7;j:=1 to 3 do begini:=n downto 0 do[i]:=(i)*c[i];i:=0 to n do[i]:=c[i+1];;;poisk;:=-3;:=1;;x<=3 do:=210*x*x*x*x+240*x*x*x-240*x*x-96*x+6;(' pri x=',x:3:1,' f''''''=',f:3:2);f>fmax then begin fmax:=f; xmax:=x end;:=x+0.5;;;(' maksimalnoe zna4enie f'''''' =',fmax:3:2,' pri x=',xmax:3:2 );;;(' ');;;writeln;;(' f'''''' imeet vid'); writeln;(' f''''''(x)=');;;;;.

5.2 Описание программы

Написанная программа демонстрирует пример нахождения производной функции и максимальной точки в определенных условием местах разбиения.

В самом начале программы подключается стандартный модуль: Сrt.

Затем описываются следующие глобальные переменные:,i,j:integer; - целые переменные для использования в качестве счетчиков;,b,c:array [0..99] of integer; - элементы массива целых чисел для подсчета коэффициэнтов многочлена; целый:real; - значение x; вещественный;max,fmax; - максимальное значение функции при значении x; вещественный;

f:real; - значение производной, используемое в расчетах. вещественный;

Следующим в программе идёт описание процедур:

Процедура vivod. Используется для вывода на экран текущей расчетной функции. Далее с помощью оператора if проверяется каждое значение коэффициента для грамотного вывода фукнкции на экран.

Процедура Summa суммирует коэффициенты нескольких многочленов

Процедура Proizv. В ней находится производная нужного нам порядка

Процедура Poisk путем перебора заданных нам значений x находится максимальное значение производной 3-й степени на заданном участке и полученная информация выводится на экран.

В головной программе последовательно вызываются процедуры Summa, vivod, proizv, vivod и poisk,между которыми используются процедуры вывода на экран для удобочитаемости результатов.

6.РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЁТОВ И ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

Результатом выполнения данной программы будет выведенная на экран информация о значениях производной на всех точках разбиения и результат работы программы, как то максимальное значение производной, и при каком x это значение обнаруживается.

Наглядно функция и ее производная 3-й степени показана при помощи таблиц excel

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Чичко А.Н., Е.А. Дроздов. Учебно-методическое пособие по курсу информатика. - Минск, 2000 - 273с.

2.Курант Р.Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - Москва. Изд. Наука,1970. - стр. 673.

.Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике: типовые расчёты. - Москва. Высшая школа 1983. - стр. 176.

.Рафальский И.В., Юркевич Н.П., Мазуренок А.В. Учебно-методическое пособие по курсу «Информатика». - Минск. БГПА, 2000.

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет Механико-технологический факультет

Больше работ по теме: