Автоматизированное проектирование аналоговых фильтров
Курсовой проект
Автоматизированное проектирование аналоговых фильтров
Введение
Основным содержанием курсовой работы по курсу «Моделирование объектов и процессов компьютеризации» является изучение и закрепление на практике изученного теоретического материала, касающегося методов проектирования аналоговых активных фильтров на резистивно-емкостных электрорадиоэлементах (ARC-фильтров), находящих широкое применение при разработке электронных аналоговых и цифровых схем, систем автоматического управления и т.п.
Курсовая работа выполняется на персональном компьютере с использованием системы автоматизации схемотехнического проектирования ALLTED (ALL TEchnologies Designer) [1,2].
1.Методические указания к расчету аналоговых фильтров на операционных усилителях
При проектировании аналоговых фильтров обычно задаются требования к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ). Общепринятый способ задания таких требований для различных типов фильтров показан на рис. 1. При этом требования к фазовой характеристике не оговариваются. В этом случае обычно задаются частоты среза для фильтра нижних (ФНЧ) и верхних (ФВЧ) частот или граничим: частоты полосы пропускания для полосового фильтра (ПФ) и полосы задерживания для заграждающего фильтра (ЗФ), неравномерность коэффициента передачи аф в полосе пропускания, граничные частоты полосы задерживания f1 и f2, минимальное затухание вф в полосе задержания.
oФильтр нижних частот (полоса пропускания 0ffc, полоса задерживания f1f¥);
oФильтр нижних частот (полоса пропускания ¥³f³fc, полоса задерживания f2³f³0);
oФильтр полосовой (полоса пропускания fHffB, полосы задерживания f1 ³ f ³0, f2f¥);
oФильтр заграждающий (полосы пропускания 0ffН, fBf ¥, полоса задерживания f1f f2).
Основная задача, возникающая при проектировании аналоговых фильтров, - синтез оптимальной принципиальной схемы и расчет величин элементов по заданным требованиям к его АЧХ. Синтез можно разбить на два основных этапа.
На первом этапе решается задача аппроксимации-отыскание аналитической аппроксимирующей функции, которая с требуемой точностью воспроизводит заданную по условиям характеристику. При этом на аппроксимирующую функцию накладываются ограничения в виде необходимых и достаточных условий физической реализуемости.
На втором этапе решается задача реализации-отыскание совокупности цепей, имеющих характеристики, достаточно близкие к аппроксимирующей функции. В связи с тем, что любой физически осуществимой функции соответствует множество электрических схем, синтез неоднозначен.
Так как реализация функций высоких порядков затруднительна, функцию раскладывают на сомножители, обычно не выше второго порядка, которые и реализуют простейшими развязанными звеньями с активными элементами, например операционными усилителями (ОУ). При каскадном соединении таких звеньев удается получить результирующую схему с требуемыми свойствами, так как ее коэффициент передачи равен произведению коэффициентов передачи исходных звеньев.
Рис. 1. Задание требований к АЧХ фильтров:
аппроксимация фильтр аналоговый частота
1.1 Нормирование характеристик и электрических величин
Порядок величин, характеризующих параметры элементов электрических цепей, колеблется от 10-12 Ф (для емкостей) до 106…107 Ом (для сопротивлений). Рабочие частоты колеблются в диапазоне от нескольких до миллионов герц. Таким образом, числовые значения электрических величин могут оказаться неудобными для практического использования. С другой стороны, свойства различных функций к операции синтеза не зависят от абсолютной величины коэффициентов этих функций. Поэтому целесообразно отделить рассмотрение свойств функций и техники синтеза (проектирования) от конкретных значений коэффициентов. Это достигается нормированием величин.
Вычисления можно упростить, если все функции сопротивления разделять на некоторую величину R0, что эквивалентно изменению параметров пассивных элементов R, L и C следующим образом:
R'н=, L'н=, C'н=CR0.
Этот процесс называется изменением уровня (нормированием) сопротивлений. При таком преобразовании передаточные функции цепи, представляющие собой отношения напряжений или токов, не изменяются. После реализации для восстановления уровня сопротивлений необходимо параметры R и L умножить, а С - разделить на R0. При проектировании фильтров величину R0 можно выбирать произвольно (обычно в пределах 1…100 к0 м).
Для того чтобы сделать расчеты универсальными и упростить вычисления, используют также и нормирование частоты путем деления текущей частоты f на частоту f0. В качестве нормирующей частоты f0 в фильтрах нижних и верхних частот выбирают частоту среза fc, а в полосовых и заграждающих-частоту, равную соответственно протяженности полосы пропускания или задерживания. Осуществив нормирование, решают задачу аппроксимации и реализации в нормированной частоте. При таком преобразовании частоты сопротивления R'н не изменяются, индуктивное сопротивление уменьшается, а емкостное сопротивление увеличивается в w0 раз (w0=2pf0). Чтобы эти сопротивления восстановить, т.е. вернуться к требуемому частотному диапазону, необходимо величины L'н и C'н умножить на w0, т.е.
LH = LH w0 = (L/R0)w0,H = CH w0 = C R0w0 (1)
При этом Rн=R'н=R/R0.
Таким образом, если нормирующими коэффициентами являются R0 и f0, а Rн, Lн и Сн представляют собой нормированные значения параметров пассивных компонентов, полученных в результате синтеза цепи, то их действительные значения после восстановления уровня сопротивлений и частоты на основании выражения (1) составят:
R=RHR0;C=CH/(R0 2pf0);L=LHR0/(2pf0);(2)
Очевидно, что нормированные значения элементов являются безразмерными.
В дальнейшем все расчетные формулы приведены для нормирования значений параметров элементов R и C.
При денормировании значений параметров компонентов величину R0 следует выбирать таким образом, чтобы значения R, C и L, рассчитанные с помощью формул (2), в рабочей области частот удовлетворяли условиям: Rвх>>R>>Rвых; Rвх>>>>Rвых; Rвх>>wL>>Rвых, где Rвх, Rвых - соответственно входные и выходные сопротивления используемых активных усилительных элементов (например, операционных усилителей).
2.Аппроксимация амплитудно-частотных характеристик фильтров
Рассмотрим вопросы аппроксимации амплитудно-частотной характеристики фильтров нижних частот. Аппроксимация АЧХ фильтров верхних частот, полосовых и заграждающих фильтров основана на аппроксимации низкочастотных фильтров-прототипов.
2.1 Изоэкстремальная (эллиптическая) аппроксимация амплитудно-частотной характеристики ФНЧ по Золотареву-Кауэру
При аппроксимации по Золотареву-Кауэру передаточная функция ФНЧ является дробно-рациональной и имеет вид
(10)
Здесь Zi-нули, лежащие на оси j; pWk - полюсы, которые располагаются в левой части комплексной плоскости на полуовале эллипса аналогично полюсам равноволновой функции (рис. 2, б). Такая функция называется изоэкстремальной. Ее модуль в пределах 0£F£1 аналогично равноволновой функции непериодически колеблется n+1 раз между чередующимися максимальным и минимальным значениями (рис. 4, а). На частоте среза F=1 модуль снижается до минимального допустимого значения.
Рис. 2. Аппроксимация АЧХ по Золотареву-Кауэру
На интервале 1£F£F1 он монотонно снижается. На интервале F1£F£¥ функция вновь приобретает непериодический волнообразный характер, причем наибольшее по абсолютной величине ее значение не превышает некоторой гарантированной величины.
Необходимая степень n функции, обеспечивающей неравномерность аф и затухание вф, определяется по формуле
(11)
Коэффициент b представляет собой отношение эллиптических интегралов K(q,p/2) и K (90°-q,p/2), где q=arcsin (1/F1) - модульный угол (табл. 1).
Таблица 1. Значения кооэфициента b при различных значениях модульного угла q
q,…°51015202530354045b0,4110,5020,5770,6470,7140,7820,8510,9231,0q,…°5055606570758085b1,0831,1751,2791,41,5651,7321,9922,435Если рассчитанное значение q отличается от приведенных в табл. 1, необходимо выбрать ближайшее большее значение.
Выбор минимального порядка передаточной функции по заданным аф, вф и F1 можно осуществить также с помощью табл. 2, в которой приведены значения максимально допустимой частоты затухания F1 для различных фильтров. При заданных аф и вф необходимо найти наименьший порядок n, которому соответствует частота затухания F1, не превосходящая заданного значения.
Таблица 2:Нормирование Значения частоты затухания F1 эллиптических ФНЧ Золотарева-Кауэра
N2345678910aф =0.5дБ408.48922.71151.62841.27261.1271.06111.02991.0147503.90432.06921.48471.2411.12541.06681.03611.0196605.67932.68321.77661.40141.21981.12431.07151.0416aф =1дБ407.04482.41621.51551.21871.09891.0461.0217503.46061.90821.40721.19891.10131.05261.0277605.02122.46081.67161.34351.18551.10311.05821.0332aф =3дБ405.05581.98021.34661.13931.05891.0254508.932.79861.66151.28851.13531.06571.0324604.03472.1161.50711.25331.13251.0711.0386
В табл. 3 приведены координаты нулей и полюсов передаточной функции, аппроксимирующей АЧХ по Золотареву-Кауэру.
Постоянный множитель Н в выражении (10) выбирается из следующих соображений:
а) при нечетных n необходимо выбрать Н из условия К(0)=1;
б) при четных n - из условия К(0)=10
При равных порядках аппроксимирующих функций аппроксимация по Золотареву-Кауэру обеспечивает наиболее крутой спад АЧК в переходной области от полосы пропускания к полосе задерживания, т.е. наибольшую избирательность при малых расстройках. Кроме того, в полосе задерживания некоторые частоты полностью подавляются (нули передачи). Но при больших расстройках избирательность фильтров, аппроксимированных по Чебышеву и Баттерворту, может оказаться лучше. Аппроксимация по Чебышеву обеспечивает лучшую избирательность (при любых расстройках) по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту. Однако фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Баттерворту, наиболее линейна. Наименее линейна фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Золотареву-Кауэру. Таким образом, реализация одних и тех же требований к АЧХ (при сравнительно небольших расстройках) осуществляется проще всего при аппроксимации по Золотареву-Кауэру (наименьшее n), а сложнее всего по Баттерворту (наибольшее n).
Таблица 3. Координаты полюсов и нулей передаточных функций эллиптических ФНЧ Золотарева-Кауэра
n2345678910Bф =40дБ, aф =0.5дБНули±j11.5175±j3.1031±j1.7295 ±j3.8476±j1.3126 ±j1.88±j1.1434 ±j1.3607 ±j3.1513±j1.0692 ±j1.1652 ±j1.7041±j1.0335 ±j1.0783 ±j1.2967 ±j3.0105±j1.0166 ±j1.0383 ±j1.1375 ±j1.6657±j1.0081 ±j1.0187 ±j1.0656 ±j1.2822 ±j2.9774Полосы-0.7087 ±j1.0098-0.6591-0.1357 ±j1.0212-0.47-0.0324 ±j1.0065-0.4302-0.0079 ±j1.0017-0.4208-0.0019 ±j1.0004-0.2903 ±j1.0305-0.4537 ±j0.4926-0.0661 ±j1.0122-0.1526 ±j0.8797-0.0161 ±j1.0034-0.0409 ±j0.9715-0.0039 ±j1.0009-0.0103 ±j0.9931-0.2757 ±j0.7505-0.3853 ±j0.412-0.0803 ±j0.9414-0.1483 ±j0.8428-0.0206 ±j0.9859-0.041 ±j0.9613-0.2562 ±j0.6876-0.3689 ±j0.394-0.0797 ±j0.9216-0.1469 ±j0.8336-0.2508 ±j0.6726-0.3649 ±j0.3897 bф =40дБ, aф =1дБНули±j9.6423±j2.7583±j1.6057 ±j3.5147±j1.2538 ±j1.7643±j1.1131 ±j1.3057 ±j2.9582±j1.0528 ±j1.1358 ±j1.6258±j1.0246 ±j1.0623 ±j1.2562 ±j2.8513±j1.0118 ±j1.0294 ±j1.115 ±j1.5974±j1.0055 ±j1.0138 ±j1.053 ±j1.2458 ±j2.8279 n2345678910Полюсы-0,5456 ±j 0,9004 -0,5237-0,1051 ±j 0,9938 -0,3853-0,0237 ±j 0,9994 -0,3576-0,0054 ±j 0,9999 -0,3515-0,0012 ±j 1,0-0,2273 ±j 0,9766-0,3644 ±j 0,4791-0,0499 ±j 0,9982-0,1182 ±j 0,8755-0,0113 ±j 0,9998-0,0295 ±j 0,9717-0,0026 ±j 1,0-0,0068 ±j 0,9936-0,2191 ±j 0,741-0,3158 ±j 0,4106-0,0601 ±j 0,9404-0,1155 ±j 0,8458-0,0143 ±j 0,9865-0,0296 ±j 0,9642-0,2059 ±j 0,6888-0,3048 ±j 0,3961-0,0598 ±j 0,925-0,1147 ±j 0,8389-0,2025 ±j 0,677-0,3023 ±j 0,3929bф=40дБ, aф=3дБНули±j 6,981±j 2,2451±j 1,418 ±j 2,9906±j 1,166 ±j 1,5809±j 1,0693 ±j 1,2196 ±j 2,6357±j 1,03 ±j 1,0912 ±j 1,4958±j 1,013 ±j 1,0388 ±j 1,1906 ±j 2,5753±j 1,0057 ±j 1,0169 ±j 1,0796