Атомические разложения функций в пространстве Харди

Міністерство Освіти України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут математики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій у просторі Харді

Дипломна робота студентки V курсу факультету математики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса - 2000

Содержание

Введение....................................................................
................ 3

Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и пространствах [pic], [pic]и
[pic]................................. 8
§I.1. Интеграл
Пуассона..................................................... 8
§I.2. Пространства
[pic]....................................................... 12
§I.3. Пространства [pic]и
[pic]......................................... 17
§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная максимальная функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

[pic], пространство
ВМО........................................ 26
§II.1. Пространство [pic], критерий принадлежности функции из [pic] пространству
[pic]....................... 26
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic], двойственность [pic] и
ВМО.................................. 32

Литература..................................................................
................ 37

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства [pic] , [pic], [pic] и [pic], раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств [pic] , [pic], [pic], а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic] и двойственность пространств [pic] и [pic].

В работе мы рассматриваем случай [pic]периодических функций.
Используемые обозначения имеют следующий смысл:

[pic] - пространство [pic]периодических, непрерывных на [pic] функций;

[pic]- пространство [pic]периодических, бесконечно дифференцируемых на
[pic]функций;

[pic] - пространство [pic]периодических, суммируемых в степени р на
[pic]функций, т.е.для которых [pic], [pic];

[pic]- пространство [pic]периодических ограниченных на [pic] функций;

[pic]- носитель функции [pic].

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функции [pic] называется функция

(r ( x ) = [pic] , где [pic] , t ( ((((((((((- ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств: а) [pic] ; б) [pic] ;

в) для любого (>0

[pic]

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона [pic]при [pic]:
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство[pic]

[pic] ; если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].
Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция [pic]называется аналитической в точке [pic], если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция [pic]аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных
[pic] называется гармонической в области [pic], если [pic] и удовлетворяет уравнению Лапласа:

[pic].

Определение3. Две гармонические функции [pic] и [pic], связанные условиями Коши-Римана : [pic], [pic] , называются гармонически сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства [pic] понимается

[pic] , [pic].

Определение5. Под нормой пространства [pic]понимается

[pic] , [pic].

Определение6. Пусть [pic] ( или [pic],[pic]). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции [pic] определяется равенством

[pic], [pic].

([pic], [pic]).

Определение7. Последовательность [pic]функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции [pic], если [pic] для почти всех [pic], т.е. множество тех точек [pic], в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства [pic] - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

[pic] .
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию [pic]([pic]) можно предсавить в виде

[pic], [pic] , [pic], где [pic] для п.в. [pic] , при этом

[pic] [pic] ;

[pic] [pic].

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:

Определение8. Говорят, что действительная функция [pic], заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная [pic], что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками
[pic] выполнено неравенство [pic].

Определение9. Действительная функция [pic], заданная на отрезке
[a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого [pic] найдется число [pic]такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов [pic], [pic] с суммой длин, меньшей [pic]:
[pic], выполняется неравенство [pic].

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств [pic] и [pic]. Пространство [pic]([pic]) представляет собой совокупность тех функций [pic], [pic], которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из[pic], т.е. представимы в виде [pic] ([pic]). Здесь мы получаем следующие результаты: при [pic] пространство [pic] совпадает с [pic], а при р=1 [pic] уже, чем
[pic], и состоит из функций [pic], для которых и [pic].

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции [pic], аналитической в круге [pic] с нулями [pic], [pic] ([pic]) с учетом их кратности:

[pic], где [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic].

Здесь доказывается, что каждая функция [pic] представима в виде
[pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и [pic], [pic],а [pic] - произведение Бляшке функции [pic].

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции .
Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic], область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для
[pic]положим

[pic] , [pic], где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется нетангенциальной максимальной функцией для [pic].

Тут же мы доказываем теорему об оценке [pic]: если [pic] ([pic]),
[pic], то [pic] и [pic].

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году
Харди и Литтлвудом.

Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство [pic]. Как ранее отмечалось, оно уже, чем [pic]. Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема
- критерий принадлежности функции пространству [pic]. Здесь вводится понятие атома: действительная функция [pic] называется атомом, если существует обобщенный интервал [pic] такой, что а) [pic]; б) [pic]; в) [pic].
Атомом назовем также функцию [pic], [pic]. Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из [pic], либо множество вида[pic] [pic]([pic]).

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году
Р.Койфманом о том, что функция [pic]тогда и только тогда, когда функция
[pic] допускает представление в виде
[pic], [pic], где [pic], [pic], - атомы. (*)
При этом [pic], где inf берется по всем разложениям вида (*) функции
[pic], а с и С [pic] - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству
[pic], легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств [pic] и [pic]. Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение [pic]: пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих условию

[pic] , (91) где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] . А затем доказываем теорему о том, что [pic].

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и пространствах [pic], [pic]и [pic]

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические, комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку

[pic] f(g(x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic]

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на (-(,(( и cn ( f(g ) = cn ( f )( c-n ( g ) , n = 0, (1 , (2 , ... ( 1 )

где ( cn ( f )( - коэффициенты Фурье функции f ( x ) : cn (f)= [pic]-i n tdt , n = 0, ((((((((

Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию

(r ( x ) = [pic]n ( f ) r((n ( ei n x , x ((((((((((( . ( 2 )

Так как [pic] для любых x (((((((((((, n = 0, ((((((((, а ряд [pic] сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций [pic] стремятся к нулю при [pic]), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х( равны cn ( fr ) = cn (f)( r( n (( , n = 0 , ((((((((((, а это значит, что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic]

(r ( x ) = [pic] ,

( 3 ) где

[pic] , t (
((((((((((( ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( ( , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .
[pic][pic][pic][pic][pic]
Следовательно,

Pr ( t ) = [pic] , 0(((r ( ( , t (((((((((( .

( 5 )
Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = [pic], n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим : fr ( x ) = [pic]
=[pic] ,

( 6 ) где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 [pic] ( z = reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x (
[ -(, ( ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой v (z) = Im F (z) = [pic] .

( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z (((((((((
( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда u (z) = [pic] ( z = reix , ( z ( ( ( )

( 10 )
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

[pic] =[pic], ( z ( (
(+ ( .
Но тогда коэффициенты Фурье функции [pic] связаны с коэффициентами Фурье функции [pic] следующим образом :

[pic] и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) [pic] ; б) [pic] ;

(11) в) для любого (>0

[pic]
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ( (х( ( (.[pic]
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство[pic]

[pic] ; если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].

Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

[pic] . ( 12 )
Для любой функции [pic] , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим[pic]
[pic][pic]
[pic].
Следовательно,

[pic][pic].
Для данного ( ( ( найдем ( = ( (() такое, что [pic]. Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку
[pic][pic][pic].
Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

[pic][pic].

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.
Пусть функция [pic], суммируема на любом интервале (a,b), a 0
[pic] , [pic].
Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].

Доказательство.
Покажем, что для [pic] и [pic]

[pic] ,

( 13 ) где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f
(x)*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

[pic]
(К - абсолютная константа).
Пусть [pic]- такое число, что

[pic].
Тогда для [pic]
[pic]
[pic][pic][pic]
[pic][pic]
[pic].
Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора [pic].
Используя его, найдем такую последовательность функций [pic] ,что

[pic],

[pic] ( 14 )

[pic] для п.в. [pic].

Согласно (13) при x( (-((()
[pic]
[pic]
Учитывая , что по теореме 1 [pic] для каждого x( [-(( (] и (14) из последней оценки получим
[pic] при r(1.

Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (] [pic], когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности [pic] пути.

§I.2.Пространства Hp.[pic]
Определение I.3.
Пространство [pic]- совокупность аналитических в единичном круге функций F
(z) , для которых конечна норма

[pic] .

(15)
Пусть комплекснозначная функция [pic] удовлетворяет условиям

[pic] [pic]

(16) тогда функция F (z) , определенная равенством

[pic] (17) принадлежит пространству [pic], причем

[pic] .

(18)
[pic]
[pic]Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства [pic] мы имеем

[pic] (()
С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=( в силу теоремы 2)

[pic] . Отсюда [pic] ((()
Учитывая (() и ((() , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию [pic] [pic] можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция ( (t) имеет ограниченную вариацию на
[ -(((] и

[pic] (19)
Тогда ( (t) абсолютно непрерывна на [-(((].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации ( (t) . Мы говорим, что
( (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

[pic] определен для каждой непрерывной на [-(((] функции f (t) , а также если
[pic] - характеристическая функция замкнутого множества [pic].

Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества [pic],
[pic] ,

[pic] (20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем [pic] и
[pic]. Тогда для всякого [pic] , существует функция [pic] вида

[pic] , (21) обладающая свойствами: а) [pic] ; б) [pic] ;

(22) в) [pic] .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть [pic] , где [pic] - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для [pic]

[pic].
Очевидно, что [pic]- открытое множество и [pic].
Рассмотрим для данных [pic] функцию [pic], построенную в лемме 1 для числа ( и множества [pic]. Тогда нетрудно проверить[3], что если
[pic], а [pic] , то разность

[pic]. (23)
Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

[pic] , и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
[pic] [pic], где [pic], [pic], [pic] - ядро Дирихле,
[pic], [pic]- ядро Фейера.
Отметим, что при [pic] ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) [pic], [pic]; б) [pic],
Мз которых вытекает, что для [pic] и [pic]
[pic], [pic]
Также известно [3], что средние Фейера [pic] равномерно сходятся к [pic].

Пусть f(t) - непрерывная на [-(, (] функция, для которой

[pic][pic] и [pic]
Так как средние Фейера [pic]равномерно сходятся к [pic] и
[pic] , то существует тригонометрический полином

[pic] (24) такой, что

[pic] (25)
Пусть [pic]. Рассмотрим для каждого ((( такую функцию [pic], что

[pic], [pic]

[pic]
(функцию [pic] можно построить следующим образом: взять замкнутое множество [pic] с мерой [pic] , достаточно близкой к 2(, и положить
[pic] ).
Так как [pic] (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых ((( функция [pic] удовлетворяет соотношениям

[pic] (26)
При этом [pic], если [pic]. Тогда средние Фейера [pic] функции h(t) имеют вид

[pic] и при достаточно большом N

[pic] (27)
Положим

[pic] , [pic] (28)
Так как h(t) - действительная функция, то [pic] , n=(((((((((. Поэтому

[pic] и [pic]. (29)
Определим искомую функцию g(t) :

[pic]
Ясно, что [pic], а из (24) и (28) следует, что [pic] при n0; б) если [pic], [pic], то [pic] и [pic].
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны [pic]: а) [pic] ; б) [pic], [pic], [pic], [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] , где [pic]- такая действительная функция, что ее сопряженная [pic] также принадлежит пространству [pic]:

[pic]. (36)

Доказательство:
Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.
Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :[pic], имеют место равенства

[pic], [pic] (37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что
[pic], [pic], [pic], [pic]
[pic]. Следовательно, равенства (37) выполняются, если [pic]- произвольный тригонометрический полином.
Пусть [pic] фиксировано. Для произвольной функции [pic] и [pic] положим

[pic] , [pic], где [pic], [pic], [pic].
Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций [pic] (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) [pic], [pic], [pic];

2) при [pic] функции [pic] , [pic], сходятся по мере к

[pic];

3) [pic] , [pic] , [pic], где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что [pic], где [pic], поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций [pic],[pic]:

[pic] по мере [pic]. (38)
Для произвольного [pic] найдем тригонометрический полином [pic] такой, что

[pic], [pic] . (39)
Тогда согласно 3)

[pic] (40) и при [pic]

[pic]. (41)
Так как [pic] - полином, то [pic] и

[pic] . (42)
Учитывая, что [pic], и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим [pic] ,
[pic], что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции [pic] справедливы соотношения
1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как [pic].
Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное [pic] и представим функцию [pic]в виде

[pic], [pic], [pic] . (43)
Из непрерывности функции [pic] легко следует, что

[pic] равномерно по [pic]. Поэтому при достаточно больших [pic] с учетом (43) мы будем иметь

[pic], [pic] (44)
Кроме того, в силу 1) и (43)

[pic] ; из этого неравенства и (44) вытекает, что при [pic]

[pic].
Для доказательства оценки 3) заметим, что

[pic], где [pic]. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции [pic]и учитывая, что [pic], получим 3).
Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме
5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).
Пусть [pic] ([pic],[pic],[pic]) и
[pic]. Тогда по теореме 4 [pic], [pic] и надо доказать только, что [pic] для п.в. [pic].
Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при [pic] и [pic]

[pic], [pic].
С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого [pic],

[pic], [pic].

(45)
Согласно теореме 1

[pic]. (46)
Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости [pic]([pic]) следует сходимость по мере функций [pic] к [pic]. Таким образом,

[pic] по мере ([pic]), а потому , учитывая (46), [pic] для п.в. [pic].
Теорема 5 доказана.
Следствие 1. а) Если [pic], то [pic]; б) если [pic] и [pic], то [pic]; в) если [pic], [pic], [pic], [pic], то

[pic]. (47)

Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.
Чтобы получить в), положим

[pic],

[pic].
Согласно теореме 5 [pic], [pic], а следовательно, [pic]. Но тогда (для п.в. [pic]) [pic], и из определения класса [pic] мы получим, что

[pic]. (48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если [pic], то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство [pic] совпадает с [pic]. Для р=1 это не так. Пространство [pic] уже, чем [pic], и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций [pic], для которых и [pic].
[pic] - банахово пространство с нормой

[pic]. (49)
Полнота [pic] с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства [pic]: если [pic] при [pic], то [pic], [pic], [pic], и так как [pic]по мере при [pic], то [pic]и [pic] при [pic].
Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда [pic], [pic], [pic], [pic].
Отметим также, что, взяв в (47) вместо [pic] функцию [pic] и учитывая б), мы получим

[pic], если [pic]. (50)

§I.4.Произведение Бляшке, нетангенциальная максимальная функция.
Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - [pic] удовлетворяет условию

[pic] , [pic], [pic]. (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

[pic]. (52)
Для фиксированного [pic], [pic], при [pic] имеет место оценка

[pic]. (53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге [pic], т.е. функция [pic] аналитична в единичном круге и имеет нули в точках [pic], [pic], и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством [pic] ([pic] , [pic]), мы находим

[pic] , [pic]. (54)
Допустим теперь, что [pic] ([pic]) - нули некоторой функции [pic] с [pic], причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

[pic] , [pic]
Функция [pic] ([pic]) аналитична в круге радиуса больше единицы, и [pic], если [pic] . Следовательно, [pic] и согласно п.3 теоремы 4 [pic]. Но тогда

[pic] и

[pic], [pic] (55)
Так как [pic], [pic], то из (55) вытекает сходимость произведения [pic], а значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и [pic], [pic] ([pic]) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic]. Произведение

[pic] (56) называется произведением Бляшке функции [pic].
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция [pic] представима в виде

[pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и

[pic], [pic], а [pic] - произведение Бляшке функции [pic].

Доказательство.
Пусть [pic], [pic] ([pic]) - нули функции [pic] ( или, что то же самое, нули функции [pic]) Тогда, как отмечалось выше, [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и

[pic] , [pic]. (57)
При этом функция [pic] также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и [pic] .
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения
(56):

[pic], [pic], [pic].
Так как [pic] для любого [pic], то по теореме 4

[pic] и

[pic] , если [pic].
Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что
[pic] ([pic]) равномерно по [pic], мы получим

[pic], [pic], т.е. [pic], [pic].
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic], область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для
[pic]положим

[pic] , [pic], где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется нетангенциальной максимальной функцией для [pic].
В силу теоремы 2

[pic] для п.в. [pic]. (58)
Установим, что для произвольной функции [pic] величина [pic] не превосходит (по порядку) значения максимальной функции [pic]*) в точке х, т.е.

[pic], [pic]. (59)
Нам понадобится утверждение 3. а) если функция [pic], то для любого [pic]

[pic]; б) если функция [pic],[pic] то [pic], где [pic] - постоянная, зависящая только от числа р.

Пусть [pic] и [pic]. По определению интеграла Пуассона

[pic]
Положим [pic]. Тогда будем иметь

[pic] и, в силу неравенства [pic], [pic], и периодичности [pic],

[pic]. (60)
Так как обе функции [pic] и [pic] положительны при [pic] и отрицательны при [pic] ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что [pic], мы получим

[pic]. (61)
Для [pic] имеют место оценки

[pic],

[pic].
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

[pic] при [pic], (62) если [pic]. Пусть [pic], тогда

[pic].
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения
3 вытекает, что для любой функции [pic], [pic],

[pic], (63) где [pic] - постоянная, зависящая только от [pic] .
Теорема 7.
Пусть [pic] ([pic]), [pic] и

[pic] , [pic].
[pic]Тогда [pic] и

[pic]. (64)

Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда [pic], есть прямое следствие оценки
(63) и теоремы 4. Пусть теперь [pic]. По теореме 6 [pic], где [pic],
[pic], если [pic] и [pic]. Из функции [pic] можно извлечь корень: существует функция [pic] такая, что [pic], и, следовательно из (64) при р=2, получим

[pic].
Оценка снизу для [pic] вытекает из (58).
Теорема 7 доказана.

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве [pic], пространство ВМО.

§II.1.Пространство [pic], критерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic].

Рассмотрим [pic] ([pic]) - пространство функций [pic], являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства [pic]:

[pic] для п.в. [pic], [pic]. (65)
Ранее мы доказали, что

[pic], [pic], (66) и что [pic]- банахово пространство с нормой

[pic]; (67) при этом, если в (65) [pic], то

[pic] ([pic]) . (68)
В замечании 3 уже говорилось о том, что при [pic] пространство [pic] совпадает с пространством [pic] и из утверждения 2 следует, что

[pic] ([pic]).
Последнее соотношение теряет силу при [pic] - нетрудно проверить, что при
[pic]

[pic], где

[pic] и, следовательно, существует функция [pic], для которой [pic]. Таким образом, [pic] - собственное подпространство в [pic]. Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству [pic].
ОпределениеII. 8.
Множество [pic] мы будем называть обобщенным интервалом, если [pic] - дуга на единичной окружности, т.е. [pic] - либо интервал из [pic], либо множество вида

[pic] ([pic]). (69)
Точку [pic] назовем центром обобщенного интервала [pic], если [pic] - центр дуги [pic]. Длиной обобщенного интервала [pic] естественно назвать величину

[pic]
Определение II.9.
Действительную функцию [pic] назовем атомом, если существует обобщенный интервал [pic] такой, что а) [pic]; б) [pic]; в) [pic].
Атомом назовем также функцию [pic], [pic].
Теорема 8.
Для того, чтобы выполнялось включение: [pic], необходимо и достаточно, чтобы функция [pic] допускала представление в виде*)

[pic], [pic], (70) где [pic], [pic], - атомы. При этом

[pic], (71) где inf берется по всем разложениям вида (70) функции [pic], а с и С
[pic] - абсолютные константы.

Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции [pic] нашлось разложение вида (70). Покажем, что [pic] и
[pic] . Для этого достаточно проверить, что для любого атома [pic] имеет место неравенство

[pic]. (72)
Пусть [pic]- такой обобщенный интервал, что

[pic], [pic] , [pic] (73)
(случай [pic] тривиален). Так как [pic] , то нам остается доказать, что

[pic]. (74)
Для любого измеримого множества [pic], применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим

[pic], (75) откуда сразу вытекает (74), в случае, когда [pic].
Допустим теперь, что [pic], и обозначим через [pic] обобщенный интервал длины [pic] с тем же центром, что и [pic]. Из (75) следует, что

[pic].
Нам остается оценить интеграл [pic]. Мы воспользуемся очевидным неравенством

[pic], [pic], где [pic]- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки [pic] и [pic], а [pic] - абсолютная постоянная. В силу (73) при
[pic] мы имеем
[pic]где [pic]- центр обобщенного интервала [pic]. Из последнего соотношения, учитывая, что [pic] и [pic], мы находим

[pic], [pic], где [pic] .
Следовательно,

[pic].
Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции [pic] разложение (70), для которого

[pic].
Пусть функция [pic] с [pic] такова, что выполнено соотношение (65), и пусть [pic] ([pic]) - нетангенциальная максимальная функция для [pic], т.е.

[pic] , [pic], (75') где [pic]- область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки
[pic] к окружности [pic], и наибольшей дугой окружности [pic], заключенной между точками касания.
Теорема 7 утверждает, что [pic], поэтому нам достаточно найти такое разложение функции [pic] на атомы (70), что

[pic], (76) где постоянные С и [pic]([pic]) не зависят от [pic]. Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число [pic]: пусть, например,
[pic]. Не ограничивая общности, мы можем считать, что

[pic]. (77)
Рассмотрим на отрезке [pic] множества

[pic] , [pic] , [pic] (78)
Так как при любом [pic] множество точек единичной окружности [pic] открыто, то ясно, что при [pic] множество [pic] (если оно непустое) представимо
(единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

[pic], [pic] при [pic], [pic] , [pic]. (79)
Положим [pic] и при [pic]

[pic] (80)
Так как [pic] конечна для п.в. [pic], то из определения функций [pic],
[pic], следует, что для п.в. [pic] [pic] при [pic], а значит, для п.в. [pic]

[pic] .
Отсюда, учитывая, что [pic], а следовательно из (80), [pic] при [pic], мы находим, что

[pic], (81) где [pic]- характеристическая функция множества [pic]. Из (81), учитывая, что [pic], мы для функции [pic] получаем следующее разложение:

[pic] для п.в. [pic], (82) где

[pic], [pic], [pic] (83)
С помощью функций [pic] мы и построим нужное нам разложение вида (70).
Прежде всего отметим, что при [pic], [pic]

[pic] , [pic] . (84)
Докажем теперь, что для п.в. [pic]

[pic] , [pic] , (85) где постоянная [pic] зависит только от числа [pic], зафиксированного нами ранее.
Так как из (65) и (75') [pic] для п.в.[pic] , то из (77) следует, что

[pic].
Пусть теперь [pic], [pic] - один из обобщенных интервалов в представлении
(79), тогда из (77) и (78) [pic] , и если [pic], [pic] - концевые точки дуги [pic] ([pic]) , то [pic], а значит,

[pic], [pic]. (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

[pic] при [pic]. (87)
Легко видеть (учитывая, что [pic] и [pic]) , что множества [pic] и
[pic] пересекаются в одной точке:

[pic] с [pic] , [pic]. (88)
Пусть [pic], [pic], - отрезок, соединяющий точки [pic] и [pic]. Так как
[pic] , [pic], то из непрерывности функции [pic] при [pic]и неравенства
(87) вытекает, что [pic], если [pic], [pic], и [pic]. Поэтому , учитывая
(88)

[pic] , [pic],[pic], [pic]. (89)

|Рассмотрим область [pic], |[pic] |
|ограниченную | |
|отрезками [pic] и [pic] и дугой| |
|[pic]; | |
|пусть, далее, для [pic] | |
|[pic] , | |
|[pic], [pic]. | |

По теореме Коши [5] [pic].
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги [pic] справедливо равенство
[pic], мы получим

[pic].
Но в силу теорем 4 и 5

[pic], [pic], и так как [pic], [pic], то мы находим, что

[pic] . (89')
Легко видеть, что отношение [pic] ограничено сверху числом, зависящим только от (, поэтому

[pic] , [pic]. (90)
Так как [pic], то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для [pic],
[pic], справедливо неравенство (85). Для п.в. [pic] неравенство (85) сразу следует из определения функций [pic] и множеств [pic].
Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что [pic], а это значит, что функции

[pic] , [pic] , [pic], являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции [pic] на атомы:

[pic] для п.в. [pic] , где [pic] , [pic].
Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем
[pic][pic].
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic], двойственность [pic] и

ВМО.
Дадим описание пространства [pic], сопряженного к банахову пространству
[pic]. Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих условию

[pic] , (91) где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] .
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

[pic] . (92)
Ясно, что [pic] . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции.
Нетрудно проверить, например, что функция [pic].
Теорема 9.
[pic], т.е. а) если [pic], и для произвольной функции [pic] рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

[pic], [pic] , [pic], [pic] - атомы*) (93) и положить

[pic] , (94) то сумма [pic] ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на [pic]; б) произвольный ограниченный линейный функционал [pic] на [pic] представим в виде (94), где [pic]. При этом

[pic]
(С, С1 - абсолютные постоянные).

Лемма 2.
Пусть функция [pic] такова, что для любого обобщенного интервала [pic] найдется постоянная [pic], для которой

[pic], где М не зависит от [pic]. Тогда [pic] и [pic].

Доказательство.
Для любого обобщенного интервала [pic] мы имеем

[pic], откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если [pic], то [pic] и

[pic]. (95)
Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что

[pic] для произвольного обобщенного интервала [pic].

Доказательство теоремы 9. а) Пусть [pic]. Положим

[pic]
Так как всегда [pic] , то, учитывая равенства

[pic], [pic] , [pic]

[pic], мы с помощью следствия 2 находим

[pic], [pic] (96)
Допустим, что [pic] ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение

[pic], [pic] , (97) где функции [pic] являются атомами и [pic], и при [pic]

[pic], [pic] , [pic]. (98)
Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при [pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic].
Отсюда, учитывая, что функции [pic], [pic], по модулю не превосходят суммируемой функции [pic] и для п.в. [pic] [pic], мы получим, что

[pic][pic] .
Таким образом, равенством

[pic] , [pic], (99) определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в [pic] линейном многообразии (плотность функций из [pic] в [pic] вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции [pic] частные суммы разложения (70) сходятся к [pic] по норме [pic], и, очевидно, принадлежат пространству
[pic]). Поэтому функционал [pic] можно единственным образом продолжить на все пространство [pic]:

[pic], [pic]. (100)
Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции [pic] ряд
(94) сходится и его сумма равна [pic]. Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме [pic] к [pic]:

[pic]. б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на [pic]. Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции [pic]

[pic]
(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на [pic], а следовательно, найдется функция [pic] с

[pic] , (101) для которой

[pic] , [pic]. (102)
В частности, равенство (102) выполняется, если [pic]- произвольный атом.
Докажем, что

[pic]. (103)
Пусть I - произвольный обобщенный интервал, [pic] - произвольная функция с
[pic]. Тогда функция

[pic] , [pic] , является атомом и в силу теоремы 8 [pic]. Поэтому
[pic]
[pic] .
Подбирая в последнем неравенстве функцию [pic] оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I

[pic], что с учетом соотношения [pic][pic] доказывает оценку (103).
Таким образом, для [pic] значение функционала [pic] совпадает со значением ограниченного линейного функционала [pic] на элементе [pic] (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство [pic] плотно в
[pic], то, следовательно,

[pic][pic] для любой функции [pic].
Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.

Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.:

Наука, 1988. —815с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико- математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука,

1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука,

1964.—т.2,—463с.
8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.

*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если (x( ( ( .

*) Так как функция [pic] определялась для функций [pic], заданных на [pic], то мы дополнительно полагаем [pic], если [pic]; [pic]при [pic] и [pic] при
[pic].

*) В силу условий а) и в) в определении 9 [pic], [pic], поэтому ряд (70) сходится по норме пространства [pic] и п.в.

*) Возможен случай, когда [pic] при [pic].

Больше работ по теме: