Аналитическое решение краевых задач математической физики

 

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. академика С.П. КОРОЛЕВА

Факультет информатики

Кафедра технической кибернетики








Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «Уравнения математической физики»

Тема: «АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»



Выполнил Самтеладзе Г. Н.

Руководитель работы Дегтярев А.А.







Задание


Процесс распространения электромагнитной волны в однородной среде (волноводе) описывает следующим дифференциальным уравнением:



где - оператор Лапласа в радиально-симметричном случае;

- комплексная амплитуда напряженности электрического поля;

- длина электромагнитной волны; ; - показатель преломления среды; и - координаты цилиндрической системы.

Предполагается, что среда (волновод) ограничена идеально проводящей цилиндрической оболочкой радиуса и длины (в соответствии с рисунком 1).


Рисунок 1 - Распространение электромагнитной волны в волноводе кругового сечения


Распределение амплитуды на входе в волновод задается условием:


При проведении расчетов использовались следующие значения параметров:

Замечание. Приведенное дифференциальное уравнение называется уравнением Шредингера. Оно является уравнением параболического типа. При решении задачи целесообразно воспринимать переменную z как некоторое подобие временной координаты.

дифференциальный сходимость электромагнитный фурье

Реферат


Объектом исследования является процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.

Цель работы - изучить объект исследования, описанный дифференциальным уравнением.

В результате работы получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована его сходимость, получена оценка остатка, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью, кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.


Содержание


Введение

. Математическая постановка краевой задачи

. Аналитическое решение

. Исследование сходимости ряда аналитического решения

. Оценка остатка ряда

. Численный расчет решения

.1 Вычисление функций Бесселя

.2 Вычисление корней характеристического уравнения J0(?m)=0

.3 Численное интегрирование

. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье

. Анализ погрешности вычислений

. Результаты работы программы

Заключение

Список использованных источников


Введение


Математическая физика изучает математические модели физических явлений. Она и её методы начали формироваться в XVIII веке при изучении колебаний струны и стержней, задач акустики, гидродинамики, аналитической механики. Идеи математической физики получили новое развитие в XIX веке в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами, теорией устойчивости движения.

Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений - уравнений математической физики, которые совместно с соответствующими граничными (или начальными и граничными) условиями образуют математические модели рассматриваемых физических процессов.

Основными классами таких задач являются эллиптические, гиперболические, параболические задачи и задача Коши.

Основными математическими средствами исследования задач математической физики служит теория дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, теорий функций и функциональных пространств, функциональный анализ, приближенные методы и вычислительная математика.


1. Математическая постановка краевой задачи


Из условия задачи известно, что волновод ограничен проводящей оболочкой, поэтому на стенке волновода будет соблюдаться следующее граничное условие первого рода:



Таким образом, дополнив заданное дифференциальное уравнение граничными условиями, получаем модель процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, которая будет выглядеть так:





(1.1)



2. Аналитическое решение


Для отыскания решения задачи используем метод Фурье. Будем полагать, что решение может быть представлено в виде произведения:


(2.1)


Введем обозначение , тогда дифференциальное уравнение из системы (1.1) запишется в виде:



Учтем в соотношении (2.1), а затем преобразуем его:



Уравнение, определяющее функцию :



Произведем серию выкладок, позволяющих упростить вычисление:



Уравнение, определяющее функцию :



Домножим это уравнение на r2V(r) и дополним его граничным условием, которое следует из граничного условия функции U(r,z):



(2.2)



Таким образом, получаем уравнение Бесселя 0-го порядка.

Для того чтобы прийти к стандартному виду уравнения Бесселя введем новую переменную:


(2.3)


Продифференцируем (2.3) по r и получим:



(2.4)



Аналогично, продифференцировав (2.4) по r:


(2.5)


Подставим (2.3)-(2.5) в уравнение из (2.2) и получим для определения уравнение Бесселя 0-го порядка:


(2.6)



Подставим в (2.6) граничное условие:

- т.к. целый порядок (ограниченное решение)

пусть

Уравнение имеет бесконечное множество вещественных корней: то есть имеет бесконечное множество собственных значений: которым соответствуют собственные функции:

Таким образом, получаем:


Решение предстанет в следующем виде:


(2.7)



Подставим в (2.7) начальное условие , в результате получим:


(2.8)



Отметим, что система собственных функций является ортогональной системой с весом r [1].

Из теоремы разложимости [1] находим коэффициент :


(2.9)


Правомерно следующее:

Таким образом, решение можно представить следующим рядом Фурье-Бесселя:



(2.10)



3. Исследование сходимости ряда аналитического решения


Найдём мажоранту для ряда:






При увеличении аргумента функции Бесселя:


(3.1)


Неравенство (3.1) подробно доказывается в пункте 4 на странице 11.

Получим ряд q>u,



4. Оценка остатка ряда


Чтобы выяснить, как усечение ряда влияет на точность решения исходной задачи, необходимо найти оценку остатка ряда:


(4.1)


где

Получаем:



(4.2)



Учтем, что:

Таким образом, достаточно оценить только



Для оценки данных коэффициентов необходимо рассчитать следующий интеграл:


(4.3)


Для расчета (4.3) воспользуемся формулой:


(4.4)



Имеет место следующее равенство [3]:


(4.5)


Рассмотрим выражение (4.4). Опустим в правой части на основании практических расчетов (см. таблицу 1). Таким образом, (4.4) можно заменить следующим выражением:



Если то (4.5) принимает вид:

Таким образом, получаем следующее неравенство:


Неравенство проверено и подтверждено на практике (см. таблицу 1).


Таблица 1 - Cравнение интеграла и апроксимирующей формулы

Номер корняЗначение интегралаАпроксимирующая формулаПогрешностьОбщая погрешность11,9712921E-121,9712921E-123,2206E-213,2206E-2121,8533022E-121,8533022E-127,8209E-211,1041E-2031,6585267E-121,6585267E-123,3543E-211,4396E-2041,4127617E-121,4127617E-126,5427E-212,0938E-2051,1454716E-121,1454716E-121,6735E-203,7674E-2068,8403270E-138,8403273E-132,3703E-206,1376E-2076,4941282E-136,4941285E-132,6846E-208,8222E-2084,5408992E-134,5408994E-132,7249E-201,1547E-1993,0222564E-133,0222567E-132,6104E-201,4158E-19101,9146491E-131,9146494E-132,4235E-201,6581E-19111,1545573E-131,1545576E-132,2153E-201,8796E-19126,6268972E-146,6268992E-142,0113E-162,0808E-19133,6205400E-143,6205419E-141,8188E-202,2626E-19141,8828028E-141,8828044E-141,6461E-202,4273E-19159,3197568E-159,3197717E-151,4950E-202,5768E-19164,3910908E-154,3911045E-151,3626E-202,7130E-19171,9692821E-151,9692946E-151,2474E-202,8378E-19188,4064015E-168,4065159E-161,1438E-202,9521E-19193,4156740E-163,4157794E-161,0543E-203,0576E-19201,3209914E-161,3210888E-169,7378E-213,1549E-19214,8625244E-174,8634298E-179,0534E-213,2455E-19221,7033609E-171,7042045E-178,4359E-213,3298E-19235,6763262E-185,6841979E-187,8717E-213,4086E-19

Таким образом, получаем:



(4.6)




Асимптотическая формула для



Приближенная формула для нулей

Для

Таким образом


(4.7)


Неравенство (4.7) проверено и подтверждено на практике.

Подставим это выражение в формулу (4.6) и получим:


(4.8)




Подставив (4.8) в (4.2), получим следующее выражение:



В итоге получаем оценку:


(4.9)


5. Численный расчет решения


.1 Вычисление функций Бесселя


Для вычисления значений функций Бесселя нулевого и первого порядков был использован алгоритм, позволяющий вычислить значение с точностью 10-7:

Для функции Бесселя нулевого порядка:





(5.1)





(5.2)







Для функции Бесселя первого порядка:


(5.3)


5.2 Вычисление корней характеристического уравнения J0(?m)=0


Данное уравнение является трансцендентым и имеет бесконечное множество решений. Для нахождения этих корней воспользуемся методом секущих:




(5.5)



Для вычисления J0(?m) используется алгоритм, описанный в пункте 4.1. Данный метод обладает сверхлинейной скоростью сходимости. В качестве критерия останова используется условие в нашем случае то есть обеспечивается точность вычисления равная двоичной точности представления вещественных чисел в памяти компьютера. Таким образом, этой погрешностью можно пренебречь.


5.3 Численное интегрирование


Поскольку интеграл не может быть вычислен аналитически, необходимо численно отыскать его значение. Для численного интегрирования использовались Квадратурная формула Гаусса-Кронрода, алгоритм вычисления взят из библиотеки ALGIB. Использование этого метода обеспечивает относительную погрешность


6. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье


Проведем сравнение теоретической оценки количества членов и оценки, полученной практическим путем. Результаты вынесем в таблицу 3.

Практическая оценка была рассчитана следующим образом: теоретическое значение оценки количества суммируемых членов уменьшалось и отслеживалось изменение разряда, на порядок меньшего обеспечиваемой погрешности.


Таблица 3 - Сравнение теоретической и практической оценок кол-ва членов ряда Фурье

Eps<0,1<0,01<0,001<0,0001<0,00001<0,000001rzNт91316192123--Nпр19121619212300,0001Nпр216111418210,000010,0001Nпр317131517210,000010,0002

7. Анализ погрешности вычислений


Помимо ошибок, возникающих при использовании численных методов, погрешность вычислений задается точностью представления действительного числа в памяти процессора ПК и составляет

Как видно из таблицы 3, для обеспечения погрешности, меньшей , при сложении необходимо суммировать 23 члена ряда. Погрешность при вычислении одного элемента ряда составляет менее . Соответственно, при сложении 23 членов ряда получаем следующую погрешность: Таким образом, общая погрешность составляет:


8. Результаты работы программы


Разработанная программа позволяет строить графики зависимости напряженности от одного из аргументов, при фиксации второго. Также можно изменять количество складываемых членов ряда и менять масштаб изображения.

Приведем несколько графических результатов расчетов поля в волноводе.

Причем более интересным будет случай с фиксированием аргумента z:


Рисунок 1 - Интенсивность волны при z=0


Рисунок 2 - Интенсивность волны при z= 0,00001

Рисунок 3 - Интенсивность волны при z= 0,00002


Рисунок 4 - Интенсивность волны при z= 0,00003


Кроме того возможно фиксирование аргумента r, в таком случае будут иметь место следующие графики зависимости интенсивности волны от z:


Рисунок 5 - Интенсивность волны при r=0


Рисунок 6 - Интенсивность волны при r=0,000015


Рисунок 7 - Интенсивность волны при r=0,00001


Заключение


Объектом исследования в данной курсовой работе являлся процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.

Вычисление амплитуды такой волны было произведено с достаточно малой погрешностью, а именно меньшей . В итоге пользователь в наглядном виде может наблюдать результаты работы программы, графически и аналитически реализующей решение данной задачи, а именно - кольца Ньютона.

В результате работы осуществлена математическая постановка краевой задачи для процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована сходимость найденного ряда, получена оценка остатка этого ряда, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью. Кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.


Список использованных источников


1.Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст]: учебное пособие для университетов/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977.-735 с.

.Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст]/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973.-245 с.

.Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям [Текст]/ М. Абрамовиц, И. Стиган. - М.: Наука - 1979.-832 с.


Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧ

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ