Использование аксиомы Лиувилля для нахождения трансцендентных
чисел – 22
Заключение – 23
Литература – 24
Выдержка
Пусть предоставлены 2 поля P и F, такие, что P – подполе поля F.
Определение 1. Количество?именуется алгебраическим над полем P, ес-ли?является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из P.
Определение 2. Комплексные числа, являющиеся алгебраическими над по-лем оптимальных чисел, именуются алгебраическими числами.
Образчик. – корень многочлена с коэффициентами из поля дей-ствительных чисел:
– алгебраическое над полем реальных чисел.
Просто увидеть, что является алгебраическим и над полем рациональ-ных чисел.
Из определения просто увидеть, что ежели?– корень многочлена , то?– корень , в каком месте g – многочлен над полем P.
Определение 3. Пусть P – подполе F,?– алгебраический над полем P вещество. Тогда нормированный многочлен меньшей ступени, для которого?является корнем, именуется наименьшим многочленом элемен-та?.
Эмблемой станем означать ступень многочлена h.
Аксиома 1. Пусть?– алгебраический над полем P вещество, h – мини-мальный для?многочлен. Тогда правосудны последующие утверждения:
1) h неприводим над P;
2) если h1 также является наименьшим многочленом вещества?, то ;
3) если , для которого?является корнем(), то h|g;
4) если , для которого?является корнем, k – нормированный мно-гочлен, несводимый. Ant. разложимый над P, то h=k.
Подтверждение:
1) Допустим, что h – приводим над P. Тогда , f и g – много-члены над полем P, , , . Этак как многочлен h нормированный, то многочлены f и g также разрешено изготовить нормиро-ванными. ?– сообразно условию корень многочлена h, то имеется . Зна-чит, . Разумеется, что одно из данных чисел либо одинаково нулю. Пусть для определенности . Это предложение противоречит тому, что h малый многочлен для вещества?. Потому h неприводим над полем P.
Литература
1. Бухштаб А. А. Концепция чисел. М. : Учпедгиз, 1960.
2. Ожигова Е. П. Шарль Эрмит, 1822–1901. Л. : Дисциплина, 1982.
3. Гельфонд А. О. , Трансцендентные и алгебраические числа. М. , 1952.
Пусть даны два поля P и F, такие, что P – подполе поля F.
Определение 1. Число ? называется алгебраическим над полем P, ес-ли ? является корнем ненулевого мно